cadernodeatividades Geometria Analitica - (1) unip

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Caderno de Atividades: 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Carlos Vidigal 
Profª. Érika Vidigal 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
FINALIDADE: 
Aplicar e desenvolver o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Analítica; 
Conhecer a Geometria Analítica no espaço através dos vetores no R2 e R3 e estabelecer as 
relações com a Geometria Analítica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria 
Analítica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova visão da matemática através do 
estudo dos vetores e resolução de exercícios. 
 
EMENTA: 
Coordenadas no plano e no espaço: vetores; produto interno e ângulos; distância; desigualdade 
triangular; produto vetorial; produto misto. Cálculo de área e volume através de produto vetorial 
e misto. 
Retas e planos: equações cartesianas e paramétricas; posições relativas; distância e ângulos. 
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
Bibliografia Básica 
[1] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2008. 
[2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2006. 
[3] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2008. 
Bibliografia Complementar 
- BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo: 
Makron Books do Brasil, 1997. 
- CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. 
São Paulo: Prentice Hall, 2008 
- CAROLI, Alésio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes vetores 
geometria analítica: teoria e exercícios. São Paulo: Nobel, 1984. 
- NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. 
- POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson, 2004. 
 
 
Este símbolo sugere uma 
Leitura Obrigatória do livro 
texto. 
 
Este símbolo indica uma série de 
Exercícios Sugeridos do livro 
texto. 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES 
 
Considere uma tabela de números dispostos em linhas e colunas mas colocados entre parênteses ou 
colchetes: 
 
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são numeradas de cima para baixo e as 
colunas, da esquerda para direita: 
 
 Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. 
Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. 
 Veja mais alguns exemplos: 






8
1
6
3
7
2
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas) 
 314
: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 








5
3
4,0
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) 
 
 As matrizes são nomeadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas 
por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. 
 Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: 11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
...
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento 
ocupa. Por exemplo, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. 
 
[1] pág 369 a 392 
 
 Na matriz 
1 6
2 5
3 4
B
 
 

 
  
 temos, por exemplo, b12 = 6 e b32 = 4. 
 
Algumas matrizes são constituídas por elementos cujos valores dependem da sua posição na matriz, isto 
é, da linha e da coluna em que se encontra. Por exemplo, a matriz A=v(aij)2x3, em que aij = 2i – 3j é a matriz 
1 4 7
1 2 5
A
   
  
  
 
 
 
Tipos de Matrizes 
 
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. 
 
Matriz linha: 
Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz 
 1 2 3 4A 
é do tipo 1 x 
4. 
 
 
Matriz coluna: 
Matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, a matriz 
1
2
3
B
 
 
  
 
 
 é do tipo 3 x 1. 
 
Matriz quadrada: 
Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz 
é de ordem n. Por exemplo, a matriz 
1 2
3 4
C
 
  
 
 é de ordem 2. 
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE!!!! 
Uma matriz A é representada colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre 
colchetes. NUNCA utilize barras no lugar dos parênteses ou dos colchetes . 
1 4 7
1 2 5
A
   
  
  
 ou 
1 4 7
1 2 5
A
   
  
  
 
 
 
Matriz nula: 
 Matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. Por exemplo, 
3 2
0 0
0 0 0
0 0
x
 
 
  
 
 
 
. Matriz triangular: 
Matriz quadrada que possui todos os elementos nulos, acima ou abaixo da diagonal principal. 











382
015
001
A
 











000
710
361
B
 
(Triangular Inferior) (Triangular Superior) 
 
 
Matriz diagonal: 
Matriz quadrada em que todos os elementos que NÃO estão na diagonal principal são nulos. Por 
exemplo: 
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária: 
 A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. 
 Na secundária, temos i + j = n + 1. 
 
Exemplo: 
 
OBSERVAÇÃO: AS DIAGONAIS SÃO CARACTERÍSTICAS PRÓPRIAS DE MATRIZES 
QUADRADAS! 
 
Matriz identidade: 
 Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são 
nulos. 
Representamos as matrizes identidades por In, onde n é a ordem da matriz. Por exemplo: 
 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz transposta 
 A matriz transposta de A, denotada por At, é a matriz obtida a partir da matriz A trocando-se 
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: 
 
Note que, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Além disso, a 1ª linha de A corresponde à 1ª 
coluna de At , a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At, e assim sucessivamente. 
 
Igualdade de matrizes 
Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se, 
I. Possuírem a mesma ordem m x n e 
II. Todos os elementos que ocuparem a mesma posição forem iguais. 
 
Adição e Subtração de matrizes 
 
A soma (subtração) da matriz A com a matriz B de mesma ordem é uma outra matriz C de mesma ordem 
cujos elementos é igual à soma (subtração) dos elementos correspondentes das matrizes A e B. 
 
1 4 2 3 3 7
2 3 1 5 1 2
     
      
       
 
 
1 4 5 1 1 0 0 3 5
2 3 6 2 5 1 4 2 7
     
      
       
 
 
Note que para que seja possível a soma (subtração) de duas ou mais matrizes, necessariamente, as 
matrizes devem possuir a mesma ordem. 
 
Propriedades: 
Sejam A, B, C e O (nula) do mesmo tipo. São válidas as propriedades: 
a) comutativa: A+B=B+A; 
b) associativa: (A+B)+C=A+(B+C); 
c) elemento neutro: A+O=A; 
d) elemento oposto: A+ (– A)=O; 
e) transposta da soma: (A+B)T=AT+BT. 
 
 
Multiplicação de um número (escalar) por uma Matriz 
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n 
obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k. 
1 0 6 3 0 18
3
2 1 3 6 3 9
   
          
 
 
Propriedades: 
Sejam A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e k e m números reais não nulo, valem as 
propriedades 
a) 1.A = A 
b) (-1).A = -A 
c) k.O = O 
d) 0.A = O 
e) k.(A + B) = k.A + k.B 
f) (k + m).B = k.B + m.B 
g) k.(m.A) = (k.m).A 
 
 
Multiplicação de Matrizes 
 
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido 
por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A pelos elementos da coluna j de 
B. 
 
Note que: 
1) o produto existirá se o número de colunas de uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz. 
Além disso, a matriz resultado terá a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da 
segunda. 
 
2) se existe o produto A.B, não implica, necessariamente, na existência de B.A. 
3) a propriedade comutativa não é válida. 
 
 
4) se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja 
nula. Verifique isso com as matrizes 







11
11
A
 e 








11
11
B
. 
5) Diferentemente da álgebra dos números reais em que a.b = a.c

b = c, para as matrizes a lei do 
cancelamento não é válida. Verifique com as matrizes 












041
011
021
A
,











222
111
321
B
 e 











111
111
321
C
que A.B = AC apesar de B ≠ C. 
Propriedades 
 Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: 
a) associativa: (A.B).C = A.(B.C) 
b) distributiva em relação à adição: A.(B + C ) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C 
c) elemento neutro: A.In = In.A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n 
 
Matriz Inversa - Parte I 
 
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível, ou não singular, se e somente se, existir uma 
matriz que indicamos por A-1, tal que 
A.A-1=A-1.A=In. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por 






jiseji
jiseji
aij
,
,
 . 
 2. Construa a matriz quadrada A de ordem 3, definida por: 








jij
ji
aij
 se 1i
 se 2
2
ji
. 
3. Sendo A = (aij)1x3 tal que 
jiaij 2
e B = (bij)1x3 tal que 
1 jibij
, calcule A+B . 
 
4. Sabendo que 













11
02
10
21
NeM
, calcule MN - NM . 
5. Dada a matriz 









 

100
001
012
A
, calcule A2. 
6. Sendo A = 






43
21
e B = 






21
02
, mostre que 
  TTT ABBA .. 
. 
 7. Sendo 












534
201
321
M
, 











100
010
001
N
 e 














023
102
110
P
, calcule: 
a) N – P + M 
b) 2M – 3N – P 
c) N – 2(M – P) 
 
 8. Dadas as matrizes 







a
a
A
0
0
 e 







1
1
b
b
B
, determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz 
 identidade. 
 
 9. Considere as seguintes matrizes: 














45
100
734 xx
A
, 









 

22
05
43
B
, 









11
1
x
xx
C
 e 











41
510
100
D
. 
 Determine o valor de x para que se tenha: A + BC = D . 
 
 10. Sabendo que as matrizes abaixo comutam, 






2a
aa
 e 






33
30
, determine o valor de a. 
 11. Se A e B são matrizes tais que: 











x
A 1
2
 e 











1
2
1
B
, então para qual valor de x a matriz 
B.AY t
 será 
 nula? 
 
 12. O produto M.N da matriz 











1
1
1
M
pela matriz 
 111N
; 
a) não se define. 
b) É a matriz identidade de ordem 3 
c) É uma matriz de uma linha e uma coluna. 
d) É uma matriz quadrada de ordem 3. 
e) Não é uma matriz quadrada. 
 
13. Considere as matrizes: 
 ijaA
, 4 x 7 onde 
jiaij 
 
 ijbB 
, 7 x 9 onde 
ibij 
 
 ijcC 
, tal que C = AB. 
 O elemento 
63C
: 
a) é -112. 
b) é -18. 
c) é -9. 
d) é 112. 
e) não existe. 
 
14. Dadas as matrizes 








31
02
A
 e 







 

13
2
12
B
, então a matriz -2AB é igual a: 





 
714
28
 b) 





 
714
28
 c)








714
28
 d)






714
28
 e)








714
28
 
 
 15. A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é: 
a) A + B existe se, e somente se, n = p. 
b) 
tAA 
 implica m = n 
c) A.B existe se, e somente se, n = p 
d) 
tB.A
 existe se, e somente se, n = p. 
e) 
B.At
 sempre existe. 
 
 16. Efetue: 
 a) 















2
3
41
35
 b) 
 











3
0
2
531
 c) 





 






 30
12
41
25
 
 17. Dada a matriz 













210
432
011
A
, obtenha a matriz X tal que 
tAAX 
. 
 
18. Numa fábrica de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa 
das substâncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas: 
 
 
 
 As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em 
cada fornecedor, está expresso em reais na tabela seguinte: 
 
 
 
Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os 
valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. 
 
 
19. Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, 
cerveja e feijão. No 1° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de 
cerveja e 20 kg de feijão. No 2° restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 
garrafas de cerveja e 22 kg de feijão. 
Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são: 
 
 
 
A partir destas informações: 
a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1° e no 2° 
restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores; 
b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada 
restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no 
fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. 
 
RESPOSTAS: 
 
1) 












2
1
4
3
3
2
1
2
 2) 










789
3234
1681
 3) 
 222
 4) 







20
22
 
5) 












100
012
023
 7) a) 










65-7
3-11
232
 b) 










78-11
5-3-0
551-
 c) 










9-10-14-
612-
4-6-1-
 
 
8) a = 1 e b = 0 9) x = 2 10) a = 1 11) x = - 4 
12) D 13) E 14) E 15) C 
16) a) 






11
21
 b) [17] c) 






 132
110
 17) 












450
561
012
X
 
18) F1: R$ 790; F2: R$ 830 19) R$ 164 
 
DETERMINANTES 
 
 
 
1) Calcule: 
22
13
42
x
 
10:. R
 
 
 
 
2) Resolva a equação: 
3 2
0
1 5
x
x



 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
17
3
S
 
  
 
 
3) Resolva a equação: 
0
11
53



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
 4, 2S  
 
 
[1] pág 423 a 461 
 
4) Sendo 













12
31
20
31
BeA
, calcule: 
a) det(A+B). 
 
 
 
 
 
 
 
R.: -6 
 
b) det(A.B). 
 
 
 
 
 
 
 
R.: -10 
 
5) Calcule o determinante da matriz 













341
025
132
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: det A = 15 
 
6) Resolva a equação 
0
423
121
53
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
4
23
x
 
7) Dada as matrizes 



















121
32
011
93
2
xBe
x
A
, determine x para que det A = det B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
2
13
x
 
8) Resolva a equação 
0
44
4 
x
xx
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
 40,S 
 
9) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: 









jise,ji
jise,ji
jise,
mij
0
. Ache o valor do 
determinante de M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 48 
10)Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz 













220
112
112
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 64 
 
11)Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace: 
a) 













301
430
112
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: det A = 11 
b) 













126
540
312
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: det A = -74 
Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha. 
1231
1251
4134
1312


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: -180 
 
Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha. 
6230
1251
3124
0132




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 13 
 
Calcule os determinantes usando triangulação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 15 
 
 
 













341
025
132
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.:11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: -36 
 













301
430
112
B
 
114
321
121













C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: -180 
Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 






32
85
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A-1 = 








52
83
 
 















1231
1251
4134
1312
D
Determine a inversa das matrizes: 
a) 







01
43
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 









4
3
4
1
10 
b) 














121
131
231
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 













011
110
311
 
 
 
 












121
432
211
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 














137
012
2511
1C
 











110
211
321
D
 
 
 
 
 
 
 
R.: Não existe 1D 
 
 
Aplicação 
Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. 
Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
 
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 33 
assim: 











ADI
VA
XUP
 , que usando a correspondência numérica fica: M = 










149
2201
242116
 
Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: C = 













102
212
011
 
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos 














7133
22145
183722
CM
 
Transmitimos esta nova matriz 
CM 
. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da 
multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo 
  1 CCM
 e posterior transcrição dos 
números para letras. C é chamada de matriz chave para o código. 
Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz 














17172
303510
333411
CM
, traduza a mensagem. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares 
1) Dadas as matrizes 








12
01
A
 e 







31
20
B
, calcule: 
a) det (A²) 
b) det (B²) 
c) det (A² + B²) 
R.: a) 1 b) 4 c) 18 
 
2) Determine a solução da equação 
0
2
83

 x
x
 R.: {-2,2} 
 
3) Sendo 








31
21
A
 e 







12
10
B
 , dê o valor de: 
a) det (A). det(B) 
b) det (A.B) 
R.: a) -10 b) -10 
 
4) Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que: 









ji se 1
 e ji se ,
ji se 1,
ij Rkka
. Calcule k, de modo que o 
determinante da matriz A seja nulo. 
R.: k = 0 
 
5) (UFPR) Considere as matrizes










xzy
xyz
zyx
A
 e 









xzyz
zxyx
B
e 







42
64
C
 . Sabendo que 
a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A. 
R.: 72 
 
6) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo 











3
2
1
A
, 
 532B
 e 














413
012
201
C
. 
R.: zero 
 
 
 
7) Calcule o determinante da matriz A = 
















6230
1251
3124
0132
, utilizando o método da triangulação. 
R.: 13 
8) Calcule o determinante da matriz 














0412
5632
3221
1111
, utilizando o Teorema de Laplace.: 
R.: -3 
9) (UEL – PR) A soma dos determinantes 
ab
ba
ab
ba 

 é igual a zero 
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b. 
b) se e somente se a = b. 
c) se e somente se a = - b. R.: a) 
d) se e somente se a = 0. 
e) se e somente se a = b = 1. 
10) (Mack – SP) A solução da equação 
0
02/13/2
51
321


x
 
a) 1 b) 58 c) -58 d) 
9
67
 e) 2 
R.: d) 
11) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da matriz A é: 
a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4 
R.: d) 
12) A matriz 






1
1
x
x
, na qual x é um número real, é inversível se, e somente se: 
a) 
0x
 b) 
1x
 c)
2
1
x
 d)
2
1
 e 
2
1
 xx
 e)
1 e 1  xx
 
R.: e) 
 
 
 
 
[1] pág.: 461 (1 a 22) 
 pág.: 499 (1 a 20) 
SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
1) Expresse matricialmente os sistemas: 
a) 





03
52
yx
yx
 
 
 
 
 
b) 








253
0
12
cba
ca
cba
 
 
 
 
 
 
2) A expressão matricial de um sistema S é: 

















 
7
4
13
52
b
a
.
. Determine as equações de S. 
 
 
 
 
 
3) Resolver o sistema 





25
72
yx
yx
. 
 
 
 
 
 
 
R.: 
  13 ,S
 
 
[1] pág 505 a 515 
 
4) Resolver o sistema 





2
5
yx
yx
. 
 
 
 
 
 
 
R.: 
S
 
5) Resolver o sistema








1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
 
 
 
 
R.: 
  012 ,,S 
 
 
6) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos. 
a) 





086
043
21
21
xx
xx 
R.: SPI 
 
b) 








03
0422
0
zyx
zyx
zyx
 
 
R.: SPI 
 
c) 








04
03
02
yx
zyx
zyx
 
R.: SPD 
 
 
7) Determine a e b para que o sistema 





byx
ayx
44
126
seja indeterminado. 
 
 
 
 
 
 
R.: a = 6 e b = 8 
 
 
8) Calcule os valores de a para que o sistema





04
123
yax
yx
 seja compatível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
6a
 
 
9) Dê os valores de a para que o sistema 








542
2
zyax
azyx
azy
seja compatível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.:
 1 e 4  aa/Ra
 
 
10) Dê o valor de a para que o sistema








054
02
02
azyx
azyx
yax
 seja impossível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: 
1ou 4  aa
 
 
 
11) Determine o valor de k para que o sistema








kxy
zx
yz
332
224
143
 seja indeterminado. 
 
 
 
 
R.: k = 5 
 
12) Ache m para que o sistema 








023
054
032
zmyx
zyx
zyx
 tenha soluções próprias. 
 
R.: 
13
3
m
 
 
 
 
 
 
 
Escalonamento de Sistemas Lineares 
 
1) Resolva os sistemas: 
a)








105
024
623
z
zy
zyx
 
 
S={(-2,1,2)} 
b) 











90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
 
 
S = 

 
c) 





063
0
zy
zyx
 
 
 
 
 
 
Solução geral: (-3k, 2k, k). 
 
d) 





132
22
tz
tzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução geral: 










,,,
2
31
4
352
 
 
2) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 








02
833
132
zy
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)} 
b) 





5232
2
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)} 
c) 





032
3
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)} 
Aplicações 
1. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão 
esquematizadas na tabela a seguir: 
 Produto A 
Produto 
B 
Produto C 
Elaine 1 2 2 
Pedro 3 3 2 
Carla 2 3 1 
Sabendo que Elaine gastou R$ 33,00, Pedro gastou R$ 49,00 e Carla gastou R$ 36,00, 
quanto custou o produto C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R.: R$ 8,00 
 
 
2) Ruth vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x, y e z, 
respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão 
representados na tabela a seguir. 
 
Com base nessa tabela, o valor de x + y + z é igual a: 
a) R$ 30,00 
b) R$ 25,00 
c) R$ 20,00 
d) R$ 15,00 
e) R$ 10,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares 
 
1) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 





432
52
yx
yx
 R.: {(1,2)} 





93
143
yx
yx
 R.: {(3,2)} 
 
2) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: 








3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 R.: {(1,2,3)} 








03
05
010
zy
zx
yx
 R.: {(6,4,1)} 
3) Resolva as equações matriciais: 



















 13
9
31
12
y
x
.
 R.: 






5
2
 































 8
2
2
115
632
741
z
y
x
.
 R.: 










1
2
1
 
4) Determinar m, de modo que o sistema 







4
0
2
zyx
zmyx
yx
 seja impossível. R.: m = -1 
5) Qual o valor de p para que o sistema








2
0
4
yx
zpyx
zypx
 admita uma solução única? 
 R.: 
 1 p/Rp
 
6) Para quais valores de k o sistema linear 








2
323
1
kzy
zyx
zyx
 é possível e determinado? 
 R.: 







4
1
k/Rk
 
 
 
 
7) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 








02
833
132
zy
zyx
zyx
 R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)} 
b) 





5232
2
zyx
zyx
 R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-
4k, k)} 
c) 





032
3
zyx
zyx
 R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)} 
d) 








14633
10422
52
zyx
zyx
zyx
 R.: Sistema impossível 
S
 
 
8) Um agricultor plantou três diferentes culturas, cobrindo uma área total de 80 hectares 
(ha). Para 
 isso, ele usou 2.800 kg do adubo A e 3.500 kg do adubo B, conforme mostrado neste 
quadro: 
 
 
Adubo A 
(kg/ha) 
Adubo B 
(kg/ha) 
Cultura I 20 30 
Cultura II 30 10 
Cultura III 40 60 
 
 Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$ 
200,00, 
 R$ 100,00 e R$ 400,00. Com base nesses dados, CALCULE o lucro total do agricultor. 
 
 R.:R$ 24.000,0 
 
9) Matias quis saber quantos quilogramas tinha seu gato, sue cachorro e ele próprio, mas 
dispunha de uma balança que só era confiável para cargas com mais de 50 kg. Então: 
- subiu na balança com o cachorro, sem o gato – ela registrou 95 kg; 
- subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro – a balança acusou 54 kg; 
- por último, ele colocou o cachorro e o gato na balança – ela marcou 51 kg. 
Quantos quilogramas tem cada um? 
R.: 49, 46,5 
 
10) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele 
convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 
ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de 
R$50,00. Quantos arremessos ele acertou? 
R.: 10 arremessos 
 
11) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de 
som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o 
som juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto 
pagará um cliente que comprar os três produtos? 
R.: R$1900,00 
 
12) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que 
qualquer mochila custa R$20,00, calcule o preço pago por um par de meias e um 
conjunto de roupas íntimas. 
R.: R$ 25,00 
PRODUTO 
Preço(R$) 
Mochila 
Par 
de 
Meias 
Conj. 
Roupas 
íntimas 
Camisa Jeans 
Tipo 1 2 2 4 2 250,00 
Tipo 2 2 2 3 1 180,00 
Tipo 3 3 3 5 3 345,00 
Tipo 4 2 2 2 1 160,00 
 
13) No estacionamento de um shopping há 80 veículos, entre carros e motos. Sabe-se 
também que o número de rodas é igual a 260. Determine o número de carros e motos. 
R.: 50 carros e 30 motos 
 
 
 
 
Não se esqueça de estudar o livro texto!!! 
 
 
 
 
 
[1] pág.: 576 (1 a 23) 
PONTOS EM R2 E R3 
 
Admita dois eixos, x e y, perpendiculares entre si em O. Esses dois eixos dividem o plano em quatro 
regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regiões, podemos representar infinitos pontos, 
expressos por meio de pares ordenados 
 p px ,y
, em que 
p
x
 é a abscissa do ponto e 
p
y
 é sua ordenada. Para 
representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos proceder da seguinte forma: 
 sobre o eixo das abscissas, x, localizamos 
p
x
; 
 por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao eixo das ordenadas, y; 
 da mesma forma, em y, identificamos 
p
y
, por onde passamos uma nova linha tracejada, agora paralela 
ao eixo x; 
 o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas é o ponto P
 p px ,y
. 
Veja essa construção, na figura 1, a seguir: 
 
Devemos saber, ainda, que o ponto O é chamado de origem do plano, tem coordenadas (0,0) e divide cada um 
dos eixos x e y, em dois semi-eixos. À esquerda da origem, temos o semi-eixo negativo das abscissas; à direita, 
o semi-eixo positivo das abscissas. Abaixo da origem, temos o semi-eixo negativo das ordenadas, acima dela, 
temos o semi-eixo positivo das ordenadas. E cada parte é chamada de quadrante. 
Veja essa construção, na figura 2, a seguir: 
 
 
Posição de um ponto no plano 
Como vimos, os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes e os pontos P
 p px ,y
 localizam-se neste 
plano, de acordo com os valores de 
p
x
 e 
p
y
, da seguinte forma: 
 se 
p
x 0
 e 
p
y 0
, então P pertence ao 1º quadrante; 
 se 
p
x 0
 e 
p
y 0
, então P pertence ao 2º quadrante; 
 se 
p
x 0
 e 
p
y 0
, então P pertence ao 3º quadrante; 
 se 
p
x 0
 e 
p
y 0
, então P pertence ao 4º quadrante; 
 se 
p
y 0
, então P pertence ao eixo das abscissas. P
 px ,0
, com 
p
x 
; 
 se 
p
x 0
, então P pertence ao eixo das ordenadas. P
 p0,y
, com 
p
y 
. 
 
 
Se um ponto pertence a um dos eixos coordenados, então ele pertence, simultaneamente, a dois 
quadrantes. A origem (0,0), por exemplo, pertence aos quatro quadrantes. 
 
Distância entre dois pontos do plano 
Dados os pontos A
 A Ax ,y
e 
 B BB x ,y
: 
 
Se AB // Ox, temos: 
AB B A
d x x 
. 
 
Se AB // Oy, temos: 
AB B A
d y y 
 
 
 
Se AB não é paralelo a Ox, nem a Oy. Note que o triângulo ABC é retângulo: 
 
 
 
 
 
Então, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos: 
         
2 22 2 2
AB AC BC AB B A B A
d d d d x x y y
 
 
O espaço tridimensional 
 
Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para realizar representações no plano, também o 
fazemos para representar sólidos e objetos. 
 
Definição: 
O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço tridimensional, sendo 
denotado por 
3
. Cada tripla ordenada 
 , ,x y z
 é chamada de um ponto no espaço tridimensional. 
 
Desta forma do plano para o espaço há o acréscimo do eixo z. 
 
Para marcarmos um ponto no espaço, fazemos o seguinte procedimento, vamos usar o seguinte ponto como 
exemplo 
(3, 2,4)A 
: 
1ª) marca-se o ponto 
'(3, 2,0)A 
 no plano xy. 
2ª) desloca-se A’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades para baixo) 
para obtermos o pontos A. 
 
A 
B 
y 
xA 
yA 
xB 
yB 
C 
x 
Os planos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional dividem o espaço tridimensional 
em oito partes, chamadas de octantes. O conjunto de pontos com as três coordenadas positivas forma o 
primeiro octante, os demais não têm uma enumeração padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Winterle (2000).Visualização: 
 
Fonte: Winterle (2000). 
 
 
 
 
Região Descrição 
Plano xy (x, y, 0) 
Plano xz (x, 0, z) 
Plano yz (0, y, z) 
Eixo x (x, 0, 0) 
Eixo y (0, y, 0) 
Eixo z (0, 0, z) 
 
Z
 
Y
 
X
 
O
 

 

 

 
 
 
1º 
2
º 
3
º 
4
º 
5º 
6º 8º 
 
Sistemas de coordenadas retangulares no espaço 
Representem no espaço tridimensional os pontos, faça cada exemplo em um espaço tridimensional: 
 
 
 
 
x
y
z
 
 
 
 
 
 
x
y
z
 
 
 
A (2, 0, 0) 
B (2, 4, 0) 
C (0, 4, 0) 
D (0, 4, 3) 
 
 
 
E (0, 0, 3) 
F (2, 0, 3) 
G (2, 4, 3) 
H (0, 0, 0) 
 
 
 
 
Exemplo 1 
A (0, 1, 0) 
B (4, 1, 0) 
C (4, 6, 0) 
D (0, 6, 0) 
 
 
 
E (4, 1, -2) 
F (4, 6, -2) 
G (0, 6, -2) 
H (0, 1, -2) 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
H
 
 
 
Determine as coordenadas dos pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
A (3, 0, 4) 
B (3, 5, 4) 
C (0, 5, 4) 
D (0, 0, 4) 
 
 
 
E (3, 0, 0) 
F (3, 5, 0) 
G (0, 5, 0) 
H (0, 0, 0) 
 
 
 
 
Exemplo 3 
   
   
   
   
Referencial
3,0,0 3,0,5
3,4,0 3,4,5
0,4,0 0,4,5
0,0,0 0,0,5
A E
B F
C G
D H
 
Cálculo da distância entre dois pontos no espaço 
 
Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utilizado no plano, apenas 
com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas no estudo. A distância entre os pontos 
 1 1 1, ,A x y z
 e 
 2 2 2, ,B x y z
 é: 
          
2 2 2
AB B A B A B A
d x x y y z z
 
 
 
Calcule a distância entre os pontos 
 A 0, 1, 3
 e 
 B 4, 2, 3
. 
          
 

2 2 2
AB
AB
AB
d 4 0 2 1 3 3
d 9 16
d 5
 
 
 
 
Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista 5 unidades de 
distância do ponto 
 A 1, 3, 2 .  
 
Dados: 
   ,0, ,0,2
2
5AP
P x z P x x
z x
d



 
 
          
      
      
  

   
 
 
 
 
 
2 2 2
5 x 1 0 3 2x 2
5 x² 2x 1 9 4x² 8x 4
x² 2x 1 9 4x² 8x 4 25
5x² 10x 11 0
Δ 320
10 320 10 17,8
x
10 10
10 17,8
x ' 0,78
10
10 17,8
x " 2,78
10
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Exemplo 
Desta forma o ponto P pode ser representado por: 
 
 
' 0,78 0,78;0;1,56
" 2,78 2,78;0;5,56
x P
x P
 
 
 
Fórmula do ponto médio 
O ponto médio do segmento de 
 1 1 1, ,A x y z
 e 
 2 2 2, ,B x y z
 é: 
1 2 1 2 1 2, , ,
2 2 2
x x y y z z
PM
   
  
 
 
 
 
 
 Encontre o ponto médio do segmento AG, do exemplo 5. 
3 0 0 4 0 5 3 5
, , , 2,
2 2 2 2 2
AGPM
     
    
   
 
 
EXERCíCIOS 
 
1) Calcule a distância do ponto 
 3, 4, 2A 
: 
a) ao plano xy 
b) ao plano xz 
c) ao plano yz 
d) ao eixo x 
e) ao eixo y 
f) ao eixo z 
 
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de 
medidas 1, 2 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que 
 2, 1, 2A 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
3) Nas figuras a seguir, determine as coordenadas dos oito cantos da caixa: 
 
 
 
4) Um cubo de lado 4 unidades tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos 
coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos oito cantos. 
 
5) Quais são as projeções do ponto 
(2,3,5)
 nos planos xy, yz e xz? Desenhe uma caixa retangular que tenha 
vértices opostos na origem e em 
(2,3,5)
e com faces paralelas aos planos coordenados. Nomeie todos os 
vértices da caixa. Determine o comprimento da diagonal dessa caixa. 
 
6) Mostre que o triângulo com vértices em 
     2,4,0 , 1,2, 1 e 1,1,2P Q R  
 é um triângulo eqüilátero. 
 
7) Encontre o comprimento dos lados do triângulo com vértices 
(1,2, 3), (3,4, 2) A B 
e 
(3, 2,1)C 
. O triângulo 
ABC é retângulo? È isósceles? 
 
8) A figura abaixo mostra um paralelepípedo onde as dimensões das arestas estão indicadas na figura. No 
centro da face EFGH deste paralelepípedo está a origem (0,0,0) de um sistema de eixos cartesianos xyz, que 
são paralelos às arestas do sólido. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H localizados nos 
vértices do paralelepípedo. 
 
9) Determine o valor de a, para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para tanto, considere 
 A 0, 1, 3
, 
 B 1, a, 2
 e 
 C 1, 0, 1
. 
 
RESPOSTAS 
1)
)2
)4
)3
) 20
) 13
)5
a
b
c
d
e
f
 
 
2) 
   
   
   
   
2, 1,2 3, 1,5
2, 3,2 2, 1,5
3, 3,2 2, 3,5
3, 1,2 3, 3,5
A E
B F
C G
D H
 
 
 
 
 
 
3) 
a) 
   
   
   
   
0,0,0 3,0,4
3,0,0 3,5,4
3,5,0 0,5,4
0,5,0 0,0,4
A E
B F
C G
D H
 
b) 
   
   
   
   
0,1,0 4,1, 2
0,6,0 4,6, 2
4,1,0 0,6, 2
4,6,0 0,1, 2
A E
B F
C G
D H




 
 
4) 
   
   
   
   
2, 2,2 2,2, 2
2, 2, 2 2,2,2
2,2,2 2, 2,2
2,2, 2 2, 2, 2
A E
B F
C G
D H
  
  
 
   
 
 
6) A distância entre cada lado é 
14
, portanto o 
triângulo é eqüilátero. 
 
7) 
3; 6 e 45AB AC BCd d d  
 
² ² ²
( 45)² 6² 3²
45 45
BC AC ABd d d 
 

 
O triângulo é retângulo, provado através 
do teorema de Pitágoras. 
 
8) 
   
   
   
   
2, 5, 5 2, 5,0
2,5, 5 2,5,0
2,5, 5 2,5,0
2, 5, 5 2, 5,0
A E
B F
C G
D H
  

  
    
 
 
9)Se o triângulo ABC é retângulo em A, então, o lado BC é a hipotenusa do triângulo, e AB e AC são os seus 
catetos. Então, temos: 
                 
 
                        
     
        
 
    
2 2 2
BC AB AC
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
Por Pítagoras : d d d
2 a 1 1 a 1 1 1 1 2
5 a 1 a 2a 1 1 1 1 4
0 4 2a
2a 4 a 2
 
Plano xy: (2,3,0) 
Plano yz: (0,3,5) 
Plano xz: (2,0,5) 
Diagonal: 
38
 
Vetores: Tratamento Geométrico 
 
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). 
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 
 
2) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
AKAC)d
DCAC)c
BDAB)b
CNAC)a




 
OEAO)h
ANAK)g
BLAM)f
EOAC)e




 
PBBNBL)l
NFPNLP)k
CBBC)j
NPMO)i




 
 
3) Dados os vetores , , , e , abaixo representado, obtenha graficamente os vetores e 
. 
 
a) = + + b) = 2 - + 
 
Capítulo 1: 
Vetores 
- Págs.: 14 a 17 ( 1,2,3,4,5,12) 
EDDE)e
MCBL)d
OPBC)c
PHAM)b
OFAB)a





 
FG//AJ)j
LD//JO)i
HI//AC)h
FIKN)g
MGAO)f


 
AMPN)o
NBPN)n
ECPE)m
BLAM)l
EGAB)k




 
|BL||AM|)t
NP2AO)s
|AC||AJ|)r
MFIF)q
|FP||AC|)p





 
VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO 
 
1) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem: 
a) 
 5, 2,2
 
b) 
2 3 4i j k  
 
c) 
 3, 4, 1
 
d) 
2 5 5i j k 
 
 
2) Determine as componentes do vetor e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem: 
 
 
 
 
3) Determine o módulo de 
v
: 
a) 
 2, 1v  
 
b) 
7v i j 
 
c) 
 3, 1,5v  
 
d) 
2 3i j k  
 
 
4) Determine os vetores unitários que satisfazem as condições dadas: 
a) mesma direção e sentido que 
4i j 
 
b) sentido oposto a 
6 4 2i j k 
 
c) mesma direção e sentido que o vetor do ponto 
 1,0,2A 
 até o ponto 
 3,1,1B
 
 
 
5) Dado o vetor 
 2, 1, 3v   
, determinar o vetor paralelo a 
v
 que tenha: 
a) sentido contrário ao de 
v
 e três vezes o módulo de 
v
; 
b) o mesmo sentido de 
v
 e módulo 4; 
c) sentido contrário ao de 
v
 e módulo 5; 
 
6) Determinar o valor de n para que o vetor 
1 3
, ,
2 4
v n
 
  
 
 seja unitário. 
7) Dados os pontos 
   (1,0, 1), 4,2,1 e 1,2,0A B C
, determinar o valor de m para que 
7v 
, sendo 
.v m AC BC 
. 
 
8) Diz se que um vetor 
w
 é uma combinação linear dos vetores 
1v
 e 
2v
 se 
w
 puder ser expresso como 
1 21 2w c v c v 
 onde 
1c
 e 
2c
 são escalares: 
 
a) Determine os valores dos escalares 
1c
 e 
2c
 para expressar o vetor 
4 j
 como combinação linear dos 
vetores 
1 2v i j 
 e 
2 4 2v i j 
. 
b) Mostre que o vetor 
 3,5
 não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores 
 1 1, 3v  
 e 
 2 2,6v  
. 
 
9) Efetue as operações indicadas com os vetores 
3 , 2 e 3u i k v i j k w j     
: 
a) 
w v
 
b) 
6 4u w
 
c) 
2v w 
 
d) 
 4 3u v
 
e) 
 8 2v w u  
 
f) 
 3w v w 
 
10) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0), determinar o ponto D de modo que 
ABCD
2
1

 
 
11) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em 
três segmentos de mesmo comprimento. 
 
12) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2). 
 
 
Exemplo 4 
 
13) Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do 
triângulo relativa ao lado AB. 
 
14) Determine o valor de "m" se o módulo do vetor 
v
 = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |
v
| = 13. 
 
15) Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y. 
 
 
RESPOSTAS 
1) 
 
2) 
 
 
 
3) 
a) 
5v 
 
b) 
50v 
 
c) 
35v 
 
d) 
14v 
 
 
 
4) 
a)
4
17 17
i j
 
 
b) 
6 4 2
2 14
i j k  
 
c) 
4
3 2
i j k 
 
5) 
a) 
 6,3,9
 
b) 
8 4 12
, ,
14 14 14
 
  
 
 
c) 
10 5 15
, ,
14 14 14
 
 
 
 
 
6) 3
4

 
7) 
13
3 ou 
5

 
8) 
a) 
1 2c  
 e 
2 1c 
 
b) Não representa uma combinação linear. 
 
9) 
a) 
4 2i j k  
 
b) 
18 12 6i j k 
 
c) 
5 2i j k  
 
d) 
40 4 4i j k 
 
e) 
2 16 18i j k  
 
f) 
13 2i j k  
 
 
10) 
 
11) 
 
12) 
 
13) 
 
14) 
 
15)
 
 
 
 
 Capítulo 1: 
Vetores 
- Págs.: 40 a 45 (1 a 14, 16 a 23, 29 a 35, 37 a 40, 43 a 47, 49 a 56) 
 
PRODUTO ESCALAR 
 
1) Sejam os vetores 
u
 = (3,2,1) e 
v
= (-1, -4, -1). Calcular: 
 
a) 2 
u
 
 
 
b) ( 
u
 + 
v
).(2
u
 – 
v
) 
 
 
c) < 
u
,
u
> 
 
 
d) 
0.u
  
 
e) 
0.u
 
 
2) Dados os vetores 
u
 = 3i -5j + 8k e 
v
 = 4i -2j – k, calcular 
u
. 
v
. 
 
 
 
 
3) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
BC.AB
 
 
 
 
 
 
 
4) Sendo | 
u
| = 4 e | 
v
| = 2 e 
u
.
v
 = 3, calcular (3 
u
 – 2
v
)(- 
u
+ 4
v
). 
 
 
 
 
 
5) Sendo | 
u
| = 2, | 
v
| = 3 e 60º o ângulo entre 
u
 e 
v
, calcular: 
a) 
u
. 
v
 
 
 
b) | 
u
 + 
v
|2 
 
 
 
6) Dados os vetores 
(1,3, 5)v  
e 
(4, 2,8)u  
, decomponha v como 1 2v v v  sendo 1 2/ / e v u v u . 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Um triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices 
     1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C 
. 
Determine o ponto H, pé da altura relativa ao lado AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCíCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) Determinar o vetor 
v
, sabendo que 
5v 
, 
v
 é ortogonal ao eixo 
xO
, 
6v w 
 e 
2w i j 
. 
2) Dados os pontos 
 ,1,0A m
, 
 1, 2 , 2B m m
 e 
 1,3, 1C 
, determinar m de modo que o triângulo ABC seja 
retângulo em A. Calcular a área do triângulo. 
3) Determinar o vetor 
u
 tal que 
2u 
, o ângulo entre 
u
 e 
 1, 1,0v  
 é 45º e 
u
 é ortogonal a 
 1,1,0w 
. 
4) O triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices 
     1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C 
, determine 
os ângulos formados por estes vértices e classifique-os em agudo, obtuso ou retângulo. 
5) Use vetores para mostrar que 
     2, 1,1 , 3,2, 1 e 7,0, 2A B C  
 são vértices de um triângulo retângulo. 
Em qual vértice está o ângulo reto? 
6) Sabendo que o vetor 
 2,1, 1v  
 forma um ângulo de 60º com o vetor 
AB
 determinado pelos pontos 
 3,1, 2A 
 e 
 4,0,B m
, calcular o valor de m. 
7) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores 
 1, 2,1u  
 e 
 2,1, 1v m  
. 
8) Uma força de 
4 6F i j k  
 newtons é aplicada a um ponto que se move uma distância de 15 metros na 
direção e sentido do vetor i + j + k. Quanto trabalho foi realizado? 
9) Uma caixa é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 50 lb em um ângulo de 60º 
com o chão. Quanto trabalho é realizado para movimentar a caixa a uma distância de 15 pés? 
 
Referencial de respostas: 
1) 
 0,3, 4v  
 
2) 
30
1 e 
2
m A 
 
3) 
 1, 1, 2u   
 
4) 
^
^
39º (agudo)
96º (obtuso)
45º (agudo)
â
b
c



 
5) É retângulo no vértice B. 
6) 
4m  
 
7) 
0 ou 18m m  
 
8) 
5 3J
 
9) 375 pés lb 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: 
Produto 
Escalar 
- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49) 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
1) Mostre que u v é ortogonal a u e a v sendo 
5 4 3u i j k  
 e 
 v i k
. 
 
 
 
 
 
 
2) Dados os vetores 
 1, 1,1u  
e 
(2, 3,4)v  
, calcule: 
a) a área do paralelogramo determinado por 
 e u v
. 
b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor 
u
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dados os vetores 
 2,1, 1u  
 e 
(1, 1, )v a 
, calcular o valor de “a” para que a área do paralelogramo 
determinado por u e v seja igual a 
62
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Sejam os vetores 
 1, 1, 4u   
 e 
(3,2, 2)v  
. Determinar um vetor que seja: 
a) ortogonal a 
u
 e 
v
.b) ortogonal a 
u
 e 
v
 e unitário. 
 
 
 
 
c) ortogonal a 
u
 e 
v
 e tenha módulo 4. 
 
 
 
5) A operação 
u
. 
v
 + 
u
x 
v
 é possível ou não? Justifique sua resposta. 
 
 
 
6) A operação 
u
.[(
v
+ 
u
) x 
v
] é possível ou não. Justifique sua resposta. O resultado é um vetor ou um 
escalar? 
 
 
 
 
EXERCíCIOS 
1) Determine 
u v
, e em seguida verifique que é ortogonal a ambos os vetores 
u
 e 
v
. 
a) 
   1,2, 3 ; 4,1,2u v   
 
b) 
   0,1, 2 ; 3,0, 4u v   
 
 
2) Determine a área do paralelogramo que tem 
 e u v
 como lados adjacentes: 
2 e 3u j k v j k    
. 
3) Determine a área do triângulo de vértices 
 1,5, 2P 
, 
 0,0,0Q
 e 
 3,5,1R
. 
4) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinados por 
 , 3,1u m 
 e 
 1, 2,2v  
 seja 
igual a 
26
. 
5) Dados os pontos 
(2,1,1)A
 e 
(0, 2,1)B
, determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triângulo 
ABC seja 1,5 u.a. 
6) Calcular z, sabendo-se que 
     2,0,0 , 0,2,0 e 0,0,A B C z
são vértices de um triângulo de área 6. 
7) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são 
 2, 4,0A 
 e 
 1, 3, 1B  
e o ponto médio das 
diagonais é 
 3,2, 2M 
. Calcular a área do paralelogramo. 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) 
 
 
 
7,10,9
0
0
u v
u u v
v u v
 
 
 
 b) 
 
 
 
4, 6, 3
0
0
u v
u u v
v u v
    
 
 
 
 
2) 
59 . .u a
 
3) 374
2
A 
u.a 
4) 0 ou 2 
5) 
 
5
0,1,0 ou 0, ,0
2
C C
 
 
 
 
6) 4 ou -4 
7) 
2 74
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3: 
Produto 
Vetorial 
- Págs.: 87 a 89 (1 a 3, 8, 9, 12, 14 a 17, 20, 21, 23 a 25, 27) 
 
PRODUTO MISTO 
 
1) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores 
2 , 3 e 5u i v j w k  
. 
 
 
 
 
 
2) Determine o volume da caixa, em forma de um paralelepípedo, de lados adjacentes 
, e AB AC AD
, sendo 
   2,1, 1 ; 3,0,2 ;A B
 
   4, 2,1 e 5, 3,0C D 
. Calcular a altura desta caixa relativa à base definida por 
AB e AC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Para que valor de m os pontos 
       ,1,2 ; 2, 2, 3 ; 5, 1,1 e 3, 2, 2A m B C D    
 são coplanares? 
 
 
 
 
 
 
4) Sabendo que os vetores 
     2,1, 4 , , 1,3 e 3,1, 2AB AC m AD      
 determinam um tetraedro de 
volume 3, calcular o valor de m. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Utilizando o produto misto, determine o volume do paralelepípedo que tem 
, e u w v
 como arestas 
adjacentes: 
a) 
     2, 6,2 , 0,4, 2 e 2,2, 4u v w     
 
b) 
     3,1,2 , 4,5,1 e 1,2,4u v w  
 
2) Determine o volume do tetraedro formado pelos vértices 
       1,2,0 ; 2,1,3 ; 1,0,1 e 3, 2,3P Q R S 
. 
3) Três vértices de um tetraedro de volume 6 são 
( 2,4, 1)A  
, 
 3, 2,3B 
 e 
 1, 2, 1C  
. Determinar o quarto 
vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy. 
4) Dados os pontos 
     2,1,1 ; 1,0,1 e C 3,2, 2A B  
, determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do 
paralelepípedo determinado 
, e AB AC AD
 seja igual a 25 u.v. 
5) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
 0, 1,2u  
, 
 4,2, 1v   
 e 
 3, , 2w m 
 seja igual a 33. Calcular a altura deste paralelepípedo relativo à base definida por 
u
 e 
v
. 
6) O ponto 
 1, 2,3A 
 é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são 
     2, 1, 4 ; 0,2,0 e D 1, ,1B C m  
. Determinar o valor de m para que o volume do paralelepípedo seja igual a 
20 u.v. 
 
RESPOSTAS: 
1) 
a) 16 u.v 
b) 45 u.v 
2) 
2
3
u.v 
3) 
   0,2,0 ou 0, 4,0D D 
 
4) 
   0,0, 10 ou 0,0,15D D
 
5) 
17 33
4 ou e 
2 89
m m h   
 
6)6 ou 2 
 
 
Capítulo 4: 
Produto 
Misto 
- Págs.: 99 a 101 (1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18) 
 
 
 
Algumas Aplicações 
 
1. Uma peça maciça de cristal tem o formato de um paralelepípedo determinado pelos 
vetores 


1v
(0, -1, 2), 


2v
(-4, 2, -1) e 


3v
(3, 4, -2). Extraiu-se desse paralelepípedo 
uma peça no formato de um tetraedro cujas arestas coincidem com as arestas do 
paralelepípedo. Qual o volume de cristal desse tetraedro? 
2
11
 u. v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na figura, a seguir, é possível verificar a trajetória descrita por uma partícula. As várias 
posições que ela ocupou estão indicadas por letras seguidas de números que representam 
os instantes, em segundos, da passagem da partícula por esses pontos. 
 
Determine o comprimento do vetor deslocamento, para essa partícula. 
R: 5m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a distância(d) necessária para posicionarmos a piscina junto ao prédio, de 
forma que a mesma receba o sol da manhã a partir das 8:00hrs. O desenho abaixo mostra 
de forma esquemática a situação descrita, onde os pontos A(-25,15,23), B(-30,-5,3) e 
C(10,-5,3) são conhecidos. 
 
R: 35m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. O seguinte sistema de forças atua sobre uma partícula: F1 = 4j+5k, F2 =-5i +j + 3k, F3 =i - 
2j + 4k, F4 = 4i - 3j- 2k. Ache a resultante deste sistema de forças. A partícula estará em 
equilíbrio? Qual o efeito da força resultante sobre a partícula? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um pintor pediu para o engenheiro lhe informar a quantidade de massa corrida que ele 
precisaria pegar no depósito para emassar uma área triangular de uma rampa inclinada. 
O engenheiro determinou através das coordenadas cartesianas os três vértices desse 
triângulo: (4,2,1), (1,0,1) e (1,2,0). Sabendo que cada galão de massa corrida rende o 
equivalente a 10 metros quadrados para cada demão, quantos galões o pintor precisará 
para emassar essa área aplicando duas demãos? 
R. 1 galão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma caixa de madeira se encontra no ponto A. Um trabalhador pode movê-la para o ponto 
B (-1,0) ou para o ponto C = (-3,2). Utilizando seus conhecimentos de álgebra linear, 
chegou a conclusão que . Nessas condições, quais as coordenadas do ponto A? 
R: (1/3, -4/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Na torre da figura abaixo, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC. 
 
R: Aprox. 41,69o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Um ônibus parte em linha reta do ponto (1,2,3) ao ponto (3,1,5). Se o gasto é de R$10,00 
por unidade de comprimento, qual o gasto total no deslocamento? 
 
R: R$30,00 
 
 
 
9. Uma molécula de metano tem quatro átomos de hidrogênio (H) nos pontos indicados na 
figura abaixo e um átomo de carbono (C) na origem. Determine o ângulo de ligação H-C-
H. 
R: Aprox. 109,47º 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. A figura abaixo representa uma cozinha que deve ter as paredes revestidas de azulejos até 
o teto. Sabendo que cada porta tem 1,60m2 de área e que a janela tem uma área de 2m2, 
quantos metros quadrados de azulejos são necessários para a realização do revestimento? 
 
R: 12,80m2 
Dados: 
A(3, -3, 2) 
B(3, -1, 2) 
C(2, -1, 2) 
D(2, -1, 5) 
E(3, -1, 5) 
A RETA 
 
1) a) Determine equações da reta r que passa por 
(1, 1,4)A 
 e é paralela a 
(2,3, 2)v  
. 
b)Para t = 1, t =-3 e t = 0; determine os pontos pertencentes a reta r. 
 
2) Dado o ponto (2,3, 4)A  e o vetor (1, 2,3)v   , pede-se: 
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de 
v
. 
 
b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é -1. 
 
c) Verificar se os pontos 
(4, 1,2) e (5, 4,3)  D E
 pertencem a r. 
 
d) Determinar para que valores de m e n o ponto 
( ,5, )F m n
 pertence a r. 
 
3) Verifique se as retas 
1 2 e L L
 são paralelas, em cada caso. 
a) 
1
2
1
: 1 3 ; 2 2 ; 3
2
3
: 2 9 ; 1 6 ; 1
2
L x t y t z t
L x t y t z t
      
      
 
b) 
1
2
: 3 2 ; 1 3 ; 2 4
: 1 ; 4 ; 8 3
L x t y t z t
L x t y t z t
      
       
 
 
4) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por 
(3, 1, 2) e (1,2,4)A B 
. 
 
5) Dadas as equações simétricas 
3 5
2 2 1
x y z 
 

. Determine o ponto inicial, o vetor diretor da reta e 
equações paramétricas da reta. 
 
6) Seja 
2 4 3
:
1 2 3
x y z
r
  
 

, determine as equações reduzidas na variável x. 
 
7) Determine o ângulo 

 entre as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e s: 
3
3
2
1
3





zy
x
.
 
8) Determine o valor de “m”, para que as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e 
2
1 3
:
2 3
x y z
s
m
 
 

 sejam 
ortogonais. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por 
 1,2,4
 e é paralela a 
3 4i j k 
. 
2) Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por 
 2,0,5
 e é paralela a reta 
1 2 ; 4 ; 6 2x t y t z t     
. 
3) Em que ponto a reta 
1 3 ; 2 , 0    x t y t z
 intersecta: 
a) o eixo x b) o eixo y c) a parábola 
²y x
 
4) Encontre as interseções da reta 
2; 4 2 ; 3x y t z t      
 com o plano xy, o plano xz e o plano yz. 
 
5) Sejam 
1 2 e L L
 as retas cujas equações paramétricas são: 
1
2
: 1 2 ; 2 ; 4 2
: 9 ; 5 3 ; 4
L x t y t z t
L x t y t z t
     
      
 
a) Mostre que 
1 2 e L L
 intersectam no ponto 
 7, 1, 2 
. 
b) Determine o ângulo agudo formado entre 
1 2 e L L
 em seu ponto de interseção. 
c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a 
1 2 e L L
 e que passa no seu ponto de 
interseção. 
 
RESPOSTAS: 
1) 
1 3
2 4
4
x t
y t
z t
  
 
 
 
 
2) 
2 2
5 2
x t
y t
z t
  
 
 
 
 
3) 
a) 
 7,0
 b) 
7
0,
3
 
 
 
 
c) 1 85 43 85
,
6 18
   
  
 
 
4) Plano xy: 
 2,10,0
; Plano xz: 
 2,0, 5 
; Plano 
yz: a reta não intersecta o plano yz. 
 
5) b) 
84,23º 
 
c) 
7 7
1
2 7
x t
y
z t
 
 
  
 
 
Capítulo 5: 
A reta - Págs.: 118 a 123 (1 a 9, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 28) 
 
O PLANO 
 
1) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto 
(2, 1,3)A 
 e tem 
(3,2, 4)n  
como 
vetor normal. 
 
 
2) A reta 
5 3
: 4 2
1
x t
r y t
z t
 

  
  
 é ortogonal ao plano 

que passa pelo ponto 
)2,3,1(A
. Determine a 
equação geral de 

. 
 
3) Escreva uma equação geral do plano 

 que passa pelo ponto 
(2,1,3)A
 e é paralelo ao plano 
:3 4 2 5 0x y z    
. 
 
4) Determine a equação geral do plano 

representado na figura a seguir: 
 
 
5) Dado o plano 

 determinado pelos pontos 
(1, 1,2), (2,1, 3) e ( 1, 2,6)A B C   
 obtenha um 
sistema de equações paramétricas e uma equação geral de 

. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P e tem o vetor n como um vetor normal: 
a) 
   2,6,1 ; 1,4,2P n 
 b) 
   1,0,0 ; 0,0,1P n 
 
2) Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados: 
     2,1,1 ; 0,2,3 e 1,0, 1A B C 
. 
3) Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois: 
a) 
2 8 6 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
   
    
 
b) 
3 2 1
4 5 2 4
x y z
x y z
  
  
 
c) 
3 2 0
2 1
x y z
x z
   
 
 
 
4) Determine o ângulo formado entre os planos: 
0 e 2 4 0x x y z    
. 
5) Determine a equação do plano que passa pela origem e que é paralela ao plano 
4 2 7 12 0x y z   
. 
6) Determine a equação do plano que passa pelo ponto 
 1,2, 5 
 que é perpendicular aos planos 
2 1 e 2 3x y z x y z     
. 
 
 Referencial de respostas: 
1) a) 
4 2 28 0x y z   
 
b) 
0z 
 
 
2) 
10 5 5 0y z  
 
 
3) a) Paralelos 
b) Perpendiculares 
c) Nenhum dos dois 
 
4) 
35º 
 
 
5) 
4 2 7 0x y z  
 
 
6) 
5 3 6 0x y z   
 
 
 
Capítulo 6: 
O plano - Págs.: 141 a 149 (1 a 23)