Mecânica dos Fluídos - Básico - PUC
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Mecânica dos Fluídos - Básico - PUC


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Fundo 
z 
\u3c4c (+) 
\u3c4f (-) 
z 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-16 
4.8 Campo de Pressão num Fluido Estático 
 
Considera-se um elemento de fluido diferencial (Fig 4.12) de massa dm=\u3c1d\u2200 com volume d\u2200 = 
dxdy dz. No volume de controle podem agir forças de superfície e forças de campo. No fluido 
estático a força de campo que atua é a força de campo gravitacional definida por 
 
\u2200= dgFd B \u3c1
r
r
 
 
As tensões de cisalhamento não podem estar presentes num fluido estático portanto as únicas forças 
de superfície devem-se às forças de pressão. 
 
ApdFd S
vr
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12 Elemento de fluido para análise de pressão 
 
Analisando o plano x-y do elemento de fluido podemos determinar o valor da pressão nas fases 
direita e esquerda e superior e inferior: 
 
Na face direita: Na face esquerda: 
 
2
dx
x
pppd \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= 
 
2
dx
x
pppe \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= 
 
 
Na face superior: Na face inferior: 
 
2
dy
y
ppps \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= 
 
2
dy
y
pppi \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
x 
y 
dx 
dy 
dz 
dx 
dx/2 
P 
Face direita Face esquerda 
dPep 
x 
ps 
pi 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-17 
no plano x-z (Fig.4.13) podemos determinar as pressões agindo nas face da cara e no fundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AdpFd totalSp
vr
= 
 
a pressão total é o somatório das pressões agindo em todas as fases do V.C, desta forma: 
 
kdxdyppjdxdzppidydzppFd
kdAppjdAppidAppFd
kdApkdApjdApjdApidApidApFd
cfsideSp
zcfysixdeSp
zfzcyiysxdxeSp
\u2c6)(\u2c6)(\u2c6)(
\u2c6)(\u2c6)(\u2c6)(
\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6
\u2212+\u2212+\u2212=
\u2212+\u2212+\u2212=
+\u2212+\u2212\u2212=
r
r
r
 
 
os termos de pressão podem ser agrupados na forma: 
 
( ) dx
x
ppp de \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212=\u2212 
( ) dy
y
ppp si \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212=\u2212 
( ) dz
z
ppp cf \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212=\u2212 
 
 
Substituindo as pressões e sabendo que d\u2200 = dxdy dz, 
 
 
No lado da cara: 
 
2
dz
z
pppc \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= 
 
Na lado do fundo: 
 
2
dz
z
ppp f \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= 
 
 
 
 
 Figura 4.13 Pressões no lado da cara e fundo 
x 
dz 
dz/2 
p 
Cara 
Fundo 
z 
pc (-) 
pf (+) 
z 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-18 
 
 
 
\u2200\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u2212=
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u2212=
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212=
dk
z
pj
y
pi
x
pFd
dxdydzk
z
pj
y
pi
x
pFd
kdzdxdy
z
pjdydxdz
y
pidxdydz
x
pFd
Sp
Sp
Sp
\u2c6\u2c6\u2c6
\u2c6\u2c6\u2c6
\u2c6\u2c6\u2c6
r
r
r
 
 
o termo entre parênteses é definido como gradiente de pressão escrito como grad p ou \u2207p 
 
 pk
z
j
y
i
x
k
z
pj
y
pi
x
pppgrad \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\u2207\u2261 \u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 
 
desta forma a força de superfície para o fluido estático pode ser dada como: 
 
 pdxdydzpdFd Sp \u2212\u2207=\u2200\u2207\u2212=
r
 
 
 
A força total é a soma da força de campo e força de superfície: 
 
\u2200+\u2207\u2212=\u2200+\u2200\u2207\u2212=+= dgpdgpdFdFdFd BS )()(
rr
rrr
\u3c1\u3c1 
 
ou por unidade de volume: 
 
)( gp
d
Fd r
r
\u3c1+\u2207\u2212=
\u2200
 
 
Para um fluido em movimento \u2200== dadmaFd \u3c1vv
r
 para um fluido estático (a=0) 0=Fd
r
, desta 
forma: 
 
 
 0=+\u2207\u2212 gp r\u3c1 Equação Básica de Estática dos Fluidos 
 
 
Estes termos representam: 
 
{ }p\u2207\u2212 Força de pressão total por unidade de volume num ponto 
 
 
 
{ }gr\u3c1 Força de campo por unidade de unidade de volume num ponto 
 
 
Esta equação vetorial apresenta 3 componentes que devem ser satisfeitas individualmente. 
 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-19 
 
4.9 Variação da Pressão \u2013 Fluidos Estáticos 
 
Para um fluido estático a equação vetorial que representa o campo de pressões é dada por: 
 
 
0=+\u2207\u2212 gp r\u3c1 
 
 
{ }p\u2207\u2212 : força de pressão total por unidade de volume num ponto. 
{ } gr\u3c1 : força de campo por unidade de volume num ponto. 
 
Esta equação vetorial apresenta 3 componentes que devem ser satisfeitas individualmente. 
 
0
0
0
=+
\u2202
\u2202\u2212
=+
\u2202
\u2202\u2212
=+
\u2202
\u2202\u2212
z
y
x
g
z
p
g
y
p
g
x
p
\u3c1
\u3c1
\u3c1
 
 
Alinhando o eixo vertical com o eixo z (Fig.4.14) , 
 
gggg zyx \u2212=== 0 0 (aponta na direção contrária do eixo z) 
 
Assim, a pressão é independente das coordenadas x e y. 
 
g
z
p \u3c1\u2212=
\u2202
\u2202
 
 
como a pressão é função de uma única variável, utilizamos a derivada total no lugar da parcial 
 
 g
dz
dp \u3c1\u2212= 
 
 
Aplicando tal equação entre dois pontos tal como mostra a Fig. 4.13a 
 
\u222b\u222b \u2212= 2
1
2
1
z
z
p
p
gdzdp \u3c1 
 
considerando fluido incompressível. 
 
( )1212 zzgpp \u2212\u2212=\u2212 \u3c1 
 
chamando h=z2 \u2013 z1 
 
ghpp \u3c1\u2212=\u2212 12 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.14 Variação da pressão num fluido estático 
 
Explicitando a pressão p1 
 
ghpp \u3c1+= 21 
 
Considerando que p2 seja a pressão na superfície livre denominada po, podemos avaliar a pressão p 
(Fig 4.14b) em qualquer ponto abaixo desta superfície 
 
ghpp \u3c1+= 0 
 
esta equação mostra que a pressão aumenta conforme aumenta a profundidade da coluna de fluido. 
 
Geralmente em fluidos estáticos a pressão na superfície livre po é a pressão atmosférica local 
(patm), medida com o instrumento chamado barômetro. 
 
A diferença de pressão 
 
ghpp atm =\u2212 
 
Permite determinar a pressão manométrica (pman) que é a diferença da pressão no ponto 
considerado e pressão atmosférica local. Esta pode ser determinada medindo a altura h. Os 
instrumentos que medem tal pressão denominam-se manômetros. 
 
ghppP atmman =\u2212= )( 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
z 
\u2207 
2 
1 
h=(z2 \u2013 z1) 
p0 
p 
p2 
p1 
\u2207 
x 
y 
Superfície 
livre 
(a) (b) 
h 
z 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-21 
4.10 Análise das Forças Superficiais Agindo num Elemento de Fluido 
 
Para determinar a quantidade de movimento na forma diferencial é necessário avaliar o campo de 
forças agindo num elemento de fluido. A seguir deduziremos as forças que agem na direção-x. O 
mesmo procedimento pode ser aplicado para determinar as forças que agem em y e z. 
 
Considera-se que as tensões num elemento de fluido cujo volume de controle é um cubo diferencial 
com massa dm e volume d\u2200=dxdydz. No centro do cubo atuam tensões no sentido positivo da 
direção x. Estas tensões são \u3c3xx \u3c4yz \u3c4zx. 
 
As tensões superficiais avaliadas nas faces do elemento diferencial são obtidas utilizando o 
desenvolvimento em serie de Taylor. Estas já foram deduzidas as quais são resumidas a seguir: 
 
 
Resumo: Tensões agindo nas fases do elemento de fluido \u2013 Direção -x 
 
Face direita: 
2
dx
x
xx
xxd \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c3\u3c3\u3c3 
Face esquerda: 
2
dx
x
xx
xxe \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c3\u3c3\u3c3 
 
Face superior: 
2
dy
y
yx
yxS \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Face inferior: 
2
dy
y
yx
yxi \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Face da cara: 
2
dz
z
zx
zxc \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Face do fundo: