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Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
MEMÓRIA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 2
 
1-Introdução: 
 
O trabalho apresentado insere-se no âmbito da disciplina de projecto 1 e teve como objectivo a 
realização de um projecto de excussão, referente a um edifício de habitação constituído por duas 
caves e por cinco pisos acima do solo, sendo a sua cobertura acessível. Como condicionalismos da 
arquitectura o edifício é constituído para além das escadas, de um núcleo de betão armado destinado 
á colocação de elevadores. A concepção do edifício foi equacionada de acordo com a 
regulamentação existente e pensando num bom dimensionamento estrutural. 
O presente edifício situa-se em Coimbra e ocupa uma área de construção bruta de 
aproximadamente 614m2. No presente projecto é apresentado o dimensionamento de um painel de 
lajes pertencente ao 3º piso de duas vigas (pertencentes ao quarto piso), de um pilar e respectiva 
fundação e de um troço do muro de contenção de terras existente ao nível das caves. 
As duas caves do edifício destinam-se a estacionamento e cinco pisos acima do solo destinam-se 
a habitação tendo o quinto piso acima da cota do terreno natural uma arquitectura diferente. 
 
 
 
2 - Condicionalismos: 
 
As fundações do edifício são fundações directas que assentam sobre um solo do tipo I, tendo o 
solo uma tensão admissível de 0,4 MPa. O solo apresenta ainda uma massa volumica de 21 KN/m3 
e um ângulo de atrito interno de 35º. 
As duas caves do edifício encontram a uma cota inferior á do terreno natural que circunda o 
edifício , mas considera-se no entanto que o nível freático encontra-se a uma cota que não 
influência o comportamento estrutural . 
Segundo ao anexo 3 do R.S.A. o edifício situa-se na Zona C, para efeitos da quantificação da 
acção dos sismos (Artg. 28º R.S.A.). 
 
 
 
3 - Solução estrutural: 
 
A solução estrutural adoptada, para a execução deste edifício, foi a de um conjunto de pórticos 
constituído por vigas, pilares que suportam os pavimentos constituídos por lajes maciças de betão 
armado. As vigas recebem os esforços provenientes das lajes e encaminham-nos para os pilares que 
por sua vez transmitem essas forças ás sapatas. 
 A estrutura do edifício foi concebida tendo em conta os condicionalismos de arquitectura 
evitando-se, sempre que possível, que os elementos estruturais se destacassem da envolvente 
arquitectónica. Para não existir uma desproporção das inércias o que levaria a uma instabilidade da 
estrutura no caso da ocorrência de sismos, houve uma colocação cuidada dos pilares. 
Todos os elementos estruturais são constituídos por betão armado, estes foram projectados com 
o intuito de assegurar um bom comportamento aos diversos tipos de combinações de acções 
previstas no Regulamento Segurança e Acções ( R.S.A. ). Foram também considerados os 
condicionalismos previstos no Regulamento de Betão Armado e Pré-Esforçado (R.E.B.A.P.). 
Tendo em conta as características geótecnicas do solo e a sua tensão de rotura o 
dimensionamento das fundações foi projectado considerando que estava garantida a segurança 
correspondente ao derrube e ao deslizamento. 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 3
Para as fundações do edifício foram adoptadas as seguintes soluções: 
 
- Para o muro dimensionado foi adoptada uma fundação directa com inclusão de viga de 
fundação, tratando-se de uma sapata excêntrica. 
 
- Para o pilar dimensionado foi adoptada uma fundação directa com inclusão de viga de 
fundação, tratando-se de uma sapata centrada. 
 
 
Os recobrimentos a adoptar são os seguintes: 
 
• Lajes – 3,0 cm 
• Vigas – 2,5 cm 
• Escadas – 3,0 cm 
• Pilares – 2.5 cm 
• Fundações – 5 cm 
 
 Para uma melhor execução em obra e para uma boa reaplicação sistemática de cofragens tentou-
se uniformizar as secções dos elementos estruturais. ( O Pré-dimensionamento dos elementos 
estruturais é apresentado em Anexo tal como as áreas de influencia dos pilares). 
 
 
 
4 - Materiais utilizados: 
 
� Aço da classe A400 NR 
 
� Betão da classe B30 
 
 
5 – Acções: 
 
As acções intervenientes de acordo com o Regulamento Segurança e Acções são as seguintes: 
 
� Carga permanente; 
� Sobercarga; 
� Sismo; 
� Impulso de terras; 
 
 
5.1 – Carga permanente: 
 
Para a quantificação do peso próprio de cada elemento estrutural foi adoptado o valor para o 
peso volumico do betão 25 KN/m3 (artgº14 R.S.A.). 
De acordo com o Art. 15º do R.S.A. quantificou-se o peso das paredes divisórias considerando 
o peso das paredes divisórias igual a 2 KN/m2. 
(afectado com o factor de 40% / Art. 15º R.S.A.) para o revestimento adoptou-se um peso de 
1,5KN/m2 ( Tabelas Técnicas ). 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 4
 
5.2 – Sobrecarga: 
 
As sobrecargas utilizadas foram quantificadas de acordo com o Art. 34º , Art. 35º e Art. 37º do 
R.S.A.. Nestes artigos encontram-se definidos os valores característicos das sobrecargas, bem como 
os coeficientes para a determinação dos valores das mesmas. As sobrecargas consideradas foram as 
seguintes: 
 
� Pavimentos – 2KN/m2 (Art. 35º R.S.A.) (ψ2 = 0,2) 
 
� Escadas – 5 KN/m2 (Artg 37 R.S.A.) (ψ2 = 0,2) 
 
� Cobertura acessível – 2,0 KN/m2 ( Art. 34º R.S.A.) 
 
 
5.3 – Sismo: 
 
 
A análise sísmica foi quantificada utilizando um processo simplificado de análise de acordo 
com os artigos 30º, 31º e 32º, do R.S.A. 
Para a quantificação da acção sísmica consideraram-se as acções vibratórias transmitidas pelo 
terreno á estrutura, pois estas acções como provocam alterações físicas no terreno irão influenciar 
negativamente a estabilidade do edifício, devido ao facto dos elementos estruturais absorverem os 
esforços actuantes na estrutura. 
Para um melhor comportamento estrutural do edifico tentou-se distribuir os elementos 
estruturais o mais simétrico possível, para que o centro de rotação do edifício possa estar o mais 
próximo possível do centro de massa por forma a que os esforços devidos á torção do edifício 
aquando a acção sísmica sejam diminutos. Tentou-se também uniformizar todos os elementos 
estruturais o que também resulta na diminuição dos esforços. 
 
 
 
 
5.4 – Impulso de terras: 
 
Para a quantificação do impulso de terras considerou-se para alem das características 
geotécnicas, uma sobrecarga no terreno de 10 KN/m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 5
 
5.5 – Outras considerações: 
 
Devido ao facto do edifício se situar em Coimbra este está localizado, em termos de 
quantificação da acção do vento, na zona A (Artg 20º R.S.A.). As acções devido a acção do vento 
foram quantificadas, de acordo com o capitulo 5 do R.S.A., no entanto, a acção do vento nãofoi 
considerada no cálculo devido ao facto de as forças provocadas pelo sismo serem superiores. 
De acordo com o artgº26 do R.S.A., a localização do edifício obriga também á quantificação da 
acção da neve (capitulo 6º do R.S.A.), no entanto as acções quantificadas não foram consideradas 
no cálculo pois a sobrecarga considerada na cobertura é mais desfavorável. 
O efeito das acções devido ás variações de temperatura e de retracção do betão não foram 
consideradas, pois de acordo com o Artg 31.2º e 32.2º do R.E.B.A.P., a maior dimensão do edifício 
em planta não excede os 30 metros. 
No projecto apresenta apresentado foram adoptadas as disposições construtivas regulamentares 
(R.E.B.A.P.), no que diz respeito aos artigos : 30º (Composição do betão ), 78º (Recobrimento 
mínimo das armaduras), 90º (Armadura longitudinal mínima e máxima), 91º e 105º (Espaçamento 
de varões), permitindo assim a dispensa da verificação ao Estado Limite de Utilização de 
Fendilhação, como consta no artigo 70.3º (R.E.B.A.P.). Como se cumpriu as disposições 
construtivas impostas nos artigos: 89º ( Altura mínima de vigas), 102º (Espessura mínima de lajes) 
do R.E.B.A.P, considera-se que se fica dispensado da verificação ao Estado Limite de Utilização de 
Deformação, como consta no Art. 72.3º R.B.A.P. 
 
 
 
5.6 – Combinações de acções: 
 
 
A verificação da segurança, foi realizada admitindo que todas as acções têm um efeito 
desfavorável. 
A combinação das acções para a determinação dos esforços de cálculo foram obtidas atendendo 
ás disposições do art.º 9 do R.S.A., sendo as seguintes: 
 
� Combinação tendo em conta a acção variável base ser sobrecarga: 
 
Sd = 1,5 x C.P. + 1,5 x S.C. ( E.L.U.) 
 
� Combinação tendo em conta a acção variável base ser sismo: 
 
Sd1 = 1,0 x C.P. + 0,2 x S.C. + 1,5 x Sismo 
 
Sd2 = 1,0 x C.P. + 0,2 x S.C. - 1,5 x Sismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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6 – Método de cálculo: 
 
No projecto apresentado para o cálculo dos esforços em pilares e vigas recorreu-se ao programa de 
cálculo automático SAP 2000, baseado no método dos elementos finitos, para a utilização do 
referido programa procedeu-se do seguinte modo: 
 
1º Criou-se um novo modelo; 
2º Definiu-se as secções materiais e acções bem como a combinação de acções; 
3º Definiu-se geometricamente a estrutura, definindo-se os elementos de barra com as respectivas; 
 secções associadas e criaram-se nós atribuindo-lhes as restrições necessárias; 
4º Aplicaram-se as acções nas barras e nos nós; 
5º Calculou-se a estrutura; 
6º Visualizou-se e analisou-se os resultados. 
 
No auxilio á quantificação dos esforços em lajes recorreu-se ás tabelas de Barez, e para a 
compatibilização desses esforços utilizou-se a regra de Marcus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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7 – Bibliografia: 
 
- Betão Armado – Esforços Normais e de Flexão – L.N.E.C. 
 
- Desenho Técnico – Fundação Cáloust Gulbenkian, Lisboa 1997 
 
- Folhas da cadeira de Projecto 1 – Engº Bruno Caldeira 
 
- R.E.B.A.P. - Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré- Esforçado, Porto Editora, 
 Lda. 
 
- R.S.A. – Regulamento de Segurança e Acções, Editora Rei dos livros 
 
- Sebentas I.S.T. 
 
- Sebentas I.S.E.L. 
 
- Tabelas Técnicas- Engº Brasão Farinha e Vítor Monteiro, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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II 
CÁLCULOS JUSTIFICATIVOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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1-Acção sísmica: 
 
1.1 - Zoneamento do território: 
 
O edifício situa-se em Coimbra, que de acordo com o Art. 28º do R.S.A. corresponde á zona C, o 
que implica um coeficiente de sismicidade: α = 0,5 ( Art. 29º R.S.A.) 
 
 
1.2 - Tipo de terreno: 
 
O terreno a considerar é do tipo I, o que significa que se tratam de rochas e de solos coerentes 
rijos. 
 
 
1.3 - Coeficiente sísmico: 
 
O coeficiente sísmico β relativo á acção dos sismos numa dada direcção, é calculado pela 
expressão: 
 
ββββ = ββββ0 x αααα / ηηηη (artigo 31º do R.S.A.) 
 
 
a) Coeficiente sísmico de referência ( ββββ0 ) 
 
O Coeficiente sísmico de referência (β0 ) depende do tipo de terreno e da frequência 
própria fundamental da estrutura. Sendo esta dada pela seguinte expressão : 
 
 f = 12 / n (para estruturas em pórtico, em que n é o n.º de pisos acima do solo: n = 5) 
, 
 
logo, 
 
 f = 12 / 5 = 2.4 Hz 
 
sendo: 
 
 Tipo de terreno I Art. 31.2 ( R.S.A.) => ββββ0= 0.17 x √√√√ f 
 f = 2.4 Hz 
 
Conclui-se que: 
 
 β0= 0.17 x √2.4 = 0.263 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 10
b) - Coeficiente de Sismicidade ( αααα ) => α = 0,5 
 
c) – Coeficiente de comportamento ( ηηηη ) 
 
O Coeficiente de comportamento depende do tipo de estrutura e das suas características de 
ductilidade e ainda do grau admitido na exploração dessa ductilidade. No caso de edifícios correntes 
pode adoptar-se conforme o Art. 33.2º do REBAP : 
 
 η = 2.5 => Estruturas em pórtico, com ductilidade normal 
 
 
Em suma, 
β = 0.263 x 0.5 / 2.5 = 0.0526 
 
 
1.4 – Centro de massa: 
 
O centro de massa refere-se ao ponto onde actua a força sismica estática equivalente. 
Para o cálculo das coordenadas do centro de massa foram utilizadas as seguintes expressões: 
 
XCG=∑(mi*xi)/∑(mi) 
 
YCG=∑(mi*yi)/∑(mi) 
 
Em que; 
 
 mi – Representa a massa dos elementos estruturais (lajes, vigas e paredes 
 exteriores) 
 
 xi – Coordenada dos elementos estruturais em relação a um eixo x 
 
 yi – Coordenada dos elementos estruturais em relação a um eixo y 
 
 
 
Para o cálculo do centro de massa das lajes uma combinação quase permanente (Art. 12º R.S.A.) 
 
(Piso tipo) C.P. + ψ2 x S.C. = 8,74 + 0,2 x 2 = 9,14 KN/m2 
 
(Cobertura) C.P. + ψ2 x S.C. = 6,5 + 0,2 x 2 = 6,90 KN/m2 
 
 
 
 
 
No projecto realizado foi calculado o centro de massa apenas para o 3º Piso, dado que este tinha 
uma geometria não ortogonal optou-se como critério de projecto por delimitar uma áreaortogonal 
(Figura 1) em torno do edifício simplificando assim o método de cálculo. 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 11
 
 
 ( sem escala ) 
 
 Figura 1 - Área considerada para o cálculo do centro de massa 
 
 
� Exemplo de Cálculo 
 
O método de cálculo utilizado, consiste em considerar uma área simplificada que delimita uma 
superfície ortogonal, neste caso um rectângulo, subtraindo-lhe as parcelas correspondentes ás 
áreas : A, B, C, D, E, F, G, H, I ficando-se assim com os valores correspondentes aos da área de 
construção. 
 
 
a)- Lajes : 
 
Exemplo para a ÁREA TOTAL ( Área do rectângulo que circunda todo o edifício) : 
 
Area Total = 689.07 m^2 ; Xi = 18.34 m ; Yi = 9.39 m 
 
 P.P. Laje / m^2 = C.P. + ψ2 x S.C. = 8,74 + 0,2 x 2 = 9,14 KN/m2 
 
Massa da laje ( mi ) = P.P. Laje KN/ m^2 x Area ( m^2 ) = 9.14 x 689.07 = 6298.1 KN 
 
 mi x Xi = 6298.1 x18.34 = 115507.15 KN.m 
 mi x Yi = 6298.1 x 9.39 = 59139.16 KN .m m 
 
 
A este ( mi x Xi) e ( mi x Yi ) calculado para a área total subtraiu-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi ) 
correspondentes ás áreas : A, B, C, D, E, F, G, H, I. 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 12
Portanto ; 
 
 Lajes => mi x Xi = 84267.99 KN.m 
 Total mi x Yi = 47792.09 KN.m 
 ∑ mi = 4336.93 KN 
 
 
 
b) – Vigas 
 
 
Exemplo para a Viga V1 
 
Lviga = 11.2 m ; Xi = 4.85 m ; Yi = 14.46 m ; b= 0.25 ; h = 0.2 ( retirando a altura da laje ) 
 
Peso volumico do betão – 25 KN / m3 
 
P.P. Viga / m = b x h x 25 = 0.25 x 0.2 x 25 = 1.25 KN / m 
 
Massa da viga = P.P. Viga / m x Lviga = 1.25 x 11.2 = 14 KN 
 
Viga V1 => mi x Xi = 14 x 4.85 = 67.8 KN.m 
 mi x Yi = 14 x 14.46 = 202.44 
 
 
A este (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para a viga V1, adicionou-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi ) 
correspondentes ás vigas : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. 
 
 
Obtendo –se os seguintes resultados : 
 
 
Vigas => mi x Xi = 4973.975 KN.m 
Total mi x Yi = 2670.558 KN.m 
 ∑ mi = 253.2 KN 
 
 
c) – Pilares 
 
Exemplo para o pilar P1 
 
 Xi = 0.32 m ; Yi = 11.03 m ; Área da secção do pilar = 0.165 ( retirando a altura da laje ) ; 
Considerando o pilar com um comprimento igual a metade do pé direito para cima e para baixo em 
relação ao nível em que se encontra a laje ( Comp Pilar = 3 m ). 
 
Peso volumico do betão – 25 KN / m3 
 
P.P. Pilar / m = b x h x 25 = 0.165 x 25 = 4.13 KN / m 
 
Massa da viga = P.P. Pilar / m x Comp. Pilar = 4.13 x 3 = 12.4 KN 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 13
 
Pilar P1 => mi x Xi = 12.4 x 0.32 = 3.96 KN.m 
 mi x Yi = 12.4 x 11.03 = 136.496 KN.m 
 
A este (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para o pilar P1, adicionou-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi ) 
correspondentes aos Pilares : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 
23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 e Caixa do elevador. 
 
Obtendo –se os seguintes resultados : 
 
Pilares => mi x Xi = 11229.795 KN.m 
Total mi x Yi = 5904.818 KN.m 
 ∑ mi = 575.625 KN 
 
 
d) – Paredes exteriores 
 
 
Exemplo para a parede Pa1 
 
 Xi = 4.85 m ; Yi = 14.46 m ; Lparede exterior = 11.2 m ; H parede = 2.6 m ( retirando a espessura 
 Considerando coeficiente de aberturas = 0.5 das 2 lajes adjacentes ) 
 γparede = 2.9 KN / m^2 
 
PPparede exterior = 9.05 KN / m 
 
Massa da parede = P.P. Parede KN / m x Lparede = 9.05 x 11.2 = 101.34 KN 
 
Parede Pa1 => mi x Xi = 101.34 x 0.32 = 3.96 KN.m 
 mi x Yi = 101.34 x 11.03 = 136.496 KN.m 
 
 
A este (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para a parede Pa1, adicionou-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi ) 
correspondentes ás Paredes : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
 
 
 
Obtendo –se o seguinte resultado : 
 
Paredes => mi x Xi = 21813.05 KN.m 
Total mi x Yi = 11024.43 KN.m 
 ∑ mi = 1096.62 KN 
 
 
De acordo com as alíneas a, b, c e d pode-se concluir que : 
 
XCG = ( 84267.99 + 4973.97 + 11229.8 + 21813.05 ) / (4336.93 + 253.25 + 575.63 + 1096.62 ) 
 
YCG = (47792.09 + 2670.558 + 5904.818 + 11024.43) / (4336.93 + 253.25 + 575.63 + 1096.62 ) 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 14
logo: 
 
 XCG ( Final ) = 19.53 m 
 
 YCG ( Final ) = 10.76 m 
 
 
Nota: A tabela de cálculo do Centro de Massa é apresentada em Anexo (Anexo 9 ) 
 
 
1.5 – Centro de Rotação: 
 
O Centro de Rotação é calculado apenas para os elementos verticais, pilares e caixa de 
elevador, pois, a torção só se verificará nestes elementos aquando a ocorrência de um sismo. O 
Centro de Rotação define-se como sendo o ponto onde se verifica a torção da estrutura, durante a 
ocorrência de um sismo. 
Neste projecto o Centro de Rotação foi calculado em relação ao mesmo referencial utilizado 
no calculo do Centro de Massa. As coordenadas do Centro de Rotação foram calculadas através das 
seguintes expressões : 
 
 XCR = ∑(Iyi*xi)/∑(Iyi) 
 YCR = ∑(Ixi*yi)/∑(Ixi) 
Sendo : 
yi => Distância, segundo o eixo yy, que vai desde o centro do elemento ao eixo concorrente; 
xi => Distância, segundo o eixo xx, que vai desde o centro do elemento ao eixo concorrente; 
Ixi => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo xx 
Iyi => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo yy 
 
 
Nota : No projecto apresentado o centro de rotação foi calculado para o 3º Piso 
 
� Exemplo de Cálculo 
 
- Exemplo para o pilar P1 : 
 
Dimensões : a = 0.55 m ; b = 0.3 m 
 
Xi = 0.284 m ; Yi = 11.04 m Iy x Xi = 7.38 x 10 -4 m5 
 
Ix = 2.8 x 10 -3 m4 ; Iy = 2.6 x 10 -3 m4 Ix x Yi = 3.09 x 10 -2 m5 
 
 
Calculou-se todo estes parâmetros para cada elemento vertical de onde se conclui que : 
 
 XCR = ∑(Iyi*xi)/∑(Iyi) = ( 5.59 x 101 ) / 2.76 = 20.26 m 
 YCR = ∑(Ixi*yi)/∑(Ixi) = 9.98 / 1.09 = 9.12 m 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 15XCR = 20.26 m ; YCR = 9.12 m 
 
 
Nota: A tabela de cálculo do Centro de Rotação é apresentada em Anexo (Anexo 11) 
 
 
 
 
Em suma, 
 
 
 
 
 
 
 ( sem escala ) 
 
 Figura 2 - Marcação do centro de massa e do centro de rotação do edifício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 16
 
1.6 – Forças Estáticas Aplicadas Por Piso : 
 
As forças estáticas podem supor-se aplicadas aos níveis dos pisos, bastando na maior parte dos 
casos considerar apenas a sua actuação em direcções horizontais, Art. 32º R.S.A.. 
As forças Estáticas Aplicadas Por Piso foram calculadas através da seguinte expressão: 
 
 Fki = β*hi*Gi* ∑(Gi) / ∑(hiGi) 
 
Sendo : 
 
β ⇒ coeficiente sísmico correspondente à direcção considerada; 
 
hi ⇒ Altura a que se situa o piso i acima do nível do terreno; 
 
Gi ⇒ Soma dos valores das cargas permanente e dos valores quase permanentes das cargas 
 variáveis correspondentes ao piso i; 
 
O somatório refere-se ao nº de pisos acima do nível do terreno. 
 
O parâmetro β foi calculado anteriormente. ( item : 1.3 ) 
 
 
- Para o projecto apresentado: 
 
Piso tipo => G = 4336.93 + 253.25 + 575.625 + 1096.618 = 6262.423 KN 
 
Cobertura => G = 3084.25 + 278.15 + 287.813 = 3650.21 KN 
 
 
Andar beta Gi Hi ( m ) hi . Gi Fki ( KN ) 
1º 0,0526 6262,42 3 18787,27 41,435 
2º 0,0526 6262,42 6 37574,54 82,870 
3º 0,0526 6262,42 9 56361,81 124,305 
4º 0,0526 6262,42 12 75149,08 165,740 
5º (cob) 0,0526 3650,21 15 54753,15 120,757 
Somatório 9912,63 242625,84 
 
 Quadro 1 - Quadro resumo das forças estáticas aplicadas por piso 
 
 
Nota: As tabela de auxilio ao cálculo das Forças estáticas aplicadas por piso estão apresentadas em 
Anexo (Anexo 9 e 10 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 17
1.7 – Forças De Translação : 
 
As forças de translação traduzem-se em forças aplicadas ao nível de cada piso segundo as duas 
direcções ortogonais consideradas. No projecto apresentado as Forças de translação foram 
calculadas pelas seguintes expressões: 
 
 Ftx = ( Fki x Iy ) / ∑ Iy 
 
 Fty = ( Fki x Ix ) / ∑ Ix 
Em que : 
 
Fki => Valor característico da força estática aplicada ao nível de cada piso 
Ix => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo xx 
Iy => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo yy 
 
Para o edifício foram calculadas as forças de translação em todos os pilares nas duas direcções e em 
seguida calcularam-se as forças de translação aplicadas nos 2 pórticos de projecto. 
 
 
� Exemplo de Cálculo 
 
 
 - Força de translação do pilar P1 – 2º Andar 
 
Sabendo que para P1 : Ix = 0.0028 m4 ; Iy = 0.0026 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
E que : ∑ Ix = 1.095 m4 ; ∑ Iy = 2.758 m4 
 
 
Ftx = ( 82.87 x 0.0026 ) / 2.76 = 0.078 KN 
 
Fty = ( 82.87 x 0.0028 ) / 1.095 = 0.213 KN 
 
 
 
- Força de translação - 2º Andar – Portico X 
 
Sabendo que os pilares pertencentes ao pórtico X são os seguintes : P26 , P27 , P28 
Tem-se que : 
 
P26 => Ix = 0.0042 m4 ; Iy = 0.0012 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
P27 => Ix = 0.0042 m4 ; Iy = 0.0012 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
P28 => Ix = 0.0041 m4 ; Iy = 0.0013 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 18
De onde se conclui : 
 
 2º Andar – Pórtico X => Ftx = ((0.0012 + 0.0012 + 0.0013) x 82.87) / 2.76 = 0.111 KN 
 
 
 - Força de translação - 2º Andar – Pórtico Y 
 
Sabendo que os pilares pertencentes ao pórtico y são os seguintes : P10 , P20 , P26, P35 
Tem-se que : 
 
P10 => Ix = 0.0008 m4 ; Iy = 0.0011 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
P20 => Ix = 0.0063 m4 ; Iy = 0.009 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
P26 => Ix = 0.0042 m4 ; Iy = 0.0012 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
P35 => Ix = 0.0013 m4 ; Iy = 0.0005 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
Calculou-se : 
 
 2º Andar – Pórtico y => Fty = ((0.0008+ 0.0063 + 0.0042 + 0.0013) x 82.87) / 1.095 = 0.954 KN 
 
 
Nota: A tabela de cálculo das Forças de translação é apresentada em Anexo (Anexo 13). 
 
 
 1.8 – Forças De Rotação : 
 
 Foram calculadas forças de rotação para todos os pisos, devido ao facto de o centro de massa 
não ser coincidente com o centro de rotação. Para o calculo foram consideradas excentricidades 
adicionais, com o objectivo de corrigir assimetrias devidas ao comportamento não linear da 
estrutura e a movimentos de rotação do solo durante a ocorrência de um sismo. Para o cálculo do 
projecto só se consideraram as excentricidades quando a força aplicada tinha um sentido idêntico ao 
da força de translação, ou seja, para o caso mais desfavorável. Os valores da força de rotação por 
piso foram obtidos através das seguintes expressões : 
 
 Frx = Ix * y´i / (∑ (Ix * y´i2+Iy*x´i2 )) * Mt 
 
 Fry = Iy* x´i / (∑ (Ix * y´i2+Iy*x´i2 )) * Mt 
 
Em que: 
 
Ix – momento de inércia dos pilares em relação ao eixo dos XX . 
 
Iy – momento de inércia dos pilares em relação ao eixo dos YY . 
 
y´i , x´i – Coordenadas do centro de gravidade do pilar em relação ao centro de rotação 
 
Mt – momento torsor provocado pela aplicação da força horizontal com excentricidade adicional 
mais desfavorável. 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 19
 
� Exemplo de Cálculo 
 
 a)- Força de rotação do pilar P1 – 2º Andar 
 
Sabendo que para P1 : Ix = 0.0028 m4 ; Iy = 0.0026 m4 ; Fki = 82.87 KN 
 
 ∑ Ix = 1.095 m4 ; ∑ Iy = 2.758 m4 ; Xi =0.284 m ; Yi=11.04 m 
 
 XCG = 19.53 m ; YCG = 10.76 m 
 
 XCR = 20.26 m ; YCR = 9.12 m 
 
 ∑ Ix * y´i2 + Iy * x´i2 = 11.95 
 
 a.1) - Cálculo de Frx: 
 
- x´i = xi – Xcr = 0.284 – 20,26 = -19.976 m 
 
 
- y´i = yi – Ycr = 11.04 – 9.12 = 1.92 m 
 
 
- Ix * y´i = 0.0028 * 1.92 = 0.005376 m5 
 
 
- Ix * y´i 2 = 0.0028 * 1.92 = 0.01032 m6 
 
 
- Iy * x´i = 0.0026 * -19.976 = - 0.0519 m5 
 
 
- Iy * x´i2 = 0.0026 * -19,9762 = 1.038 m6 
 
 
- Ix * y´i2 + Iy * x´i2 = 0.01032 + 1.038 = 1.05 
 
 
 - Momento torçor: - Para o calculo do momento torçorsó foi considerada uma 
 excentricidade e2i pois como ilustra a figura seguinte, para esta 
 direcção trata-se da excentricidade mais desfavorável. 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 20
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 3 – Excentricidades mais desfavoráveis em relação ao centro de massa ( Pórtico X ) 
 
 
 e2i = 0.05 x a = 0.05 x 18.78 = 0.94 m ( Artº 32 do REBAP) 
 
logo : Mtx = e2i x Fk = 0.94 x 82.87 = 77.9 KN.m 
 
de onde se conclui que: Frx = ( 0.0054 x 77.9 ) / 11.95 = 0.0 35 KN 
 
 
a.2) - Cálculo de Fry: 
 
- x´i = xi – Xcr = 0.284 – 20,26 = -19.976 m 
 
 
- y´i = yi – Ycr = 11.04 – 9.12 = 1.92 m 
 
 
- Ix * y´i = 0.0028 * 1.92 = 0.005376 m5 
 
 
- Ix * y´i 2 = 0.0028 * 1.92 = 0.01032 m6 
 
 
- Iy * x´i = 0.0026 * -19.976 = - 0.0519 m5 
 
 
- Iy * x´i2 = 0.0026 * -19,9762 = 1.038 m6 
 
 
- Ix * y´i2 + Iy * x´i2 = 0.01032 + 1.038 = 1.05 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 21
 
- Momento torçor: - Para o calculo do momento torçor só foi considerada uma 
excentricidade e2i pois como ilustra a figura seguinte, para esta direcção trata-se da 
excentricidade mais desfavorável. 
 
 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 4 – Excentricidades mais desfavoráveis em relação ao centro de massa ( Pórtico Y ) 
 
 
 e2i = 0.05 x 36.69 = 1.84 m ( Artº 32 do REBAP) 
 
logo : Mty = e2i x Fk = 1.84 x 82.87 = 153.23 KN.m 
 
de onde se conclui que : Fry = ( 0.052 x 153.23) / 11.95 = 0.67 KN 
 
 
 
 
Nota: Para o cálculo das forças de rotação aplicadas no pórtico x calculou-se para os pilares 
pertencentes a esse pórtico as forças de rotação (da mesma forma que o exemplo de cálculo 
descrito) correspondentes á direcção x, adicionando-se essas forças de rotação, resulta a força 
de rotação aplicada no pórtico x. Para a direcção y procedeu-se de forma análoga ao referido 
para a direcção x. 
 A tabela de cálculo das Forças de Rotação é apresentada em Anexo (Anexo 14). 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 22
1.9 – Calculo das forças sísmicas para utilização no calculo automático 
 (SAP2000): 
 
 
De acordo com os Anexos 13 e 14 pode - se determinar as forças sísmicas a aplicar nos pórticos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro 2 – Quadro resumo das forças sísmicas a aplicar nos pórticos 
 
� Exemplo de Cálculo Piso 1 
 
 Força sismica = Ft + Fr = 0.056 + 0.13 = 0.19 KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pórtico x Pórtico y 
Piso Ft ( KN ) Fr ( KN ) 
Força 
sismica 
aplicada 
( KN ) 
Ft 
( KN ) 
Fr 
(KN) 
Força 
sismica 
aplicada 
(KN) 
1 0.056 0.13 0.19 0.48 0.64 1.12 
2 0.111 0.26 0.27 .954 1.27 2,22 
3 0.17 0.39 0.56 1,43 1,91 3,34 
4 0.22 0.52 0.74 1,91 2,55 4,46 
Cobertura 0.16 0.38 0.54 1,39 1,86 3,25 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 23
 
2 – Acção do vento: 
 
 Para efeitos de quantificação da acção do vento, de acordo com o Art. 20º / RSA a zona a 
considerar é a Zona A. Em relação á rugosidade aerodinâmica do solo, de acordo com o Art. 21º / 
REBAP, considerou-se que este possuía uma rugosidade do tipo I. 
 Para a quantificação dos esforços devido á acção do vento foi utilizado um método simplificado, 
supondo aplicadas às superfícies do edifício pressões estáticas obtidas multiplicando a pressão 
dinâmica do vento, definida no Artº 24º / RSA, por adequados coeficientes de forma. 
 
� Pressões dinâmicas - Artº 24 / RSA 
 
 Zona A Wk = 0.7 KN / m2 
 Rugosidade – Tipo I 
 Altura do edifício acima do solo = 5 x 3 = 15 m 
 
 
� Determinação dos coeficientes de forma : 
 
- Coeficiente de pressão exterior para paredes δpe 
 
 H = 15 m h/b = 15 / 18.78 = 0.798 => ½ < 0.789 ≤ 3/2 
a = 36.69 m ( maior dimensão ) 
b = 18.78 m ( menor dimensão ) a/b = 36.69 / 18 .78 = 1.954 => ½ < a/b ≤ 3/2 
 
 Anexo I / RSA 
 Considerando: α = 0 
 
 Acção global sobre o edifício => A = + 0.7 ( valor em modulo mais desfavorável ) 
 
 δpe = 0.7 
 
� Determinação da resultante ( F ) das pressões do vento sobre a construção 
 
 
 F = δpe x Wk x A ( Anexo 3.1 / RSA ) 
 
 Em que : 
 δpe => Coeficiente de pressão exterior para paredes 
 Wk => Valore característico da pressão dinâmica do vento 
 A => Área de referencia, relacionada com a superfície exposta. 
 
- Direcção x: 
 
 A = 3 x 18.78 = 56.34 
 
 Logo: Fx = 0.7 x 0.7 x 56.34 = 27.6 KN 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 24
 
- Direcção y: 
 
 A = 3 x 36.69 = 110.07 
 
 Logo: Fy = 0.7 x 0.7 x 110.07 = 53.93 KN 
 
 
Comparando as forças estáticas aplicadas (Fki) por piso provenientes do sismo com as do vento, 
verifica-se que para a direcção x as forças provenientes do sismo em todo os pisos são mais 
desfavoráveis. No que se refere á direcção y apenas se verifica que no 1º piso a força devido acção 
do vento é superior, no entanto como para os restantes pisos (2º,3º,4º, cobertura) as forças sísmicas 
mostraram ser mais desfavoráveis optou-se por desprezar a acção do vento.Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 25
3 - Acção da neve: 
 
De acordo com o Artº 26 /RSA, como o edifício será implantado no distrito de Coimbra a uma 
altitude de 200m, a acção da neve deve ser tida em conta. 
De acordo com artº 27 /RSA para a quantificação da acção da neve , considerou-se uma carga 
uniformemente distribuída cujo valor característico por metro quadrado em plano horizontal é 
calculado pela da seguinte expressão: 
 
Sk = µµµµ x Sok 
 
 
 em que; Sok = 1/400 x (h – 50) 
 
 
 sendo: 
 h - a altitude do local expressa em metros, arredondadas ás centenas; 
 
 Sok - representa o valor característico, por metro quadrado, da carga da 
 neve ao nível do solo; 
 
 µ - é o coeficiente que depende da forma da superfície sobre a qual se 
 deposita a neve. 
 
 
Como h = 200m, então: 
 
Sok = 1/400 x (200 – 50) = 0.375 
 
De acordo com o Anexo II do RSA ; 
 
 
Considerando => 0 ≤ β ≤ 30 => µ = 0.8 => Sk = 0.8 x 0.375 = 0.3 KN/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Sendo a sobrecarga devida á neve ( 0.3 KN / m2 ) inferior á sobrecarga considerada na 
 cobertura devido ao facto de esta ser acessível ( 2 KN / m2 ), foi adoptado como critério de 
 projecto uma sobrecarga na cobertura de 2 KN/ m2, ou seja, “desprezou-se a acção da neve. 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 26
4 – Dimensionamento das lajes 
 
 
 O painel de laje dimensionado pertence ao 3º piso. 
 Os exemplos de cálculo apresentados para o dimensionamento das lajes referem-se ás lajes L10 e 
L13. 
 
� Exemplo de Cálculo ( L10 ; L13 ) 
 
4.1 - Pré- dimensionamento: 
 
a) - Geometria 
 
• Laje L10 
 
 Lmaior = 7.3 m 
 Lmenor = 6.2 m 
 
• Laje L13 
 
 Lmaior = 9.7 m 
 Lmenor = 6.2 m 
 
 
b)- relação entre vãos / comportamento da laje: 
 
 γ = Lmaior / Lmenor ≥ 2 => a laje será armada numa direcção só 
 (segundo a menor direcção) 
 
 γ = Lmaior / Lmenor < 2 => laje armada nas duas direcções 
 
 
• Laje L10 
 
 γ = 7.3 / 6.2 = 1.18 < 2 =>Laje armada nas duas direcções 
 
• Laje L13 
 
 γ = 9.7 / 6.2 = 1.56 < 2 =>Laje armada nas duas direcções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 27
 
c) - Condição de dispensa de verificação de segurança ao estado limite de 
 utilização/ deformação com base no Art. 72º/ REBAP: 
 
 
 hmin ≥ li / (30 x η) =( α x l ) / (30 x η) (m) (Artg102.2 / REBAP) 
 
 Áço A400 => η = 1.0 (Artº 89 /REBAP) 
 
 Coeficiente α => Artº 102.2 /REBAP (Quadro XV ) 
 
 
• Laje L10 
 
 hmin ≥ 0.6 x 6.2 / (30 x 1) = 0.12 m 
 
 
• Laje L13 
 
 hmin ≥ 0.6 x 6.2 / (30 x 1) = 0.12 m 
 
 
d) - Espessura de cálculo: 
 
 hcálculo = li / ( 21x η ) = (α x lmenor) / ( 21 x η ) (m) 
 
 Áço A400 => η = 1.0 (Artº 89 /REBAP) 
 
 Coeficiente α => Artº 102.2 /REBAP (Quadro XV ) 
 
 
• Laje L10 
 
 hcálculo = 0.6 x 6.2 / ( 21 x 1 ) = 0.18 m > 0.12 m , logo 
 
 Está garantida a condição do artº 72 /REBAP que dispensa a 
 verificação da segurança ao E.L.U. (deformação) 
 
 
• Laje L13 
 
 hcálculo = 0.6 x 6.2 / (21 x 1) = 0.18 m > 0.12 m , logo 
 
 Está garantida a condição do artº 72 /REBAP que dispensa a 
 verificação da segurança ao E.L.U. (deformação) 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 28
 
e) - Espessura adoptada: 
 
 Com base nos valores obtidos de hmin e hcálculo , foi adoptada uma espessura de laje. 
 
 
• Laje L10 
 
 h adop. = 0.20 m 
 
 
• Laje L13 
 
 h adop. = 0.20 m 
 
 
 
 
 
Nota: Apresenta-se em seguida o pré-dimensionamento de todas as lajes do painel do Piso 3. O pré-
dimensionamento de outras lajes que não pertençam a este painel é apresentado no Anexo 5 
 
 
 
 
 
Laje Lmaior (m) 
Lmenor 
(m) 
Coeficiente 
γγγγ direcção 
Coeficiente 
αααα 
hmin 
(m) 
hcálculo 
(m) 
hadop. 
(m) 
L1 7,2 6,15 1,17 DUAS 0,6 0,12 0,18 0,2 
L2 8,5 6,4 1,33 DUAS 0,6 0,13 0,18 0,2 
L4 7,2 4,1 1,76 DUAS 0,5 0,07 0,10 0,2 
L5 6,3 4,2 1,50 DUAS 0,6 0,08 0,12 0,2 
L7 4,2 2,2 2,00 UMA 0,5 0,04 0,05 0,2 
L9 8,2 5,4 1,52 DUAS 0,5 0,09 0,13 0,2 
L10 7,3 6,2 1,18 DUAS 0,6 0,12 0,18 0,2 
L11 7,9 6,3 1,25 DUAS 0,6 0,13 0,18 0,2 
L12 12 6 2,00 UMA 0,8 0,16 0,23 0,2 
L13 9,7 6,2 1,56 DUAS 0,6 0,12 0,18 0,2 
 
 Quadro 3 – Quadro resumo do pré-dimensionamento de todas as lajes do painel do Piso 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 29
 
4.2 - Acções: 
 
 
a) Permanentes: 
 
- Peso Próprio (laje) = h adop. x γ betão = 0.20 x 25 = 5,0 KN/m2 
 
- Revestimento = 1.5 KN/m2 
 
- Paredes divisórias = P.P.div. x Pé-direito x 40% = 2.0 x 2.8 x 0.4 = 
 = 2.24 KN/m2 (Artº 15 / RSA ) 
 
 
 
 C.P. (Total) = 5,0 + 1.5 + 2.24 = 8.74 KN/ m2 
 
 
 
 b) Variáveis: 
 
- Sobrecarga de utilização => 2.0 KN/m2 (Artº35 / RSA) 
 
 
 
c) Combinações de acções: 
 
 
- Estado Limite Ultimo / Combinação fundamental: 
 
qsd, fund. = 1.5 x C.P. + 1.5 x S.C. = 1.5 x 8.74 + 1.5 x 2.0 = 16.11 KN/m2 
 
 
- Estado limite de Utilização / Combinação frequente: 
 
qsd, freq. = C.P. x 1.0 + S.C x ψ1 = 8.74 x 1.0 + 2.0 x 0.3 = 9.34 KN/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 30
4.3 – Verificação da segurança 
 
 
4.3.1 – Verificação em Relação aos Estados Limites Últimos 
 
 
a) - Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de 
 rotura por esforço transverso (Artº 53.2 /REBAP): 
 
Para a verificação da segurança em relação ao estado limite ultimo de rotura por esforço transverso, 
analisou-se a laje mais mais desfavorável do painel, depois de se traçar as linhas de rotura nas lajes 
constatou-se que a laje mais desfavoravel do painel era a laje L2. 
 
 Laje - L2 
 
 
 ( Sem escala )Figura 5 – Linhas de rotura da Laje L2 para verificação da segurança ao esforço transverso 
 
Sendo: 
 
- h(laje) = 0.2 m 
- recobrimento = 0.03 m 
- d = 0.2 – 0.03 = 0.17 m 
 
Vrd = Vcd + Vwd ≥ Vsd 
 
Vwd = 0 ( Não considerando armadura de esforço transverso) 
 
Vcd ≥ Vsd 
 
Vcd = 0.6 x (1.6 – d ) x τ1 x d x bw = 0.6 x(1.6 – 0.17 ) x 0.75 x103 x 0.17 x1= 
 = 109.4 KN/m 
 
Vsd = qsd, fund. x a = 16.11 x 4.22 = 67.98 KN/m 
 
 Vcd > Vsd => 109.4 > 67.98 Verifica, logo está garantida a segurança ao 
 esforço transverso 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 31
 
Nota: Apresenta-se em seguida o traçado das linhas de rotura de todas as lajes do painel do piso 3. 
 
 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 6 - Linhas de rotura das Lajes do painel do piso 3, para verificação da segurança ao esforço transverso 
 
 
 
b) -Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por Flexão 
 
 
 
 b.1) - Esforços 
 
 
 
 b.1.1)– Verificação da necessidade de fazer passeio de sobrecargas 
 
 
 
 
 0.4 x C.P. = 0.4 x 8.74 = 3.5 KN/m2 
 S.C. = 2.0 KN/m2 => S.C. < 0.4 x C.P. ; logo: Não é necessário fazer 
 passeio de sobrecargas 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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 b.1.2) – Cálculo de Esforços 
 
 
Para o exemplo de cálculo ( L10;L13), utilizando as Tabelas De Barez : 
 
 
 
Laje L10 
 
 γ = a/ b = 6.6 / 6.4 = 1.03 
 
 ( Sem escala ) 
 
Figura 7 – Modelo de cálculo da laje L10 para consulta das tabelas de Barez 
 
 
Calculando: 
 
 
Mys = 0.0269 x 16.11 x 6.62 = 18.88 KN/m 
 
 
Myvmin = -0.0699 x 16.11 x 6.62 = -49.05 KN/m 
 
 
Mxs = 0.0269 x 16.11 x 6.42 = 17.75 KN/m 
 
 
Mxvmin = -0.0699 x 16.11 x 6.42 = -46.13 KN/m 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 33
 
Laje 13 
 
 
 γ = a/ b = 6.1 / 9.9 = 0.62 
 
 ( Sem escala ) 
 
Figura 8 – Modelo de cálculo da laje L13 para consulta das tabelas de Barez 
 
 
Calculando, 
 
 
Mys = 0.046 x 16.11 x 6.12 = 27.56 KN/m 
 
 
Myvs = -0.0998 x 16.11 x 6.12 = -59.83 KN/m 
 
 
Mxs = -0.0089 x 16.11 x 9.92 = 14.05 KN/m 
 
 
Mxvmin = -0.0309 x 16.11 x 9.92 = -48.79 KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 34
 
 
Nota: Procedeu-se de forma análoga para as restantes lajes, adaptando-se os modelos das tabelas de 
Barez a cada caso especifico, de onde resulta os seguintes resultados : 
 
 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 
 Figura 9 – Figura resumo dos momentos calculados pelas tabelas de Barez 
 
 
 
 
 
b.1.3) - Compatibilização dos esforços 
 
 
- Para o exemplo de cálculo ( L10 - L13): 
 
 
Foram calculados os momentos nas lajes, com o apoio das tabelas de Barez. 
A compatibilização dos momentos em lajes adjacentes, foi feita recorrendo á regra de Marcos 
 
 
Nota: no exemplo de calculo a compatibilização indicada é para a direcção x). 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 35
 
 
Como os vãos são semelhantes: 
 
 
 Média simples (MA;MB) = (MA + MB) / 2 
 
MAB = máx. => 
 0.8 x máx. (MA;MB) 
 
 
 
 (-48.79 - 46.13) / 2 = -47.46 KN.m 
 => MAB = -47.46 KN.m 
 0.8 x máx.(-48.79; - 46.12) = -39.03 KN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10 – Figura exemplo para a compatibilização de esforços 
 
 
 
 
 
Na compatibilização de momentos, o momento a meio vão da laje L10 deveria ser 16,42 no 
entanto considerou-se 17.75 por uma questão de segurança. 
No que se refere ao momento a meio vão e ao momento do apoio esquerdo da laje L13 
representado na figura, (respectivamente 15.38 e –48.79), esses momentos ainda terão de ser 
compatibilizados com os momentos da laje adjacente L12 (na direcção x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 36
 
Em seguida apresenta-se em esquema os momentos compatibilizados: 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 11 – Esquema resumo dos momentos compatibilizados 
 
 
 
b.1.4)-Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por flexão: 
 
 
 a) Armadura Principal: 
 
 
A armadura principal foi calculada a partir dos momentos actuantes 
redistribuidos. 
 
 
• Laje L10 
 
V= 0.85 x fcd x b x d = 0.85 x 16700 x 1 x 0.17 = 2413.15 (KN/mlaje) 
 
Vd = V x d = 2413.15 x 0.17 = 410.24 (KN.m/mlaje) 
 
µ = Msd / Vd = 17.75 x 410.24 = 0.043 < 0.31 
 
(y/d) = 1- √ (1- 2 µ) = 1 - √ (1- 2 x 0.043) = 0.044 
 
As = ((y/d) x V )/ fsyd = (0.044 x 2413.15) / 34.8 = 3.07 (cm2/m) 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 37
 
• Laje L13 
 
V= 0.85 x fcd x b x d = 0.85 x 16700 x 1 x 0.17 = 2413.15 (KN/mlaje) 
 
Vd = V x d = 2413.15 x 0.17 = 410.24 (KN.m/mlaje) 
 
µ = Msd / Vd = 17.27 / 410.24 = 0.042 < 0.31 
 
(y/d) = 1- √ (1- 2 µ) = 1 - √ (1- 2 x 0.042) = 0.043 
 
As = ((y/d) x V )/ fsyd = (0.043 x 2413.15) / 34.8 = 2.98 (cm2/m) 
 
 
 
 
 Na Figura 12 pode vêr-se os resultados da armadura, para todos os esforços das lajes do painel e 
no Anexo18 a tabela de cálculo utilizada para o cálculo dessa armadura. 
 
 
 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 12 – Resultados da armadura calculada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 38
 
b) - Armadura de Distribuição 
 
A armadura de distribuição para todas as lajes, quando necessária, foi calculada fazendo 
20 % da armadura principal, de acordo com o artº 108 º do REBAPE. 
 
 
c)- Armadura de Controle de Fendilhação: 
 
A armadura de controle de fendilhação é aplicada nos bordos com liberdade de rotação, com o 
objectivo de minimizar a fendilhação. No projecto apresentado foi contabilizada do seguinte 
modo: 
 
 As fissuração = 20 % x Asprincipal 
 
 
d) - Armadura de canto: 
 
A armadura de canto depende da liberdade de rotação dos apoios, ou seja, para cantos com dois 
bordos com liberdade de rotação a armadura é igual á armadura do vão, para cantos com um 
bordo com liberdade de rotação e um bordo encastrado a armadura é igual a metade da 
armadura do vão, no caso de o canto ter dois bordos encastrados não leva armadura de reforço. 
A distribuição da armadura de canto é feita num comprimento de: 
 
 d = 0.25 x Lmenor + Larg. Apoio /2 ( a contar da face exterior da parede ) 
 
 
e)- Comprimento dos varões : 
 
 
As canto = As fissuração => L = 0.25 x L menor + 35 ∅ 
 
 
As sobre o apoio => L = 0.2 x L menor + 1.5 x d + 35 ∅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 39
 
4.3.2 – Verificação em Relação aos Estados Limites De Utilização: 
 
 
a) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite 
 De Utilização / Fendilhação; 
 
Adoptar-se-ão as disposições construtivas regulamentares que permitem a dispensa da 
verificação da segurança a este estado limite. Artigos 70.3º,103º,91º /REBAP. 
 
 1.5 x hlaje =1.5 x 0.2 = 0.30 m 
 s ≤ 0.35 m => smáx. = 0.25m 
 2 x 0.125 = 0.25 m 
 
 
 
 
 
b) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite 
 De Utilização / Deformação; 
 
A verificação da segurança em relação ao estado limite de utilização/deformação, foi feita para 
a laje mais desfavoravel ( laje L12 => l = 13.1 ). 
 
 
b.1) - Flecha a curto prazo: 
 
 Artigo 72º REBAP 
 
 L/400 6.0/400 = 0.015 m 
ac Máx. ≤ min ⇒ ac Máx. ≤ min 
 0.015 m 0.015 m 
 
 
ac Máx. ≤ 0.015 m 
 
 
 Calculo da flecha instantânea (ac): 
 
 
ac = (qsd,freq x l4)/(185xEI) = (9.34 x 64)/(185 x 20343.5) = 3.9x10-3 
 
 
ac ≤ ac Máx. Verifica a flecha a curto prazo 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 40
 
b.2) - Flecha a longo prazo: 
 
 
 
 
 
Elementos de base: 
 
Asa = 11.81 cm2/m 
 
Asb = 9.63 cm2/m 
 
Lt = 6 m 
 
L2 = 0.75 x vão = 0.75 x 6 = 4.5 m 
 
L1 = 6 – 4.5 = 1.5 m 
 
I = (bx h3)/12 = (1 x 0.23 ) / 12 = 6.67 x10-4m4 
 
E = 30.5 x 106 
 
 EI = 20343.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 41
 
 Calculo do Mcrit. : 
 
 - Percentagem geométrica média das armaduras: 
 
 ρm tracção = (l1 / lt) x (Asa /b.d) + (l2 /lt) x (Asb/b.d) = 
 
 = (1.5 / 6) x (11.81x10-4 / 1x 0.17) + (4.5/6) x (9.63 x10-4 / 1 x 0.17) = 0.005985 
 
 ρm compressão = (l1 / lt) x (Asb /b.d) = (1.5/6) x (9.63x10-4 / 1x 0.17) = 0.001416 
 
 
 
fctm(tracção) = 2.5 MPa (artº 16 /REBAP) 
 
fctm(flexão) = fctm(tracção) x [0.6 + (0.4/ 4√ h)] = 2.5 x [0.6 + (0.4/ 4√ 0.2)] =2.99 Mpa 
 
fctm(flexão) = Mcrit./W ⇔ Mcrit. = fctm(flexão) x W ⇔ Mcrit. = fctm(flexão) x (b.h2/6) 
 
⇔ Mcrit. = 2.99x103 x (1 x 0.202/6) = 24.7 KN.m/m 
 
Msd,freq = (qsd,freq. x l2 )/14.2 = (9.34 x 62 / 14.2) = 19.9 KN.m/m 
 
logo, Mcrit > Msd,freq , então a flecha a longo prazo é dada por: 
 
a∞∞∞∞ = ac x (1 + ϕϕϕϕ) , considerando um coeficiente de fluência de 2.5 
 
a∞ = 3.9x10-3 x (1 + 2.5) = 0.01365 m 
 
 
 
Verificando a flecha : ( Art. 72.2º / REBAP ) 
 
 
 L / 400 = 13.1 / 400 = 0.03275 m 
δmax < 
 0.015 m 
 
 
 
Como a∞ = 0.01365 m < 0.03275 m Está garantida a segurança em relação 
 ao estado limite de deformação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 42
5 - Dimensionamento da Laje de escadas 
 
As lajes de escada foram calculadas como lajes armadas numa só direcção e ao contrário das 
lajes convencionais, foram armadas segundo o maior vão de acordo com os modelos de cálculo 
indicados. 
 
a) - Pré - Dimensionamento da Laje : 
 
 
h ≥ l / 25 
 
h ≥ 3,95 / 25 = 0.16 m 
 
h laje adot. = 0.20 m 
 
b) - Geometria: 
 
 
Espelho = Altura a subir(total) / nº de fucinhos(total) = 3,20 x 21= 0.153 m 
Cobertor = comprimento do lanço / nº de degraus = 1,76 / 8 = 0.22 m 
 α=arc tg ( 0.153 / 0.22 ) = 35,44° 
 
 
 ( Sem Escala ) ( Sem Escala ) 
 
Figura 13 – Definição geométrica do degrau Figura 14 – Definição geométrica das escadas e modelo 
 de cálculo adoptado 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 43
 
c) -Acções: 
 
Revestimento => 1,5 KN/m 2 
 
S.C. Escada => 5 KN/m 2 
 
Peso Próprio (laje) => 5 KN/m 2 
 
Peso Próprio (degraus) => 2,5 KN/m 2 
 
 
d) -Cálculo dos esforços: 
 
 
� Lanço B – C: 
 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 15 – Modelo de cálculo do lanço B - C 
 
 
∑ MA = 0 ⇔ -5 x 1,63 x 0,815 – 2,5 x 0,53x 0,815 – 1,5 x 0,55 x 1,35 – 5x 0,55 x 0,27 
 
– 1,84 x 0,53 x 0,815 – 5 x 0,55 x 1,35 – 5 x 0,55 x 0,27 – 6,14 x 0,53 x 0,815 + R2 x 
 
1,63 =0 ⇔ R2 = 9,26 (KN) 
 
∑ Fv = 0 ⇔ 9,29 – 5x1,36 – 2,5 x 0,53 – 1,5 x 0,55 – 5 x 0,55 – 1,84 x 0,53 – 5 x 0,55 – 
 
5 x 0,55 – 6,14 x 0,53 + R1 = 0 ⇔ R1 = 12,14 (KN) 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 44
Mmáx. =12,14 x 0,92 – 5x 0,92 x 0,46 – 2,5 x 0,37 x 0,185 – 1,5 x 0,55 x 2,125 – 1,84 x 
 
0,37 x 0,1845 – 5 x 0,55 x 2,125 – 6,14 x 0,37 x 0,185 = 0,74 (KN.m) 
 
Msd = 1,5 x 0,74 = 1,11(KN.m) 
 
Vsd = 1,5 x 12,14 = 18,21 (KN) 
 
 
� Lanço C – D: 
 
 
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 16 – Modelo de cálculo do lanço C - D 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 45
 
∑ MA = 0 ⇔ -5 x 4,33 x 2,165 – 2,5 x 2,139 x 2,069 – 1,5 x 1,19 x 3,734 – 1,5 x 1 x 
 
0,5 – 1,83 x 2,139 x 2,069 – 5x 1,19 x 3,734 – 5 x 1 x 0,5 x 6,1 x 2,139 x 2,069 – 9,26 
 
x1 x0,5 + RB x 4,33 = 0 ⇔ RB = 29,98 (KN) 
 
 
∑Fv = 0 ⇔ 29,98 – 5 x 4,33 – 2,5 x 2,139 – 1,5 x 1,19 – 1,5 x1 –1,83 x 2,139 – 5 x 1,19 
 
– 5x1 –6,1 x 2,139 – 9,26 x 1 + RA= 0 
 
 
Mmáx. = 37,47 x 2,4 – 5 x 2,4 x 1,2 – 2,5 x 1,4 x 0,7 – 1,5 x 1 x 1,9 – 1,83 x 1,4 x 0,7 – 
 
5 x 1x 1,9 – 6,1 x 1,4 x 0,7 – 9,26 x 1x 1,9 = 35,36 KN.m 
 
 
Msd = 1,5 x 35,36 = 53,04 KN.m 
 
Vsd = 1,5 x 37,47 = 56,21 KN 
 
 
e) - Verificação da segurança ao E.LU. : 
 
e.1) -Flexão: 
 
rec. = 0,03m 
d = 0,20 – 0,03 = 0,17 m 
B30 => fcd = 16700 
A400 => fsyd = 348000 
 
� Lanço 2 – 3 : 
 
 Msd = 1,11 KN.m 
 µ = 0.003 < 0.31 
 
 As = 2,55 (cm2/m) => φ 8 // 0,10 
 
 As,dist. =0.2 x 2,55 = 0.51(cm2/m) => φ 6 // 0,20 
 
 As,min.= (0,15 x 0,17 x 1) /100 = 2,55 (cm2/m) 
 
 As, fend. =0.2 x As = 0.2 x 2.55 =0.51 (cm2/m) => 
 
 => As, fend = As,min.= 2,55 (cm2/m) => φ 8 // 0,10 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 46
 
� Lanço 1 – 2 : 
 
 Msd = 53.04 KN.m 
 µ = 0.129 < 0.31 
 
As = 9.64 (cm2/m) => φ 12 // 0,10 
 
 As,dist. =0.2 x 9.64 = 1.93 (cm2/m) => φ 8 // 0,20 
 
 As,min.= (0,15 x 0,17 x 1) /100 = 2,55 (cm2/m) 
 
 As, fend. =0.2 x As = 0.2 x 9.64 =1.928 (cm2/m) => 
 
 => As, fend = As,min.= 2,55 (cm2/m) => φ 8 // 0,10 
 
 
 
e.2)– Esforço transverso : 
 
 
� Lanço 2 – 3: 
 
 Vsd = 18,21 KN 
 
 Vrd = 0,6 x ( 1,6 – d ) x τ1 x d x b = 0,6 x (1,6 – 0,17) x 750 0,17 x 1=109,40 KN 
 
 Vrd > Vsd => Dispensa-se a armadura de esforço transverso 
 
 
� Lanço 1 – 2: 
 
 Vsd = 56,21 KN 
 
 Vrd = 0,6 x ( 1,6 – d ) x τ1 x d x b = 0,6 x (1,6 – 0,17) x 750 0,17 x 1=109,40 KN 
 
 Vrd > Vsd => Dispensa-se a armadura de esforço transverso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 47
f )-Verificação da segurança ao E.L.Utilização 
 
 
 f.1) - Deformação: 
 
Tendo-se cumprido as condições impostas nos artigos 102º ( li / h < 30 η), e no artº 113, 
ficamos dispensados da verificação do estado limite de deformação, como consta no artº 72.3 
(R.E.B.A.P.). 
 
 
f.2) - Fendilhação: 
 
Tendo-se adoptado as disposições construtivas regulamentares que permitem a dispensa da 
verificação da segurança a este estado limite Art. 70.3º , 105º, 91º / R.E.B.A.P. . 
Pode-se dispensar a verificação de fendilhação desde que se verifique os espaçamentos 
impostos pelos artigos referidos anteriormente. 
 
 
Espaçamento máximo entre varões (armadura principal): 
 
 s ≤ 1,5 x h s ≤ 1,5 x 0.2 s ≤ 0.30 m 
 => s ≤ 0.30 m 
 s ≤ 0,35 s ≤ 0,35 s ≤ 0.35 m 
 
 
 
 Espaçamento mínimo, artº 77(R.E.B.A.P.): 
 
 
 s ≥ φ varões s ≥ 0,010 m 
 => s ≥ 0.02 m 
 s ≥ 0,02 s ≥ 0,02 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
http://www.projetosengenharia.com/ 48
 6 – Pórticos 
 
As viga (V9.1 ; V9.2 ; V9.3), o Pilar (P26) assim como os respectivos pórticos escolhidos para o 
dimensionamento, são os indicados na figura seguinte : 
 
V6.1
P35
V
9
.1
P26 V6.2P27
P20
V
9
.2
V
9
.3
P28
Portico y
Portico x
P10
Planta Piso 4
 
 ( Sem escala ) 
 
 Figura 17 – Definição dos pórticos 
 
O cálculo dos esforços nas estruturas foi efectuado recorrendo ao programa de cálculo automático 
SAP2000 que se baseia no método dos elementos finitos, para a utilização do referido programa 
procedeu-se do seguinte modo: 
 
1º Criou-se um novo modelo; 
2º Definiu-se as secções materiais e acções bem como a combinação de acções; 
3º Definiu-se geometricamente a estrutura, definindo-se os elementos de barra com as respectivas; 
 secções associadas e criaram-se nós atribuindo-lhes as restrições necessárias; 
4º Aplicaram-se as acções nas barras e nos nós; 
5º Calculou-se a estrutura; 
6º Visualizou-se e analisou-se os resultados. 
 
Para o dimensionamento da viga foram utilizados os diagramas resultantes da envolvente de 
esforços e para o dimensionamento dos pilares foram utilizados os diagramas provenientes da 
combinação fundamental correspondente ao Estado Limite Ultimo, pois este em todos os aspectos, 
mostrou-se mais desfavoravel, do que a combinação devido ao sismo. 
Os resultados do SAP 2000 são apresentados em Anexo. ( Anexos : 15 , 16 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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7 - Dimensionamento das Vigas 
 
As vigas a dimensionar são as vigas V6 (V6.1,V6.2) e V9 (V9.1,V9.2,V9.3), pertencentes ao 4º 
piso, cujas dimensões foram obtidas do pré-dimensionamento, tendo em conta o artº 89/REBAP 
(ver em Anexo 6 ). 
As referidas vigas serão calculadas para a flexão simples, embora exista esforço normal resultante 
do modelo de cálculo. 
Os esforços obtidos para as várias secções são os retirados do pórtico X e do pórtico Y, através da 
resolução estrutural a duas dimensões efectuada no programa de cálculo automático SAP2000. Os 
esforços utilizados para o dimensionamento das vigas é referente á envolvente de esforços.7.1) -Viga do Pórtico x ( V6.1-V6.2 ) 
 
 
 A – Armadura Inferior 
A viga será armada uniformemente, ou seja, verificamos para a viga qual o momento máximo 
positivo, conseguindo assim evitar interrupções da armadura e perlongando esta armadura nos 
apoios de continuidade sem ser necessário efectuar amarrações em secções intermédias ( só se faz 
armação no início e no fim da viga aquando na amarração ao pilar ). 
Comprimento total da viga => 
 
L = 3.3 + 4.5 = 7.8 m 
Os esforços resultantes do SAP 2000 são apresentados em Anexo. 
 
Vigas do 4º Piso 
 
Esforços 
M Secção da viga 
 
 
 
 V 
 
 (Sem escala) 
Figura 18 – Diagrama da envolvente de momentos e esforço transverso da viga V6 
 
0.2 
0.4 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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7.1.1) -Cálculo da armadura para resistir a flexão 
 
 
M máx+ = 33.74 ( tabelas do LNEC) 
 
Considerando 2.5 cm de recobrimento : d = 0.4 – 0.025 = 0.375 m 
 
As mín = ( ρ b d) / 100 = ((0.15 x 0.2 x 0.375) / 100) x 104 = 1.125 cm2 
 
As máx = 0.04 x b x h = 0.04 x 0.2 x 0.4 =3.2 x 10-3 = 32 cm2 
 
 
Tabela nº 2 ( tabelas do LNEC) 
 
m = (M s d ) / (b d2) = 33.74 / (0.2 x 0.3752 x 1000) = 1.2 
 
 
 m = 1.3 
 
 B30 
 
α = 0.146 => x = 0.146 x 0.375 = 0.055 
 
ρ = 0.364 
 
As = ((0.364 x 0.2 x 0.375) / 100) x 104 = 2.73 cm2 => A s adopt = 2.73 cm2 
 
 resoluvel com : 4 Ø 10( A s = 3.14 cm2 ) 
 
• Espaçamento mínimo 
 
 Ø escolhido s ≥ 1 cm 
s ≥ s min ≥ 2 cm 
 2 cm s ≥ 2 cm 
 
 
• Espaçamento máximo (Artº 91/ REBAPE) 
 
 Ambiente moderadamente agressivo 
 
 s máx ≤ 0.075 m = 7.5 m 
 
 
 
b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.008 = 0.134 m 
 
s = (b’ – n x Ø ) / (n-1) = (0.134 - 4 x 0.010) / (4 – 1) = 0.0313 m = 3.13 cm 
 
s
 
= 3.13 cm > s min e < s máx 
Admitindo Est Ø 8 
0.20 
4 Ø 10 
 
 
 Projecto 1 
 
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7.1.2) -Calculo da armadura para resistir ao esforço transverso (Artº 53 /REBAP) 
 
 
 
Vsd máx = 83.85 KN 
 
 
 
Segurança em relação à compressão das escoras da treliça de Morsch( Art 53.4 / REBAP ) 
 
 
• Vrd máx. = ? 
 
Vrd máx = τ2 x b w x d =5 x 103 x 0.2 x 0.375 = 375 KN > Vsd = 83.85 KN, logo 
 
 
conclui-se que fica garantida a segurança das escoras da treliça de Morsch. 
 
 
• Vcd = ? 
 
Vcd = τ1 x b w x d = 0.75 x 103 x 0.2 x 0.375 = 56.25 KN = 0 , 
 
De acordo com o Art 143.5 / REBAP numa zona de extensão igual a 2d ( 2 x 0.375 = 0.75 ), o 
termo Vcd = 0 (a secção de Vsd máx é perto do apoio). 
 
 
 
• Vwd = ? 
 
 Vrd > Vsd 
 Vrd = Vwd + Vcd 
 Vwd ≥ Vsd – Vcd � Vwd ≥ 83.85 KN 
 
 
 
• (Asw / s) = ? 
 
 (Asw / s) ≥ (Vwd / 0.9 d x f s y d ) = 83.85 / (0.9 x 0.375 x 348 x 103) = 7.139 x 10-4 m2/m 
 
 (Asw / s) min ≥ ( ρw x sen α x bw) / 100 = (0.1 x sen 90 x 0.2) / 100 = 2 x 10-4 m2/m 
 
 (Asw / s) adot ≥ 7.139 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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7.1.3)- Afastamento dos estribos: ART 94º / REBAP 
 
 
 
 Vsd = 83.85 KN 
 
 
(1/6) τ2 x b w d = (1/6) x 5 x 103 x 0.2 x 0.375 = 62.5 
 
(2/3) τ2 x b w d = (2/3) x 5 x 103 x 0.2 x 0.375 = 250 
 
 
=> Zona em que (1/6) τ 2 x b w d = 62.5 < Vsd = 83.85 ≤ (2/3) τ 2 x bw x d = 250 
 
 
 
 s ≤ 0.5 d com o máximo de 25 cm 
Art 94.3 
 s ≤ 0.5 x 0.375 = 0.1875 m 
 
 
 
 
 s ≤ 0.1875 m = 18.75 cm 
 
 
 
Contudo, de acordo com o artigo 143.6, os estribos para as zonas junto aos pilares devem ter um 
espaçamento máximo de 0.25 d com o máximo de 15 cm. 
 
 0.25 x 0.375 = 0.1 
 
logo s ≤ 0.1 cm → com o primeiro estribo a situar-se a uma distância da face do pilar não superior 
a 5 cm. 
 
 
 sadot = 10 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto 1 
 
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 7.1.4-Estribos: 
 
a) O primeiro estribo será colocado a uma distância nunca superior a 5 cm da face do pilar 
 (Art 143.6). 
 
Seja s = 0.10 m 
 
então (Asw / s) = 7.139 � Asw = 7.139 x 0.10 = 0.714 cm2 utilizando 2 Ø 8 // 0.10 (1.01 cm2) 
com dois ramos. 
Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede os 60 cm nem excede a 
altura útil da viga, tal como é exigido no terceiro parágrafo da Art 94.1 da REBAP. 
 
b) Zona Central 
 
Na zona central da viga existe um troço no qual a segurança em relação ao esforço transverso 
fica garantida com os estribos correspondentes à percentagem mínima regulamentar. 
 
Este troço fica limitado pelas secções onde o valor de cálculo do esforço transverso é 
 
Vsd = Vcd + Vwd,min = 56.25 +0.9 d x (Asw / s) x f s y d = 56.25 + 0.9 x 0.375 x 0.0002 x 348 x 
103 = 79.74KN 
 
 
 Vendo qual a diagrama mais desfavorável 
 
V 6.1 
 
 
Como se indica no diagrama Vsd, o referido troço situa-se na zona central da viga apresentando um 
comprimento 
 
V 6.2 
 
(Sem escala) 
 
Figura 19 - Diagrama da envolvente de esfoço transverso a meio vão da viga V6 
 
 
 Projecto 1 
 
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Verifica-se que no lado direito não se chega a atingir os 79.74 KN, logo ficamos condicionados 
apenas pelo lado esquerdo. No entanto iremos colocar estribos correspondentes à percentagem mínima 
num troço algo menor centrado. 
 
 
 L = 1.5 m ( para cada lado a contar do eixo de simetria) 
 
 
Adoptando para estes estribos (s = 0.20) teremos 
 
(Asw / s) = 0.0002 � Asw ≥ 0.0002 x 0.20 x 104 � Asw ≥ 0.4 cm2 
 
 
Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede 60 cm nem excede a 
altura útil da viga, como se exige no 3º parágrafo do Artº 94/REBAP. 
 
 
 
 
 B- Armadura superior: 
 
 Esforços 
 
 (Sem escala) 
Figura 20 – Momentos mais

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