UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR -   Reginaldo J. Santos
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UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR - Reginaldo J. Santos


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tal que BA = In.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
76 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
(b) A matriz A e´ equivalente por linhas a` matriz identidade In.
(c) A matriz A e´ invert\u131´vel.
Demonstrac¸a\u2dco. (a)\u21d2(b) Se BA = In, enta\u2dco o sistema A X = 0¯ tem somente a
soluc¸a\u2dco trivial, pois X = InX = BAX = B 0¯ = 0¯. Isto implica que a matriz
A e´ equivalente por linhas a` matriz identidade In, pois caso contra´rio a forma
escalonada reduzida de A teria uma linha nula (Proposic¸a\u2dco 1.5 na pa´gina 47).
(b)\u21d2(c) A matriz A ser equivalente por linhas a` In significa, pelo Teorema 1.8 na
pa´gina 54, que existem matrizes elementares E1, . . . , Ek, tais que
Ek . . . E1 A = In (2.2)
(E\u221211 . . . E
\u22121
k )Ek . . . E1 A = E
\u22121
1 . . . E
\u22121
k
A = E\u221211 . . . E
\u22121
k . (2.3)
Aqui, usamos o fato de que as matrizes elementares sa\u2dco invert\u131´veis (Proposic¸a\u2dco
2.4). Portanto, A e´ invert\u131´vel como o produto de matrizes invert\u131´veis.
(c)\u21d2(a) Claramente.
\ufffd
Se A e´ invert\u131´vel, enta\u2dco multiplicando-se ambos os membros de (2.2) a` direita por
A\u22121 obtemos
Ek . . . E1 In = A\u22121.
Assim, a mesma seque\u2c6ncia de operac¸o\u2dces elementares que transforma a matriz A na
matriz identidade In transforma tambe´m In em A\u22121.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
2.1 A Inversa de uma Matriz 77
A demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.3 na pa´gina 74, agora, e´ uma simples conseque\u2c6ncia
do Teorema anterior.
Demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.3. (a) Vamos mostrar que se BA = In, enta\u2dco
A e´ invert\u131´vel e B = A\u22121. Se BA = In, enta\u2dco pelo Teorema 2.5, A e´ invert\u131´vel e
B = BIn = BAA\u22121 = In A\u22121 = A\u22121. Logo, AB = BA = In.
(b) Se AB = In, enta\u2dco pelo item anterior B e´ invert\u131´vel e B\u22121 = A. Portanto,
BA = AB = In.
\ufffd
Segue da demonstrac¸a\u2dco, do Teorema 2.5 (equac¸a\u2dco (2.3)) o resultado seguinte.
Teorema 2.6. Uma matriz A e´ invert\u131´vel se, e somente se, ela e´ um produto de matrizes elementares.
Exemplo 2.3. Vamos escrever a matriz A do Exemplo 2.5 na pa´gina 82 como o pro-
duto de matrizes elementares. Quando encontramos a inversa da matriz A, apli-
camos uma seque\u2c6ncia de operac¸o\u2dces elementares em [ A | I3 ] ate´ que encontramos
a matriz [ I3 | A\u22121 ]. Como as operac¸o\u2dces sa\u2dco por linha, esta mesma seque\u2c6ncia de
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78 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
operac¸o\u2dces elementares transforma A em In. Isto corresponde a multiplicar a matriz
A =
\uf8ee\uf8f0 1 1 12 1 4
2 3 5
\uf8f9\uf8fb a` esquerda pelas matrizes elementares
E1,2(\u22122) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 0\u22122 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb , E1,3(\u22122) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
\u22122 0 1
\uf8f9\uf8fb ,
E2(\u22121) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 \u22121 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb , E2,1(\u22121) =
\uf8ee\uf8f0 1 \u22121 00 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb , E2,3(\u22121) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
0 \u22121 1
\uf8f9\uf8fb
E3( 15 ) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
0 0 15
\uf8f9\uf8fb , E3,1(\u22123) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u221230 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb , E3,2(2) =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 2
0 0 1
\uf8f9\uf8fb ,
ou seja,
E3,2(2) E3,1(\u22123) E3( 15 ) E2,3(\u22121) E2,1(\u22121) E2(\u22121) E1,3(\u22122) E1,2(\u22122) A = I3.
Multiplicando a` esquerda pelas inversas das matrizes elementares correspondentes
obtemos
A = E1,2(2) E1,3(2) E2(\u22121) E2,1(1) E2,3(1) E3(5) E3,1(3) E3,2(\u22122).
2.1.3 Me´todo para Inversa\u2dco de Matrizes
O exemplo seguinte mostra, para matrizes 2× 2, na\u2dco somente uma forma de desco-
brir se uma matriz A tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso
em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz [A | I2] e encontramos a sua forma
escalonada reduzida [R | S]. Se R = I2, enta\u2dco a matriz A e´ invert\u131´vel e a inversa
A\u22121 = S. Caso contra´rio, a matriz A na\u2dco e´ invert\u131´vel.
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2.1 A Inversa de uma Matriz 79
Exemplo 2.4. Seja A =
[
a b
c d
]
. Devemos procurar uma matriz B =
[
x y
z w
]
tal
que AB = I2, ou seja, \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
ax + bz = 1
cx + dz = 0
ay + bw = 0
cy + dw = 1
Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a
mesma matriz, que e´ a matriz A. Podemos resolve\u2c6-los simultaneamente. Para isto,
basta escalonarmos a matriz aumentada[
a b 1 0
c d 0 1
]
= [ A | I2 ].
Os dois sistemas te\u2c6m soluc¸a\u2dco u´nica se, e somente se, a forma escalonada reduzida
da matriz [ A | I2 ] for da forma [ I2 | S ] =
[
1 0 s t
0 1 u v
]
(verifique, observando o
que acontece se a forma escalonada reduzida da matriz A na\u2dco for igual a` I2). Neste
caso, x = s, z = u e y = t, w = v, ou seja, a matriz A possuira´ inversa,
A\u22121 = B = S =
[
s t
u v
]
.
Para os leitores da Subsec¸a\u2dco 2.1.2 o pro´ximo teorema e´ uma simples conseque\u2c6ncia do
Teorema 2.5 na pa´gina 75. Entretanto a demonstrac¸a\u2dco que daremos a seguir fornece
um me´todo para encontrar a inversa de uma matriz, se ela existir.
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80 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Teorema 2.7. Uma matriz A, n× n, e´ invert\u131´vel se, e somente se, A e´ equivalente por linhas a` matriz identidade In.
Demonstrac¸a\u2dco. Pelo Teorema 2.3 na pa´gina 74, para verificarmos se uma matriz A,
n× n, e´ invert\u131´vel, basta verificarmos se existe uma matriz B, tal que
A B = In . (2.4)
Vamos denotar as colunas de B por X1, X2, . . . , Xn, ou seja, B = [X1 . . . Xn ], em que
X1 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
x11
x21
...
xn1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb , X2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
x12
x22
...
xn2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb , . . . , Xn =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
x1n
x2n
...
xnn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
e as colunas da matriz identidade In, por E1, E2, . . . , En, ou seja, In = [ E1 . . . En ], em
que
E1 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
0
...
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb , E2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
1
...
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb , . . . , En =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
0
...
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Assim, a equac¸a\u2dco (2.4) pode ser escrita como
A [X1 . . . Xn ] = [ AX1 . . . AXn ] = [ E1 . . . En ],
pois a j-e´sima coluna do produto AB e´ igual a` A vezes a j-e´sima coluna da matriz B
(Exerc\u131´cio 18 na pa´gina 25). Analisando coluna a coluna a equac¸a\u2dco anterior vemos
que encontrar B e´ equivalente a resolver n sistemas lineares
A Xj = Ej para j = 1 . . . , n.
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2.1 A Inversa de uma Matriz 81
Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o me´todo de Gauss-Jordan. Para
isso, formar\u131´amos as matrizes aumentadas [A | E1], [A | E2], . . . , [A | En]. Entre-
tanto, como as matrizes dos sistemas sa\u2dco todas iguais a` A, podemos resolver todos
os sistemas simultaneamente (como no Exerc\u131´cio 1.2.4 na pa´gina 58) formando a ma-
triz n× 2n
[ A | E1 E2 . . . En ] = [ A | In ].
Transformando [ A | In ] na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por
[ R | S ], vamos chegar a duas situac¸o\u2dces poss\u131´veis: ou a matriz R e´ a matriz identi-
dade, ou na\u2dco e´.
\u2022 Se R = In, enta\u2dco a forma escalonada reduzida da matriz [ A | In ] e´ da
forma [ In | S ]. Se escrevemos a matriz S em termos das suas colunas
S = [ S1 S2 . . . Sn ], enta\u2dco as soluc¸o\u2dces dos sistemas A Xj = Ej sa\u2dco Xj = Sj e
assim B = S e´ tal que A B = In e pelo Teorema 2.3 na pa´gina 74 A e´ invert\u131´vel.
\u2022 Se R 6= In, enta\u2dco a matriz A na\u2dco e´ equivalente por linhas a` matriz identidade
In. Enta\u2dco, pela Proposic¸a\u2dco 1.5 na pa´gina 47 a matriz R tem uma linha nula. O
que implica que cada um dos sistemas A Xj = Ej ou na\u2dco tem soluc¸a\u2dco u´nica ou
na\u2dco tem soluc¸a\u2dco. Isto implica que a matriz A na\u2dco tem inversa, pois as colunas
da (u´nica) inversa seriam Xj, para j = 1, . . . n. \ufffd
Observac¸a\u2dco. Da demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.7 obtemos na\u2dco somente uma forma de descobrir se uma matriz A
tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz
[A | In] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [R | S]. Se R = In, enta\u2dco a matriz A e´ invert\u131´vel e a
inversa A\u22121 = S. Caso contra´rio, a matriz A na\u2dco e´ invert\u131´vel. Vejamos os exemplos seguintes.
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82 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.5. Vamos encontrar, se existir, a inversa de
A =
\uf8ee\uf8f0 1 1 12 1 4
2 3 5
\uf8f9\uf8fb
1a. eliminac¸a\u2dco:
\u22122×1a. linha + 2a.
Tiago
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Obrigado pelo material de Cálculo III , Geometria e Algebra!
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