Apostila_Termodinâmica
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Apostila_Termodinâmica


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Me´dia
v.t
(a)
(b)
(c)
v.!t
Figura 2.2: a) Choque entre duas mole´culas ide\u2c6nticas de dia\u2c6metro d. b) Descric¸a\u2dco alter-
nativa: choque entre uma mole´cula com dia\u2c6metro 2d e outra pontual. c) Cilindro gerado
pelo deslocamento da part´\u131cula de dia\u2c6metro 2d.
Entre coliso\u2dces sucessivas, o movimento de uma mole´cula de um ga´s ideal e´ retil´\u131neo e
uniforme. A dista\u2c6ncia me´dia que uma mole´cula percorre entre duas coliso\u2dces sucessivas e´
chamada trajeto´ria livre me´dia.
Se tivermos duas mole´culas de dia\u2c6metro d, ocorrera´ uma colisa\u2dco quando seus centros
se aproximarem de uma dista\u2c6ncia d (Figura 2.2a).
Uma descric¸a\u2dco equivalente das coliso\u2dces entre mole´culas consiste em considerar uma
delas pontual e a outra com dia\u2c6metro 2d, pois a colisa\u2dco ocorrera´ quando os seus centros
se aproximarem de uma dista\u2c6ncia d (Figura 2.2b), assim como na situac¸a\u2dco anterior.
Se estivermos observando uma mole´cula nas suas mu´ltiplas coliso\u2dces, podemos consi-
derar que ela tem um dia\u2c6metro 2d e as outras sa\u2dco pontuais.
Em um intervalo de tempo \u2206t, a mole´cula \u2018maior\u2019 percorre um cilindro cuja a´rea de
sec¸a\u2dco transversal e´ pid2, o comprimento e´ Lcil = v ·\u2206t, onde v e´ a velocidade da mole´cula
(Figura 2.2c). O volume do cilindro sera´:
Vcil = a´rea da base × comprimento
Vcil = pid
2 × v ·\u2206t
Considere que o volume do recipiente no qual o ga´s esta´ confinado seja V e que o
recipiente contenha N mole´culas. Assim, o nu´mero de mole´culas pontuais no cilindro e´
Ncil = N
Vcil
V
=
Npid2v\u2206t
V
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2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
Uma vez que a mole´cula em movimento e as mole´culas pontuais exercem forc¸as umas
sobre as outras, esse e´ tambe´m o nu´mero de coliso\u2dces associadas a` mole´culas em movimento
no intervalo de tempo \u2206t.
A trajeto´ria livre me´dia \u3bb e´ a dista\u2c6ncia total percorrida pela mole´cula em movimento
no intervalo de tempo \u2206t, dividida pelo nu´mero de coliso\u2dces ocorridas neste intervalo, ou
\u3bb =
Lcil
Ncil
=
v\u2206tV
Npid2v\u2206t
\u3bb =
V
Npid2
Esse resultado e´ apenas uma primeira aproximac¸a\u2dco, pois ele se baseia na hipo´tese de
que apenas uma mole´cula se move e que todas as outras esta\u2dco em repouso.
Uma conclusa\u2dco similar sobre a me´dia pode ser obtida para o caso em que as mole´culas
possuem velocidades diferentes. Um ca´lculo completo, considerando a distribuic¸a\u2dco real
das velocidades das mole´culas fornece
vrelativa =
\u221a
2 · vme´dia.
Como resultado, temos que a trajeto´ria livre me´dia me´dia e´:
\u3bb =
V\u221a
2Npid2
ou, em termos da pressa\u2dco p e temperatura T
\u3bb =
kT\u221a
2ppid2
Exerc´\u131cios
1. Quais sa\u2dco (a) a trajeto´ria livre me´dia e (b) a taxa me´dia de coliso\u2dces para o nitroge\u2c6nio
a` temperatura ambiente (T = 300K) e a` pressa\u2dco atmosfe´rica (p = 1, 01 · 105Pa)?
Uma mole´cula de nitroge\u2c6nio possui dia\u2c6metro efetivo d = 3, 15 · 10\u221210m e, para as
condic¸o\u2dces estabelecidas, uma velocidade me´dia vmed = 478m/s.
R: a) \u3bb = 9,3 · 10\u22128m; b) taxa = 5,1 · 109 coliso\u2dces/segundo
2. A 2500 km acima da superf´\u131cie da Terra, a massa espec´\u131fica e´ de aproximadamente
1 mole´cula/cm3. Qual a trajeto´ria livre me´dia prevista? Suponha o dia\u2c6metro mo-
lecular igual a 2, 0 · 10\u22128cm. R: \u3bb = 5,6 · 1012m
3. O livre percurso me´dio das mole´culas de nitroge\u2c6nio, a 0\u25e6C e 1atm, e´ 0, 80·10\u22125cm. A
esta temperatura e pressa\u2dco ha´ 2, 7 · 1019 mole´cula/cm3. Qual o dia\u2c6metro molecular?
R: 3,2 · 10\u221210m
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2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
2.2.3 Distribuic¸a\u2dco das velocidades moleculares
O f´\u131sico escoce\u2c6s James Clerk Maxwell (1831-1879) foi quem primeiro resolveu o pro-
blema da distribuic¸a\u2dco das velocidades em um ga´s contendo um grande nu´mero de mole´culas.
A distribuic¸a\u2dco de mole´culas de Maxwell para uma amostra de ga´s com temperatura T
contendo N mole´culas, cada uma com massa m, e´ dada por
N(v) = 4piN
(
m
2pikBT
)3/2
v2e\u2212mv
2/2kBT . (1)
A figura 2.3 mostra duas distribuic¸o\u2dces de velocidades para N = 105 mole´culas de
nitroge\u2c6nio (N2), considerando as temperaturas de 300K (curva azul) e 900K (curva la-
ranja).
Figura 2.3: Exemplos da distribuic¸a\u2dco das velocidades moleculares para o N2.
N(v) e´ o produto N(v) · dv (adimensional) e fornece o nu´mero de mole´culas que
possuem velocidades na faixa de v a v+dv. Ao integrar os nu´meros de mole´culas presentes
entre v = 0 e v \u2192 \u221e, devemos obter o nu´mero total de mole´culas do sistema (N). Isto
e´, deve ser verdadeira a equac¸a\u2dco
N =
\u222b \u221e
0
N(v) · dv
Conseque\u2c6ncias da Distribuic¸a\u2dco de Velocidades
Pode-se obter muitas informac¸o\u2dces u´teis a partir da equac¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco das velo-
cidades moleculares (Eq. 1).
1. A velocidade mais prova´vel (vp): Essa e´ a velocidade para a qual (N(v)) apre-
senta seu valor ma´ximo. Esse valor pode ser obtido impondo
N(v)
dv
= 0
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2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
e resolvendo para v. O resultado e´
vp =
\u221a
2kBT
m
ou vp =
\u221a
2RT
M
2. A velocidade me´dia (vme´d): Para se obter a velocidade me´dia das mole´culas,
adiciona-se todas as velocidades individuais e divide-se pelo nu´mero de mole´culas,
isto e´:
vme´d =
1
N
\u222b \u221e
0
v ·N(v) · dv
O resultado e´
vme´d =
\u221a
8kBT
pim
ou vme´d =
\u221a
8RT
piM
3. A velocidade me´dia quadra´tica (vrms): Essa quantidade ja´ foi obtida no inicio
do cap´\u131tulo. Para obte\u2c6-la a partir da equac¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de velocidades, proce-
demos conforme descrito no item anterior, exceto pelo fato de se obter o valor me´dio
de v2, ou seja:
(v2)me´d =
1
N
\u222b \u221e
0
v2 ·N(v) · dv
Esta integrac¸a\u2dco resulta em
(v2)me´d =
3kBT
m
.
A velocidade me´dia quadra´tica e´ igual a` raiz quadrada dessa quantidade, isto e´,
vrms =
\u221a
(v2)me´d. Como resultado temos:
vme´d =
\u221a
3kBT
m
ou vme´d =
\u221a
3RT
M
4. A energia cine´tica me´dia de translac¸a\u2dco por mole´cula (Ktrans): Devido a`
hipo´tese de que o ga´s ideal e´ monoato\u2c6mico, a energia cine´tica de translac¸a\u2dco e´ a
u´nica forma de energia que a mole´cula pode possuir. Uma mole´cula pontual na\u2dco
pode possuir energia de rotac¸a\u2dco e admite-se que na\u2dco hajam variac¸o\u2dces nas energias
internas da mole´cula.
Para obtermos Ktrans, devemos, inicialmente, obter a energia cine´tica de translac¸a\u2dco
total do conjunto de N mole´culas e, em seguida, dividi-la por N . A energia total
K e´
K =
1
2
m(v21 + v
2
2 + ...+ v
2
N)
K =
1
2
mN
(v21 + v
2
2 + ...+ v
2
N)
N
K =
1
2
mNv2rms
Substituindo v2rms = 3kBT/m, temos
K =
3
2
NkBT
Dividindo por N, teremos Ktrans
Ktrans =
3
2
kBT
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2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
Exerc´\u131cios
1. As velocidades de dez part´\u131culas em m/s sa\u2dco:
0,0; 1,0; 2,0; 3,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0 e 6,0.
Determine:
(a) a velocidade me´dia; R: vme´d = 3,1 m/s
(b) a velocidade me´dia quadra´tica; R: vrms = 3,5 m/s
(c) a velocidade mais prova´vel. R: vp = 3,0 m/s
2. Um tanque de volume de 0, 300m3 conte´m 2 mols de ga´s He´lio a 20, 0\u25e6C. Supondo
que o He´lio comporta-se como um ga´s ideal, encontre:
(a) a energia interna total do ga´s. R: K = 7,30 · 103J
(b) a energia me´dia por mole´cula. R: Ktrans = 6,07 · 10\u221221J
3. Calcule a massa de uma mole´cula de nitroge\u2c6nio, N2. O peso molecular e´ 28 kg/kmol.
R: 4,65x10\u221226 kg
4. Quantos a´tomos de he´lio, He, existem em 2,0 g de he´lio? (M= 4kg/kmol para o
He.) R: 3,01.1023 kmol
5. Uma gotinha de mercu´rio tem um raio de 0,5 mm. Quantos a´tomos de mercu´rio
existem na gotinha? (Para Hg, M = 202 Kg/ kmol e \u3c1 = 13 600 kg/m3). R:
2,1x1019
6. Quantas mole´culas existem em 70 cm3 de benzeno? (Para o benzeno, \u3c1= 0,88 g.cm\u22123
e M = 78 kg/mol). R: 4,8 x 1023
7. Calcule a velocidade quadra´tica me´dia de uma mole´cula de nitroge\u2c6nio (M = 28
kg/kmol)