UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR -   Reginaldo J. Santos
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UM CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR - Reginaldo J. Santos


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no plano.
(ii) Se V1 = (a1, b1, c1), V2 = (a2, b2, c2), V3 = (a3, b3, c3) sa\u2dco L.D., mas
V2 = (a2, b2, c2), V3 = (a3, b3, c3) e
\u2212\u2192
P1P2 sa\u2dco L.I., enta\u2dco a reta e´ paralela
ao plano, mas na\u2dco esta´ contida nele.
(b) Se V1 = (a1, b1, c1), V2 = (a2, b2, c2), V3 = (a3, b3, c3) sa\u2dco L.I., enta\u2dco a reta e´
concorrente ao plano.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
5.1 Independe\u2c6ncia Linear 303
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 539)
5.1.1. Quais dos seguintes vetores sa\u2dco combinac¸a\u2dco linear de V1 = (5,\u22123, 1), V2 = (0, 4, 3) e V3 = (\u221210, 18, 7)?
(a) (10,\u22122, 5);
(b) (10, 2, 8);
(c) (\u22122,\u22121, 1);
(d) (\u22121, 2, 3).
5.1.2. Os vetores V1 = (5,\u22123, 1), V2 = (0, 4, 3) e V3 = (\u221210, 18, 7) do exerc\u131´cio anterior sa\u2dco L.D. ou L.I.? Caso
sejam L.D. escreva um deles como combinac¸a\u2dco linear dos outros.
5.1.3. Quais dos seguintes conjuntos de vetores sa\u2dco linearmente dependentes?
(a) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)};
(b) {(1,\u22122, 3), (\u22122, 4,\u22126)};
(c) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)};
(d) {(4, 2,\u22121), (6, 5,\u22125), (2,\u22121, 3)}.
5.1.4. Para quais valores de \u3bb o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (\u3bb2 + 2, 2, 0)} e´ L.D.?
5.1.5. Suponha que {V1, V2, V3} e´ um conjunto linearmente independente de vetores de Rn. Responda se
{W1, W2, W3} e´ linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) W1 = V1 +V2, W2 = V1 +V3 e W3 = V2 +V3;
(b) W1 = V1, W2 = V1 +V3 e W3 = V1 +V2 +V3.
5.1.6. Sejam r1 : (x, y, z) = (1+ 2t, t, 2+ 3t) e r2 : (x, y, z) = (t, 1+ mt,\u22121+ 2mt) duas retas.
(a) Determine m para que as retas sejam coplanares (na\u2dco sejam reversas).
(b) Para o valor de m encontrado, determine a posic¸a\u2dco relativa entre r1 e r2.
(c) Determine a equac¸a\u2dco do plano determinado por r1 e r2.
5.1.7. Sejam a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores V1 = (1, 2, 0) e V2 = (1, 0, 1)
passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m
encontrado a reta esta´ contida no plano?
Exerc\u131´cio usando o MATLABr
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304 Espac¸os Rn
5.1.8. (a) Defina os vetores V1=[1;2;3], V2=[3;4;5] e V3=[5;6;7]. Defina o vetor aleato´rio V=randi(3,1).
Verifique se V e´ combinac¸a\u2dco linear de V1, V2 e V3.
(b) Defina a matriz aleato´ria M=randi(3,5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas de M sa\u2dco
combinac¸a\u2dco linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.
(c) Verifique se V1, V2 e V3 sa\u2dco linearmente independentes. Se eles forem linearmente dependentes,
escreva um deles como combinac¸a\u2dco linear dos outros e verifique o resultado.
Exerc\u131´cios Teo´ricos
5.1.9. Seja A uma matriz n× n. Mostre que det(A) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas e´ combinac¸a\u2dco
linear das outras.
5.1.10. Suponha que {V1, V2, . . . , Vn} e´ um conjunto de vetores de Rn linearmente independente. Mostre que
se A e´ uma matriz n × n na\u2dco singular, enta\u2dco {AV1, AV2, . . . , AVn} tambe´m e´ um conjunto linearmente
independente.
5.1.11. Se os vetores na\u2dco nulos U, V e W sa\u2dco L.D., enta\u2dco W e´ uma combinac¸a\u2dco linear de U e V?
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5.1 Independe\u2c6ncia Linear 305
pi1
pi2
Figura 5.14. Dois planos que se interceptam se-
gundo uma reta
pi1
pi2
Figura 5.15. Dois planos paralelos
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306 Espac¸os Rn
pi
r
Figura 5.16. Reta e plano concorrentes
pi
r
Figura 5.17. Reta e plano paralelos
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5.2 Subespac¸os Base e Dimensa\u2dco 307
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa\u2dco
Sejam A uma matriz m × n e W \u2286 Rn o conjunto soluc¸a\u2dco do sistema linear ho-
moge\u2c6neo AX = 0¯. Ja´ vimos na Proposic¸a\u2dco 1.7 na pa´gina 49 que o conjuntoW satisfaz
as seguintes propriedades:
(a) Se X e Y pertencem a W, enta\u2dco X +Y tambe´m pertence a W.
(b) Se X pertence a W, enta\u2dco \u3b1X tambe´m pertence a W para todo escalar \u3b1.
Revise como foi feita a demonstrac¸a\u2dco dos itens (a) e (b) acima na Proposic¸a\u2dco 1.7 na
pa´gina 49. Assim, se X e Y sa\u2dco soluc¸o\u2dces de um sistema homoge\u2c6neo, enta\u2dco X+Y e \u3b1X
tambe´m o sa\u2dco. Portanto, combinac¸o\u2dces lineares de soluc¸o\u2dces de AX = 0¯ sa\u2dco tambe´m
soluc¸o\u2dces de AX = 0¯.
O conjunto soluc¸a\u2dco de um sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯ e´ chamado de espac¸o
soluc¸a\u2dco do sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯. Ele se comporta como se fosse um espac¸o,
no sentido de que fazendo soma de vetores do conjunto ou multiplicando vetores do
conjunto por escalar na\u2dco sa\u131´mos dele.
Um subconjunto na\u2dco vazio de Rn que satisfaz as propriedades (a) e (b) acima e´ cha-
mado de subespac¸o de Rn. Com relac¸a\u2dco as operac¸o\u2dces de soma e multiplicac¸a\u2dco por
escalar podemos \u201cviver\u201d nele sem termos que sair. Assim, o espac¸o soluc¸a\u2dco do sis-
tema homoge\u2c6neo AX = 0¯ e´ um subespac¸o de Rn. Vale tambe´m a rec\u131´proca, todo
subespac¸o e´ o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema homoge\u2c6neo (Exerc\u131´cio 5.2.18 na pa´gina
324).
Exemplo 5.15. Os exemplos triviais de subespac¸os de Rn sa\u2dco o subespac¸o formado
somente pelo vetor nulo, W = {0¯} e W = Rn. Mas cuidado, o R2 na\u2dco e´ subespac¸o
de R3, pois o R2 (conjunto de pares de nu´meros reais) na\u2dco e´ um subconjunto do R3
(conjunto de ternos de nu´meros reais). O plano
W = {(x, y, z) \u2208 R3 | z = 0} e´ um subespac¸o de R3 mas ele na\u2dco e´ o R2.
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308 Espac¸os Rn
X1
X2
X1+X2
Figura 5.18. Soma de vetores do plano
ax + by + cz = 0
X
\u3b1X
Figura 5.19. Multiplicac¸a\u2dco de vetor por escalar do
plano ax + by + cz = 0
X1
X2
X1+X2
Figura 5.20. Soma de vetores da reta
(x, y, z) = (at, bt, ct)
X
\u3b1X
Figura 5.21. Multiplicac¸a\u2dco de vetor por escalar da
reta (x, y, z) = (at, bt, ct)
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5.2 Subespac¸os Base e Dimensa\u2dco 309
Exemplo 5.16. Considere o sistema linear\uf8f1\uf8f2\uf8f3 a1x + b1y + c1z = 0a2x + b2y + c2z = 0a3x + b3y + c3z = 0
Cada equac¸a\u2dco deste sistema e´ representada por um plano que passa pela origem. O
conjunto soluc¸a\u2dco e´ um subespac¸o de R3 e e´ a intersec¸a\u2dco dos planos definidos pelas
equac¸o\u2dces, podendo ser:
(a) Somente um ponto que e´ a origem.
(b) Uma reta que passa pela origem.
(c) Um plano que passa pela origem.
Vamos escrever toda soluc¸a\u2dco do sistema linear homoge\u2c6neo AX = 0¯ como uma
combinac¸a\u2dco linear de um nu´mero finito de vetores V1, . . . , Vk que sa\u2dco tambe´m
soluc¸a\u2dco do sistema.
Exemplo 5.17. Considere o sistema linear homoge\u2c6neo AX = 0¯, em que
A =
\uf8ee\uf8f0 1 1 0 0 1\u22122 \u22122 1 \u22121 \u22121
1 1 \u22121 1 0
\uf8f9\uf8fb .
Escalonando a matriz aumentada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada
reduzida \uf8ee\uf8f0 1 1 0 0 1 00 0 1 \u22121 1 0
0 0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fb .
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310 Espac¸os Rn
E assim a soluc¸a\u2dco geral do sistema pode ser escrita como
x1 = \u2212\u3b1\u2212 \u3b3, x2 = \u3b3, x3 = \u2212\u3b1+ \u3b2, x4 = \u3b2 x5 = \u3b1
para todos os valores de \u3b1, \u3b2,\u3b3 \u2208 R, ou seja, o conjunto soluc¸a\u2dco do sistema AX = 0¯
e´
W = {(x1, x2, x3, x4, x5) = (\u2212\u3b1\u2212 \u3b3,\u3b3,\u2212\u3b1+ \u3b2, \u3b2, \u3b1) | \u3b1, \u3b2,\u3b3 \u2208 R} .
Agora, um elemento qualquer de W pode ser escrito como uma combinac¸a\u2dco linear
de vetores de W:
(\u2212\u3b1\u2212 \u3b3,\u3b3,\u2212\u3b1+ \u3b2, \u3b2, \u3b1) = (\u2212\u3b1, 0,\u2212\u3b1, 0, \u3b1) + (0, 0, \u3b2, \u3b2, 0) + (\u2212\u3b3,\u3b3, 0, 0, 0)
= \u3b1(\u22121, 0,\u22121, 0, 1) + \u3b2(0, 0, 1, 1, 0) + \u3b3(\u22121, 1, 0, 0, 0)
Assim, todo vetor de W pode ser escrito como combinac¸a\u2dco linear dos vetores
V1 = (\u22121, 0,\u22121, 0, 1), V2 = (0, 0, 1, 1, 0) e V3 = (\u22121, 1, 0, 0, 0)
pertencentes aW (V1 e´ obtido fazendo-se \u3b1 = 1 e \u3b2 = \u3b3 = 0, V2 fazendo-se \u3b1 = \u3b3 = 0
e \u3b2 = 1 e V3 fazendo-se \u3b1 = \u3b2 = 0 e \u3b3 = 1).
Neste caso dizemos que V1 = (\u22121, 0,\u22121, 0, 1), V2 = (0, 0, 1, 1, 0) e V3 = (\u22121, 1, 0, 0, 0)
geram o subespac¸o W. Em geral temos a seguinte definic¸a\u2dco.
Definic¸a\u2dco 5.5. Seja W um subespac¸o de Rn (por exemplo, o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema linear homoge\u2c6neo
AX = 0¯). Dizemos que os vetores V1, . . . , Vk pertencentes a W, geram W ou que {V1, . . . , Vk} e´ um
Tiago
Tiago fez um comentário
Obrigado pelo material de Cálculo III , Geometria e Algebra!
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