Numeros Complexos_jacs

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O que existe além dos números reais?
Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação:
 
x³ - 6x + 4 = 0
 
Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema
 
(u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0
uv = -2
 
u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0
uv = -2
 
Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se:
 
u³ - v³ + 4 = 0
v = -2/u 
Chamando u³ = t temos: 
Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação
x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0.
Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo: 
Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de
1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade: 
Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.
Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0
x² + 1 = 0
x² = -1
S = { }
Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação passará a ter solução não-vazia. 
No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:
Exemplo:
Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0. 
Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que: 
 A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.
Tomando um número complexo z = a + bi, temos:
a = 0 z = a + bi
b ≠ 0 (imaginário puro). 
Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma 
a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo.
Exemplo: 
Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais.
Exercícios:
Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real: 
Determine o valor de m e n para que o complexo 
z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro.
Resolução: 
z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0. Logo: 
m² - 4 = 0 
m² = 4
m = -2 ou m = 2
n³ - 27 ≠ 0 
n³ ≠ 27 
n ≠ 3 
 
Dados os complexos a seguir, determine:
a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro. 
Resolução:
m = 0 
2m – n + 1 ≠ 0 
-n ≠ -1 
n ≠ 1 
b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.
Resolução:
2b + 7 = 0 qualquer a є R 
2b = -7 
b = - 7/2 
 
c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.
Resolução: 
2x + 4 = 0 y – 3 = 0 
2x = -4 y = 3
x = -4/2 = -2
 
Resolva as equações a seguir para U = C: 
Igualdade e operações
 
Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z1 for igual a de z2, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:
a1 + b1i = a2 + b2i ↔ a1 = a2 e b1 = b2
 
Exemplo:
Considere os complexos z1 = (a + 1) + 3i e z2 = 4 + (2 – b) i. Teremos z1 = z2 se ocorrer: 
(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i 
a + 1 = 4
a = 3 
2 – b = 3 
b = -1 
 
Adição e subtração
 
Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z1 = a1 + b1i e 
z2 = a2 + b2i somando ou subtraindo as partes reais, a1 e a2 e as partes imaginárias b1 e b2: 
(a1 + b1i) + (a2+ b2i) = (a1+ a2) + (b1+ b2) i 
 
(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2) i 
Dados os complexos z1 = 2 – 3i e z2 = z2 = 4 + 6i, temos:
a)    z1 + z2 = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i
b)    z1 - z2 = 2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i
c)z2 – z1 = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i
d)2z1= z1 + z1 = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i
e)2z2 = z2 + z2 = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i
 
Efetue as operações indicadas:
a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i 
b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i
 
Multiplicação
Na multiplicação dos complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo 
i² = -1. Assim:
z1 = a1 + b1i
z2 = a2 + b2i
z1 . z2 = (a1 + b1i).( a2 + b2i)
z1 . z2 = a1a2 + a1b2i + a2 b1i + b1 b2i²
Como i² = -1, temos:
(a1 + b1i).( a2 + b2i) = (a1a2 - b1 b2) + (a1b2 + a2 b1) i
 
Exemplos:
Vamos multiplicar z1 = 3 + 2i por z2 = 3 + 4i
z1 . z2 = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =
9 + 18i – 8 = 1 + 18i
 
Se z1 = 4 e z2 = 2 - 5i, temos:
z1 . z2 = 4(2 – 5i) = 8 – 20i
Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real: 
z1 = 2 + i 
z2 = 2 – i 
z1 . z2 = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5 
 
 
Dados z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + i, calcule:
 a) z1 . z2 
 z1 . z2 = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i
 
 b) 2z1 - 3z2
 2z1 - 3z2 = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 – 9i 
 
 c) z1² 
 (1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i 
 
 d) z2²
 (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i 
 
 e) (z1 + z2)( z1 - z2) 
 (1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] = 
 = (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] = 
 = -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i
 
Dados os complexos z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1 - z2 seja um imaginário puro.
Resolução: 
 
z1 = a + 2i 
z2 = 3 – bi 
2z1 - z2 = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi = 
= (2a – 3) + (4 + b)i 
Para 2z1 - z2 seja um imaginário puro devemos impor: 
2a – 3 = 0 
2a = 3 
a = 3/2
4 + b ≠ 0 
b ≠ - 4 
 
Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².
Resolução:
z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48
 
Determine o valor real de x para que o número complexo:
z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.
Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,
Pois Im(z) = 3 ≠ 0
Então:
1 – 2x = 0
 -2x = -1
 x = 1/2
verificando, vem:
z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)
logo, x = 1/2
z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.
8 – x = 0
 x = 8
para x = 8, temos:
(2.8 – 3) = 13 ≠ 0
Logo, x = 8
 
 
Conjugado de um complexo
Vamos obter os conjugados dos seguintes números: 
 
 
Divisão 
 
Dados os complexos z1 e z2 com z2 ≠ 0, podemos fazer
 z1 /z2 multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador. 
Considere z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i.
Exemplos:
Vamos efetuar a divisão de z1 = 2 + 4i por z2 = 5 – i ;
Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso: 
Escreva os conjugados dos seguintes complexos:
z = -3i + 1
conjugado: 1 + 3i
Efetue as divisões: 
Simplifique a expressão: 
Determine o número complexo z tal que: 
(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i
a + bi – a + bi + a² - abi + abi –bi² = 8 + 4i
2bi + a² + b² = 8 + 4i
2b = 4
b = 2
a² + b² = 8
a² + 4 = 8
a² = 4
Logo, z = 2 + 2i ou z = -2 + 2i
 
Potências de i
Estudando as potências de i 
Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja:
9 : 4 =
Quociente = 2
Resto = 1
i¹ = i
82 : 4 =
Quociente = 20
Resto = 2
i² = -1
123 : 4 =
Quociente = 30
Resto = 3
i³ = -i