Gabarito 2 prova FIS194 2014/1

Prévia do material em texto

Departamento de Física - Universidade Federal de Viçosa
2
a
Prova de Introdução ao Eletromagnetismo - FIS 194 (2014/1) Marque com um �×� sua turma
Nome: Matr.: � T1 (quinta-feira)
� T2 (quarta-feira)
Questão 1 Um esfera condutora de raio R possui um carga total Q. Assumindo V = 0 no centro da esfera,
determine:
a) [3 pontos] O potencial elétrico em todos os pontos dentro da esfera.
b) [5 pontos] O potencial elétrico em todos os pontos fora da esfera.
c) [2 pontos] O potencial elétrico a uma distância infinita da esfera.
Solução:
a) O potencial dentro de condutores são sempre constantes. Portanto, V = 0 para r < R.
b) Fora da esfera o campo elétrico é dado por
~E = Q4pi�0 rˆ pois as cargas se distribuem
uniformemente na superfície da esfera e, portanto, o campo elétrico é o mesmo de
uma carga total Q localizada na origem. Considerando o caminho mostrado na figura
temos que
~E · d~s = Edr. Calculando o potencial teremos:
V = −
∫ f
i
~E · d~s = −
∫ r
R
Q
4pi�0r′2
dr′ =
Q
4pi�0r′
∣∣∣∣r
R
=
Q
4pi�0
(
1
r
− 1
R
)
Solução alternativa: Assumindo V = 0 no infinito teríamos a solução conhecida
V (r) = q4pi�0r . Na esfera o potencial seria V =
q
4pi�0R
. Assim para fazer a potencial
zero na esfera, basta subtrair o valor V = q4pi�0R de V (r) chegando à mesma solução
anterior.
c) Tomando o limite r →∞ na resposta do item b) temos
V = − Q
4pi�0R
Questão 2 Uma barra plástica foi moldada para formar um círculo de raio
R. Ela possui uma carga positiva Q1 = +2Q uniformemente distribuída ao
longo de um quarto de sua circunferência e uma carga negativa Q2 = −3Q
uniformemente distribuída ao longo do resto da circunferência (Vide figura ao
lado). Com V = 0 no infinito, qual o potencial elétrico:
a) [5 pontos] No centro do círculo (ponto C).
b) [5 pontos] No ponto que está sobre o eixo central do círculo a uma distância
D do centro (ponto P).
Solução: a) Todas as cargas estão à mesma distância R do ponto C. Então o potencial gerado por uma carga
dq será dV = dq4pi�0R . Somando sobre toda a circunferência encontramos:
V =
∫
dq
4pi�0R
=
1
4pi�0R
∫
dq =
Q1 +Q2
4pi�0R
=
−Q
4pi�0R
b) Todas as cargas estão à mesma distância do ponto P (teorema de Pitágoras) dada por
√
D2 +R2. Portanto,
o potencial gerado por cada elemento de carga dq será dV = dq
4pi�0
√
D2+R2
. Novamente somando sobre todas as
cargas encontramos:
V =
∫
dq
4pi�0
√
D2 +R2
=
1
4pi�0
√
D2 +R2
∫
dq =
Q1 +Q2
4pi�0
√
D2 +R2
=
−Q
4pi�0
√
D2 +R2
2
Questão 3 Um fio condutor possui seção reta quadrada de lado l =
1 mm e comprimento L = 50 cm. A corrente em função da diferença
de potencial é mostrada no gráfico ao lado (note que unidades do SI são
adotas no gráfico).
a) [6 pontos] Determine a resistividade do material para o voltagens
inferiores a 6 V.
b) [4 pontos] Para todo o intervalo de voltagem mostrado no gráfico
podemos afirmar que este condutor obedece a lei de Ohm? Jusfique sua
resposta.
0 2 4 6 8 10
voltagem (V)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
co
rr
en
te
 (A
)
Solução: a) Para V < 6 volts a corrente é proporcional à voltagem e, portanto, a resistência R = V/i é
constante. Escolhendo um ponto qualquer neste intervalo podemos calcular R. Por exemplo, para V = 4 Volts
temos i = 0.04 A. Assim:
R =
V
i
=
4
0.04
= 100 Ω.
Entretanto,
R = ρ
L
A
⇒ ρ = AR
L
Calculando a área da seção reta A = l2 = (0.001)2 = 10−6 m2 e L = 0.5 m e substituindo na equação acima
encontramos
ρ =
10−6 · 100
0.5
= 2× 10−4 Ω ·m
b) Não, pois para V > 7 volts a corrente não é proporcional a voltagem.
3
Questão 4 No circuito ao lado R1 = R, R2 = 2R e a voltagem ε
da bateria ideal são conhecidos.
a) [5 pontos] Determine o sentido e o valor da corrente i1.
b) [5 pontos] Qual a energia total dissipada pelo circuito durante
um intervalo de tempo t.
Solução:
a) As 3 resistências R2 estão em paralelo e possuem uma resistência equivalente
dada por
1
Req
= 3× 1
2R
⇒ Req = 2R
3
.
O circuito acima é equivalente à malha ao lado. Varrendo a malha da esquerda
no sentido anti-horário temos:
ε− iiR− i1Req = 0⇒ i1 = ε
Req +R
=
ε
R+ 2R/3
=
3ε
5R
.
O sentido da corrente é anti-horário.
b) A ddp nas 3 resistências R2 é ε− iiR = ε− 3ε5RR = 2ε/5. A corrente em cada resistência será dada por
V = Ri⇒ 2ε
5
= (2R)i2 ⇒ i2 = ε
5R
.
A potência dissipada em cada resistência será
P = Ri2 ⇒ P2 = (2R)
( ε
5R
)2
=
2ε2
25R
.
A Energia dissipada em cada resistor é E2 = P2 × t. Portanto, a energia total será:
Etot = 3× E2 = 6ε
2t
25R
4