Cálculo III - Aula 02

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P O R R O D R I G O T A V A R E S T E I X E I R A 1 
CAMPOS VETORIAIS 
É uma função definida em um conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 
da forma 𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛. 
Seja 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 um conjunto aberto. Os campos de vetoriais 
 𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛 podem ser contínuos, diferenciáveis ou 
de classe ∁𝑘 . 
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CAMPOS VETORIAIS 
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CAMPOS VETORIAIS: EXEMPLOS 
Um fluido percorrendo um encanamento com fluxo 
constante. 
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CAMPOS VETORIAIS: EXEMPLOS 
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OUTROS EXEMPLOS 
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OUTROS EXEMPLOS 
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OUTROS EXEMPLOS: CAMPO ELETROSTÁTICO 
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EXEMPLOS: TRANSFERÊNCIA DE CARGAS 
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LINHA DE FLUXO DE UM CAMPO 
Uma linha de fluxo de um campo de vetores é uma 
curva tangente ao campo. 
Se 𝑭 é um campo de vetores contínuos, 𝜸 é uma 
curva do fluxo de F se: 
 
𝜸′ 𝒕 = 𝑭 𝜸 𝒕 . 
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LINHA DE FLUXO DE UM CAMPO 
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EXEMPLO 
Entender o campo de 
vetores dado por 
𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙, −𝒚 . 
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EXEMPLO 
Entender o campo 
de vetores dado por 
𝑭 𝒙, 𝒚 = (𝟏, 𝒙) 
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EXEMPLO 
Seja um campo dado por 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = (𝒚, −𝒙, 𝟎) 
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CAMPOS GRADIENTES 
Seja 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 um conjunto aberto e 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ, uma 
função tal que as derivadas parciais existam. 
O campo gradiente de 𝑓 (denotado por 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) ) é 
definido da seguinte forma: 
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝕩 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝕩 , … ,
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
(𝕩) 
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CASOS PARTICULARES 
No caso do ℝ2: o campo gradiente de 𝑓 é: 
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑥, 𝑦 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑥, 𝑦 
Equivalentemente, 
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑥, 𝑦 𝑒1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑥, 𝑦 𝑒2 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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CAMPOS ROTACIONAIS 
 
 
 O rotacional de um campo de vetores que 
representa a velocidade de um fluido, está 
relacionado ao fenômeno de rotação de um fluido. 
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CAMPOS ROTACIONAIS 
Chamamos de rotacional o campo de vetores 
𝒓𝒐𝒕 𝑭 : 𝑨 ⊂ ℝ𝟑→⊂ ℝ𝟑 dado por: 
 
 
 
𝛁 × 𝑭 =
𝒊 𝒋 𝒌
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒛
𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑
 
 
 
Onde 𝛁 =
𝝏
𝝏𝒙
,
𝝏
𝝏𝒚
,
𝝏
𝝏𝒛
 e 𝑭: 𝑨 ⊂ ℝ𝟑→⊂ ℝ𝟑 dada por 
 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐 , 𝑭𝟑 ). 
 
 
 
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Propriedades: 
I – Se 𝑨 ⊂ ℝ𝟑 é um 
conjunto aberto 
e 𝒇: 𝑨 ⊂ ℝ𝟑→ ℝ 
é uma função de 
classe ∁𝟐. 
 
 Então, se o campo 
gradiente de 𝛁 𝒇 temos: 
 
𝒓𝒐𝒕 𝛁𝒇 = 𝛁 × 𝛁𝒇 = 𝟎 
 
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CAMPOS ROTACIONAIS 
 
Propriedades: 
II – Se 𝒓𝒐𝒕 𝑭 = 𝟎 dizemos que 
o campo 𝑭: 𝑨 ⊂ ℝ𝟑→⊂ ℝ𝟑 é 
irrotacional. 
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CAMPOS ROTACIONAIS 
DIVERGÊNCIA DE UM CAMPO 
É definido como o produto escalar entre 𝛁 e o 
campo vetorial 𝑭: 
 
𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝛁 ∙ 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 
 
=
𝝏𝑭𝟏
𝝏𝒙
𝒙, 𝒚, 𝒛 +
𝝏𝑭𝟐
𝝏𝒚
𝒙, 𝒚, 𝒛 +
𝝏𝑭𝟑
𝝏𝒛
𝒙, 𝒚, 𝒛 
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