UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR -   Reginaldo J. Santos
615 pág.

UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR - Reginaldo J. Santos


DisciplinaGeometria Analítica15.174 materiais388.587 seguidores
Pré-visualização50 páginas
Se uma matriz quadrada e´ tal que A2 = A\u22121, enta\u2dco vamos mostrar
que det(A) = 1. Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade
acima, e usando novamente o Teorema 2.14 e o resultado do exemplo anterior, obte-
mos
(det(A))2 =
1
det(A)
.
Logo, (det(A))3 = 1. Portanto, det(A) = 1.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
2.2 Determinantes 115
O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invert\u131´veis
e os sistemas lineares homoge\u2c6neos que possuem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial.
Teorema 2.15. Seja A uma matriz n× n.
(a) A matriz A e´ invert\u131´vel se, e somente se, det(A) 6= 0.
(b) O sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯ tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial se, e somente se, det(A) = 0.
Demonstrac¸a\u2dco. (a) Seja R a forma escalonada reduzida da matriz A.
A demonstrac¸a\u2dco deste item segue-se de tre\u2c6s observac¸o\u2dces:
\u2022 Pelo Teorema 2.13 na pa´gina 109, det(A) 6= 0 se, e somente se, det(R) 6= 0.
\u2022 Pela Proposic¸a\u2dco 1.5 da pa´gina 47, ou R = In ou a matriz R tem uma linha
nula. Assim, det(A) 6= 0 se, e somente se, R = In.
\u2022 Pelo Teorema 2.7 na pa´gina 80, R = In se, e somente se, A e´ invert\u131´vel.
(b) Pelo Teorema 2.8 na pa´gina 84, o sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯ tem soluc¸a\u2dco na\u2dco
trivial se, e somente se, a matriz A na\u2dco e´ invert\u131´vel. E pelo item anterior, a
matriz A e´ na\u2dco invert\u131´vel se, e somente se, det(A) = 0.
\ufffd
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
116 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.16. Considere a matriz
A =
\uf8ee\uf8f0 2 2 20 2 0
0 1 3
\uf8f9\uf8fb .
(a) Determinar os valores de \u3bb \u2208 R tais que existe X =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb 6= 0¯ que satisfaz
AX = \u3bbX.
(b) Para cada um dos valores de \u3bb encontrados no item anterior determinar todos
X =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb tais que AX = \u3bbX.
Soluc¸a\u2dco:
(a) Como a matriz identidade I3 e´ o elemento neutro do produto, enta\u2dco
AX = \u3bbX \u21d4 AX = \u3bbI3X.
Subtraindo-se \u3bbI3X obtemos
AX\u2212 \u3bbI3X = 0¯ \u21d4 (A\u2212 \u3bbI3)X = 0¯.
Agora, este sistema homoge\u2c6neo tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial (X 6= 0¯) se, e somente
se,
det(A\u2212 \u3bbI3) = 0.
Mas
det
\uf8ee\uf8f0 2\u2212 \u3bb 2 20 2\u2212 \u3bb 0
0 1 3\u2212 \u3bb
\uf8f9\uf8fb = \u2212(\u3bb\u2212 2)2(\u3bb\u2212 3) = 0
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
2.2 Determinantes 117
se, e somente se, \u3bb = 2 ou \u3bb = 3. Assim, somente para \u3bb = 2 e \u3bb = 3 existem
vetores X =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb 6= 0¯ tais que AX = \u3bbX.
(b) Para \u3bb = 2:
(A\u2212 2I3)X = 0¯ \u21d4
\uf8ee\uf8f0 0 2 20 0 0
0 1 1
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fb \u21d4 { 2y + 2z = 0y + z = 0
que tem soluc¸a\u2dco o conjunto dos X =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u3b2\u2212\u3b1
\u3b1
\uf8f9\uf8fb, para todos os valores
de \u3b1, \u3b2 \u2208 R.
Para \u3bb = 3:
(A\u2212 3I3)X = 0¯ \u21d4
\uf8ee\uf8f0 \u22121 2 20 \u22121 0
0 1 0
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fb \u21d4
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 \u2212x + 2y + 2z = 0\u2212y = 0y = 0
que tem soluc¸a\u2dco o conjunto dos X =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 2\u3b10
\u3b1
\uf8f9\uf8fb, para todos os valores
de \u3b1 \u2208 R.
Exemplo 2.17. A matriz A =
[
a b
c d
]
e´ invert\u131´vel se, e somente se,
det(A) = ad\u2212 bc 6= 0.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
118 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Neste caso a inversa de A e´ dada por
A\u22121 = 1
det(A)
[
d \u2212b
\u2212c a
]
,
como pode ser verificado multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz A. Isto
tambe´m foi mostrado no Exerc\u131´cio 2.1.10 na pa´gina 97.
Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma
matriz 2× 2: troca-se a posic¸a\u2dco dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal
dos outros elementos e divide-se todos os elementos pelo determinante de A.
Exemplo 2.18. Considere o sistema linear de 2 equac¸o\u2dces e 2 inco´gnitas{
ax + by = g
cx + dy = h
A matriz deste sistema e´
A =
[
a b
c d
]
.
Se det(A) 6= 0, enta\u2dco a soluc¸a\u2dco do sistema e´
X = A\u22121B = 1
det(A)
[
d \u2212b
\u2212c a
] [
g
h
]
=
1
det(A)
[
dg\u2212 bh
\u2212cg + ah
]
=
1
det(A)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0 det
[
g b
h d
]
det
[
a g
c h
]
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
ou seja,
x =
det
[
g b
h d
]
det
[
a b
c d
] , y = det
[
a g
c h
]
det
[
a b
c d
]
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
2.2 Determinantes 119
esta e´ a chamada Regra de Cramer para sistemas de 2 equac¸o\u2dces e 2 inco´gnitas.
Pode-se mostrar (ver por exemplo [32] ou [33]), que para sistemas de n equac¸o\u2dces e n
inco´gnitas e´ va´lida a Regra de Cramer dada a seguir.
Se o sistema linear AX = B e´ tal que a matriz A e´ n× n e invert\u131´vel, enta\u2dco a soluc¸a\u2dco
do sistema e´ dada por
x1 =
det(A1)
det(A)
, x2 =
det(A2)
det(A)
, . . . , xn =
det(An)
det(A)
,
em que Aj e´ a matriz que se obte´m de A substituindo-se a sua j-e´sima coluna por B,
para j = 1, . . . , n.
Existem sistemas AX = B de n equac¸o\u2dces e n inco´gnitas, com n > 2, em que
det(A) = det(A1) = · · · = det(An) = 0
e o sistema na\u2dco tem soluc¸a\u2dco. Por exemplo o sistema\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x + 2y + 3z = 12x + 4y + 6z = 33x + 6y + 9z = 2
e´ tal que
det(A) = det(A1) = det(A2) = det(A3) = 0,
mas ele na\u2dco tem soluc¸a\u2dco (verifique!).
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional)
Relembramos que uma matriz elementar e´ uma matriz que se obte´m aplicando-se
uma operac¸a\u2dco elementar na matriz identidade. Assim, aplicando-se o Teorema 2.13
na pa´gina 109 obtemos o resultado seguinte.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
120 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Proposic¸a\u2dco 2.16. (a) Se Ei,j e´ a matriz elementar obtida trocando-se as linhas i e j da matriz identidade, enta\u2dco
det(Ei,j) = \u22121.
(b) Se Ei(\u3b1) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, multiplicando-se a linha i por \u3b1, enta\u2dco det(Ei(\u3b1)) = \u3b1.
(c) Se Ei,j(\u3b1) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, somando-se a` linha j, \u3b1 vezes a linha i, enta\u2dco
det(Ei,j(\u3b1)) = 1.
Lembramos tambe´m que uma matriz e´ invert\u131´vel se, e somente se, ela e´ o produto
de matrizes elementares (Teorema 2.6 na pa´gina 77). Ale´m disso, o resultado da
aplicac¸a\u2dco de uma operac¸a\u2dco elementar em uma matriz e´ o mesmo que multiplicar a
matriz a` esquerda pela matriz elementar correspondente.
Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 2.14 na pa´gina 113.
Demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.14.
(a) Queremos provar que det(AB) = det(A)det(B). Vamos dividir a demonstrac¸a\u2dco
deste item em tre\u2c6s casos:
Caso 1: Se A = E e´ uma matriz elementar. Este caso segue-se diretamente da
proposic¸a\u2dco anterior e do Teorema 2.13 na pa´gina 109.
Caso 2: Se A e´ invert\u131´vel, enta\u2dco pelo Teorema 2.6 na pa´gina 77 ela e´ o produto de
matrizes elementares, A = E1 . . . Ek. Aplicando-se o caso anterior sucessivas vezes,
obtemos
det(AB) = det(E1) . . . det(Ek)det(B) = det(E1 . . . Ek)det(B) = det(A)det(B).
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
2.2 Determinantes 121
Caso 3: Se A e´ singular, pela Proposic¸a\u2dco 2.9 na pa´gina 88, AB tambe´m e´ singular.
Logo,
det(AB) = 0 = 0 det(B) = det(A)det(B).
(b) Queremos provar que det(A) = det(At). Vamos dividir a demonstrac¸a\u2dco deste
item em dois casos.
Caso 1: Se A e´ uma matriz invert\u131´vel, pelo Teorema 2.6 na pa´gina 77 ela e´ o produto
de matrizes elementares, A = E1 . . . Ek. E´ fa´cil ver que se E e´ uma matriz elementar,
enta\u2dco det(E) = det(Et) (verifique!). Assim,
det(At) = det(Etk) . . . det(E
t
1) = det(Ek) . . . det(E1) = det(E1 . . . Ek) = det(A).
Caso 2: Se A na\u2dco e´ invert\u131´vel, enta\u2dco At tambe´m na\u2dco o e´, pois caso contra´rio, pelo
Teorema 2.2 na pa´gina 72, tambe´m A = (At)t seria invert\u131´vel. Assim, neste caso,
det(At) = 0 = det(A). \ufffd
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 507)
2.2.1. Se det(A) = \u22123, encontre
(a) det(A2); (b) det(A3); (c) det(A\u22121); (d) det(At);
2.2.2. Se A e B sa\u2dco matrizes n× n tais que det(A) = \u22122 e det(B) = 3, calcule det(AtB\u22121).
2.2.3. Seja A = (aij)3×3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a)
\uf8ee\uf8f0 a11 a12 a13 + a12a21 a22 a23 + a22
a31 a32 a33 + a32
\uf8f9\uf8fb (b)
\uf8ee\uf8f0 a11 + a12 a11 \u2212 a12 a13a21 + a22 a21 \u2212 a22 a23
a31 + a32
Tiago
Tiago fez um comentário
Obrigado pelo material de Cálculo III , Geometria e Algebra!
1 aprovações
Carregar mais