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Curso de Física Geral F-328 
1º semestre, 2013 
Aula 3: A Lei de Gauss 
F328 \u2013 1S20123 1 
ds 
n\u2c6
A 
n\u2c6
t\u2c6
\u222b \u22c5=
S
dAnrv \u2c6)(\uf072\uf072\u3c6
Ad
\uf072
)(rv \uf072\uf072
Definição: 
dAnAd \u2c6=
\uf072
\u22a5\u22a5 =+== vA)t\u2c6vn\u2c6.(vn\u2c6Av.A //
\uf072\uf072\u3c6
\u22a5==\u2192== vAdt
dsAdsAdV;
dt
dV \u3c6\u3c6
v\uf072
A
\uf072
v\uf072
//v
\u22a5vv\uf072
Fluxo de um campo vetorial 
F328 \u2013 1S20123 2 
O fluxo do campo elétrico 
 Qual é o fluxo do campo elétrico 
de uma dada distribuição de cargas 
através de uma superfície fechada? 
\u222b \u22c5=
S
dAnrE \u2c6)(\uf072
\uf072
\u3c6
0\u2c6)( <\u22c5= dAnrEd \uf072
\uf072
\u3c6
0\u2c6)( =\u22c5= dAnrEd \uf072
\uf072
\u3c6
0\u2c6)( >\u22c5= dAnrEd \uf072
\uf072
\u3c6
E
\uf072
E
\uf072
E
\uf072superfície 
 gaussiana 
esférica E
\uf072
Fluxo de um campo vetorial 
F328 \u2013 1S20123 3 
00321 =++\u2212=++= EAEA\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6
 Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção 
de um campo elétrico uniforme 
Ad
\uf072
E
\uf072
E
\uf072Ad
\uf072
Ad
\uf072
superfície 
gaussiana 
E
\uf072
Fluxo de um campo vetorial 
F328 \u2013 1S20123 4 
\u3b8\u3c6 cos)(\u2c6)( dArEdAnrEd \uf072\uf072
\uf072
=\u22c5=
\u3a9= drdA 2cos\u3b8
Ângulo sólido e lei de Gauss 
\u3a9= drrEd 2)(\uf072\u3c6
0
4
0
2
0
2
4 \u3b5\u3c0\u3b5
\u3c6\u3c6
\u3c0 q
r
drqd =\u3a9== \u222b\u222b
2
cos
r
dAd \u3b8=\u3a9
r Ad
\uf072
)(rE \uf072
\uf072\u3b8cosdA
\u3a9d
\u3b8
q
A
\uf072
\u394
q 
E
\uf072
Fluxo de um campo vetorial 
F328 \u2013 1S20123 5 
 Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma 
superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície: 
S1 
S4 
S2 
S3 
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5= \u222b
\uf072\uf072
A Lei de Gauss 
F328 \u2013 1S20123 6 
Uma carga puntiforme fora de uma 
superfície fechada. O número de linhas 
de força que entram na superfície é 
igual ao número de linhas que saem 
dela. O fluxo total é nulo. 
Superfícies fechadas de vários 
formatos envolvendo uma carga q. 
O fluxo através de todas as 
superfícies é o mesmo. 
q 
q\ 
A Lei de Gauss: Ilustrações 
F328 \u2013 1S20123 7 
Carga puntiforme (simetria esférica) 
0
24)(\u2c6)(
\u3b5
\u3c0\u3c6 qrrEdAnrE
S
==\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
r
r
q
E \u2c6
4
1
2
0\u3c0\u3b5
=
\uf072
 A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo 
elétrico criado por uma distribuição de cargas depende da simetria 
desta distribuição. 
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
E
\uf072
superfície 
gaussiana S 
Nos pontos de S: 
uniforme
\u2c6aparalelo
=E
nE
\uf072
\uf072
\u2234
Então: 
q 
Ad
\uf072
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 8 
 O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio 
eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite 
demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá migrar 
para a sua superfície. 
0
0
int ==
\u3b5
\u3c6 q
 No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos 
diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor. 
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
superfície 
gaussiana 
0)(
\uf072\uf072\uf072 =rE
0)(
\uf072\uf072\uf072 =rE
superfície 
gaussiana condutor 
condutor 
Cálculo de campo elétrico: Condutores 
F328 \u2013 1S20123 9 
 O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do 
condutor carregado, em equilíbrio eletrostático. Por quê? 
Simetria plana: camada condutora 
AEA \u3c3\u3b5 =0
nE \u2c6
0\u3b5
\u3c3=
\uf072
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
A 
E
\uf072
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 10 
AEA \u3c3\u3b5 =02
02\u3b5
\u3c3=E
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
E
\uf072
E
\uf072
gaussiana 
cilíndrica 
Simetria plana: placa não condutora 
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 11 
Carga induzida em uma camada condutora neutra 
0\u2c6)(
0
int
0
=+\u2212=\u22c5=\u222b \u3b5\u3b5\u3c6
qqdAnrE
S
\uf072\uf072
qq +=int qqext \u2212=e 
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
Para uma gaussiana no interior da camada: 
 Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa 
da camada. 
q\u2212
Note que não é uniforme. E ? int\u3c3 ext\u3c3
Superfície 
gaussiana 
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 12 
E
\uf072
Ad
\uf072
Superfície 
gausseana 
superfície 
gaussiana S 
E
\uf072
h Ad
\uf072
\u3bb
Simetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado 
0
2)(
\u3b5
\u3bb\u3c0\u3c6 hrhrE == \uf072
r
r
rE \u2c6
2
)(
0\u3b5\u3c0
\u3bb=\uf072
\uf072
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
Nos pontos de S: constante
\u2c6aparalelo
=E
nE\uf072
\uf072
E
\uf072
S
 vista de topo 
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 13 
Duas placas condutoras 
Densidades superficiais de carga e 1\u3c3 1\u3c3\u2212
\u23aa
\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7
\u2212
=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
1
\u3b5
\u3c3
\u3b5
\u3c3
E
\u23aa
\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7\u2212
=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
2
\u3b5
\u3c3
\u3b5
\u3c3
E
\u23aa\u23a9
\u23aa
\u23a8
\u23a7
=+=
placasdasfora0
placasasentre2
0
1
21 \u3b5
\u3c3
EEEtotal
Aproximando as placas: 
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 14 
Duas placas não condutoras 
Densidades superficiais de carga e )(+\u3c3 )(\u2212\u2212\u3c3
\u23aa
\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7
\u2212
=
+
+
+
placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(
\u3b5
\u3c3
\u3b5
\u3c3
E
\u23aa
\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7\u2212
=
\u2212
\u2212
\u2212
placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(
\u3b5
\u3c3
\u3b5
\u3c3
E
0
)()(
2\u3b5
\u3c3\u3c3 \u2212+ \u2212=RE
0
)()(
2\u3b5
\u3c3\u3c3 +\u2212 \u2212=LE
0
)()(
2\u3b5
\u3c3\u3c3 \u2212+ +=BE; ; 
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 15 
Simetria esférica: esfera condutora carregada (ou casca 
esférica carregada) 
\u23aa\u23a9
\u23aa
\u23a8
\u23a7
<
>
=
Rr
Rr
r
Q
rE
se,0
se,
4)( 20\u3c0\u3b5
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
2S
1S
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 16 
Simetria esférica: esfera não condutora 
uniformemente carregada 
\u23aa
\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7
<
>
=
Rr
R
rQ
Rr
r
Q
rE
se,
4
se,
4)(
3
0
2
0
\u3c0\u3b5
\u3c0\u3b5
0
int\u2c6)(
\u3b5
\u3c6 qdAnrE
S
=\u22c5=\u222b
\uf072\uf072
gaussiana 
esférica 
gaussiana 
esférica 
Cálculo de campo elétrico 
F328 \u2013 1S20123 17 
Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : 
(http://www.ifi.unicamp.br). 
Consultar: Graduação à\uf0e0 Disciplinas à\uf0e0 F 328-Física Geral III 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
Lista de exercícios do Capítulo 23 
F328 \u2013 1S20123 18