PROBABILIDADE CONDICIONAL - FINAMORE

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ELE2707: PROCESSOS ESTOCA´STICOS PUC-Rio
Weiler A. Finamore 2007.1
PROBABILIDADE CONDICIONAL
1 PROBABILIDADE
CONDI-
CIONAL
A probabilidade condicional e´ um conceito muito importante da Teoria da Prob-
abilidade. O conceito envolve dois eventos 1, A (com P (A) > 0) e B em uma situac¸a˜o
em que se sabe que o evento A ocorreu.
Para ser mais espec´ıfico, considere o experimento referente ao lanc¸amento de um
dado e suponha que A = {ω ∈ Ω : ω = face impar} e B = {ω ∈ Ω : ω = face 3}.
Se fizermos a pergunta: “qual e´ a probabilidade de ocorrer a face 3?” sabemos que
uma resposta o´bvia e´ P (B) = 1
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. Se no entanto a pergunta fosse “qual e´ a probabili-
dade de ocorrer a face 3, sabendo-se que ocorreu o evento A?”, na˜o considerar´ıamos
satisfato´ria a resposta anterior.
No primeiro caso esta´vamos interessados no evento B mas, a partir do momento que
fomos informado que A ocorreu, o evento no qual estaremos interessados na˜o e´ mais
o evento B ∈ A mas sim um novo evento, BA = B ∩ A pertencente a` famı´lia de
eventos AA derivada de um novo espac¸o de amostras ΩA = A.
Tudo se passa como se nossas observac¸o˜es ocorressem em um Espac¸o de Amostras
reduzido, obviamente o espac¸o ΩA = A.
Na verdade estes novos eventos BA = B∩A ⊆ ΩA adquirem uma nova probabil-
idade, denominada probabilidade condicional e denotada por P (B|A) 2 que deve
ser mensurada com a nova medida de probabilidade P (.|A) e na˜o mais a medida P (.).
Para encontrar a nova medida vale observar que neste espac¸o de amostras re-
duzido ΩA, sabemos responder a` pergunta “qual e´ a probabilidade de ocorrer o evento
ΩA = A, sabendo-se que ocorreu o evento A?”.
A resposta e´, obviamente, P (ΩA|A) = 1.
E´ fa´cil entender o que foi feito: tudo se passa como se estive´ssemos criando uma
nova medida de probabilidades P (.|A) = PA(.), normalizando P (.), a medida de
probabilidade anterior.
1podendo-se ter B = A
2leˆ-se: probabilidade de B dado A
Antes t´ınhamos que B ⊆ A eram os eventos poss´ıveis. Agora, dado que A
ocorreu, os eventos poss´ıveis sa˜o apenas os eventos do tipo B∩A ⊆ A ⊆ Ω. Se antes
t´ınhamos P (Ω) = 1 agora temos
P (ΩA|A) = P (A|A) =
P (A ∩A)
P (A)
= 1.
Este comenta´rios conduzem naturalmente a` definic¸a˜o de P (.|A) apresentada
a seguir.
DEFINIC¸A˜O: Probabilidade Condicional
(Def. 2.14 p.36 da apostila)
P (B|A) ,
P (A ∩B)
P (A)
e´ a probabilidade condicional de um evento B dado um evento A. �
E´ importante observar, que a medida de probabilidade condicional e´ tambe´m
uma medida como as demais e como tal tem as mesmas caracter´ısticas — o que nos
leva a afirmar: P (.|A) obedece a`s propriedades
1. P (B|A) ≥ 0
2. P (ΩA) = P (A|A) = 1
3. (a) P (A ∪B|C) = P (A|C) + P (B|C) se A
⋂
B = ∅
(b) se Aik
⋂
Ajk = ∅ ∀(ik, jk) ∈ Z
+ × Z+ enta˜o
P
(
(
∞⋃
k=1
Aik)|C
)
=
∞∑
k=1
P (Aik |C)
2 ALGUMAS
PRO-
PRIEDADES A seguir apresentamos uma lista com algumas propriedades importantes de P (.)
1. P (A) = 1− P (A)Propriedades
2. P (∅) = 0
3. P (A) ≤ 1
4. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB)
5. (Regra da Cadeia)
Sejam A1, A2, . . . , An eventos quaisquer tal que P (A1A2 . . . An) > 0.
Enta˜o P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A2A1) . . . P (An|An−1An−2 . . . A1)
As demonstrac¸o˜es destas propriedades sa˜o simples.
Antes de iniciar as demostrac¸o˜es gostaria de chamar a atenc¸a˜o para a a nova notac¸a˜o
(mais compacta) que acabamos de introduzir: estamos usando a notac¸a˜o AB para
representar A ∩B, i.e.
AB ≡ A ∩B
1. Temos que Ω = A ∪A e como A ∩A = ∅ tem-seDemostrac¸o˜es
P (Ω) = P (A ∪A) ⇒ 1 = P (A) + P (A)
Q.D.E
2. ∅ = Ω
Propr. 1 ⇒ P (∅) = 1− P (Ω)) Q.E.D.
3. A ∪A = Ω ⇒ P (A) + P (A) = 1
P (A) ≥ 0 ⇒ P (A) ≤ 1. Q.E.D.
4. Fac¸a como exerc´ıcio.
5. Fac¸a como exerc´ıcio.
Duas outras propriedades importantes, o teorema da probabilidade total (Propr.
2.9 - p.40 apostila) e a regra de Bayes (Eq. 2.62 - p.41 apostila), sa˜o apresentadas,
sem demonstrac¸a˜o a seguir.
Seja A um evento e {Bj}, j = 1, . . . , m uma partic¸a˜o de Ω. Tem-se enta˜o queTeorema da
Probabilidade Total
P (A) =
m∑
j=1
P (A|Bj)P (Bj) (1)
�
Examine a equac¸a˜o (1) e observe que ela mostra como obter a probabilidade do
“todo” i.e., do evento A — ou seja, a probabilidade total — a partir das proba-
bilidades de ocorreˆncia do evento A condicionado a`s “causas” que o provocam i.e.,
B1, B2, . . . , Bm (podemos ver P (A|Bi) como a probabilidade de A condicionado a`
hipo´tese de que Bi e´ a sua causa).
Seja, {Bj}, j = 1, . . . , m uma partic¸a˜o de Ω com P (Bj) > 0 e o evento A comRegra de Bayes
P (A) > 0. Tem-se
P (Bj |A) =
P (Bj)P (A|Bj)∑m
k=1 P (Bk)P (A|Bk)
�
O Teorema de Bayes ou regra de Bayes foi demonstrado em 1763. P (Bj) sa˜o
conhecidas como probabilidades “a priori” (sem saber que o evento A ocorreu) e as
probabilidades P (Bj |A), conhecidas como probabilidades “a posteriori” (i.e., dado
que o evento A ocorreu).
Os exemplos 2.8 e 2.9 (Apostila pp.42-44) ilustram uma utilizac¸a˜o destas pro-
priedades.
Conclu´ımos estas notas com a conceituac¸a˜o de eventos independentes.
3 INDEPEN-
DEˆNCIA ES-
TAT´ISTICA
Dois eventos A e B sa˜o, por definic¸a˜o, estat´ısticamente independentes (Def. 2.16 -
Apostila p.44) quando
P (A ∩B) = P (A)P (B)
Esta definic¸a˜o se extende a um conjunto arbitra´rio {A1, A2, . . . , An} de eventos.
Observe que na˜o basta acontecer
P (A1, A2, . . . , An) = P (A1)P (A2) . . . P (An)
para que se possa dizer que os eventos {A1, A2, . . . , An} sa˜o independentes. Verifique
a Definic¸a˜o 2.17 (Apostila p.45).
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3Weiler Finamore (PE NotasDeAula03)