Equações Diferenciais Ordinárias

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA 
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFa JURSELEM C. PEREZ 
 
 
 
 
 
 
 JULHO / 2013 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2 
4.1. Equações Diferenciais 3 
4.1.1. Definição 3 
 
4.2. Equações Diferenciais Ordinárias 3 
4.2.1. Ordem e Grau de uma Equação Diferencial 3 
4.2.2. Definição da Solução 3 
4.2.3. Equações Diferenciais de 1a ordem 4 
4.2.3.1. Forma Normal e Forma Diferencial 4 
4.2.3.2. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 4 
4.2.3.3. Equações Diferenciais Homogêneas 4 
4.2.3.4. Equações Diferenciais Exatas 5 
4.2.3.5. Equações Diferenciais Não Exatas 5 
4.2.3.6. Equações Diferenciais Lineares 5 
4.2.3.6.1. Equações Diferenciais de Bernoulli 5 
 
 
4.3. Equações Diferenciais Lineares de ordem n 6 
4.3.1. Operador Diferencial 6 
4.3.2. Independência Linear 7 
 
4.4. Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de 2a Ordem com 
coeficientes constantes 8 
4.4.1. Solução em termos das raízes características 8 
 
4.5. Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de Ordem n com 
coeficientes constantes 9 
4.5.1. Solução em termos de raízes características 9 
 
 
4.6. Equações Diferenciais Lineares Não-Homogêneas 9 
4.6.1. Determinação da Solução Particular 9 
4.6.1.1. Método dos Coeficientes a determinar 9 
4.6.1.2. Método da Variação dos Parâmetros 10 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 3 
4.1- Equações Diferenciais 
 
4.1.1. Definição 
É uma equação que contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em 
relação a uma ou mais variáveis independentes. 
Exemplos: 1) 35  x
 xd
 yd ; 2) 035
2

 xd
 ydx
 xd
 ydy 2 
3) y’ + 3 y = 0; 4) xe 3 y y  4 
 
Existem dois tipos de equações diferenciais: 
1o) Equações diferenciais ordinárias: quando a incógnita é dependente de uma única 
variável. 
2o) Equações diferenciais parciais: quando a incógnita depende de duas ou mais 
variáveis. 
 
 
4.2. Equações Diferenciais Ordinárias 
 
4.2.1. Ordem e Grau de uma Equação Diferencial 
 
A ordem de uma equação diferencial corresponde a ordem da derivada mais elevada 
que nela comparece. 
 
O grau de uma equação diferencial é a potência a que se acha elevada a derivada de 
ordem mais alta. 
Exemplos: 1) 054
23
 xy
 xd
 yd)x(sen
 xd
 yd
23 ; 2) x xd
 yd y
 xd
 ydy
 xd
 yd
2 53
2
3
752


















 
 3) y’ – 4xy = 2; 4)   )xcos(y y  3 
 
4.2.2. Definição da Solução 
Chama-se solução de uma equação diferencial num intervalo I, a toda função y = f(x) 
que verifica identicamente essa equação, para qualquer que seja o valor independente 
em I. 
O conjunto de todas as soluções de uma equação diferencial é dito sua solução geral. 
Qualquer solução de uma equação diferencial que se obtém atribuindo-se valores 
particulares às constantes arbitrárias que figuram na solução geral denomina-se 
solução particular da mesma. 
 
Exemplo: y(x) = c1 cos(2x) + c2 sen(2x) é a solução geral da equação diferencial 
04  yy , sendo yp(x) = cos(2x) + 4 sen(2x) as soluções particulares desta equação 
diferencial. 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 4 
4.2.3. Equações Diferenciais de 1a Ordem 
 
4.2.3.1. Forma Normal e Forma Diferencial 
A forma normal de uma equação diferencial de 1a ordem é: y),x(fy  ou y),x(f
 xd
 yd
 . 
A função f(x, y) pode ser escrita como quociente de duas outras funções M(x, y) e 
– N(x, y). Como 
 xd
 yd y  , podemos reescrever de modo que: 
 y),x(N
)y ,x(M
 xd
 yd

 o que 
equivale à forma diferencial: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. 
 
 
4.2.3.2. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 
Consideremos a equação diferencial de 1a ordem na forma diferencial 
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Se M(x, y) se reduz a uma função somente de x e N(x, y) se 
reduz a uma função somente de y, então: M(x) dx + N(x) dy = 0 é uma equação 
diferencial de variáveis separáveis. 
 
Determinação da Solução Geral 
Seja M(x) dx + N(x) dy = 0 uma equação diferencial de variáveis separáveis, então: 
   c y d N(y) x d )x(M , sendo c uma constante arbitrária, é a sua solução geral. 
Exemplos: 
 
 
4.2.3.3. Equações Diferenciais Homogêneas 
Na equação diferencial homogênea: y),x(f
 xd
 yd
 é homogênea se f(t x, t y) = f(x, y). 
Então, efetua-se a substituição y = xv e sua derivada correspondente 
 xd
v d xv
 xd
 yd
 , 
obtendo-se uma equação diferencial de variáveis separáveis. 
Exemplos: 
 
4.2.3.4. Equações Diferenciais Exatas 
Uma equação diferencial da forma: M(x, y) d x + N(x, y) d y = 0 é exata numa região R 
do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x, y). 
 
Teste: Se M(x, y) e N(x, y) são funções contínuas com derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas numa região retangular R definida por a < x < b e c < y < d. Então uma 
condição necessária e suficiente para que M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 seja uma diferencial 
exata é: 
 x
 y)N(x, 
 y
 y)M(x, 




 . 
Exemplos: 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 5 
4.2.3.5. Equações Diferenciais Não exatas 
Em geral a equação diferencial M(x, y) d x + N(x, y) d y = 0 não é exata. Entretanto, é 
possível transformá-la numa equação diferencial exata, mediante a multiplicação por 
um fator integrante adequado. 
 
Definição: Uma função I(x, y) é um fator integrante se a equação 
I (x, y) [ M(x, y) d x + N(x, y) d y = 0 ] é exata. Uma equação diferencial pode admitir 
mais de um fator integrante. 
 
Fatores Integrantes: estes fatores integrantes tornam-se solução de certa equação 
diferencial quando M(x, y) e N(x, y) satisfazem certas condições: 
a) Se )x(g
 x
N 
 y
M 
N










1 , então 
 xd g(x) 
e y)(x, I . 
b) Se )y(h
 x
N 
 y
M 
M










1 , logo 
 yd h(y) 
e y)(x, I 
Exemplos: 
 
 
4.2.3.6. Lineares 
É toda equação diferencial de 1a ordem do tipo: y’ + p(x) y = q(x). Tendo como fator 
integrante: I(x, y) =  xd p(x) e . 
Exemplos: 
 
4.2.3.6.1. Bernoulli 
É toda equação diferencial de 1a ordem do tipo: y’ + p(x) y = q(x) yn . Portanto, faz-se 
troca de variável, de modo que z = y1-n, tornando a equação linear. A seguir, aplica-se o 
fator integrante: I(x, y) =  xd p(x) e e determina-se a solução da equação. 
Exemplos: 
 
 
 
4.3. Equações Diferenciais Lineares de ordem “ n “ 
A equação diferencial linear de ordem “ n “ é definida por: 
f(x) y(x)by (x)by (x)b........ y(x)by (x)b 01
1-n
n
n
n   21 , onde f(x) e bi(x) com 
i = 0, 1, 2, 3,....., n dependem somente da variável x. 
 
Exemplo: 2 x- 1 x y y 4)(x y x - y x 2 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 6 
Teorema: Seja o problema de valor inicial de ordem “ n “ definido como: 
f(x) yby by b........ yby b 012
1-n
1n
n
n   (1), sendo: y = c0 , y’ = c1 , y’’ = c2 , .... , 
yn – 1 = cn – 1 e yn = cn , onde ci são constantes arbitrárias para i = 0, 1, 2, 3, ...., n. 
Se bi  n i 0 são aplicações contínuas definidas num intervalo I, então o problema de 
valor inicial (P. V. I.) tem uma única solução nesse intervalo. 
 
Dividindo-sea equação (1) por bn, obtém-se: 
g(x) yay ay a........ yay 01
1-n
n
n   21 , onde: 
nb
)x(f)x(g  e 
n
i
j b
ba  com n j 0 
são aplicações contínuas. 
 
Exemplo: y(4) + 2x y’’’ + x y’’ – (x – 2) y’ + 2xy = x2 
 
 
4.3.1. Operador Diferencial (L) 
Seja y uma solução de uma equação diferencial linear de ordem “n“ na forma: 
g(x) yay ay a........ yay 01
1-n
n
n   21 . 
Então o operador diferencial L é definido como: 
L(y) = yay ay a........ yay 01
1-n
n
n   21 
 
Teorema 1: Se g(x) = 0 então L(y) = 0 é dita uma equação diferencial homogênea de 
ordem “ n “, caso contrário, a equação diferencial é dita não homogênea. 
 
Exemplos: 1) 0 x y y x y  2 
 2) 2 x x y y x y  3 
 
Teorema 2: Se em L(y) todas as aplicações a j (j = 0, 1, 2, 3, ....., n-1) são constantes, 
então a equação diferencial é chamada de coeficientes constantes, caso contrário, ela 
será de coeficientes variáveis. 
 
Exemplos: 1) 2x 4y y y  3 
 2) 0 y x y  
 
Observação: O operador diferencial L é linear: L(c1 y1 + c2 y2) = c1 L(y1) + c2 L(y2), 
sendo: c1 e c2 as constantes arbitrárias e y1 e y2 as funções arbitrárias “n” vezes 
deriváveis. 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 7 
4.3.2. Independência Linear 
Seja um conjunto de funções  )x( y, .... ),x( y),x(y n21 , onde yi (x) para i = 0, 1, 2, 3, ..., n, 
é um conjunto linearmente dependente em I se e, somente se, existirem c1 , c2 , ...., cn , 
não todas nulas, tais que: 021  )x( yc....)x( yc)x( yc nn21 . Caso contrário, o 
conjunto é dito linearmente independente. 
 
Observação: Uma equação diferencial linear homogênea de ordem “n” da forma 
L(y) = 0 sempre terá “n” soluções linearmente independentes. 
 
Teorema 1: Se y1 , y2 , y3 , ....., yn são soluções L.I. de uma equação diferencial linear 
homogênea de ordem “n”, então y(x) = )x( yc....)x( yc)x( yc nn21  21 é a solução 
geral desta equação, onde ci  n i 0 são constantes arbitrárias. 
 
Exemplo: A equação linear homogênea de 2ª ordem: y’’ – 9 y = 0 possui o conjunto de 
soluções linearmente independentes da forma:  3x- 3x e ,e , logo a solução geral será 
escrita como: y(x) = c1 e3x + c2 e- 3x. 
 
Teorema 2: Sejam y1 , y2 , y3 , ....., yn funções definidas num intervalo qualquer I e “n-1” 
vezes deriváveis. O wronskiano do conjunto  )x( y, .... ),x( y),x(y n21 é definido por: 
 
11
2
1
1
21
21
1



n
n
nn
n
n
n2
y....yy
................
y....yy
y....yy
y,...., y,yw . 
 
Teorema 3: Sejam y1 , y2 , y3 , ....., yn soluções de L(y) = 0. O conjunto 
 )x( y, .... ),x( y),x(y n21 é L. I. num intervalo I, onde yi  n i 0 estão definidas se e, 
somente se, w (y1, y2, .... , yn )  0. 
 
Exemplo: y’’ – 9y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 8 
4.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE 2a ORDEM COM 
COEFICIENTES CONSTANTES 
A equação diferencial homogênea de 2a ordem é definida por: 0 y a y ay 0  1 , 
sendo a1 e a0 coeficientes constantes, cuja equação algébrica é: 01
2  0a a que 
está associada a equação diferencial homogênea de 2a ordem. 
 
Observação: a)  é um parâmetro real ou complexo; 
 b) 01
2  0a a , onde 2 e 1 são chamadas raízes características 
desta equação. 
 
Exemplo: y’’ – 3y’ + 2y = 0 
 
 
4.4.1. Solução em termos das raízes características 
 
1o) Raízes reais e distintas: Se  , 21 , ou seja, 2 1 . O conjunto de soluções 
linearmente dependentes é dado por   e , e x x 21 e sua solução geral é igual a: 
 e ce c)x(y x x1 221
  . 
 
Exemplos: 
 
2o) Raízes reais e simétricas: Se  , 21 , sendo 2 - 1 . Desse modo, o 
conjunto de soluções linearmente independentes é escrito como:   e , e x x 2 2 . Tendo 
como solução: e ce c)x(y x x2 221
  . 
 
Exemplos: 
 
3o) Raízes reais e iguais: Se  , 21 , onde  21 (raiz de multiplicidade 
dois). O conjunto solução L.I. é dado por:   x e , e x x  , então escrevemos a solução 
da equação diferencial da forma: xe ce c)x(y x x   21 . 
 
Exemplos: 
 
4o) Raízes complexas: Se C , 2 1 onde i ba 1 e i ba 2 com a, b  . 
O conjunto de soluções L.I. é escrito da forma:    e , e xi) b-(a x i ba , logo a solução é dada 
por: y(x) = ea x [ k1 cos(bx) + k2 sen(bx) ]. 
 
Exemplos: 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 9 
4.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE ORDEM “n” COM 
COEFICIENTES CONSTANTES 
No caso geral, a equação diferencial de n-ésima ordem definida como: 
0 yay ay a........ yay 01
1-n
n
n   21 , onde ai para i = 0, 1, 2, 3, ....., n são 
coeficientes constantes. 
A equação característica associada à equação diferencial acima é da forma: 
0121   0
21-n
n
n a a a.... a , sendo  um parâmetro real ou complexo. 
Observação: Todo polinômio de grau ímpar, tem pelo menos, uma raiz real. 
 
 
4.5.1. Solução em termos das raízes características: 
 
1o) Raízes reais ou complexas distintas: Sendo n....  21  , então o conjunto 
de soluções linearmente independentes é da forma:   e ,....., e , e x x x n2 1 e a solução 
geral será: xn
 x x n1 e c.... e ce c)x(y   221 . 
 
Exemplos: 
 
2o) Raízes de multiplicidade “m”: Sendo i  ni 1 é uma raiz de multiplicidade “m”, 
sendo N m , então a ela estão associadas “m” soluções linearmente independentes 
do tipo:   e x....., ,e x, e x , e x 1-m x2 x x m32 1 . A solução geral será da forma: 
 x1-m
n
 x2 x x m31 e xc....e xc e x ce c)x(y   321 2 . 
 
Exemplos: 
 
 
 
4.6- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO-HOMOGÊNEAS 
A solução geral de uma equação diferencial linear não-homogênea de ordem “n” da 
forma: g(x) yay ay a........ yay 01
1-n
n
n   21 , consiste em determinar: 
1o) a solução homogênea fazendo L(y) = 0; 
2o) a solução particular fazendo L(y) = g(x). 
 
Portanto: y(x) = yh(x) + yp(x) 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 10 
4.6.1- Determinação da Solução Particular 
 
4.6.1.1- Método dos Coeficientes a determinar: Sendo o polinômio 
 a xa xa........ xax a)x(p 01
21-n
n
n
n   21 , então devemos procurar a solução 
particular do seguinte modo: 
a) Se g(x) = pn(x), logo 


n
i
i
ip xa)x(y
0
, onde ai  n i 0 são coeficientes a determinar. 
Exemplos: 
 
b) Se g(x) = eax pn(x) a solução particular será da forma: 


n
i
i
i
 xa
p xa e)x(y
0
, sendo ai 
as constantes a determinar. 
Exemplos: 
 
c) Se g(x) = eax pn(x) sen(bx) ou g(x) = eax pn(x) cos(bx), onde a e b são constantes 
conhecidas, então a solução particular será do tipo: 
cos(bx) xb e)bx(sen xa e)x(y
n
0i
i
i
 xa
n
i
i
i
 xa
p 


0
 , sendo ai e bi constantes a determinar. 
Exemplos: 
 
 
4.6.1.2- Método da Variação dos Parâmetros 
Seja L(y) – g(x) uma equação diferencial não-homogênea de ordem “n” e a solução 
homogênea da forma: )x( yc....)x( yc)x( yc)x(y nn21h  21 , sendo 
 )x( y, .... ),x( y),x(y n21 um conjunto de soluções linearmente independentes de L(y) = 0. 
Então a solução particular de L(y) = g(x) é escrito como: 
)x( yv....)x( yv)x( yv)x(y nn21h  21 , onde vi  n i 0 são constantes a determinar. 
Para determinação de vi, resolve-se o sistema de equações lineares iv : 













 )x(g yv...... yv yv
................................................y v......y vy v
y v......y vy v
 yv...... yv yv
n
nn
1-n
2
1-n
1
nn21
nn21
nn21
1
21
21
21
21
0
0
0
 
 
Após integra-se cada iv a fim de obter-se vi correspondente. 
 
Exemplos: