O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley
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O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley


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Assentando as Bases do Cálculo
Que tipo de reposta é ? Uma resposta grosseira, com certeza. Lembre-se que não 
se pode ter 0 no denominador de uma fração; não é permitido. Então, o limite 
claramente não é , mas essa resposta nos diz duas coisas:
1. Você deve usar um método diferente para achar o limite porque...
2. ... a função tende a apresentar uma quebra no valor de x que você substituiu 
na função.
A melhor alternativa à substituição é o método da fatoração, que funciona 
maravilhosamente bem nesse caso. No exemplo a seguir, vamos encontrar esse 
limite perturbador.
Exemplo 2: Avalie pelo método da fatoração.
Solução: Para iniciar o método da fatoração, fatore! Faz sentido, já que o 
numerador é a diferença de quadrados perfeitos e é fatorado de bom grado:
Agora ambas as partes da fração contêm (x + 3), então você pode cancelar esses 
termos para conseguir uma expressão de limite bem mais simples para:
Agora você pode usar o método da substituição para terminar:
\u20133 \u2013 3 = \u20136
Então, .
Você Tem Problemas
Problema 2: Avalie estes limites pelo método da fatoração.
(a) 
(b) 
Método da Conjugação
Se a substituição e a fatoração não funcionarem, você ainda terá uma última 
esperança, mas esse método final é muito limitado em seu escopo e potencial. Na 
verdade, é apenas útil para limites que contêm radicais, pois as potências vêm do 
uso da conjugação.
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 68 25/06/2013 10:25:51
69Capítulo 6: Avaliando Limites Numericamente
A conjugação de uma expressão binomial 
(por exemplo, uma expressão com dois 
termos) é a mesma expressão com o 
sinal do meio oposto. Por exemplo, a 
conjugação de é . 
O real potencial dos pares conjugados 
aparece quando você os multiplica. 
O produto de dois conjugados contendo radicais não contém expressões radicais! 
Em outras palavras, multiplicar por um conjugado pode eliminar raízes quadradas:
Você deve usar o método da conjugação sempre que tiver um problema de limite 
contendo radicais para os quais a substituição não funciona \u2013 sempre tente a 
substituição primeiro! Porém, se a substituição resultar em um valor ilegal 
, você vai empregar o método conjugado, conforme faremos para resolver 
o próximo exemplo.
Exemplo 3: Avalie .
Solução: Se você tentar o método da substituição, terá , o que indica que 
você vai precisar de outro método para encontrar o limite, já que a função 
provavelmente tem uma quebra em x = 5. A função contém um radical e um 
número subtraído dele \u2013 a impressão digital de um problema que precisa do 
método da conjugação. Para começar, multiplique o numerador e o denominador 
pela conjugação da expressão radical :
Multiplique os numeradores e denominadores como faria com qualquer par de 
binômios \u2013 por exemplo, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \u2013 e todas as expressões 
radicais vão desaparecer do numerador. Não multiplique o par não-conjugado. Você 
verá por que em um segundo:
A conjugação de uma expressão 
binomial simplesmente muda o 
sinal entre os dois termos para o 
oposto. Por exemplo, e 
são conjugados.
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 69 25/06/2013 10:25:52
70 Parte 2: Assentando as Bases do Cálculo
Aqui está um ótimo truque: o numerador e o denominador agora contêm o mesmo 
termo (x \u2013 5), então você pode cancelar o termo e terminar o problema com o 
método da substituição:
Você Tem Problemas
Problema 3: Avalie os seguintes limites:
(a) 
(b) 
E Se Nada Funcionar?
Se nenhuma das técnicas que discutimos funcionar no problema que você tem em 
mãos, não perca a esperança. Não se esqueça que temos um método alternativo 
para determinar limites (mesmo sendo tedioso, mecânico e nada excitante \u2013 como 
a maioria dos programas de humor da televisão). Se todo o resto falhar, substitua 
um número incrivelmente próximo ao número que você está avaliando, como 
fizemos no Capítulo 5.
Deixe-me bancar o profeta por um momento. Para o efeito máximo, leia as 
próximas frases em voz alta, num tom soturno como se fosse um cartomante: 
\u201cVejo algo em seu futuro, sim, ao longe. O método prometido, um atalho, uma 
nova maneira de avaliar limites que torna fáceis as coisas difíceis. Vejo um nome 
francês... Règle de L\u2019Hôpital... e também um número de sorte... 13. Capítulo 13. 
Veja o Capítulo 13.\u201d
Limites e Infinito
Existe uma relação muito estreita entre limites e infinito. No início, eles pensaram 
que eram apenas amigos, até que seus olhares se cruzaram e expressaram todos os 
seus sentimentos. Sem entrar em detalhes, agora eles são inseparáveis e, sem esse 
romance, eles não seriam assíntotas verticais nem horizontais.
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 70 25/06/2013 10:25:53
71Capítulo 6: Avaliando Limites Numericamente
Assíntotas Verticais
Você já sabe que não existe limite se uma função cresce ou decresce infinitamente, 
como em uma assíntota vertical. Talvez você esteja se perguntando se é possível 
determinar se uma função faz isso sem ter de desenhar um gráfico, e a resposta é 
sim! Assim como a substituição de resultado significa que existe uma quebra no 
gráfico, um resultado de 50 indica uma assíntota vertical. Para ser mais específico, 
você não precisa ter 5 como numerador \u2013 qualquer número além de zero dividido 
por 0 indica que a função cresce ou decresce sem um destino, o que significa que 
não existe limite. 
Exemplo 4: Em quais valores de x não existe limite para ?
Solução: Comece fatorando a expressão, pois saber quais valores de x resultam em 
0 no denominador é importantíssimo:
Em x = -5, a função deveria ter uma quebra, e substituir esse valor resulta em . 
Você pode usar o método da fatoração para achar esse limite: 
Porém, você precisa determinar onde não existe limite, então vamos dar uma 
olhada em outro valor de x perturbador: x = 5. Se você utilizá-lo em f (x), você 
tem 700 . Esse resultado, qualquer número (além de 0) dividido por 0, indica uma 
assíntota vertical em x = 5, então não existe porque f pode tanto crescer 
como decrescer infinitamente.
Uma vez que você determinou que x = 5 é uma assíntota vertical de f (x) no 
exemplo 4, é simples determinar como a função reage com essa assíntota. (Em 
outras palavras, f (x) cresce ou decresce sem destino à medida que você se 
aproxima de x = 5 a partir da direita e da esquerda?).
Tudo o que você precisa fazer é colocar um valor de x um pouquinho à direita de x = 5 
em f (x), como x = 5,00001. Você vai obter f (5,00001) \u2248 700.000, o que indica que 
f (x) está ficando enorme. Assim, . Da mesma forma, coloque um número 
um pouco à esquerda de x = 5, como x = 4,99999. Assim, f(4,99999) x -700.000, 
 .
Ponto Crítico
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 71 25/06/2013 10:25:54
72 Parte 2: Assentando as Bases do Cálculo
Se a substituição resultar em , isso não garante que haja uma quebra na função. 
Você só pode ter certeza de que há uma quebra se houver um limite, como no caso 
de x = \u20135 nesse exemplo.
Você Tem Problemas
Problema 4: Determine os valores de x para os quais é indefinida. Se 
possível, avalie os limites à medida que x se aproxima de cada um desses valores.
Assíntotas Horizontais
Assíntotas verticais são causadas por funções cujos valores crescem ou decrescem 
infinitamente à medida que tal função se aproxima de um valor de x fixo; 
então, se uma função tem uma assíntota vertical em x = c, podemos escrever 
ou . Assíntotas horizontais têm muitos componentes iguais, mas é 
tudo ao contrário.
Uma assíntota horizontal é a altura que uma função tenta, mas não consegue 
alcançar à medida que os valores de x tornam-se infinitamente positivos ou 
negativos. Na Figura 6.2, f (x) tende a 5 à medida que x se torna infinitamente 
positivo e a \u20131 à medida que f (x) se torna infinitamente negativa.
Figura 6.2
O gráfico de f (x) tem 
assíntotas horizontais 
diferentes à medida 
que