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1.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
	
	
	
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Derivação.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Integração.
	
	
	
	
	
	
		2.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	
		3.
		Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
	
	
	
	
	
	X30 + 8X + 9 
	
	
	X19 + 5X + 9 
	
	
	X20 + 2X + 9 
	
	
	X21 + 3X + 4 
	
	
	X20 + 7X - 9 
	
	
	
		4.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
	
	
	
	
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	
		5.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
	
	
	
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	
		6.
		Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
	
	
	
	
	
	3x - 1 
	
	
	x + 2
	
	
	3x + 7
	
	
	x - 3
	
	
	2x + 5
		1.
		O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA. 
	
	
	
	
	
	220
	
	
	293,2
	
	
	146,6
	
	
	20,0
	
	
	73,3
	
	
	
		2.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	
	
	
	
	
	0,3125
	
	
	0,2500
	
	
	0,2750
	
	
	0,3225
	
	
	0,3000
	
	
	
		3.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x2 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta aproximada o valor de:
	
	
	
	
	
	0,40
	
	
	0,33
	
	
	0,35
	
	
	0,38
	
	
	0,36
	
	
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor? 
	
	
	
	
	
	0,3
	
	
	0,5
	
	
	Indefinido
	
	
	30
	
	
	3
	
	
	
		5.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	
		6.
		Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
	
	
	
	
	
	0,245
	
	
	0,247
	
	
	0,237
	
	
	0,242
	
	
	0,250
		1.
		Considere a equação ex - 4x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	
	
	
	
	
	(0,5; 0,9) 
	
	
	(0,2; 0,5)
	
	
	(0,0; 0,2) 
	
	
	(0,9; 1,2) 
	
	
	(-0,5; 0,0) 
	Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
	
	
	
	
	
	0,313
	
	
	0,939
	
	
	0,625
	
	
	1,230
	
	
	1,313
	
	
	
		3.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor?
	
	
	
	
	
	0,050
	
	
	0,500
	
	
	0,100
	
	
	0,250
	
	
	0,025
	
	
	
		4.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	
		5.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definidada função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
	
	
	
	
	
	0,725
	
	
	0,351
	
	
	0,382
	
	
	1,053
	
	
	1,567
	
	
	
		6.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
	
	
	
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
		1.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	24
	
	
	23
	
	
	21
	
	
	22
	
	
	25
	Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir.
  
                                                          
 Se considerarmos a integral definida  , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a:
 
	
	
	
	
	
	Diferença entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	
	Média aritmética entre as áreas sob a curva e a do trapézio
	
	
	Área do trapézio
	
	
	Área sob a curva
	
	
	Soma entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	
	
		3.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
	
	
	
	
	
	2,50
	
	
	3,00
	
	
	1,34
	
	
	2,54
	
	
	1,00
	
	
	
		4.
		Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição.
	
	
	
	
	
	2
	
	
	1/5
	
	
	1/2
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	
		5.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida  com a n = 10, cada base h terá que valor?
 
	
	
	
	
	
	0,2 
	
	
	2 
	
	
	0,1
	
	
	1
	
	
	indefinido
	
	
	
		6.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Bisseção 
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jordan
		1.
		Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	
	
	
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	0,5
	
	
	1
	
	
	0,25
	
	
	
		2.
		Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	
	
	
	
	
	(0,0; 1,0)
	
	
	(-1,0; 0,0)
	
	
	(-1,5; - 1,0)
	
	
	(-2,0; -1,5)
	
	
	(1,0; 2,0)
	
	
	
		3.
		Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	
	
	
	
	
	(-0,5; 0,0)
	
	
	(0,2; 0,5)
	
	
	(0,5; 0,9)
	
	
	(0,9; 1,2)
	
	
	(0,0; 0,2)
	
	
	
		4.
		Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
	
	
	
	
	
	[1,2]
	
	
	[1,3]
	
	
	[0,3/2]
	
	
	[3/2,3]
	
	
	[0,3]
	Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg:
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	
	 Apenas II e III são verdadeiras.
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas.
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	
		6.
		 
O valor de aproximado da integral definida   utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
	
	
	
	
	
	30,299 
	
	
	24,199 
	
	
	15,807 
	
	
	20,099 
	
	
	11,672

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