Cálculo III - Aula 03 - Integrais de Linha 02
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CÁLCULO III: INTEGRAIS DE 
LINHA \u2013 PARTE 02 
Rodrigo Tavares Teixeira 
Nessas notas entenderemos as ideias sobre 
mudanças de coordenadas em integrais de 
linha. 
Mudança de Coordenadas 
Reparametrizações 
\uf0a8 Imagine uma curva \ud835\udc36 no \u211d\ud835\udc5b de classe \u22011 e duas 
parametrizações da curva \ud835\udc36 , \ud835\udefe: [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f] \u2282 \u211d \u2192 \u211d\ud835\udc5b e 
\ud835\udefd: [\ud835\udc50, \ud835\udc51] \u2282 \u211d \u2192 \u211d\ud835\udc5b. 
 
\uf0a8 Se existe uma função real \u210e(\ud835\udc65) onde \u210e: \ud835\udc50, \ud835\udc51 \u2192 [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f]. 
 
\uf0a8 \u210e \ud835\udc65 será crescente se \u210e \ud835\udc50 = \u210e(\ud835\udc4e) e \u210e \ud835\udc51 = \u210e \ud835\udc4f . 
 
\uf0a8 \u210e \ud835\udc65 será decrescente se \u210e \ud835\udc50 = \u210e(\ud835\udc4f) e \u210e \ud835\udc51 = \u210e \ud835\udc4e . 
 
Reparametrizações 
 
\uf0a8 Podemos definir \ud835\udefd: [\ud835\udc50, \ud835\udc51] \u2282 \u211d \u2192 \u211d\ud835\udc5b como 
\ud835\udefd = \ud835\udefe \u2218 \u210e, 
 
\uf0a8 Onde \ud835\udefd = \ud835\udefe \u2218 \u210e é uma reparametrização da curva 
\ud835\udc36 do \u211d\ud835\udc5b. 
Reparametrizações 
\uf0a8 Se \u210e(\ud835\udc65) é 
crescente, dizemos 
que \ud835\udefd preserva a 
orientação. 
Reparametrizações 
\uf0a8 Se \u210e(\ud835\udc65) é 
decrescente, 
dizemos que \ud835\udefd 
inverte a 
orientação. 
Mudança de sentido 
\uf0a8 Seja \ud835\udefe: [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f] \u2282 \u211d \u2192
\u211d\ud835\udc5b uma 
parametrização de \ud835\udc36; 
 
\uf0a8 Se \u210e: \ud835\udc4e, \ud835\udc4f \u2192 [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f] 
onde \u210e \ud835\udc61 = \ud835\udc4e + \ud835\udc4f \u2212
\ud835\udc61. 
 
\uf0a8 Podemos definir uma 
\ud835\udefe\u2212: \ud835\udc4e, \ud835\udc4f \u2282 \u211d \u2192 \u211d\ud835\udc5b 
 
\uf0a8 Onde 
\ud835\udefe\u2212 \ud835\udc61 = \ud835\udefe(\ud835\udc4e + \ud835\udc4f \u2212 \ud835\udc61) e 
 
\ud835\udc36\u2212 é curva que liga o 
ponto \ud835\udefe(\ud835\udc4f) a \ud835\udefe(\ud835\udc4e). 
Reparametrização 
\ud835\udefe e \ud835\udefe\u2212 têm o mesmo traço, mas são percorridas em 
sentidos opostos 
Exemplo: 
\uf0a8 Seja \ud835\udc36 um círculo 
unitário, que pode ser 
parametrizado por 
\ud835\udefe \ud835\udc61 = (cos \ud835\udc61, sin \ud835\udc61) , 
\ud835\udc61 \u2208 0, 2\ud835\udf0b . 
Exemplo: 
\uf0a8 Fazendo \u210e \ud835\udc61 = 2\ud835\udf0b \u2212 \ud835\udc61 , 
então: 
\uf0a8 \ud835\udefe\u2212(\ud835\udc61) = \ud835\udefe(\u210e \ud835\udc61 = 
 
= cos 2\ud835\udf0b \u2212 \ud835\udc61 , sin 2\ud835\udf0b \u2212 \ud835\udc61 
 
= (cos \ud835\udc61 , \u2212sin \ud835\udc61 ) , \ud835\udc61 \u2208 [0,2\ud835\udf0b] 
Reparametrização: Teorema 
\uf0a8 Seja \ud835\udc39 um campo de 
vetores; 
\uf0a8 \ud835\udc36 uma curva de classe 
\u22011. 
\uf0a8 Uma parametrização \ud835\udefe 
de \ud835\udc36 , onde \ud835\udc39 \u2218 \ud835\udefe é 
contínua; 
\uf0a8 Se houver uma outra 
parametrização tal 
que: 
\uf0a8 Seja \ud835\udefd uma 
reparametrização de \ud835\udc36, 
 
\uf0a8 Se \ud835\udefd preserva a 
orientação e \ud835\udefd \ud835\udc3c = \ud835\udc3f 
 \ud835\udc39
\ud835\udc36
= \ud835\udc39
\ud835\udc3f
 
 
\uf0a8 Se \ud835\udefd inverte a orientação 
 \ud835\udc39
\ud835\udc36
= \u2212 \ud835\udc39
\ud835\udc3f
 
 
Exemplo: 
\uf0a8 Seja \ud835\udc39 \ud835\udc65, \ud835\udc66 =
\ud835\udc652, \ud835\udc65\ud835\udc66 ; 
\uf0a8 \ud835\udc36 uma curva formado 
por \ud835\udc66 = \ud835\udc652, \ud835\udc5c \u2264 \ud835\udc65 \u2264
1 e pelo segmento de 
reta que liga 
1, 1 \ud835\udc52 0, 0 . 
\uf0a8 Calcule \ud835\udc39\ud835\udc50 
Propriedades da Integral de Linha 
\uf0a8 Sejam números reais 
\ud835\udc4e, \ud835\udc4f \u2208 \u211d, \ud835\udc39, \ud835\udc3a campos de 
vetores e \ud835\udc36 uma curva de 
classe \u22011. Então: 
 
\uf0a8 \ud835\udc4e\ud835\udc39 + \ud835\udc4f\ud835\udc3a\ud835\udc36 = \ud835\udc4e \ud835\udc39\ud835\udc36 +
\ud835\udc4f \ud835\udc3a\ud835\udc36 
\uf0a8 Se uma curva \ud835\udc36 admite 
ser decomposta em um 
número \ud835\udc5b de curvas 
\ud835\udc36\ud835\udc56 , \ud835\udc56 = 1,\u2026 , \ud835\udc5b, então: 
 
\uf0a8 \ud835\udc39\ud835\udc36 = \ud835\udc39\ud835\udc36\ud835\udc56
\ud835\udc5b
\ud835\udc56=1 
Linearidade Aditividade 
Propriedade da Integral de Linha 
\uf0a8 Seja f uma função de 
várias variáveis 
diferenciável. 
\uf0a8 Com campo gradiente 
\ud835\udc39 = \ud835\udefb\ud835\udc53 
\uf0a8 E seja em curva \ud835\udc36 de 
classe \u22011 ligando os 
pontos \ud835\udc43 a \ud835\udc44. 
\uf0a8 Então: 
\uf0a8 \ud835\udc39\ud835\udc36 = \ud835\udc53 \ud835\udc44 \u2212 \ud835\udc53(\ud835\udc43) 
 
\uf0a8 Em particular se a 
curva for fechada: 
\uf0a8 \ud835\udc39\ud835\udc36 = 0 
Campo Gradiente 
Exemplo: 
\uf0a8 Calcule o \ud835\udc39\ud835\udc36 , 
onde o campo de 
vetores é 
\ud835\udc39 \ud835\udc65, \ud835\udc66 = 2\ud835\udc65, 2\ud835\udc66 
e \ud835\udc36 é o circulo 
unitário de raio 1, 
do ponto (0,1) a 
(-1,0). 
Obrigado pela atenção!!