ESTATÍSTICA E MODELOS PROBABILISTICOS - EDMUNDO DE SOUZA E SILVA

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Estatística e Modelos Probabilísticos
 COE241
Professores:
Edmundo de Souza e Silva
Rosa M. M. Leão 
1
Probabilidade e Estatística
Objetivo:
Apresentar como a probabilidade e a 
estatística podem auxiliar na modelagem
e avaliação do desempenho em diversas áreas,
em especial nos sistemas de computação.
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Probabilidade e Estatística
Conteúdo:
1.1 Por que estudar ?
1.2 O que é ? 
1.3 População e Amostra 
1.4 Um exemplo 
1.5 Teoria da Probabilidade
1.6 Análise Combinatória
Professores:
Edmundo de Souza e Silva
Rosa M. M. Leão
Aula 1
1.1 Por que estudar Probabilidade e Estatística?
A Estatística é empregada como ferramenta fundamental 
em várias áreas, tais como: 
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• em computação - estudo do desempenho de sistemas,
algoritmos para aumentar a eficiência, etc; 
• na área médica - metodologia adequada que possi-
bilita decidir sobre a eficiência de um novo tratamento;
• na indústria - controle de qualidade de produto e 
processo;
• na pesquisa de mercado e de opinião pública - defini-
ção de novos produtos, lançamentos, vendas, etc;
• na definição de indicadores econômicos e sociais;
• meteorologia, ecologia, biologia, entre outras.
Grande parte das informações divulgadas pelos meios de 
comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos: 
"a inflação esse mês foi ...."
"a taxa de desemprego no Brasil no ano de 2005...."
"o candidato A tem 32% da intenção de votos, o can-
didato B tem 41% e 27% dos entrevistados não 
souberam ou não quiseram responder"
"o número de carros vendidos no país aumentou 
em 20%"
" a altura média da população aumentou em 5% "
"o time A teve 60% do tempo de posse de bola, ..."
→
→
→
→
→
→
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Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia 
a dia, como por exemplo:
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Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia 
a dia, como por exemplo:
→
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Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Me-
ga Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia 
a dia, como por exemplo:
→
→
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Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Me-
ga Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
Se em um teste com várias perguntas onde teremos que 
responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se te-
remos uma probabilidade de acertar um número maior 
de respostas se "chutarmos" sempre a mesma resposta? 
ou seria melhor alternarmos as respostas?
Para modelar e/ou avaliar o sistema a ser estudado é 
preciso coletar dados e/ou fazer algumas suposições: 
→
→
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Caso 1: Sistema já existe e deseja-se coletar dados
para seu estudo/modelagem.
Caso 2: Sistema não existe e deseja-se criar um modelo
para prever o seu desempenho.
• Sobre a obtenção dos dados para estudo/modelagem
do sistema:
 
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• Sobre a obtenção dos dados para estudo/modelagem
do sistema:
 
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• Se o sistema não existe, como obter os dados para 
 criar o modelo ?
• Como definir o período no qual deve-se coletar os
 dados (24h, somente pela manhã, no horário de maior 
 uso do sistema) ? 
• Pode-se usar os dados coletados durante um certo 
 período (amostra), para concluir sobre o comportamento
 do sistema ?
• Por quanto tempo deve-se coletar os dados ? 
ii) O que fazer com os dados colhidos?
 
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• Como fazer para que os dados obtidos para esse 
 período de tempo possam ser generalizados para 
 obtermos infomações sobre o sistema ?
• Como extrair informações de interesse?
• Como organizar esses dados?
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Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los 
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permi-
tam responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
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Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los 
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permi-
tam responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
Estas técnicas são: 
Estatística 
Probabilidade
Inferência estatística
→
→
→
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a 
descrever, organizar e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões de características de interesse.
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Estatística: conjunto de técnicas destinadas a 
descrever, organizar e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que 
é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
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Estatística: conjunto de técnicas destinadas a 
descrever, organizar e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que 
é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam 
a análise e interpretação de dados com objetivo de genera-
lizar e prever resultados.
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1.3 População e amostra
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A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
1.3 População e amostra
Exemplos:
i) Se o objeto de estudo for uma aplicação P2P, como
por exemplo o BitTorrent. O que é a população ?
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A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
1.3 População e amostra
Exemplos:
ii) Se o objeto de estudo for a confiabilidade de um
 produto de uma certa fábrica durante um período de 
 tempo, por exemplo, a durabilidade das lâmpadas pro-
 duzidas durante o ano de 2004, a população será com-
 posta por todas as lâmpadas produzidas pela fábrica 
 em questão no ano de 2004.
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A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
i) Se o objeto de estudo for uma aplicação P2P, como
por exemplo o BitTorrent. O que é a população ?
População
pode ser finita ou infinita
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População
pode ser finita ou infinita
Em determindas situações há impossibilidade de se 
analisar toda população, ou por razões econômicas, 
ou pela população ser infinita.
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Um exemplo: 
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Sabemos que uma aplicação é usada por milhões de
pessoas, por exemplo o Skype, e queremos avaliar
quantos pacotes de voz, em média, são perdidos 
prejudicando a qualidade da comunicação: 
Um exemplo: 
Como escolher?
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Sabemos que uma aplicação é usada por milhões de
pessoas, por exemplo o Skype, e queremos avaliar
quantos pacotes de voz, em média, são perdidos 
prejudicando a qualidade da comunicação:
População - todos os pacotes de voz transmitidos
 pela aplicação 
Amostra - parcela dos pacotes coletados 
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Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
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Análise: feita na população total ou em uma amostra
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
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Análise: feita na população total ou em uma amostra
população amostra
A1 ?
A2 ?
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
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Análise: feita na população total ou em uma amostra
população amostra
A1
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
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Teoria de Probabilidade: Conceitos Básicos
Fenômeno Aleatório
Situação ou acontecimento cujos resultados não podem 
ser previstos com certeza.
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Fenômeno Aleatório
Situação ou acontecimento cujos resultados não podem 
ser previstos com certeza.Exemplos:
→ O resultado do lançamento de um dado.
→ O clima num determinado dia da semana que vem.
→ A média final que você tirará nesta disciplina.
Teoria de Probabilidade: Conceitos Básicos
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Espaço amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo 
fenômeno aleatório. 
Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega).
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Espaço amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo 
fenômeno aleatório. 
Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega).
Os subconjuntos do espaço amostral são chamados de 
eventos e são representados por letras maiúsculas 
(A, B, C, ...).
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Exemplos:
→ Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as 
 faces obtidas
onde aqui C é cara e R coroa. 
Ω = {CC,CR,RC,RR},
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Exemplos:
→ Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as 
 faces obtidas
onde aqui C é cara e R coroa. 
Ω = {CC,CR,RC,RR},
→ Uma moeda é lançada consecutivamente até o apare-
 cimento da primeira cara
Ω = {C,RC,RRC,RRRC,...},
que contém um número infinito de elementos.
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Lembrando da Teoria dos Conjuntos:
→ O conjunto vazio é denotado por ∅ 
→ A união de dois eventos A e B representa a ocorrên-
 cia de, pelo menos, um dos eventos A ou B.
 Denotamos a união de A com B por 
→ A intersecção do evento A com B é a ocorrência simul-
 tânea de A e B.
 Denotamos a intersecção de A com B por .
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Exemplo
Sejam A, B e C três eventos do 
espaço amostral Ω :
Ω = {A,B,C}
A B
C
Pelo menos um dos eventos ocorre
A B
C
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Exemplo
Sejam A, B e C três eventos do 
espaço amostral Ω :
Ω = {A,B,C}
A B
C
Ambos os eventos ocorrem A B
C
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→ Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente 
 exclusivos) quando não têm elementos em comum, 
 ou seja:
→ Dois eventos A e B são complementares se sua uni-
 ão é o espaço amostral e sua intersecção é vazia, ou 
 seja:
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Exemplo:
A B
C
A e C: eventos disjuntos
Ac → complementar de A
A B
C
A
Ac
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Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
→ Nenhum deles ocorre
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4.3 Probabilidade
Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz 
as condições:
ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numé-
ricos aos eventos do espaço amostral.
,com todos os disjuntos.
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Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elementos do espaço 
amostral?
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Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elementos do espaço 
amostral?
1) Baseado nas características da realização
 de um fenômeno;
2) Usando as freqüências de ocorrência.
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→ Baseado nas características da realização de 
 um fenômeno
Exemplo:
Lançamento de um dado cúbico perfeitamente homogê-
neo e simétrico com os lados numerados, teremos o es-
paço amostral: 
E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada 
evento será:
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→ Usando as freqüências de ocorrência
Exemplo:
Pegamos um dado e jogamos várias vezes. 
Para um número suficientemente grande de lançamentos, 
podemos usar as freqüências de ocorrência como probabi-
lidades. Mas ......
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O que quer dizer número suficientemente grande de lança-
mentos ?
Geralmente a medida que o número de repetições aumenta, 
as freqüências relativas vão se estabilizando em um número 
que chamaremos de probabilidade.
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Exemplo: 
 
Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do se-
xo feminino ou alguém da turma B?
Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% na 
turma B, escolhemos um estudante ao acaso.
Usemos a tabela abaixo que mostra o número de alunos
de cada sexo numa escola:
Sexo fn
F
M
Total
37 0,74
13 0,26
50 1
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Tabela 
Da tabela e das características das turmas A e B temos
P(M) = 0,26;
P(A) = 0,52;
P(F) = 0,74; 
P(B) = 0,48.
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Pergunta colocada:
"Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do se-
 xo feminino ou alguém da turma B?"
Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já que 
teríamos probabilidade maior que 1.
Estamos somando duas vezes alguns elementos pois há 
mulheres em ambas as turmas
Queremos
P(M) = 0,26;
P(A) = 0,52;
P(F) = 0,74; 
P(B) = 0,48.
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Temos que é igual ao número de estudantes do 
sexo feminino e da turma B.
Assim, para obter a probabilidade correta temos que somar 
as probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste va-
lor 
ou seja,
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Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-
lidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é 
dada por
observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somen-
te neste caso),a probabilidade da intersecção de A com B é
nula e temos que a união é igual a soma das probabilidades
dos dois eventos.
Esta regra pode ser estendida para soma de três ou mais
termos.
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e que 
Observe que
53
Observe que
e que 
Logo,
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→ Como calcular as freqüências de ocorrência:
Contando o número de casos favoráveis para ocorrência
de um certo evento, se os eventos são equiprováveis
Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a 
análise combinatória
P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos 
55
→ Permutação com repetição:
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar
k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante
e o mesmo objeto pode se repetir diversas vezes
 (n.n ... n(k vezes)) = nk 
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→ Permutação sem repetição:
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar
k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante
e o mesmo objeto não pode se repetir
P(n,k) = (n.(n-1) ... (n-k+1)) = n! / (n-k)!, para k = 1,2, ..., n
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→ Combinação de n objetos distintos:
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar
k objetos de um grupo de n, onde a ordem não é importante
e o mesmo objeto não pode se repetir
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), para k = 0,1, ..., n