Superfícies Estendidas.

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SUPERFÍCIES ESTENDIDAS
O que é uma Superfície Estendida?
O conceito de Superfície Estendida é aplicado quando necessitamos de um
aumento da taxa de transferência de calor, onde esse aumento pode ser
realizado de duas formas:
1) Aumentar o coeficiente de transferência de calor “h”.
2) Aumentar a área onde ocorre a troca térmica “As”.
Como funciona a opção 1?
Se aumentamos h, por consequência a velocidade de escoamento do fluido
também aumenta na troca térmica, com a necessidade de se usar
equipamentos como bombas e ventiladores.
Com essa situação podemos ter um aumento de potência e consumo de
energia, elevando os custos.
Como funciona a opção 
2?
O aumento de As se mostra 
útil uma vez que quando 
adicionamos uma superfície 
estendida na superfície já 
existente, aumentamos a 
superfície de troca térmica. 
Essas superfícies 
adicionais são chamadas de 
aletas, sendo constituídas 
de materiais bons 
condutores.Fonte: F. de tranferência de calor e 
massa Incropera 6º Ed.
Tipos de Aletas
Dependendo de fatores como por
exemplo espaço, peso e custo, é
decidido qual tipo de aleta será usada.
Planas: Estas são fixadas em paredes
planas e podem ter seção transversal
uniforme (retangular). A área é dada
pelo produto :
W(largura) x t(espessura).
http://professor.unisinos.br/mhmac/Transcal/Aletas.pdf
Tipos de Aletas
Anulares: 
São anexadas circunferencialmente a 
cilindros, onde sua seção transversal 
varia com o raio da parede do cilindro. 
Sua área é dada por 2πrt.
Piniformes(ou pinos):
Seção transversal uniforme circular, 
podendo ser uniforme.
Variação de temperatura na Aleta
- Há variação de temperatura desde a base da aleta (Ts) até a 
extremidade(T∞).
-Busca-se manter o mínimo de variação de temperatura ao longo 
da aleta.
-Uso de materiais com alta condutividade para permanecer 
próximo da situação ideal onde toda a superfície está na mesma 
temperatura da base e a condutividade é infinita.
-Exemplos de materiais: Cobre, alumínio, etc.
Aplicações de Aletas
-Dispostivos de resfriamento de cabeçotes de motores e 
compressores.
-Trocadores de calor em geral.
-Resfriamento de transformadores elétricos.
-Dissipadores de calor. 
Uma análise geral da condução
Na engenharia o foco está em como se pode usar o conceito de
superfícies estendidas ou agrupamento de aletas para obter uma
melhor eficiência na transferência de calor de uma superfície
para o fluido presente.
O primeiro passo para obter a taxa de transferência de calor
associada a uma aleta é determinar a distribuição de
temperaturas no decorrer da aleta e as hipóteses simplificadoras.
Hipóteses simplificadoras
-Regime permanente.
-Sem geração de calor na aleta.
-Condução unidimensional da direção x.
-A temperatura é uniforme na espessura da aleta. 
-A condutividade térmica do material da aleta é constante.
-O h é uniforme ao longo da aleta.
-Os efeitos da radiação na superfície da aleta são desprezíveis.
Distribuição de temperatura na aleta
Tomando um elemento diferencial como mostrado abaixo, é feito 
um balanço de energia:
http://professor.unisinos.br/mhmac/Transcal/Aletas.pdf
Distribuição de temperatura na aleta
Onde qcond,x é a taxa de condução em x, qcond,x+Δx é a taxa de condução 
em x+Δx e dqconv é a Taxa de convecção de calor do elemento.
Sabemos pela Lei de Fourier que :
Onde A é a área da seção transversal da 
Aleta, podendo variar com x.
Distribuição de temperatura na aleta
Apresentamos a taxa de condução de calor em x+∆x como:
Substituindo 2 em 3:
Tendo K como constante:
Distribuição de temperatura na aleta
A taxa de transferência de calor por convecção é:
Substituindo 2, 4 e 5 em 1:
Distribuição de temperatura na aleta
Reorganizando 6 temos:
Dividindo 7 por -K e derivando:
Distribuição de temperatura na aleta
Por fim, dividindo 8 por A:
Forma geral da equação da energia para superfície estendida. 
Aplicando as devidas condições de contorno encontramos a distribuição de temperaturas. 
Usando com a equação 2 pode-se calcular a taxa de condução para qualquer x.
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Como uma aleta tem como objetivo aumentar a taxa de 
transferência calor,podemos fazer a seguinte pergunta:
• Em quanto aumentamos
essa taxa de transferência 
de calor?
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Para responder esta pergunta precisamos calcular essa taxa 
quando a aleta está presente.
Pela Lei de Fourier :
Se quisermos calcular a taxa de transferência de calor, 
precisamos conhecer o gradiente de temperatura da aleta na sua 
base.
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Conseguimos determinar o gradiente de temperatura pelo o 
balanço de energia.
Que pode ser simplificado,sabendo que :
Atr: constante dAtr/dx=0
As= P.x dAs/dx =P
P:Perímetro
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Assim,temos:
(10)
Para facilitar a resolução da EDO, fazemos o uso da definição do 
excesso de temperatura :
(11)
Excesso de temperatura : A diferença da temperatura em qualquer 
ponto no interior da aleta entre a temperatura do fluido,no qual a 
aleta está trocando calor.
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Substituindo a equação (11) na (10), temos:
• m² = h.P/ k .Atr
• d²ϴ / d²x = d²T / d²x
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
O uso da temperatura de excesso gera uma EDO, de 2° ordem 
linear homogênea, que tem uma solução geral bem conhecida: 
Mas precisamos de uma solução particular sem estas constantes 
de integração. para isso estabelecemos duas condições de 
contorno:
1°- Pode ser especificada em termos da temperatura da base da 
linha:
• x=0
• T(0) = Tb
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
2°- Pode ser especificada na extremidade da aleta, x=L. Que 
pode corresponder a quatro situações diferentes:
Caso A: Transferência de calor convectiva
Caso B : Extremidade adiabática
Caso C : Temperatura especificada
Caso D : Aleta infinita
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Caso A: Transferência de calor convectiva:
Aplicando balanço de energia em uma superfície de controle 
,obtemos:
• h. Atr [T(L)- T∞]= -k .Atr .dT/dx|x=0
• h ϴ(L)= - K dϴ/dx|x=0
OBS: A taxa na qual a energia é transferida para o fluido por 
convecção na extremidade da aleta deve ser igual à taxa na 
qual a energia atinge a extremidade por condução.
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Caso A: Transferência de calor convectiva:
Substituindo 
em, e
Temos: 
ϴb = C1 + C2 ;
h.ϴ(L)= - K dϴ/dx|x=0
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
• Substituindo 
na equação:
chegamos que :
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Caso B: Extremidade adiabática
A transferência de calor da aleta é proporcional à área da superfície e a área da 
extremidade da aleta é uma fração desprezível em relação á área total da aleta. Então 
a ponta da aleta pode ser considerada adiabática.
A segunda condição do caso B :
• Substituindo e dividindo 
por m,temos:
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Caso B: Extremidade adiabática
• Usando ,ϴb = C1 + C2 para determinar C1 e C2 e substituindo na 
equação
.
temos:
Utilizando esta distribuição de temperatura em qa=-k Atr 
dϴ/dx|x=0 
então:
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Caso C : Temperatura especificada
Da mesma maneira podemos obter a distribuição de temperatura
no caso C,no qual a temperatura da extremidade da aleta é
especificada.
2° condição de contorno é:
• E as expressões resultantes têm forma:
assim:
Aletascom Área de Seção Transversal Uniforme
Caso D : Aleta infinita
Em particular, em L ∞, ϴL 0 e facilmente verifica-se:
Desempenho de Aletas
Definição de aletas: Superfícies estendidas usadas para aumentar 
a transferência de calor em uma superfície através do aumento da 
área superficial efetiva.
● As aletas representa uma resistência condutiva à transferência 
de calor na superfície original
● Para garantir que a taxa de transferência de será aumentada 
com o uso de aletas é necessário a determinação da 
efetividade da aleta, 𝛆ₐ.
Desempenho de Aletas
Sendo, 
● 𝛆ₐ - Efetividade da aleta
● 𝒒ₐ - Taxa de transferência de calor da aleta
● 𝒒convec= hAtr,bΘb - Taxa de transferência de calor por convecção 
sem aleta, através da área correspondente a área da base da 
aleta
Na prática só é justificável o seu uso se 𝛆ₐ ≥ 2.
Desempenho de Aletas
Para qualquer uma das quatro condições na extremidade que foram consideradas, a 
efetividade de uma aleta (𝛆ₐ) pode ser obtida dividindo - se a expressão apropriada 
para 𝒒ₐ por hAtr,bΘb 
Desempenho de Aletas
● Para a condição em que a aleta possui um comprimento 
infinito (caso D)
𝛆ₐ =
𝛆ₐ =
Desempenho de Aletas
● O desempenho de aletas podem também ser quantificados em 
termos de uma resistência térmica 
Da definição de resistência térmica, temos que para uma aleta 
Rt,a = 𝛉b/𝒒ₐ 
Dividindo a expressão da resistência térmica de convecção na base 
exposta (Rt,b=1/hAtr,b) pela resistência térmica da aleta obteremos 
Desempenho de Aletas
Uma outra medida de desempenho térmico é fornecida pela eficiência 
da aleta 𝛈ₐ
Definição: É a relação entre o calor trocado por uma aleta real e uma 
outra hipotética onde a temperatura é uniforme e igual à da base.
Onde 
● Aa = P*L é a área superficial da aleta.
● 𝒒ₐ - Taxa de transferência de calor da aleta
● hAa Θb - Taxa de transferência de calor máxima se toda a superficie da aleta 
estivesse na temperatura da base.
Desempenho de Aletas
Para uma aleta plana com seção transversal uniforme e 
extremidade adiabática temos
A eficiência 𝛈ₐ se aproxima de valores máximo e mínimo, 1 e 0, a 
medida em que L se aproxima de 0 e ∞
Desempenho de Aletas
● Comprimento corrigido
Utilizado para se trabalhar com aletas que apresentam 
convecção na extremidade como se esta fosse de ponta adiabatica.
➢ Lc = L + (t/2) - para uma aleta retangular 
➢ Lc = L + (D/4) -para uma aleta piniforme 
Desempenho de Aletas
Assim em vez calcular-se a taxa de t.c. para uma aleta plana 
retangular com uma extremidade ativa
a taxa de t.c. na aleta e sua eficiência podem ser aproximadas 
por
e
Desempenho de Aletas
Para os casos em que a largura da aleta é muito maior que sua 
espessura (w ⫸ t), o perímetro pode ser aproximado por P=2w e
Se multiplicarmos o numerador e o denominador por Lc^(½) e 
introduzirmos uma área corrigida do perfil da aleta Ap= Lct
Desempenho de Aletas
Desempenho de Aletas
ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO 
UNIFORMES 
EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA SUPERFÍCIES ESTENDIDAS:
Análise do comportamento térmico de uma aleta anular
EQUAÇÃO DE BESSEL MODIFICADA DE ORDEM ZERO
A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ACIMA É: 
PARA ENCONTRARMOS AS
CONSTANTES C1 E
C2,DIZEMOS QUE Ø(R1)= Øb
E QUE A SUPERFÍCIE
EXTERNA É ADIABÁTICA, OU
SEJA, dØ/dr|r1=o
Encontra-se que:
C1=k1(mr2)
C2=i1(mr2)
PARA ACHARMOS A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR DA ALETA 
APLICA-SE A LEI DE FOURIER E SERÁ OBTIDO A SEGUINTE EXPRESSÃO:
„A PARTIR DA EQUAÇÃO DA TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OBTÉM-SE A EFICIÊNCIA DA ALETA
OBS:ESTE RESULTADO PODE SER UTILIZADO PARA UMA 
EXTREMIDADE ATIVA(COM CONVECÇÃO) DESDE QUE R2 SEJA 
SUBSTITUIDO POR UM RAIO CORRIGIDO R2C.
QUANDO SE TEM CONHECIMENTO DA EFICIENCIA DA ALETA PODE-SE 
ANALISAR SUA RESISTÊNCIA
CONCLUSÃO: O PROJETO DE ALETAS É
FREQUENTEMENTE, MOTIVADO POR UM DESEJO DE
MINIMIZAR O MATERIAL DA ALETA E/OU OS CUSTOS
NECESSÁRIOS RELACIONADOS A SUA FABRICAÇÃO
PARA ATINGIR UMA EFETIVIDADE DE RESFRIAMENTO
ESPECIFICADA.
EFICIÊNCIA DE PERFIS DE ALETAS COMUNS
QUESTÃO
Eficiência Global da Superfície
Essa eficiência caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas 
e a superfície base na qual esse conjunto está fixado. 
Eficiência Global da Superfície
Onde At é a área superficial associada à área das aletas e a fração 
exposta da base. Sendo, 
● N - Número de aletas;
● Aa - Área de uma aleta;
● Ab - Área da superfície exposta da base;
Eficiência Global da Superfície
A taxa total de transferência de calor do sistema é:
Taxa de transferência 
de calor pelas aletas
Taxa de transferência de calor 
através da base sem aletas
Eficiência Global da Superfície
A taxa total de transferência de calor do sistema é:
Eficiência Global da Superfície
A eficiência global da aleta será:
Eficiência Global da Superfície
Eficiência Global da Superfície
Sabendo que a resistência da aleta e a resistência térmica por 
convecção da base exposta são respectivamente: 
qa e qb serão:
Eficiência Global da Superfície
Se substituirmos os valores de qa e qb na equação da eficiência 
teremos: 
Onde Rt,o = NRt,a + Rt,b , ou seja, é a resistência efetiva que leva 
em conta as trajetórias do calor parelas por condução/conveção 
nas aletas e por convecção na superfície exposta da base. 
Eficiência Global da Superfície
Questão
Questão - Continuação