Cálculo III - Aula 03 - Integrais de Linha 01

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INTEGRAIS DE LINHA 
 
 
Nessas notas buscaremos compreender as 
propriedades das integrais de linha e suas 
aplicações mais comuns. 
INTEGRAL SOBRE UMA CURVA 
 
Seja a função de várias variáveis 𝑓:ℝ3 → ℝ e uma curva 𝐶 de 
classe 𝐶1 com uma parametrização 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ3 , onde a 
composição entre 𝑓 ∘ 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ é contínua. 
 
A integral de 𝑓 ao longo de 𝛾 é: 
 𝑓
𝐶
= 𝑓(𝛾 𝑡 ) 𝛾′(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 
Calcule 𝑓𝛾 , onde: 
𝛾 𝑡 = 𝑡, 3𝑡, 2𝑡 
tal que 𝑡 ∈ 1, 3 e 
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧. 
 
 
Calcule 𝑓𝛾 , onde: 
𝛾 𝑡 = 1,2, 𝑡2 
tal que 𝑡 ∈ 0, 1 e 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑧. 
 
EXEMPLOS: 
INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS DE VETORES 
 Sejam um campo de vetores contínuos 𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 →
ℝ𝑛 em um aberto do 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 e uma curva 𝐶 de 
classe ∁1 com parametrização 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛. 
 Onde 𝛾 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐴 e 𝐹 ∘ 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 seja uma 
função contínua. 
INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS DE VETORES 
A integral de linha de 𝐹 ao longo da curva 𝐶 é definida 
por: 
 
 𝑭
𝑪
= 𝑭(𝜸(𝒕)) ∙ 𝜸′(𝒕)𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
 
Onde 𝐹(𝛾(𝑡)) ∙ 𝛾′(𝑡) é o produto escalar no ℝ𝑛 dos 
vetores 𝐹(𝛾(𝑡)) e 𝛾′(𝑡). 
Calcule 𝐹𝐶 se 
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2, 𝑥𝑦 e 
𝐶 é uma curva 
definida por 𝑥 = 𝑦2 
ligando os pontos 
(1, −1) e 1, 1 . 
EXEMPLOS: 
Calcule 𝐹𝐶 se 
𝐹 𝑥, 𝑦 =
−𝑦
𝑥2+𝑦2
,
𝑥
𝑥2+𝑦2
 e 𝐶 é 
uma parte do círculo 
de raio 3, do ponto 
3, 0 até 
3 3
2
,
3
2
. 
EXEMPLOS: 
 
A definição é válida se 𝐹 ∘ 𝛾 é uma 
função contínua por partes. 
OBSERVAÇÃO: 
 𝑭
𝑪
= 𝑭𝟏𝒅𝒙 + 𝑭𝟐𝒅𝒚 
 
Onde 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐) é um 
campo de vetores 
e 𝜸 𝒕 = (𝒙 𝒕 , 𝒚 𝒕 )uma 
curva. 
 
 𝑭
𝑪
= 𝑭𝟏𝒅𝒙 + 𝑭𝟐𝒅𝒚 + 𝑭𝟑𝒅𝒛 
 
Onde 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐, 𝑭𝟑) é um 
campo de vetores 
e 𝜸 𝒕 = (𝒙 𝒕 , 𝒚 𝒕 , 𝒛 𝒕 ) 
uma curva. 
 
OUTRA NOTAÇÃO PARA INTEGRAL DE LINHA 
Se 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 é 
uma parametrização 
de uma curva 
fechada. 
Então a denotamos 
a integral de 
linha da seguinte 
forma: 
 
 𝑭
𝑪
 
INTEGRAL DE UMA CURVA FECHADA