DETERMINANTES E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS - REDEFOR

Prévia do material em texto

RedeFor 
Rede São Paulo de Formação Docente 
Especialização Matemática 
 
 
DETERMINANTES E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS: 
 
Uma das aplicações mais interessantes dos determinantes na Matemática do Ensino 
Médio, é o cálculo da área de triângulos formados por três pontos no plano cartesiano. 
O nosso intuito é mostrar uma ferramenta que calcula a área de qualquer polígono 
convexo, independente do número de lados. 
 Para tal propósito, iniciaremos a nossa discussão com alguns pontos introdutórios: 
 
1. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS: 
 
Dados três pontos no plano cartesiano, obteremos uma condição para que esses três 
pontos estejam alinhados. 
Para tal, considere três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) no plano cartesiano: 
 
 
 
 y 
 
 yC C 
 
 
 
 yB 
 B E 
 yA 
 A D 
 
 
 
 0 xA xB xC x 
 
 Observando o plano acima, temos que os vértices D e E são vértices de ângulos retos. 
Assim, os triângulos ADB e BEC são retângulos. Se A, B e C estão alinhados, eles estão sobre a 
transversal que intercepta as paralelas definidas pelos prolongamentos dos segmentos AD e BE. 
Usando semelhança, temos: 
CE
BD
BE
AD
. 
Sabendo que 
BCABBCAB yyCE e yyBD ,xxBE ,xxAD
 
Temos 
B A B A
C B C B
B C B B A C A B C B C A B B B A
x x y yAD BD
BE x x y yCE
x y x y x y x y x y x y x y x y
 
 xAyB + xByC + xCyA – xAyC – xCyB – xByA = 0 (*) 
 
 
 
Que é a condição de alinhamento de três pontos. Reciprocamente, se vale tal relação (xAyB + xByC 
+ xCyA – xAyC – xCyB – xByA = 0), os três pontos estão alinhados, pois é só trabalhar com o 
raciocínio do final para o início. 
 
OBSERVAÇÃO: A relação xAyB + xByC + xCyA – xAyC – xCyB – xByA = 0 pode ser escrita de outra 
maneira. Considere o seguinte determinante de ordem 3: 
1yx
1yx
1yx
CC
BB
AA 
Desenvolvendo tal determinante, temos: 
xAyB+yAxC+xByC–xCyB–yCxA–xByA = xAyB+xByC+xCyA–xAyC–xCyB–xByA, que é a relação em (*). 
Assim, três pontos estão alinhados 1
1 0
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
 
 
2. ÁREA DE UM TRIÂNGULO: 
 
 Dado um triângulo de vértices A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc), vamos determinar uma 
expressão que forneça a sua área em função das coordenadas de seu vértice. 
 Considere a reta AB como a base do triângulo. Assim, a área do triângulo é: 
, ,
1
( ) ( )
2
ABC A B AB C
S d d
. 
 Entretanto, temos as seguintes relações: 
 
1) 
A B a b a bd x x y y
2 2
, ( ) ( )
; 
2) 
1
: 1 0
1
a a
b b
x y
AB x y
x y
; 
3) 
c c
a a
b b
AB C
a b a b
x y
x y
x y
d
x x y y
, 2 2
1
1
1
( ) ( )
; 
 
 Assim, a área do triângulo é dada por: 
c c
a a
b b
ABC A B a b a bAB C
a b a b
x y
x y
x y
S d d x x y y
x x y y
2 2
, , 2 2
1
1
11 1
.( ).( ) ( ) ( )
2 2 ( ) ( )
 
1
1
1
2
1
a a
ABC b b
c c
x y
S x y
x y
. 
 
 Observe que os resultados obtidos estão coerentes, pois, se a área do triângulo for zero, 
significa, geometricamente, que os pontos estão alinhados e, para que a área seja zero, o 
determinante 
A A
B B
C C
x y
x y
x y
1
1
1
 deve ser zero, que é exatamente a condição de alinhamento dos três pontos. 
 
Aqui surge um questionamento: Será que existe algum modo de calculamos a área para 
outros polígonos além de triângulos? 
Um procedimento que ajuda a responder tal pergunta é separar os polígonos em 
triângulos, e aplicar a fórmula para cada triângulo e somar. 
Tomemos como exemplo um quadrilátero com vértices A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) e 
D(xD,yD). Trabalhando com os triângulos determinados pela diagonal AC: ABC e ACD, temos: 
 
A A A A
ABCD ABC ACD B B C C
C C D D
x y x y
A A A x y x y
x y x y
1 1
1
1 1
2
1 1
 
 
Desenvolvendo os determinantes, chegamos à seguinte expressão: 
A B B C C D D A B A C B D C A Dx y x y x y x y x y x y x y x y
, que pode ser reescrita a 
seguinte forma e obtida resolvendo ao análogo a um “determinante” (REPARE QUE A PRIMEIRA 
LINHA está repetindo): 
 
A A
B B
C C
D D
A A
x y
x y
x y
x y
x y
 
 
Se as flechas „azuis‟ forem positivas e as flechas „vermelhas‟ forem negativas, temos a expressão 
acima. 
Com isso, podemos generalizar para um polígono qualquer de n lados: dados os seus vértices: 
A1(x1,y1), A2(x2,y2),..., An(xn,yn), escrevendo o „determinante‟ como acima: 
 
n n
x y
x y
x y
x y
1 1
2 2
1 1
. .
. .
. .
 
 
 
Temos que a área desse polígono será dada por: 
 
n nA x y x y x y x y x y x y1 2 2 3 1 2 1 3 2 1
1
... ( ... )
2
. 
 
 
Rodrigo do Carmo Silva, RedeFor 2010/2011.