O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley
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O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley


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em cada intervalo, 
já que ela só pode mudar de direção nos números críticos. Assim, você pode 
escolher qualquer número em cada intervalo como um \u201cvalor teste\u201d. Vou escolher 
x = \u20132, 0, 6 e 12. Agora, coloque esses números na derivada:
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 128 25/06/2013 10:26:32
129Capítulo 11: Usando Derivadas em Gráficos
Como f \u2032(\u20132) é positiva, f \uf0a2(x) é positiva em todo o intervalo (\u2013\u221e,\u20131), então indique 
isso com um sinal \u201c+\u201d no intervalo do gráfico de sinal. Faça o mesmo para os outros 
intervalos e você vai obter a Figura 11.5.
Agora você pode dizer que a função 
muda de direção (de crescente para 
decrescente) em x = \u20131. Se você colocar 
esse número crítico em f (x), vai obter 
o ponto de máximo relativo (\u20131, 0). Da 
mesma forma, uma mudança de sinal 
em x = 11 indica um mínimo relativo 
no ponto crítico (11, 24).
5 111
f x
Figura 11.5
Os sinais de f \uf0a2(x) correspondem 
à direção de f (x). Positivo 
significa crescente, negativo 
significa decrescente. Note que 
o gráfico de sinal é marcado 
como \u201cf \uf0a2(x)\u201d. Sempre marque 
seus sinais para evitar confusão.
Você Tem Problemas
Problema 2: Desenhe o gráfico de sinal da função e determine 
os intervalos em que g é crescente.
O Teorema do Valor Extremo
Sua primeira experiência com 
teoremas foi o Teorema do Valor 
Médio. Você se lembra disso com 
carinho? Acho que é uma pergunta 
teórica, pois você gostando ou 
não, aí vai o segundo teorema. O 
Teorema do Valor Extremo, como 
seu predecessor, não nos diz nada 
de excepcional, mas faz muito 
sentido, então é algo a mais.
Teorema do Valor Extremo: Se 
uma função f (x) for contínua no 
intervalo fechado [a,b], então f (x) 
tem um máximo absoluto e um 
mínimo absoluto em [a, b].
Se a função muda de 
crescente para decrescente em 
um ponto crítico, esse ponto 
é um máximo relativo. Da 
mesma forma, uma mudança 
de decrescente para crescente 
indica um mínimo relativo.
Ponto Crítico
Antes de concluir que uma 
mudança de sinal em um 
gráfico de sinal indica um ponto 
extremo relativo, assegure-se de que 
a função original é definida ali! Por 
exemplo, em a função muda 
de crescente para decrescente em 
x = 0 (verifique com um gráfico de 
sinal de f \u2032(x)). Porém, x = 0 não 
está no domínio de f (x), então não 
pode ser um máximo relativo.
Alerta do Kelley 
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 129 25/06/2013 10:26:34
130 Parte 3: A Derivada
Esse teorema simplesmente nos diz que uma parte de função contínua sempre 
terá um ponto mais alto e um mais baixo. E só. Uma dica: os extremos absolutos 
de uma função podem existir apenas em uma de duas localizações \u2013 em um ponto 
extremo relativo ou em um ponto final. Esse truquezinho permite que os pontos 
extremos absolutos sejam mais facilmente encontrados.
Exemplo 4: Encontre o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função 
 no intervalo [\u20132, 1].
Solução: Os extremos absolutos que você procura existem garantidamente de acordo 
com o Teorema do Valor Extremo, já que f (x) é contínua no intervalo fechado. Na 
verdade, f (x) é contínua em todas as partes! Comece desenhando um gráfico de sinal. 
O mesmo processo de sempre: use f \u2019(x) = 0 e coloque valores-teste na derivada:
x = \u20131, 1
Verifique o gráfico de sinal na Figura 11.6. Como o sinal de sua derivada muda em 
ambos os números críticos (e estão ambos no domínio de f (x)), você sabe que x = \u20131 
e 1 marcam um extremo relativo, e possivelmente extremos absolutos também.
Figura 11.6
De acordo com esse 
gráfico de sinal, f (x) 
muda de direção 
duas vezes.
1 1
f x
Como um valor extremo (máximo ou mínimo 
absoluto) só pode existir em um número crítico 
(x = \u20131 ou 1) ou em um ponto final (x = \u20132 ou 1), 
coloque cada valor de x em f (x) para ver qual 
deles chega aos valores mais baixo e mais alto:
9,867
3,067
0,9333
Não há uma solução para 
a equação no 
Exemplo 4 porque isso lhe daria 
, e não se pode extrair a raiz 
quadrada de um número negativo.
Alerta do Kelley 
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 130 25/06/2013 10:26:36
131Capítulo 11: Usando Derivadas em Gráficos
Assim, o máximo absoluto de f (x) no intervalo fechado [\u20132, 1] será e o mínimo 
absoluto é . Eu sei que essas frações são feias, mas o que não te mata te 
fortalece, certo? Você não vai cair nessa, vai?
Responder um máximo absoluto \u20131 e um mínimo absoluto \u20132 no Exemplo 4 é 
um erro comum. Embora esses valores sejam os valores de x onde os extremos 
existem, não são valores extremos. Máximos e mínimos absolutos são alturas \u2013 
valores de função, não valores de x.
Alerta do Kelley 
Você Tem Problemas
Problema 3: Encontre o máximo e o mínimo absoluto de no 
intervalo fechado [\u20135, 2].
Determinando a Concavidade
Assim como a derivada de f \uf0a2(x) descreve a direção da função f (x), o sinal da 
segunda derivada descreve f \u2033(x), a concavidade de f (x). Em outras palavras, se 
f \u2033(x) é negativa, f (x) é côncava para baixo. Mas o que é concavidade, afinal? Tem 
alguma coisa a ver com higiene bucal?
O sinal de não só descreve a concavidade de como também a direção de . 
Isso porque também é a primeira derivada de , e lembre-se de que as primeiras 
derivadas descrevem a direção de seus predecessores. Por exemplo, se para uma 
função , então sabemos que é côncava para baixo quando (já que a segunda 
derivada é negativa), e sabemos que g\u2019(x) é decrescente em .
A concavidade descreve a direção a que 
uma curva pende. Uma curva que pode 
armazenar água adicionada do topo 
do gráfico é chamada de côncava para 
cima, enquanto uma que não pode é 
chamada de côncava para baixo. No 
entanto, se f \u2033(x) for negativa, f (x) 
é côncava para baixo. Você pode se 
lembrar dessa relação entre o sinal 
da segunda derivada e a concavidade 
usando a Figura 11.8.
A concavidade de uma curva 
descreve para onde uma curva 
pende. Note que a curva côncava 
para cima da Figura 11.7 poderia 
armazenar água adicionada do 
topo, enquanto a curva côncava 
para baixo jogaria toda a água 
no chão, deixando a sua mãe 
bem nervosa.
Ponto Crítico
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 131 25/06/2013 10:26:38
132 Parte 3: A Derivada
 
Figura 11.7
O conto de duas curvas cujas 
derivadas são diferentes (você 
vai me entender em breve).
Côncavo
para cima
Côncavo
para baixo
Figura 11.8
O sorriso é côncavo para cima, 
indicando uma segunda derivada 
positiva com os olhos positivos. 
Você também estaria triste se 
estivesse côncavo para baixo.
Assim como a direção, entretanto, a concavidade 
de uma curva pode mudar ao longo do domínio de 
uma função (os pontos de mudança são chamados 
pontos de inflexão). Você vai usar um processo 
que espelha o gráfico da primeira derivada para 
determinar a concavidade de uma função.
Outro Gráfico de Sinal
Espero que você tenha notado como um gráfico de sinal pode ser útil para visualizar 
a direção de uma função. Assim como também é útil para visualizar a concavidade, e 
também igualmente fácil. Dessa vez, você vai usar a segunda derivada para criar a linha 
numérica ondulada, e colocar os valores da segunda derivada, e não da primeira, para 
determinar os sinais apropriados. Vamos revisitar uma velha amiga, f (x) do Exemplo 4.
Exemplo 5: Em quais intervalos a função é côncava para cima?
Solução: Encontre a segunda derivada, f \u2033(x), e use-a para criar um gráfico de 
sinal, como você fez agora há pouco neste capítulo. A única diferença é que você 
vai usar f \u2033(x) para tudo em vez de usar f \uf0a2(x):
Coloque f \u2033(x) = 0 e encontre x para conseguir seus números críticos:
A concavidade de um gráfico 
muda em um ponto de inflexão.
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 132 25/06/2013 10:26:40
133Capítulo 11: Usando Derivadas em Gráficos
Não se esqueça do sinal ±, já que você está extraindo a raiz quadrada de ambos os