Mecânica dos Fluídos - Problemas Resolvidos e Propostos
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Mecânica dos Fluídos - Problemas Resolvidos e Propostos


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nula: 0=\u2202
\u2202
t
V
r
 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=
rrrr
 
 
0=
\u2202
\u2202
x
V
u
r
 (escoamento bidimensional com u=0) 
 
kyzzyjyzy
y
V
v \u2c6)6)(4(\u2c6)3)(4( 323 \u2212\u2212+\u2212\u2212\u2212=
\u2202
\u2202
r
 
 
kyzy
z
V
w \u2c6)3)(3( 22=\u2202
\u2202 r 
 
 
( ) ( ) kzykyzzyjzyy
Dt
VD
\u2c6)9(\u2c6246\u2c6123 42425 ++\u2212+=
r
 
 
 
( ) ( )kyzzyjzyy
Dt
VD
\u2c6243\u2c6123 2425 +++=
r
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-40 
 
 
( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
 
Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 
 
0=
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=\u2207
z
w
y
v
x
uV
r 
 
 0=
\u2202
\u2202
x
u 23y
y
v \u2212=\u2202
\u2202 23y
z
w =
\u2202
\u2202 
 
Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 
 
033 22 =+\u2212=
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=\u2207 yy
z
w
y
vV
r 
 
(E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV \u2c63\u2c64 23 +\u2212\u2212=r 
 
Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). 
 
kzywjzyvV \u2c6),(\u2c6),( +=r P 
 
Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: 
 
 
k
y
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
\u2c6
2
1
\u2c6
2
1
\u2c6
2
1 \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202+\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=\u3c9v 
 
 
i
z
v
y
w
\u2c6
2
1 \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=\u3c9v 
 
yz
y
w 6=
\u2202
\u2202 
 
4\u2212=
\u2202
\u2202
z
v 
 
Desta forma o escoamento é rotacional já que 0\u2260\u3c9v 
 
ixz \u2c6)46(
2
1
\u2212=\u3c9
v 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-41 
 
Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: 
 
jyxiyxV \u2c6)8,21,298,0(\u2c6)65,08,21( \u2212\u2212\u2212+++=r 
 
(d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
(e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. 
(f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-42 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS \u2013 Cinemática (Cap.4) 
 
[1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: kji xzytxttzyxV \u2c6\u2c62\u2c6 32),,,( +\u2212=
r . Determinar: 
(a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. 
(b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. 
( c ) Aceleração total da partícula 
(d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) 
(e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). 
 
 
[2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji tyxztV \u2c62\u2c6\u2c63 ++=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
 
[3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji zxxyzzyV \u2c63\u2c62\u2c622 32 ++=
r 
(a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional 
(b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. 
 
[4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kzji etaytaxV \u2c62\u2c623\u2c62
2
+\u2212=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
[5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k
y
zxj
y
zxi
y
zxV \u2c63\u2c62\u2c6 2
223
2
3
\u2212\u2212=
r 
 Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. 
 
[6] Dado o campo de velocidades kji zzxyxV \u2c62\u2c6\u2c62 12)44(6 +\u2212\u2212=
r Determine o campo de velocidades angular 
ou rotacional. 
 
[7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. 
 
(a) xu \u2212= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4\u2212= 
 
(d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv \u2212= 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA 
 
(( CCaapp.. 55 )) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-44 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS \u2013 Conservação da Massa (Cap.5) 
 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque 
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes 
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é 
dada pela equação: 
 
i
R
rUV \u2c61
2
max \uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212=r 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o 
fluxo de massa da tubulação. 
 
 
 
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para 
escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é 
igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as 
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção 
(2). 
 
 
 
 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-45 
 
 
Solução Exemplo 1 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de 
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa 
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa 
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
Equação Básica 0=\u222b+\u222b \u2200 scvc AdVdt
rr\u3c1\u3c1\u2202
\u2202 
Hipóteses: 
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem 
dependentes do tempo. 
(2) Escoamento uniforme na seção (1). 
 
 Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar \u3c1 da integral do primeiro termo. 
( ) 0=\u222b+\u222b \u2200\uf8fe\uf8fd\uf8fc\uf8f3\uf8f2\uf8f1 sc AdVvcdt
rr\u3c1\u3c1\u2202
\u2202 
\u2022 Como \u2200=\u2200\u222b
vc
d 
0=\u222b+\u2200\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ed\uf8eb sc AdVt
rr\u3c1\u3c1\u2202
\u2202 
 
\u2022 O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). 
\u222b=\u222b 1Asc AdVAdV
rrrr
\u3c1\u3c1 
 
\u2022 Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto \u3c1VdA é positivo (+). 
 
\u2022 Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 
 
1111
AVAdV
A
\u3c1\u3c1 =\u222b rr 
 
( ) 0111 =+\u2200\u2202
\u2202 AV
t
\u3c1\u3c1 
\u2022 Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: 
 
( ) 111 AVt \u3c1\u3c1 \u2212=\u2202
\u2202\u2200 
 
( )
\u2200
\u2212=
\u2202
\u2202 111 AV
t
\u3c1\u3c1 
 
( )
( )
( ) smkgm
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
31113,6
33
2
3
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212=
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u2202
\u2202 \u3c1 
\u2022 Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-46 
Solução Exemplo 2 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: 
 
i
R
rUV \u2c61
2
max \uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212=r 
 
Onde r é a distancia