O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley
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O Guia Completo para quem não é C.D.F. - Cálculo - W. Michael Kelley


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Crítico
Lembre-se de que a integral de é , então \u2013 n . O passo final é 
substituir o u usando a equação u original (u = cos x) para obter a resposta final 
.
A parte mais traiçoeira da substituição u é decidir o que será u. Se a sua primeira 
opção não funcionar, não perca tempo com ela. Tente outra coisa até que funcione 
para você. Uma hora vai funcionar. A única maneira de ficar muito bom nisso é 
praticando, praticando e praticando. Mais cedo ou mais tarde, ficará mais fácil 
escolher o u correto.
Você Tem Problemas
Problema 4: Avalie . Dica: se você fizer a substituição u com a integral 
definida, precisa mudar os limites da integração ao substituir u e du. Para alterar os 
limites, substitua cada um deles no local de x da sua equação u.
O Mínimo que Você Precisa Saber
‹‹ A integração, como a diferenciação, tem uma regra de potência própria em 
que você soma 1 ao expoente e divide pelo novo expoente.
‹‹ Funções trigonométricas têm integrais bizarras. É difícil produzir algumas 
delas sozinho, por isso é melhor memorizar.
‹‹ As duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo lhe dizem como avaliar 
uma integral definida e mostram um atalho para encontrar derivadas 
específicas de expressões integrais.
‹‹ A substituição u ajuda você a integrar expressões que contenham funções e 
suas derivadas.
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 175 25/06/2013 10:27:24
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Aplicações do Teorema 
Fundamental
Neste Capítulo:
‹‹ Encontrando áreas ainda mais curvadas
‹‹ Teorema do Valor Médio para integrais
‹‹ Equações de posição e distância percorrida
‹‹ Funções definidas por integrais definidas
Depois que você aprendeu a encontrar a inclinação de uma tangente (uma 
habilidade aparentemente sem muita importância), provavelmente você achou 
que as aplicações da derivada nunca fossem acabar. Você estava determinando 
velocidade e taxas de variação (instantânea e média), calculando taxas de variação 
relacionadas, otimizando funções, determinando extremos e, claro, trazendo paz e 
prosperidade ao universo. 
Se você acha que é só uma questão de tempo até que chovam aplicações de 
integrais definidas, você deve ser sensitivo (ou você leu o sumário). Por enquanto, 
vamos dar uma olhada em alguns dos tópicos sobre integrais definidas mais 
populares do cálculo. Vamos começar determinando a área delimitada por duas 
curvas (e não apenas uma curva e o eixo x). Depois, vamos passar rapidamente 
por alguns tópicos que já discutimos, mas vamos dar uma temperada neles com 
os nossos conhecimentos sobre integrais. Finalmente, vamos checar funções 
integrais definidas, também chamadas funções de acumulação.
Capítulo 16
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 177 25/06/2013 10:27:24
178 Parte 4: A Integral
Calculando a Área entre Duas Curvas
Isso vai fazer você pirar! Na verdade, ao ler isto, a sua sanidade pode ser colocada 
à prova. Os últimos fios de consciência que te ligam a este mundo mortal podem 
arrebentar, jogando-o na loucura \u2013 ou pelo menos fazendo-o perder o apetite. 
Talvez você queira se sentar antes de continuar.
Você vinha calculando a área entre curvas desde sempre sem nem mesmo saber disso. 
Pronto, falei. Espero que esteja tudo bem com você.
Se você quiser calcular a área entre duas curvas 
contínuas, vamos chamá-las de f (x) e g(x), 
em um mesmo intervalo [a,b], terá de fazer o 
seguinte: Determine uma integral definida, como 
no capítulo anterior, tendo a e b como limites de 
integração superior e inferior, respectivamente. 
Você vai colocar f (x) \u2013 g(x) ou g(x) \u2013 f (x) na 
integral. Para decidir qual delas usar, você tem de 
desenhar o gráfico das funções \u2013 subtraia o gráfico 
menor do maior. Por exemplo, na Figura 16.1, g(x) 
está abaixo de f (x) no intervalo [a,b].
Figura 16.1
Pelo menos no intervalo 
[a,b], o gráfico de f (x) é 
sempre mais alto que o 
gráfico de g(x).
Cuidado! Se você subtrair as funções na ordem errada, vai chegar a uma 
resposta negativa, e você não quer uma resposta negativa quando está tentando 
encontrar a área entre duas curvas, mesmo que alguma porção dessa área esteja 
abaixo do eixo x.
E se as curvas trocarem de lugar? Por exemplo, observe o gráfico da Figura 16.2. À 
esquerda de x = c, f (x) está acima de g(x), mas quando x > c, as funções trocam de 
lugar e g(x) vai para o topo.
Se você tiver funções contendo 
y em vez de funções contendo 
x (f(y) = y2, por exemplo), 
mesmo assim pode calcular 
a área entre as funções. No 
entanto, em vez de subtrair a de 
cima pela de baixo, você subtrai 
a da direita pela da esquerda.
Ponto Crítico
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 178 25/06/2013 10:27:26
179Capítulo 16: Aplicações do Teorema Fundamental
Figura 16.2
Os gráficos se revezam 
no topo \u2013 nenhum deles 
está acima do outro no 
intervalo todo.
Para encontrar a área sombreada, 
você terá de usar duas integrais 
definidas separadas: uma para o 
intervalo [a,c], quando f (x) está no 
topo, e uma para [c,b], quando g(x) é:
Exemplo 1: Calcule a área entre as 
funções f (x) = sen 2x e g(x) = cos x no 
intervalo .
Solução: Esses gráficos ficam 
pulando um em cima do outro pelo 
eixo x, mas no intervalo , g(x) está definitivamente acima de f (x)(veja a 
Figura 16.3).
Assim, a integral terá sen . Separe isso em integrais: 
sen . A primeira é fácil: 
sen sen sen
Você tem que usar a substituição u para integrar sen 2x, usando u = 2x:
sen
A razão de termos feito isso 
tecnicamente o tempo todo é 
que sempre tentamos encontrar 
a área entre a curva e o eixo de 
x, que tem a equação . 
Assim, se uma função está 
acima do eixo de x no intervalo 
[a,b], a área entre as duas curvas 
é . A segunda 
equação com o valor de 0 esteve 
invisível todo esse tempo.
Ponto Crítico
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 179 25/06/2013 10:27:29
180 Parte 4: A Integral
Figura 16.3
No intervalo , 
g(x) = cos x está acima 
de f (x) = sen 2x.
Não se esqueça de mudar os limites de x para limites de u ao fazer a 
substituição u. Por exemplo, para obter o novo limite de u 4\u3c0, coloque o antigo 
limite de x de 2\u3c0 na equação: u = 2(2 pi) = 4 pi. A resposta final é a primeira 
integral menos a segunda:
Você Tem Problemas
Problema 1: Calcule a área entre as curvas e no primeiro quadrante.
O Teorema do Valor Médio 
para Integração
Relembre o Teorema do Valor Médio do Capítulo 13. Ele dizia que, em alguma 
localização em um intervalo, a derivada era igual à taxa média de variação do 
intervalo todo. Acontece que a integração tem sua própria versão desse teorema, 
mas como envolve áreas, e não taxas de variação, é um pouco diferente.
Uma Interpretação Geométrica
Basicamente, o Teorema do Valor Médio para Integração diz que, em algum ponto 
em um intervalo [a,b] existe um certo ponto (c, f (c)) entre a e b (veja a Figura 
16.4). Se você desenhar um retângulo cuja base é o intervalo [a,b] e cuja altura é 
f (c), a área será exatamente aquela abaixo da função em [a,b].
EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 180 25/06/2013 10:27:30
181Capítulo 16: Aplicações do Teorema Fundamental
Figura 16.4
Representação visual do 
Teorema do Valor Médio 
para Integração. A área 
do retângulo cuja altura é 
f (c) é exatamente igual a 
.
Teorema do Valor Médio para 
Integração: Se uma função f (x) é 
contínua no intervalo [a,b], então 
existe c, a \u2264 c \u2264 b, de modo que 
.
Esse teorema, como seu predecessor, 
é apenas um teorema de existência. 
Ele garante que o valor x = c e a 
altura correspondente f (c) existam. 
Talvez você se pergunte por que é 
tão importante que um gráfico de 
curvas e um velho retângulo sempre dividam a mesma área. Vamos chegar lá após 
o próximo exemplo.
Exemplo 2: Encontre o valor f (c) garantido pelo Teorema do Valor Médio para 
Integração na função