O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley
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O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley


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maduro e confiável que 
você não teria vergonha de levar para a mamãe e 
o papai conhecerem, e o fato de isso garantir que não existirão \u201crompimentos\u201d te 
traz paz e bem-estar emocional.
Uma função contínua é 
como uma montanha-russa 
bem construída: sem falhas, 
buracos ou quebras, o que 
significa um passeio seguro 
para seus passageiros.
Ponto Crítico
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79Capítulo 7: Continuidade
A Definição Matemática de Continuidade
A definição matemática de 
continuidade faz muito sentido se 
você mantiver uma coisa em 
mente: enquanto os limites nos 
dizem a que tende uma função, a 
continuidade garante que a função 
chegue lá. É como o ditado \u201cde boas 
intenções o inferno está cheio\u201d. 
Continuidade representa o papel de 
um policial na matemática, 
determinando se a função foi fiel 
ou não às suas intenções (se ela é 
contínua ou descontínua). Com isso 
em mente, aqui está a definição 
oficial de continuidade: 
Uma função f (x) é contínua em um 
ponto x = c se as três condições a 
seguir forem verdadeiras:
‹‹
‹‹ f (c) é definida
‹‹ 
Em outras palavras, o limite existe 
em x = c (o que significa que a 
função tende a uma altura); 
a função existe em x = c (o que significa que não há um buraco); e o limite é igual 
ao valor da função (ou seja, o valor da função bate com o valor a que ela tende). 
Aliás, se uma função for contínua, você pode avaliar qualquer limite nela por meio 
do método da substituição, já que o valor da função em qualquer ponto será igual 
ao limite nesse determinado ponto.
Exemplo 1: Mostre que a função 
 é contínua em x = \u20133.
Uma função é contínua em um 
ponto se o limite e o valor da 
função forem iguais nesse ponto. 
Em outras palavras, existe limite se 
a altura à qual a função tende bater 
com a real altura da função.
Ponto Crítico
Muitas funções têm a garantia 
de ser contínuas em qualquer 
ponto de seu domínio, incluindo 
funções polinomiais, com raízes, 
exponenciais, logarítmicas, racionais 
e trigonométricas. A maioria das 
funções descontínuas que você vai 
encontrar será devido a pontos 
indefinidos em funções racionais e 
saltos devido a funções definidas 
por partes. Vamos discutir mais 
sobre as causas específicas da 
descontinuidade na próxima seção.
Ponto Crítico
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80 Parte 2: Assentando as Bases do Cálculo
Solução: Para testar a continuidade, você deve encontrar o limite e o valor da 
função em x = \u20133 (e garantir que sejam iguais). É uma função bem feia. Como você 
determina a altura a que ela tende (limite) em x = \u20133? É claro que a regra empírica 
nessa função definida por partes governa o valor da função para cada x, exceto 
para x = \u20133. Quando você busca um limite, você quer ver a que altura tende à 
medida que se aproxima de x = \u20133, e não o valor realmente alcançado em x = \u20133, 
então, você vai encontrar o limite da maior e mais feia regra empírica de f. Use o 
método da conjugação.
O limite existe quando x = \u20133 e é igual a . A primeira condição da continuidade 
é atendida. Agora, vamos à segunda. De acordo com a definição das funções, 
você sabe que , então a função existe nesse ponto. Assim, você pode 
concluir que a função é contínua em x = \u20133 porque o limite é igual ao valor da 
função nesse ponto.
Você Tem Problemas
Problema 1: Determine se a função g(x), definida abaixo, é contínua em x = 1.
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81Capítulo 7: Continuidade
Tipos de Descontinuidade
Não acontece muita coisa na vida de um gráfico \u2013 ele vive em um domínio 
feliz, brincando de fazer pares de coordenadas. No entanto, há três coisas que 
podem ocorrer na extensão de uma função que o muda fundamentalmente, 
tornando-o descontínuo. Não é tão importante memorizar as principais causas da 
descontinuidade; em vez disso, reconheça exatamente as razões de uma função 
não atender aos requerimentos da continuidade.
Descontinuidade por Saltos
Uma descontinuidade por saltos é tipicamente causada por uma função definida por 
partes cujas partes não se encontram nitidamente, deixando espaços em branco 
no gráfico que são grandes o bastante para acomodar um elefante ou qualquer 
outro mamífero com presas. Considere a função:
Esse gráfico é formado por duas partes lineares, e a regra que governa a função 
muda quando x = 0. Dê uma olhada no gráfico de f (x) na Figura 7.2.
Figura 7.2
O gráfico de f (x) 
exibe uma dupla 
personalidade já 
que é definido por 
uma função definida 
por partes.
Quando x = 0, o gráfico tem uma quebra trágica e disforme. Enquanto a parte 
esquerda tende a y = 3 à medida que você se aproxima de x = 0, a parte direita 
tende a y = 1 quando x = 0. Isso lhe parece familiar? Deveria: os limites esquerdo
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82 Parte 2: Assentando as Bases do Cálculo
e direito não são iguais em x = 0, então 
 não existe. Isso torna a primeira 
regra da continuidade furada, resultando em f 
descontínua.
No próximo exemplo, você tem uma função 
definida por partes. Sua meta é protegê-la do 
mesmo destino da pobre função f (x) acima 
escolhendo um valor para a constante c que 
garanta que as partes do gráfico se encontrem quando a regra da função mudar. 
Vai com fé!
Exemplo 2: Encontre o número real c que torna g(x) contínua em qualquer ponto se:
Solução: A regra empírica em g(x) vai definir a função para qualquer número 
menor ou igual a 3, e seu reinado termina quando x alcança essa barreira. Nesse 
ponto, g terá alcançado a altura de g(3) = 3 \u2013 2 = 1. Assim, a regra seguinte (x2 + 
c) deve começar exatamente nessa altura quando x = 3, ainda que seja definido 
tecnicamente apenas em x > 3. Esta é a solução: ambas as partes devem chegar à 
mesma altura quando o gráfico de uma função definida por partes muda as regras. 
Então, sabemos que:
x2 + c = 1
quando x = 3, então utilize esse valor de x e 
encontre c:
32 + c = 1
9 + c = 1
c = \u20138
Assim, a segunda parte de g(x) deve ser x2 
\u2013 8 para que g(x) seja contínua. Você pode 
conferir a solução com o gráfico de g(x) 
(como se observa na Figura 7.3) \u2013 não há 
descontinuidade por saltos em lugar algum.
Você Tem Problemas
Problema 2: Encontre o valor de a que torna a função h(x) contínua em todos os pontos se:
 
Uma descontinuidade por saltos 
ocorre quando não existe limite 
geral em um determinado valor de x 
(porque os limites direito e esquerdo 
existem, mas não são iguais).
Uma função é contínua em 
qualquer ponto se for contínua 
para cada valor de x em seu 
domínio. Como g no exemplo 2 é 
formado por uma parte linear e uma 
quadrática (ambas sempre contínuas 
enquanto polinômios), só pode haver 
descontinuidade em x = 3.
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83Capítulo 7: Continuidade
Figura 7.3
O gráfico de g(x) é 
perfeito e contínuo 
agora \u2013 as partes do 
gráfico se juntam 
consistentemente.
Ponto de Descontinuidade
Um ponto de descontinuidade ocorre quando uma função tem um buraco. Pense 
assim: a função é descontínua apenas por causa daquele pontinho malvado, e vem 
daí o seu nome.
Considere a função . 
É uma função racional, então é 
contínua em todos os pontos e 
domínios. Mas, espere aí... O valor 
de x = -4 definitivamente não está no 
domínio de p(x) (veja o denominador), 
então p(x) será automaticamente 
descontínua ali. A pergunta é: que tipo de descontinuidade temos aí?
É muito fácil classificar a descontinuidade nesse caso \u2013 tudo o que você precisa 
fazer é testar um limite nesse valor 
de x. Para calcular o limite, use o 
método da fatoração:
Um ponto de descontinuidade 
existe quando há um limite geral, 
mas o valor da função não é 
definido ali, o que quebra a segunda 
condição da continuidade.