UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR -   Reginaldo J. Santos
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UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR - Reginaldo J. Santos


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coordenados xy, yz e xz. A
equac¸a\u2dco do plano xy e´ z = 0, do plano yz e´ x = 0 e do plano xz e´ y = 0. Substituindo
z = 0 nas equac¸o\u2dces de r, obtemos t = \u22121, x = 3 e y = 1/2, ou seja,
\u2022 o ponto de intersec¸a\u2dco de r com o plano xy e´
(x, y, z) = (3,
1
2
, 0).
De forma ana´loga obtemos
\u2022 o ponto de intersec¸a\u2dco de r com o plano yz e´
(x, y, z) = (0, 1, 2),
\u2022 o ponto de intersec¸a\u2dco de r com o plano xz
(x, y, z) = (6, 0,\u22122).
Equac¸o\u2dces na Forma Sime´trica
Se todas componentes do vetor diretor da reta r sa\u2dco na\u2dco nulos, podemos resolver
cada equac¸a\u2dco em (4.6) para t e igualar os resultados obtendo o que chamamos de
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234 Retas e Planos
Figura 4.13. Reta que passa pelo ponto P0 = (\u22123, 3/2, 4) paralela ao vetor V = (\u22126, 1, 4)
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 235
equac¸o\u2dces na forma sime´trica de r:
x\u2212 x0
a
=
y\u2212 y0
b
=
z\u2212 z0
c
.
No Exemplo 4.5 as equac¸o\u2dces de r na forma sime´trica sa\u2dco:
x + 3
\u22126 =
y\u2212 3/2
1
=
z\u2212 4
4
.
Exemplo 4.6. Vamos encontrar as equac¸o\u2dces parame´tricas da reta r que passa pelos
pontos P1 = (3, 0, 2) e P2 = (0, 3, 3). O vetor
\u2212\u2192
P1P2= (0\u2212 3, 3\u2212 0, 3\u2212 2) = (\u22123, 3, 1)
e´ paralelo a r e o ponto P1 = (3, 0, 2) pertence a r. Portanto, as equac¸o\u2dces parame´tricas
de r sa\u2dco \uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 3\u2212 3 ty = 3 tz = 2+ t para t \u2208 R.
Exemplo 4.7. Vamos encontrar as equac¸o\u2dces parame´tricas da reta r, intersec¸a\u2dco dos
planos
pi1 : 2x + y + 4z\u2212 4 = 0
pi2 : 2x\u2212 y + 2z = 0.
Vetores normais destes planos sa\u2dco
N1 = (2, 1, 4) e N2 = (2,\u22121, 2) .
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236 Retas e Planos
x y
z
3
2
3
3
P2
P1
r
Figura 4.14. Reta que passa pelos pontos P1 = (3, 0, 2) e P2 = (0, 3, 3)
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 237
x y
z
2
4
1
Figura 4.15. pi1 : 2x + y + 4z\u2212 4 = 0
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238 Retas e Planos
x y
z
5/2
5
5/2
Figura 4.16. pi2 : 2x\u2212 y + 2z = 0
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 239
x y
z
2
4
1
5/2
5
5/2
Figura 4.17. pi1, pi2 e pi1 \u2229 pi2
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240 Retas e Planos
A reta r esta´ contida em ambos os planos, portanto e´ perpendicular a ambos os veto-
res normais. Assim, a reta r e´ paralela ao produto vetorial N1 × N2 (Teorema 3.5 (c)
na pa´gina 183).
N1 × N2 =
(
det
[
1 4
\u22121 2
]
,\u2212det
[
2 4
2 2
]
, det
[
2 1
2 \u22121
])
= (6, 4,\u22124) .
Assim, V = N1 × N2 = (6, 4,\u22124) e´ um vetor diretor de r. Agora, precisamos encon-
trar um ponto da reta r. Este ponto e´ uma soluc¸a\u2dco particular do sistema{
2x + y + 4z \u2212 4 = 0
2x \u2212 y + 2z = 0 (4.7)
Para encontrar uma soluc¸a\u2dco particular do sistema, atribu\u131´mos um valor a uma das
inco´gnitas (neste exemplo podemos fazer x = 0) e resolvemos o sistema obtido, que
e´ de duas equac¸o\u2dces e duas inco´gnitas{
y + 4z \u2212 4 = 0
\u2212y + 2z = 0
Obtemos enta\u2dco, y = 4/3 e z = 2/3, ou seja, o ponto P0 = (0, 4/3, 2/3) e´ um ponto
da reta r, pois e´ uma soluc¸a\u2dco particular do sistema (4.7). Assim, as equac¸o\u2dces pa-
rame´tricas de r sa\u2dco \uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 6ty = 4/3+ 4tz = 2/3\u2212 4t para todo t \u2208 R. (4.8)
Alternativamente, podemos encontrar as equac¸o\u2dces parame´tricas de r determinando
a soluc¸a\u2dco geral do sistema (4.7). Para isto devemos escalonar a matriz do sistema
(4.7): [
2 1 4 4
2 \u22121 2 0
]
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 241
Precisamos \u201czerar\u201d o outro elemento da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivo\u2c6, para isto,
adicionamos a` 2a. linha, menos a 1a. linha.
-1a. linha + 2a. linha \u2212\u2192 2a. linha
[
2 1 4 4
0 \u22122 \u22122 \u22124
]
Agora, ja´ podemos obter facilmente a soluc¸a\u2dco geral do sistema dado, ja´ que ele e´
equivalente ao sistema {
2x + y + 4z = 4
\u2212 2y \u2212 2z = \u22124
A varia´vel z e´ uma varia´vel livre. Podemos dar a ela um valor arbitra´rio, digamos t,
para t \u2208 R qualquer. Assim, a soluc¸a\u2dco geral do sistema dado e´\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1 \u2212
3
2 t
y = 2 \u2212 t
z = t
para todo t \u2208 R. (4.9)
Estas equac¸o\u2dces sa\u2dco diferentes das equac¸o\u2dces (4.8), mas representam a mesma reta, pois
os vetores diretores obtidos das duas equac¸o\u2dces sa\u2dco paralelos e o ponto P0 = (1, 2, 0)
satisfaz tambe´m as equac¸o\u2dces (4.9). Poder\u131´amos dizer tambe´m que (4.8) e (4.9) repre-
sentam retas coincidentes.
O pro´ximo exemplo mostra como encontrar a equac¸a\u2dco da reta que e´ perpendicular a duas retas.
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242 Retas e Planos
x y
z
3/23 3
x y
z
3
3
6
x y
z
3/21 23 3
3
3
6
Figura 4.18. Retas r1, r2 e r3 do Exemplo 4.8
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 243
Exemplo 4.8. Achar as equac¸o\u2dces da reta r3 que intercepta as retas
r1 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = \u22121+ 2ty = 1+ t,z = 0 para todo t \u2208 R
e
r2 : x\u2212 2 = y\u2212 42 e z = 3
e e´ perpendicular a ambas.
Um ponto qualquer da reta r1 e´ descrito por Pr1 = (\u22121 + 2t, 1 + t, 0) e um ponto
qualquer da reta r2 e´ da forma Pr2 = (2+ s, 4+ 2s, 3). Aqui e´ necessa´rio o uso de um
para\u2c6metro diferente para a reta r2. O vetor
\u2212\u2192
Pr1 Pr2= (3 + s\u2212 2t, 3 + 2s\u2212 t, 3) \u201cliga\u201d
um ponto qualquer de r1 a um ponto qualquer de r2. Vamos determinar t e s tais
que o vetor
\u2212\u2192
Pr1 Pr2 seja perpendicular ao vetor diretor V1 = (2, 1, 0) de r1 e ao vetor
diretor V2 = (1, 2, 0) de r2, ou seja, temos que resolver o sistema{ \u2212\u2192
Pr1 Pr2 ·V1 = 9+ 4s\u2212 5t = 0\u2212\u2192
Pr1 Pr2 ·V2 = 9+ 5s\u2212 4t = 0
A soluc¸a\u2dco deste sistema e´ t = 1, s = \u22121. Logo Pr1 = (1, 2, 0), Pr2 = (1, 2, 3) e
V3 =
\u2212\u2192
Pr1 Pr2= (0, 0, 3). Assim, as equac¸o\u2dces parame´tricas da reta procurada sa\u2dco
r3 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1y = 2,z = 3t para todo t \u2208 R.
Esta soluc¸a\u2dco usou o fato de que as retas sa\u2dco reversas, isto e´, elas na\u2dco sa\u2dco paralelas,
mas tambe´m na\u2dco se interceptam. Como seria a soluc¸a\u2dco se elas se interceptassem?
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244 Retas e Planos
Por exemplo se a reta r2 fosse dada por
r2 : x\u2212 2 = y\u2212 42 e z = 0 ?
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 520)
4.1.1. Fac¸a um esboc¸o dos seguintes planos:
(a) 2x + 3y + 5z\u2212 1 = 0
(b) x\u2212 2y + 4z = 0
(c) 3y + 2z\u2212 1 = 0
(d) 2x + 3z\u2212 1 = 0
(e) 3x + 2y\u2212 1 = 0
(f) 5y\u2212 2 = 0
(g) 3z\u2212 2 = 0
(h) 2x\u2212 1 = 0
4.1.2. Fac¸a um esboc¸o das retas dadas a seguir:
(a) (x, y, z) = (\u22123+ 3t, 3
2
\u2212 1
2
t, 4\u2212 2t)
(b) (x, y, z) = (2t, t,
3
2
t)
(c) (x, y, z) = (1+ t, 2, 3+ 2t)
(d) (x, y, z) = (1, 2+ 2t, 52 +
3
2 t)
(e) (x, y, z) = (2+ 2t, 3+ t, 3)
(f) (x, y, z) = (1, 2, 2+ 2t)
(g) (x, y, z) = (1, 2+ 2t, 3)
(h) (x, y, z) = (2+ 2t, 2, 3)
4.1.3. Ache a equac¸a\u2dco do plano paralelo ao plano 2x\u2212 y + 5z\u2212 3 = 0 e que passa por P = (1,\u22122, 1).
4.1.4. Encontre a equac¸a\u2dco do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e e´ perpendicular aos planos
x + 2y\u2212 3z + 2 = 0 e 2x\u2212 y + 4z\u2212 1 = 0.
4.1.5. Encontrar a equac¸a\u2dco do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e e´ perpendicular ao
plano y = z.
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 245
4.1.6. Determine a intersec¸a\u2dco da reta que passa pela origem e tem vetor diretor V = ~i + 2~j +~k com o plano
2x + y + z = 5.
4.1.7. Verifique se as retas r : (x, y, z) = (9t, 1 + 6t,\u22122 + 3t) e s : (x, y, z) = (1 + 2t, 3 + t, 1) se interceptam e
em caso afirmativo determine a intersec¸a\u2dco. (Sugesta\u2dco: a questa\u2dco e´ se as trajeto´rias se cortam e na\u2dco se as
part\u131´culas se chocam, ou seja, elas na\u2dco precisam estar num ponto no mesmo instante.)
4.1.8. Dadas as retas
r :
x\u2212 2
2
=
y
2
= z e s : x\u2212 2 = y = z ,
obtenha uma equac¸a\u2dco geral para o plano determinado por r e s.
4.1.9. Sejam P = (4, 1,\u22121)
Tiago
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Obrigado pelo material de Cálculo III , Geometria e Algebra!
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