Limite

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Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Matema´tica I - GAN 00150
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2013
Matema´tica I
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Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Suma´rio
1 Definic¸a˜o de Limite
2 Exemplos
3 Propriedades dos Limites
4 Teorema
5 Exemplos
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3 Propriedades dos Limites
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1 Definic¸a˜o de Limite
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1 Definic¸a˜o de Limite
2 Exemplos
3 Propriedades dos Limites
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Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Introduc¸a˜o
A ideia de limite de uma func¸a˜o em um ponto e´ um processo
de aproximac¸a˜o.
Dada uma func¸a˜o f definida em um intervalo da forma (a, b),
exceto digamos em um ponto x0, tem vezes que podemos
aproximar o valor de f em x0.
Esta e´ a esseˆncia do conceito de limite, aproximar valores de
uma func¸a˜o.
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Definic¸a˜o de
Limite
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Propriedades
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Exemplos
Introduc¸a˜o
A ideia de limite de uma func¸a˜o em um ponto e´ um processo
de aproximac¸a˜o.
Dada uma func¸a˜o f definida em um intervalo da forma (a, b),
exceto digamos em um ponto x0, tem vezes que podemos
aproximar o valor de f em x0.
Esta e´ a esseˆncia do conceito de limite, aproximar valores de
uma func¸a˜o.
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Propriedades
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Introduc¸a˜o
A ideia de limite de uma func¸a˜o em um ponto e´ um processo
de aproximac¸a˜o.
Dada uma func¸a˜o f definida em um intervalo da forma (a, b),
exceto digamos em um ponto x0, tem vezes que podemos
aproximar o valor de f em x0.
Esta e´ a esseˆncia do conceito de limite, aproximar valores de
uma func¸a˜o.
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Introduc¸a˜o
A ideia de limite de uma func¸a˜o em um ponto e´ um processo
de aproximac¸a˜o.
Dada uma func¸a˜o f definida em um intervalo da forma (a, b),
exceto digamos em um ponto x0,
tem vezes que podemos
aproximar o valor de f em x0.
Esta e´ a esseˆncia do conceito de limite, aproximar valores de
uma func¸a˜o.
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Introduc¸a˜o
A ideia de limite de uma func¸a˜o em um ponto e´ um processo
de aproximac¸a˜o.
Dada uma func¸a˜o f definida em um intervalo da forma (a, b),
exceto digamos em um ponto x0, tem vezes que podemos
aproximar o valor de f em x0.
Esta e´ a esseˆncia do conceito de limite, aproximar valores de
uma func¸a˜o.
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Introduc¸a˜o
A ideia de limite de uma func¸a˜o em um ponto e´ um processo
de aproximac¸a˜o.
Dada uma func¸a˜o f definida em um intervalo da forma (a, b),
exceto digamos em um ponto x0, tem vezes que podemos
aproximar o valor de f em x0.
Esta e´ a esseˆncia do conceito de limite, aproximar valores de
uma func¸a˜o.
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Definic¸a˜o de Limite
Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o de Limite
Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a.
Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0,
existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0,
tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ
⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o de Limite
Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Definic¸a˜o (Definic¸a˜o Formal)
Se f esta´ definida em um intervalo I = (α, β) que conte´m a
“a”, exclu´ındo o valor a. Denotamos
lim
x→a f (x) = L
se dado � > 0, existe δ > 0, tal que, se
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Dizemos que o limite de f quando x aproxima-se de a e´ L.
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Teorema
Exemplos
Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸a˜o
Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a,
conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0,
devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸a˜o
Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ
⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ
⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸o˜es
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ)
⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, talque, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸a˜o
Esta definic¸a˜o formal do limite, usando propriedades de
nu´meros reais, equivale a, conhecido � > 0, devemos achar
δ > 0, tal que, se
−δ < x − a < δ ⇒ −� < f (x)− L < �
Esta u´ltima expressa˜o, pode ser reescrita no forma
a− δ < x < a + δ ⇒ L− � < f (x) < L + �
Em termos de intervalos, tem-se que
x ∈ (a− δ, a + δ) ⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ
sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero,
pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a,
pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero.
De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
Matema´tica I
- GAN 00150
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Definic¸a˜o de
Limite
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Propriedades
dos Limites
Teorema
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Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L,
dado que o valor � vai
para zero.
Matema´tica I
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Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Observac¸a˜o
Na definic¸a˜o formal, os valores para � e δ sa˜o bem pequenos e
”tendem”a zero, pois a aproximac¸a˜o e´ algo microsco´pico.
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o |x − a| < δ indica que x → a, pois δ e´ um valor
muito pequeno que aproxima-se a zero. De igual forma,
|f (x)− L| < � expressa que f (x)→ L, dado que o valor � vai
para zero.
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Propriedades
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Teorema
Exemplos
Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
Matema´tica I
- GAN 00150
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Limite
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Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Observac¸a˜o
Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Observac¸o˜es
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Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Se
lim
x→a f (x) = L
temos exatamente treˆs casos:
1 f esta´ definido em a e f(a) = L.
2 f NA˜O esta´ definido em a.
3 f esta´ definido em a e f (a) 6= L.
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Exemplos
Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
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Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) =
lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
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Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2
+ 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x
+ 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
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Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
=
3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
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Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2
+ 2(1) + 1 = 6
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Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
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Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
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(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1)
+ 1 = 6
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Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
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Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
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x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 =
6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Exemplo 1
Se f (x) = 3x2 + 2x + 1. Ache o limite lim
x→1
f (x).
Neste caso, podemos fazer um ca´lculo direto, ou seja
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(
3x2 + 2x + 1
)
= 3(1)2 + 2(1) + 1 = 6
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Limite
Exemplos
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dos Limites
Teorema
Exemplos
Exemplo 2
Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Exemplo 2
Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Exemplo 2
Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) =
lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Exemplo 2
Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
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A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
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A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Seja f (x) =
x − 4
x + 2
. Determine o limite lim
x→2
f (x)
A pesar que a func¸a˜o e´ definida por um quociente, podemos
fazer ca´lculo direto calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 4
x + 2
=
2− 4
2 + 2
= −1/2
Observamos que neste exemplo, quando x → 2 o denominador
na˜o zera, por este motivo podemos fazer o ca´lculo direto.
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Exemplo 3
Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Exemplo 3
Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Exemplo 3
Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente,
devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja,
x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4
= (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Exemplo 3
Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 =
(x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)
(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2)
para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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dos Limites
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// =
x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Aqui a dificuldade apresenta-se por ser um quociente, devemos
simplicar a expressa˜o de forma adequada, usamos propriedades
de nu´meros reais, ou seja, x2− 4 = (x − 2)(x + 2) para escrever
f (x) =
x2 − 4
x − 2 =
(x − 2)(x + 2)
x − 2
=
(x − 2)////////(x + 2)
x − 2////// = x + 2, ∀x 6= 2
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2,
na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f estejaou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) =
lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) =
2 + 2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 +
2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 =
4
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x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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Seja f (x) =
x2 − 4
x − 2 . Determine o limite limx→2 f (x)
Como no ca´lculo do limite, o que fazemos e´ aproximar f atrave´s
de valores bem pro´ximos de 2, na˜o interessa que f esteja ou
na˜o definida em x = 2.
Logo, calculamos
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
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Limite
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Exemplo 4
Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
2
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Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador,
o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1,
tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Calcule lim
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√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
2
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Exemplo 4
Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x+ 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Calcule lim
x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Calcule lim
x→1
√
x − 1
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Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 =
lim
x→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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x→1
√
x − 1
x − 1
Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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x→1
√
x − 1
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Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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√
x − 1
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Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
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x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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√
x − 1
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Devemos multiplicar pelo conjugado do numerador, o qual e´√
x + 1, tanto no numerador como no denominador
f (x) =
√
x − 1
x − 1
(√
x + 1√
x + 1
)
=
(
√
x − 1)(√x + 1)
(x − 1)(√x + 1)
=
x − 1
(x − 1)(√x + 1) =
1
(
√
x + 1)
, ∀x 6= 1
Agora, calculamos o limite
lim
x→1
√
x − 1
x − 1 = limx→1
1
(
√
x + 1)
=
1
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Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
Exemplos
Propriedades dos Limites
Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L,
lim
x→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c
= c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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lim
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Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c
= c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c ,
onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x)
= k. lim
x→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x)
= k. lim
x→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k.
lim
x→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x)
= k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k
.L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L,
onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)]
= lim
x→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)]
= lim
x→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)
± lim
x→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) =
L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L
±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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Sejam f e g func¸o˜es tais que
lim
x→a f (x) = L, limx→a g(x) = M
Temos as seguintes propriedades:
1 lim
x→a c = c , onde c e´ uma constante.
2 lim
x→a k.f (x) = k. limx→a f (x) = k .L, onde k ∈ R.
3 lim
x→a [f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) = L±M.
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4 lim
x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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4 lim
x→a [f (x).g(x)]
= lim
x→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Definic¸a˜o de
Limite
Exemplos
Propriedades
dos Limites
Teorema
ExemplosPropriedades dos Limites
4 lim
x→a [f (x).g(x)]
= lim
x→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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dos Limites
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Propriedades dos Limites
4 lim
x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x)
. lim
x→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x)
= L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
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x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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5 Se M 6= 0,
enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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5 Se M 6= 0,
enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
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positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
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x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
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x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
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x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
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x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
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x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x)
= n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
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x→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x) = L ·M
5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
=
L
M
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x→a
n
√
f (x)
= n
√
lim
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n
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L, onde L ≥ 0 e n inteiro
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5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
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=
L
M
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x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x)
=
n
√
L, onde L ≥ 0 e n inteiro
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5 Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
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=
L
M
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x→a
n
√
f (x) = n
√
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n
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L,
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positivo ou L < 0 e n inteiro positivo ı´mpar.
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x→a
f (x)
g(x)
=
lim
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=
L
M
6 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
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n
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5 Se M 6= 0, enta˜o lim
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