Derivada AULA Conteúdo

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DERIVADADERIVADA
ProfaProfa. . JulianeJuliane GanemGanem
O aluno deverá:
•Conhecer as regras de derivação
•Calcular funções derivadas usando as regras de derivação
Técnicas de derivação
1- A derivada de uma constante é nula:
0=⇒ℜ∈=
:
)(',)(
Exemplos
xfccxF
Seja uma função F, a sua derivada f ’ será:
0
4
3
03
05
=⇒=
=⇒−=
=⇒=
)(')()
)(')()
)(')()
:
xfxFc
xfxFb
xfxFa
Exemplos
Técnicas de derivação
2- A derivada de uma função identidade é igual a 1.
1=⇒ℜ∈=
:
)(',)(
Exemplos
xfxxxF
Seja uma função F, a sua derivada f ’ será:
4
31
4
3
4
3
3133
2122
==⇒=
−=−=⇒−=
==⇒=
.)(')()
.)(')()
.)(')()
:
xfxxFc
xfxxFb
xfxxFa
Exemplos
Técnicas de derivação
3- A derivada da função potência
1
Exemplos
xnxfxxF nn == −
:
.)(',)(
Seja uma função F, a sua derivada f ’ será:
223
334
45
4
93
4
3
4
3
12433
5
xxxfxxFc
xxxfxxFb
xxfxxFa
==⇒=
−=−=⇒−=
=⇒=
.)(')()
.)(')()
)(')()
Técnicas de derivação
4- Derivadas trigonométricas
xsecxtg(x)f'xsecf(x)
xsec(x)f'xtagf(x)
senx(x)f'xcosf(x)
cosx(x)f'xsenf(x)
2
=⇒=
=⇒=
−=⇒=
=⇒=
 xcotg x cossec(x)f'xcossecf(x)
xcossec(x)f'xcotgf(x)
xsecxtg(x)f'xsecf(x)
2
−=⇒=
−=⇒=
=⇒=
Técnicas de derivação
5- A derivada da função soma ou diferença
Sejam u=u(x) e v=v(x), duas funções deriváveis no ponto x.
Exemplos :
283
02243
524
14
2
2
23
34
+−=
−+−=
−+−=
+=⇒+=
xxxf
xxxf
xxxxfb
xxfxxxfa
Exemplos
)('
..)('
)()
)(')()
:
Derivada
:.6432)()1
:
23 CalcularxxxxffunçãoaDada
Exemplos
+−−=
6432)(
)(')
23 +−−= xxxxf
xfa
466)('
)2(')
2
−−= xxxf
fb
466)('
04.3.2.3.2)('
2
2
−−=
+−−=
xxxf
xxxf
8)2('
412)2('
41224)2('
4124.6)2('
42.62.6)2(' 2
=
−=
−−=
−−=
−−=
f
f
f
f
f
Derivada
).('Determinar.cos2)()2
:
2 xfxxsenxxffunçãoaDada
Exemplos
+−=
xxsenxxf
xxsenxxf
xf
2cos2)('
2)(cos2)('
xcox-xsen 2)( 2
++=
+−−=
+=
xxsenxxf 2cos2)(' ++=
Derivada
6- A derivada de uma função produto
Exemplos:
'.'.)('.)( vuvuxfvuxf +==
( )( ).532xf(x) de derivada aCalcular 1) 2 +−= xx( )( )
( )( )
5)('
50)('2x2)('
53)(2x)(
:532xy Se
.532xf(x) de derivada aCalcular 1)
2
2
2
=
+=−=
+=−=
+−=
+−=
xv
xvxu
xxvxxu
osconsideramxx
xx
Derivada
u.vy
:produtododerivadaaAplicando
5)('2x2)('
53)(2x)( 2
=
=−=
+=−=
xvxu
xxvxxu
( )( ) ( )( )
614x15'
10x5106106y'
52x532x2y'
u.v'u'.vy'
2
22
2
−−=
−+−−+=
−++−=
+=
xy
xxxx
xx
Derivada
xsenxvxu
xxvxu
2
3
3
:produtododerivadaaAplicando
)('x3)('
cos)(x)(
(x).f'determinarx,cosxf(x)funçãoaDada2)
−==
==
=
xsenxxxxf
xsenxxxxf
vuvuxf
32
32
cos3)('
).(cos.3)('
'.')(
:produtododerivadaaAplicando
−=
−+=
+=
3)1).(2x4x.(3xf(x)funçãodaderivada aCalcular 3) +−=
( )
:funções as doConsideran
3).(2x4x12xf(x)
3)1).(2x4x.(3xf(x)
:funçãoaPreparando
2 +−=
+−=
2)('4.24)('
02)('4.12.2)('
32x)(4x12x)(
:funções as doConsideran
2
=−=
+=−=
+=−=
xvxxu
xvxxu
xvxu
Derivada
( )( )
'.')(
:produtododerivadaaAplicando
2)('4.24)('
32x)(4x12x)( 2
+=
=−=
+=−=
vuvuxf
xvxxu
xvxu
( )( )
125672)('
1288722448)('
8241287248)('
2).412(32424)('
2
22
22
2
−+=
−−−++=
−+−−+=
−++−=
xxxf
xxxxxxf
xxxxxxf
xxxxxf
Derivada
7- A derivada de uma função quociente
,0)(,)(
)()( xvsendo
xv
xu
xfSe ≠=
2
'.'.)('
)(
v
vuvu
xf
xv
−
=
Derivada
1'2'
31
).(',
3
1)()1
2
2
==
−=+=
−
+
=
vxu
xvxu
xfcalcular
x
x
xffunçãoaDada
( )
'.'.)(' 2
−
=
v
vuvu
xf
( )( ) ( )
( )
96
16)('
96
162)('
3
1.13.2)('
2
2
2
22
2
2
+−
−−
=
+−
−−−
=
−
+−−
=
xx
xx
xf
xx
xxx
xf
x
xxx
xf
v
Derivada
xvu
xvxu
fcalcular
x
x
xffunçãoaDada
2'3'
273
).2(',
2
73)()2
2
2
==
−=−=
−
−
=
2
'.'.)(' −=
v
vuvu
xf
( ) ( )
( )
( )22
22
22
2
2
2
)146(63)('
2
2.732.3)('
)('
−
−−−
=
−
−−−
=
=
x
xxx
xf
x
xxx
xf
v
xf
( )
( )
( )22
2
22
22
22
22
2
6143)('
2
61463)('
2
14663)('
−
−+−
=
−
−+−
=
−
+−−
=
x
xx
xf
x
xxx
xf
x
xxx
xf
Derivada
( )
( )22
2
22
2
22
62.142.3)2('
2
6143)('
:2
−
−+−
=
−
−+−
=
=
f
x
xx
xf
xparaderivadaaCalculando
4
10)2('
4
616)2('
=
−
=
f
f
( )
( )
( )2
2
22
2
62812)2('
24
6284.3)2('
22
)2('
−+−
=
−
−+−
=
−
f
f
2
5)2('
: temosr,denominado
enumeradorno
2por
4
=f
ndosimplifica
Derivada
Para relembrar algumas relações:
Derivada da função composta ou Regra da Cadeia
Dada a função composta definida por f(x)=u[v(x)] .
As derivadas u’(x) e v’(x) existem. Então:
F’(x)=u’(v).v’(x)
Exemplos
1) Se f(x) = sen (3x), determinar f’(x).
3x vamos chamar de vvvv
A função foi dada na forma “ uma dentro da outra”. Então temos
que usar a regra da cadeia.
u=sen v v=3x f’(x)=u’.v’
u’=cos v v’=3 f’(x)= cos v. 3
f’(x)=3 cos v 
f’(x)=3 cos 3x
3x vamos chamar de vvvv
Terminamos a 
derivação.
Agora vamos 
substituir o v 
pelo seu 
verdadeiro 
valor: 3x
Derivada
( )
senxvvu
xvvu
'2'
cos
 xcos x cos que lembrando:Obs
(x).f'determinarx, cosf(x) função a Dada
 2) Exemplo
2
22
2
−==
==
=
=
Vamos chamar cos x de vvvv
senxxxf
senxxxf
senxvxf
cos2)('
)(.cos2)('
).(2)('
−=
−=
−=
Vamos chamar cos x de vvvv
Terminamos a 
derivação.
Agora vamos substituir 
o v pelo seu verdadeiro 
valor: cos x
Derivada
')('
cos
.determinar(2x), cosf(x) função a Dada
 3) - Exemplo
2
vvsenu
xvvu
xparaaderivada
22
2
8
2
=−=
==
==
pi
8
42
8






−=





.'
pipi
senf
Vamos chamar 2x de vvvv
)()('
).()('
).()('
xsenxf
xsenxf
vsenxf
42
222
22
−=
−=
−=
212
8
902
8
2
2
8
8
42
8
−⇒−=





°−=











−=









−=



.'
'
'
.'
pi
pi
pipi
f
senf
senf
senf
Derivada da potência de uma função
'..'g y 
:escrever podemos simples, mais forma umaDe
).('.n.[g(x)](x)f'
 :temos cadeia, da regra pela então,[g(x)] f(x) Se
IR.ncom,[g(x)]f(x) função a osConsiderem
n
1n-
n
n
ggny
xg
n 1−
=⇒=
=
=
∈=
4
1-5
5.
2)(3x)('
2)5.3.(3x(x)f'
derivada sua Determinar2)(3xf(x) função a Dada
1) Exemplo
+=
+=
+=
15xf
A derivada de 
3x+2 é 3333
Derivada
( )
2).4.(4x
2
1
(x)f'
f(x)
(3).f'calcular,2-4xf(x) função a Dada
2) Exemplo
−=
−=
=
−
24
1
2
1
2
1
x
2
3= :temos , xpara
 derivada a Calculando
24x
2)(4x
)('
2)2.(4x)('
2).(4x
2
4
)('
2
−
=
−
=
−=
−=
−
−
22
2
1
2
1
2
2
2
1
xf
xf
xf
5
10
10
102
10
10
10
2
10
223
23
==
=
−
=
=
−
=
.
212
)('
24.3
)('
f
f
Derivada
(x).f'calcularx,cos-xf(x) função a Dada 3) Exemplo 22sen=
( )
).()('
''cos
 xcosx cosf(x) 2
senxvxf
senxvvu
xvvu
2
2
2
2
−=
−==
==
==
2v.(cosx)(x)f'
cosxv'2vu'
senxvvu
(senx)x senf(x)
2
22
=
==
==
==
)()('
cos)('
).(cos)('
).()('
xsenxf
senxxxf
senxxxf
senxvxf
2
2
2
2
−=
−=
−=
−=
sen(2x)(x)f'
senx.cosx2(x)f'
x)2senx.(cos(x)f'
2v.(cosx)(x)f'
=
=
=
=
sen(2x)(x)f'
(2x) sen(2x) sen(x)f'
[-sen(2x)] -sen(2x)(x)f'
xcos-xsenf(x) 22
2=
+=
=
=
Derivada
( )( )
( ) ( )
( ) 1222 '1x)..('
xx1x
.2xparaderivadaacalcular,
xx
1x
f(x) função a Dada
 4) Exemplo
1-22
222
2
22
−=+=
−=+=
=
−
+
=
xvxu
vu
( )
( )
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )2
124
4
1222
xx
.1xxx.1x.
)('
1x.'
'1x)..('
2
2222
2
−
−+−−+
=
+=
−=+=
xx
xf
xu
xvxu
Derivada
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )2
12224
124
2
2
−
−+−−+
=
=
−
−+−−+
=
2
..1222.12..
)('
:derivada na 2 xdoSubstituin
xx
.1xxx.1x.
)('
2
2222
2
2222
xf
xx
xf
( )
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
[ ]( ) [ ]
( )
( ) [ ]
4
5
4
7580
4
32540
2
3558
24
14448
2
2
2
=
−
=
−
=
−
=
−
−+−−+
=
−
.2..2..
)('
.12.14.
)('
2
2
2
2
xf
xf
Derivada Sucessivas
segunda. derivada chamada é (x)f"
função a ,D conjunto num (x)f" de derivada aexistir Se
primeira. derivada chamada é (x)f'
função a ,D conjunto num f(x) de derivada aexistir Se
D. conjunto num definida f(x) função a osConsiderem
2
1
⊂
⊂
D
D
DDexistir enquantoproseguir irá Assim
terceira. derivada chamada é (x)''f'
função a ,D conjunto num (x)''f' de derivada aexistir Se
n
3
⊂
⊂ D
Derivada
f(x). de segunda derivada)("
f(x). de primeira derivada)('
2xf(x)
 de sucessivas derivadas asCalcular 
1) Exemplo
3
⇒−=
⇒+−=
−+−=
1212
4126
746
2
2
xxf
xxxf
xx
f(x). de quarta derivada)(""
f(x). de terceira derivada)('''
f(x). de segunda derivada)("
⇒=
⇒=
⇒−=
0
12
1212
xf
xf
xxf
Derivada
(x)''f'
x(x)f"
x(x)f'
xf(x)
0(x)''f' equação a resolva ,xf(x) função a Dada
2) Exemplo
2
3
3
2424
1224
412
41
41
2
3
4
4
−−=
−−=
−−=
−−=
=−−=
x
x
x
x
x
}{
)(
(x)''f'
11
24
24
2424
12424
02424
2424
−=−=−=
−=
−=−
=−−
−−=
Sx
x
xx
x
x