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INTEGRAIS DE LINHA Nessas notas buscaremos compreender as propriedades das integrais de linha e suas aplicações mais comuns. INTEGRAL SOBRE UMA CURVA Seja a função de várias variáveis 𝑓:ℝ3 → ℝ e uma curva 𝐶 de classe 𝐶1 com uma parametrização 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ3 , onde a composição entre 𝑓 ∘ 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ é contínua. A integral de 𝑓 ao longo de 𝛾 é: 𝑓 𝐶 = 𝑓(𝛾 𝑡 ) 𝛾′(𝑡) 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 Calcule 𝑓𝛾 , onde: 𝛾 𝑡 = 𝑡, 3𝑡, 2𝑡 tal que 𝑡 ∈ 1, 3 e 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧. Calcule 𝑓𝛾 , onde: 𝛾 𝑡 = 1,2, 𝑡2 tal que 𝑡 ∈ 0, 1 e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑧. EXEMPLOS: INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS DE VETORES Sejam um campo de vetores contínuos 𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛 em um aberto do 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 e uma curva 𝐶 de classe ∁1 com parametrização 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛. Onde 𝛾 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐴 e 𝐹 ∘ 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 seja uma função contínua. INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS DE VETORES A integral de linha de 𝐹 ao longo da curva 𝐶 é definida por: 𝑭 𝑪 = 𝑭(𝜸(𝒕)) ∙ 𝜸′(𝒕)𝒅𝒕 𝒃 𝒂 Onde 𝐹(𝛾(𝑡)) ∙ 𝛾′(𝑡) é o produto escalar no ℝ𝑛 dos vetores 𝐹(𝛾(𝑡)) e 𝛾′(𝑡). Calcule 𝐹𝐶 se 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2, 𝑥𝑦 e 𝐶 é uma curva definida por 𝑥 = 𝑦2 ligando os pontos (1, −1) e 1, 1 . EXEMPLOS: Calcule 𝐹𝐶 se 𝐹 𝑥, 𝑦 = −𝑦 𝑥2+𝑦2 , 𝑥 𝑥2+𝑦2 e 𝐶 é uma parte do círculo de raio 3, do ponto 3, 0 até 3 3 2 , 3 2 . EXEMPLOS: A definição é válida se 𝐹 ∘ 𝛾 é uma função contínua por partes. OBSERVAÇÃO: 𝑭 𝑪 = 𝑭𝟏𝒅𝒙 + 𝑭𝟐𝒅𝒚 Onde 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐) é um campo de vetores e 𝜸 𝒕 = (𝒙 𝒕 , 𝒚 𝒕 )uma curva. 𝑭 𝑪 = 𝑭𝟏𝒅𝒙 + 𝑭𝟐𝒅𝒚 + 𝑭𝟑𝒅𝒛 Onde 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐, 𝑭𝟑) é um campo de vetores e 𝜸 𝒕 = (𝒙 𝒕 , 𝒚 𝒕 , 𝒛 𝒕 ) uma curva. OUTRA NOTAÇÃO PARA INTEGRAL DE LINHA Se 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 é uma parametrização de uma curva fechada. Então a denotamos a integral de linha da seguinte forma: 𝑭 𝑪 INTEGRAL DE UMA CURVA FECHADA
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