Resumo Derivadas

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Daniel L. Zanoello 
Derivável ou diferenciável: 𝑓′(𝑥) existe em um ponto x ou em um intervalo 
Contínua: 𝑓(𝑥) é derivável em x e lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 então 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
 
𝑑(𝑐)
𝑑𝑥
= 0 
𝑑[𝑐.𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
= 
𝑐.𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑑(𝑎𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑎𝑥 . ln 𝑎 
 
𝑑𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑑𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
−
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
 
Produto e quociente: 
𝑑[𝑓(𝑥) .𝑔(𝑥)]
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 . 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) . 
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑑 [
𝑓(𝑥) 
𝑔(𝑥)
]
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 . 𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥) . 
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)]2
 
Trigonométricas: 
𝑑[sen(𝑥)]
𝑑𝑥
= cos(𝑥) 
𝑑[cos(𝑥)]
𝑑𝑥
= −sen(𝑥) 
𝑑[tg(𝑥)]
𝑑𝑥
= sec2(𝑥) 
Logarítmicas: 
𝑑(log𝑎 𝑥)
𝑑𝑥
= 
1
𝑥. ln 𝑎
 
Regra da cadeia: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 ou se 𝐹(𝑥) = 𝑓𝑜𝑔 então 𝐹′(𝑥) = 𝑓′[𝑔(𝑥)] . 𝑔′(𝑥)
 
Exponencial composta: 
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) então 𝐹′(𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−1. 𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). ln 𝑔(𝑥) . 𝑔′(𝑥) 
Ordem superior: 
𝑑(
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 )
𝑑𝑥
=
𝑑2𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2
 𝑓𝑛(𝑥) =
𝑑𝑛𝑓(𝑥)
𝑑𝑥𝑛
 
 
 
Daniel L. Zanoello 
Reta tangente de 𝑦 = 𝑓(𝑥) em [𝑎, 𝑓(𝑎)]: 
𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎). (𝑥 − 𝑎) 
normal: 𝑚𝑛. 𝑓
′(𝑎) = −1 
Derivação implícita: (y não está isolado) derivar dos dois lados 
𝑥2 + 𝑦 = 3𝑥𝑦 → (𝑥2 + 𝑦)′ = (3𝑥𝑦)′ 
Trigonométricas inversas: 
𝑑[𝑎𝑟𝑐 sen(𝑥)]
𝑑𝑥
=
1
√1−𝑥2
 
𝑑[𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥)]
𝑑𝑥
=
−1
√1−𝑥2
 
𝑑[𝑎𝑟𝑐 tg(𝑥)]
𝑑𝑥
=
1
1+𝑥2
 
Máximos, mínimos e ponto crítico: 
Se 𝑐 é um ponto crítico, então: 𝑓′(𝑐) = 0 ou 𝑓′(𝑐) ∄