Mecânica dos Fluídos - Básico - PUC
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Mecânica dos Fluídos - Básico - PUC


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a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de 
zero na linha de centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na parede 
como \u3c4w, e sabendo que a variação da pressão ao longo do tubo é constante 
 
x
pR
Rrrxw \u2202
\u2202\u2212=\u2212=
= 2
\u3c4\u3c4 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 7-8 
A expressão fica negativa (-) já que se considera a tensão de cisalhamento na parede com a mesma 
magnitude da tensão do fluido, porém agindo em sentido contrário. 
 
Como ( ) cte
L
P
L
pp
x
p =\u2206\u2212=\u2212=
\u2202
\u2202 12
 
 
 
Figura 7.7 Perda de presão numa tubulação 
 
Substituída na equação anterior obtém-se a equação que relaciona a tensão de cisalhamento na 
parede com a queda de pressão em tubos válida para escoamento laminar ou turbulento. 
 
L
pR
w
\u2206=
2
\u3c4 ou 
L
pD
w
\u2206=
4
\u3c4 
 
A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na figura abaixo. É representada como uma 
função linear do tipo crrx =\u3c4 onde a constante c=\u2206P/2L. 
 
 
Figura 7.8 Perfil de velocidade e de tensão de cisalhamento em tubulações 
 
Desta forma podemos relacionar a queda de pressão com a tensão de cisalhamento na parede 
 
wD
Lp \u3c44=\u2206 
 
Uma pequena tensão de cisalhamento na parede pode produzir uma grande diferença de pressão 
quando a tubulação for muito longa (L/D >> 1). 
 
 
Obs: As equações da tensão de cisalhamento obtidas aqui são válidas para escoamento laminar e 
turbulento já que a dedução foi realizada independente destes regimes de escoamento. 
 
Capítulo 7: Escoamento Viscoso Interno 
 
Jorge A. Villar Alé 7-9 
7.4 Escoamento Laminar em Tubulações 
 
Perfil de Velocidades 
 
No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por: 
 
dr
du
rx µ\u3c4 = 
 
Explicitando desta equação a velocidade: 
 
drdu rx\u3c4µ
1
= 
 
substituindo o termo da tensão de cisalhamento: r
L
P
rx \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2206=
2
1
\u3c4 
 
rdr
L
Pdu \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2206=
2
11
µ
 
 
integrando 
 
\u222b\u222b \uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ed\uf8eb \u2206=
R
r
rdr
L
Pdu
2
11
µ
 
 
R
r
r
L
P
u \uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1\u2206=
22
11 2
µ
 
 
{ }22
4
1
rR
L
P
u \u2212\u2206=
µ
 
 
ou também: 
 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd\uf8fc\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2\uf8f1 \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212\u2206=
22
1
4 R
r
L
PR
u
µ
 
 
Esta equação representa o perfil de velocidades para escoamento laminar em tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 7-10 
Vazão Volumétrica 
 
A vazão volumétrica ou simplesmente vazão no elemento de fluido da Fig. 7.2 é dada por: 
 
rdrudQ pi2= 
 
\u222b\u222b = R rdrudQ
0
2pi 
 
substituindo a velocidade u=u(r) pelo termo deduzido anteriormente: { }22
4
1
rR
L
P
u \u2212\u2206=
µ
 
 
{ } \u222b\u2212\u2206= R rdrrRLPQ 022 24 piµ 
 
{ }\u222b \u2212\u2206= R rdrrRLPQ 0 2224 piµ 
 
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212\u2206=
42
2
4
44 RR
L
PQ pi
µ
 
 
4
2
4
4R
L
PQ pi
µ
\u2206= 
 
4
8
R
L
PQ
µ
pi\u2206= 
 
ou em função do diâmetro: 
 
L
PDQ
µ
pi
128
4\u2206= (Equação de Hagen - Poussiulle) 
 
Velocidade Média 
 
2
4
D
Q
A
QV
pi
== 
 
Substituindo a expressão de Hagen-Poussiulle: 
 
L
PD
D
V
µ
pi
pi 128
4 4
2
\u2206= 
 
L
PDV
µ32
2\u2206= ou também 
L
PRV
µ8
2\u2206= 
Capítulo 7: Escoamento Viscoso Interno 
 
Jorge A. Villar Alé 7-11 
Velocidade Máxima 
 
Sabemos que o perfil de velocidades num escoamento laminar é dada por: 
 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd\uf8fc\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2\uf8f1 \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212\u2206=
2
2 1
4 R
rR
L
P
u
µ
 
 
A velocidade máxima ocorre na linha central do tubo, isto é para r=0. 
 
L
PR
u
µ4
2
max
\u2206= 
 
 
Relação entre Velociade Máxima e Velocidade Média: 
 
2
4
8
2
2
max =
\u2206
\u2206
=
L
PR
L
PR
V
u
µ
µ
 
 
Vu 2max = (para escoamento Laminar) 
 
 
Perfil de Velocidades em Função da Velocidade Máxima 
 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd\uf8fc\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2\uf8f1 \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212\u2206=
2
2 1
4 R
rR
L
P
u
µ
 
 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd\uf8fc\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2\uf8f1 \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\u2212=
2
max 1 R
r
uu 
 
O perfil de velocidades num escoamento laminar é parabólico 
 
Figura 7.9 Perfil de velocidade para escoamento laminar numa tubulação 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 7-12 
7.5 Escoamento Turbulento em Tubulações 
 
A natureza do escoamento nos tubos pode ser laminar ou turbulento. Tais regimes são dependentes 
do valor do número de Reynolds. 
 
µ
\u3c1 DV
=Re 
 
Onde \u3c1 é a massa específica do fluido (kg/m3), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o 
diâmetro interno da tubulação (m) e µ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s). 
 
Fluido Laminar: 
O fluido escoa em camadas (lâminas) não existe mistura macroscópica das camadas adjacentes. 
Escoamento Turbulento: 
Manifestam-se pequenas flutuações da velocidade de alta freqüência superpostas ao movimento 
predominante. 
 
Medindo a componente da velocidade x num local fixo da tubulação podemos observar na Fig.7.6 o 
comportamento da velocidade para o caso laminar e turbulento. No escoamento turbulento a 
velocidade instantânea (u) é tão uniforme que sua velocidade é a mesma 
 
uu = 
 
Observa-se que no caso do escoamento turbulento existe uma componente aleatória de flutuação da 
velocidade instantânea (u´). Desta forma a velocidade instantânea é dada pela soma algébrica 
velocidade média mais a componente de flutuação: 
 
´uuu += 
 
 
Figura 7.10 Variação da velocidade num escoamento laminar e turbulento unidimensional 
 
 
No caso do escoamento real tridimensional a natureza do escoamento é mais complicada já que a 
velocidade manifesta três componentes de flutuação, sendo a velocidade instantânea dada como: 
 
 
´
´
´
www
vvv
uuu
+=
+=
+=
 
Capítulo 7: Escoamento Viscoso Interno 
 
Jorge A. Villar Alé 7-13 
7.5.1 Tensão de cisalhamento 
 
No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por: 
 
dy
du
yx µ\u3c4 = 
 
Conhecido o perfil de velocidades, podemos através da sua derivada (du/dy), determinar as tensões 
de cisalhamento no escoamento. 
 
Para escoamento turbulento não se tem uma relação direta como no caso do escoamento laminar, 
mesmo com velocidade média unidimensional. As flutuações aleatórias da velocidade 
tridimensional u´, v´, w´ transportam quantidade de movimento aumentando a tensão de 
cisalhamento efetiva. Desta forma não existe uma relação universal entre o campo de tensões e da 
velocidade no caso do escoamento turbulento. 
 
No caso do escoamento turbulento para determinar as tensões de cisalhamento utilizam-se teorias 
semi-empíricas e de dados experimentais. Neste caso a tensão de cisalhamento se expressa como 
sendo formada por uma componente laminar e outra turbulenta. 
 
turbulentoarla \u3c4\u3c4\u3c4 += min 
 
Onde: 
dy
ud
lam µ\u3c4 = ´´vuturb \u3c1\u3c4 \u2212= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 7-14 
7.5.2 Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento 
 
(a) Lei Exponencial Empírica 
 
Num escoamento turbulento o perfil de velocidades não pode ser deduzido da maneira como foi 
realizado para o escoamento laminar, devido a que não podemos utilizar a lei de Newton para 
relacionar a tensão de cisalhamento com o gradiente de velocidades. 
 
Figura 7.11 Perfil de Velocidades num escoamento turbulento 
 
Num escoamento turbulento adotam-se perfis de velocidades obtidos de relações empíricas. Por 
exemplo, a lei exponencial empírica considera um perfil do tipo: 
n
R
r
uru
/1
max 1)( \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212= 
 
Tal equação não pode ser aplicada próxima à parede (R=0)