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. Produto de funções Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será:(f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x (f * g) (x) = -x2 + 2x Verificamos que: f(1) = 1 g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1 f(1) * g(1) = 1 * 1 = 1 (f * g) (1) = -(1)2 + 2 * 1 = -1 + 2 = 1 Vemos que, de forma análoga ao que ocorre com a soma de duas funções, para cada objecto x, multiplicando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f * g) (x). Em geral, escrevemos:(f * g) (x) = f(x) * g(x) 4. Composição de funções A composição de uma função f com outra função g é uma nova função, representada por g º f, definida por: (g ° f) (x) = g [f(x)] Primeiro determinamos f(x) e o resultado obtido é o objecto para a função g. Exemplificando, seja f(x) = x + 1 e g(x) = x2 , temos (g ° f) (x) = g [f(x)] =g [x + 1] = (x + 1)². Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (x) = f [g(x)] = f [x²] = x² + 1. GRÁFICO DAS FUNÇÕES INVERSAS O próximo objetivo é explorar as relações entre os gráficos de f e . Com esse propósito, será desejável usar x como a variável independente para ambas as funções, o que significa estarmos comparando os gráficos de y = f(x) e y = (x). Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b = f(a). Isto é equivalente à afirmativa que a = (b), a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico de y = (x). Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um ponto no gráfico de . Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de produz um ponto no gráfico de f . Contudo, o efeito geométrico de inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto sobre a reta y = x (figura 1), e logo os gráficos de y = f(x) e y = (x) são um do outro em relação a esta reta (figura 2). Em resumo, temos o seguinte resultado. Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = (x) são reflexões um do outro em relação a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta. EXPOENTES IRRACIONAIS Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente. Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é, 3,1415926 Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de isto é, 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159 e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2: Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p. Tabela x 3 8,000000 3,1 8,574188 3,14 8,815241 3,141 8,821353 3,1415 8,824411 3,14159 8,824962 3,141592 8,824974 Função Identidade A função identidade de um conjunto A, denotada por IA, é definida como a função IA : A A onde, IA(a) = a Então, IA é uma bijeção de A sobre A , sendo a imagem, (e inversa da imagem), de todo elemento de A o mesmo elemento no contra-domínio. Da definição acima tem-se para qualquer função f : A B IBof = fo IA = A Exemplo: 1)A função f(x) = x e’ um exemplo de função identidade. f(3) = 3 f(2) = 2 Função Inversa Considere as funções f : A B e g : B A . Caso go f = IA onde g é chamada inversa à esquerda de f, e f é chamada inversa à direita de g. Se acrescentarmos f o g = IB onde g é chamada “two side” inversa de f e f é chamada de “two side” inversa de g. Teorema 1 a) A função f : A B tem inversa à esquerda se e somente se f for injetiva. b) A função g :B A tem inversa à direita se e somente se g for sobrejetiva. Demonstração: a) Se f possui inversa à esquerda então existe a função g : B A . Da mesma maneira, go f = IA. Se f(a) = f(a’), então: a = IA (a) =go f(a) = g(f(a)) = go f(a’) = IA(a’) = a’ e, consequentemente f é injetiva. Por outro lado, se f é injetiva pode-se definir a função g : B A, onde: g(b)= * a, para todo e qualquer b ; B com f(a) = b * algum elemento fixado ao ? A Conhecendo f como uma função injetiva, existe exatamente um a ; A para todo b ; B, de modo a f(a) =B e consequentemente g está bem definida. Tem-se também para todo a ; A, g f (a) = g(f(a)) = a, então go f = IA e deste modo f possui uma inversa à esquerda. b) Se g possui uma inversa à direita, então existe a função f: A B, do mesmo modo gof = IA. Consequentemente, para todo a ; A, g f(a)=g(f(a)) = a, implicando que para todo a ; A há imagem de algum b ; B de g e por conseguinte existe em g uma sobrejeção. Por outro lado se g é sobrejetiva, pode-se definir a função f : A B onde f(a) é qualquer b ? B do mesmo modo que g(b) = a e consequentemente f é bem definida. Também para todo a ; A, g(f(a)) = a, nós temos go f = IA e deste modo g tem inversa à direita. Teorema 2 Considere duas funções f: A B e g: B C a) Se f e g são injetivas, então go f é uma injeção. b) Se f e g são sobrejetivas, então go f é uma sobrejeção. c) Se f e g são bijeções, então go f é uma bijeção. Demonstração: a) Através do teorema 1 sabemos que quando f e g são injetivas têm inversa à esquerda. Denotamos fl e gl, respectivamente. Consequentemente: (flogl)o(gof) = flo(glog)of = floIBof = flo(IBof) = flofoIA Desta forma, gof tem inversa à esquerda (denotada flogl) e novamente pelo teorema 1, gof é uma injeção. b) Através do teorema 1 sabemos que quando f e g são sobrejetivas têm inversa à direita. Denotamos fr e gr, respectivamente. Consequentemente: (gof)o(frogr) = go(fofr)ogr = goIB ogr = (goIB)ogr = gogr = IC Desta forma, go f tem inversa à direita (denotada frogr) e novamente pelo teorema 1, gof é uma sobrejeção. c) A última assertiva é imediatamente comprovada pelas partes (a) e (b) desta seção juntamente com a definição de bijeção. Teorema 3 A função f: A B é uma bijeção se e somente se f tiver inversa à esquerda gl: B A e inversa à direita gr: B A . Quando gl = gr e f for única para as duas inversas, então f é uma função bijetiva. Demonstração: A primeira dedução é retirada do teorema 1 e da definição de bijeção. Se gr existe, então: gl= glo IB = glo (fogr) = (glo f) ogr = IAogr = gr Desta forma conclui-se que qualquer inversa à esquerda é equivalente a qualquer inversa à direita, por conseguinte a “two side” inversa g = gl = gr para uma única f. Desde glo f = go f = IA e f o gr = f o g = IB , g possui inversa à esquerda e inversa à direita, (denotada f), consequentemente g é bijetiva. A única “two side” inversa da bijeção f: A B é chamada simplesmente de inversa de f e denotada f -1, desta forma conclui-se: f -1o f = IA fo f -1 = IB Se f é uma bijeção de A sobre A, então f -1o f = fo f -1 = IA Exemplos: 1) Dada a função f(x, y) = (x+y, x-y), para acharmos sua inversa, primeiramente, teremos que provar sua bijetividade.f é injetiva: f é sobrejetiva 2)Seja f : R* R* , os números reais, definidos pela função f(x) = x2. Assim, f –1(4)={2, -2}, pois 4 e’ a imagem tanto de 2 como de –2 e não existe nenhum outro numero real cujo quadrado seja quatro. Funções inversíveis à esquerda Seja uma função f:AB, f possui uma inversa à esquerda se existir uma função g:BA tal que g ° f = IdA. Teorema: f é inversível à esquerda se e somente se f é injetiva. Prova: Como f é inversível à esquerda existe g:BA tal que g ° f = IdA. Então vamos provar que f é injetiva, isto é, f(x1) = f(x2) x1 = x2. f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2)) x1 = x2 Topo Funções inversíveis à direita Seja uma função h:AB, h possui uma inversa à direita se existir uma função j:BA tal que h ° j = IdB. Exemplo: h:AB, A={-1,0,1,2} h(x)= x², B={0,1,4} Teorema: h tem inversa à direita se e somente se h é sobrejetiva. Prova: Como h é inversível à direita existe j:BA tal que h ° j = IdB. Então vamos provar que h é sobrejetiva. (h ° j)(x) = IdB(x) = x Seja y B Seja x = j(y) h(x) = h(j(y)) = y, B= Im(h) Logo h é sobrejetiva. Exemplo: A={-1,0,1}, B={1,2} f:AB f(x)=x²+1 g:BA g(y)= Conclusão: Sendo f:AB uma função injetiva existe uma função g:BA chamada de inversa à esquerda de f tal que g ° f = IdA (g não é única). Sendo f:AB uma função sobrejetiva existe uma função g:BA chamada de inversa à direita de f tal que f ° g = IdB (g não é única). Topo Funções inversíveis Dada uma função f:AB, dizemos que f é inversível se ela possui uma inversa à esquerda g:BA e ao mesmo tempo uma inversa à direita h:BA. Neste caso g é igual a h e é única. Representamos h = g = f--1. Podemos concluir também que f é injetiva e sobrejetiva pois possui inversa à esquerda e à direita. Vamos provar que h:BA é igual à g:BA Como g:BA é a inversa à esquerda temos g ° f = IdA e como h:BA é a inversa à direita temos f ° g = IdB. (g ° f) ° h = IdA ° h = h, g ° (f ° h) = g ° IdB = g, logo concluímos que h = g. Vamos provar a unicidade da inversa g1 e g2inversas à esquerda de f. hinversa à direita Se g1 = h e g2 = h , temos g1 = g2. Isso implica que a inversa é única. Definição: Dada uma função bijetiva f:AB chama-se função inversa de f a função f1:BA tal que (a, b) f (b, a)f-1. A composta de funções inversas entre si. Teorema. Seja f uma função bijetiva f:AB Seja f-1 é a função inversa de f. Então: f-1 ° f = IdA e f ° f-1 = IdB Demonstração: x A; (f-1 ° f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x; y B; (f ° f-1)(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y; Outros exemplos de funções inversíveis : (a) Considere um número real positivo b onde b > 1. A função fb dada por fb(x) = bx para x IR tem uma inversa f--1b com domínio (0, ) chamada função logarítmica. Nós escrevemos f--1b(y) = logby. Pela definição de função inversa nós temos: logbbx = x para todo x R e b(logby) = y Em particular, ex e ln x são funções inversas. (b) As funções TRANS:Mm,nMn,m e SNART:Mn,mMm,n são inversas uma da outra, pois: SNART(TRANS(A)) = A A Mm,n e TRANS(SNART(B)) = B A Mn,m. A inversa da composta. Teorema. Se as funções f e g são bijetoras f:AB g:BC Então: (g ° f)-1 = f-1 ° g-1 Demonstração: Observemos inicialmente: se as funções f:AB e g:BC são bijetoras, então a função composta g ° f:AC é bijetiva; logo, existe a função inversa (g ° f)-1:CA. Queremos provar que (g ° f)-1 = f-1 ° g-1; então basta provar que: (f-1 ° g-1) ° (g ° f) = IdA e (g ° f) ° (f-1 ° g-1) = IdC. Notemos que: f-1 ° f = IdA, f ° f-1 = IdB, g-1 ° g = IdB e g ° g-1 = IdC. Então: (f-1 ° g-1) ° (g ° f) = [(f-1 ° g-1) ° g] ° f = [f-1 ° (g-1 ° g)] ° f = [f-1 ° Idb] ° f = f-1 ° f = IdA. (g ° f) ° (f-1 ° g-1) = [(g ° f) ° f-1] ° g-1 = [g ° (f ° f-1)] ° g-1 = [g ° Idb] ° g-1 = g ° g-1 = IdC. Restrição do domínio e do contradomínio. As inversas das funções são muito utilizadas portanto, algumas vezes restringimos funções que não são injetivas a pequenos domínios de modo que se tornem injetivas. Fazemos também o contradomínio ser igual a imagem da função, tornando-a sobrejetiva e portanto bijetiva desse modo é possível encontrar sua inversa. Exemplo: f(x) = sen x. A função a cima é injetiva se o domínio é restrito, por exemplo a [-p/2, p/2]. Com contradomínio [-1,1] a função torna-se bijetiva e portanto inversível. Gráfico da função sen x Gráfico da função arcsen x Propriedade de f-1 e f. Os gráficos cartesianos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano. Exemplo: Gráfico das funções : f(x) = 2x - 4 f-1(y) = (y + 4)/ 2. Topo
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