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PRODUTO DE FUNÇÕES

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. Produto de funções
     Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será:(f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x 
(f * g) (x) = -x2 + 2x 
	
	    Verificamos que: 
f(1) = 1
g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1
f(1) * g(1) = 1 * 1 = 1
(f * g) (1) = -(1)2 + 2 * 1 = -1 + 2 = 1
     Vemos que, de forma análoga ao que ocorre com a soma de duas funções, para cada objecto x, multiplicando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f * g) (x).
      Em geral, escrevemos:(f * g) (x) = f(x) * g(x) 
4. Composição de funções
     A composição de uma função f com outra função g é uma nova função, representada por g º f, definida por:
(g ° f) (x) = g [f(x)]
     Primeiro determinamos f(x) e o resultado obtido é o objecto para a função g. Exemplificando, seja f(x) = x + 1 e g(x) = x2 , temos (g ° f) (x) = g [f(x)] =g [x + 1] = (x + 1)².
    Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (x) = f [g(x)] = f [x²] = x² + 1.   
GRÁFICO DAS FUNÇÕES INVERSAS          
O próximo objetivo é explorar as relações entre os gráficos de f e . Com esse propósito, será desejável usar x como a variável independente para ambas as funções, o que significa estarmos comparando os gráficos de y = f(x) e y = (x).
Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b = f(a). Isto é equivalente à afirmativa que a = (b), a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico de y = (x). Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um ponto no gráfico de . Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de produz um ponto no gráfico de  f . Contudo, o efeito geométrico de inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto sobre a reta y = x (figura 1), e logo os gráficos de y = f(x) e y = (x) são um do outro em relação a esta reta (figura 2). Em resumo, temos o seguinte resultado.
	  Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = (x) são reflexões um do outro em relação a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta.     
              
 
EXPOENTES IRRACIONAIS 
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por
Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como
Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de    isto é,
3,1;   3,14;   3,141;   3,1415;   3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:
Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.             
Tabela
	  x
	             
	3
	8,000000
	3,1
	8,574188
	3,14
	8,815241
	3,141
	8,821353
	3,1415
	8,824411
	3,14159
	8,824962
	3,141592
	8,824974
	Função Identidade 
            A função identidade de um conjunto A, denotada por IA, é definida como a função 
IA : A  A 
onde, IA(a) = a 
Então, IA é uma bijeção de A sobre A , sendo a imagem, (e inversa da imagem), de todo elemento de A o mesmo elemento no contra-domínio. 
            Da definição acima tem-se para qualquer função f : A  B 
IBof = fo IA = A 
Exemplo: 
1)A função  f(x) = x  e’ um exemplo de função identidade. 
   f(3) = 3 
   f(2) = 2 
Função Inversa 
            Considere as funções f : A  B e g : B  A . Caso 
go f = IA 
onde g é chamada inversa à esquerda de f, e f é chamada inversa à direita de g. Se acrescentarmos 
f o g = IB 
onde g é chamada “two side” inversa de f e f é chamada de “two side” inversa de g. 
Teorema 1 
a)  A função f : A  B tem inversa à esquerda se e somente se f for injetiva. 
b)  A função g :B  A tem inversa à direita se e somente se g for sobrejetiva. 
Demonstração: 
a)  Se f possui inversa à esquerda então existe a função g : B  A . Da mesma maneira, go f = IA. Se f(a) = f(a’), então: 
a = IA (a) =go f(a) = g(f(a)) = go f(a’) = IA(a’) = a’ 
e, consequentemente f é injetiva. Por outro lado, se f é injetiva pode-se definir a função g : B  A, onde: 
  
            g(b)=     * a, para todo e qualquer b ; B com f(a) = b 
                          * algum elemento fixado ao ? A 
Conhecendo f como uma função injetiva, existe exatamente um a ; A para todo b ; B, de modo a f(a) =B e consequentemente g está bem definida. Tem-se também para todo a ; A,  g f (a) = g(f(a)) = a, então go f = IA e deste modo f possui uma inversa à esquerda. 
b) Se  g possui uma inversa à direita, então existe a função f: A  B, do mesmo modo gof = IA. Consequentemente, para todo a ; A,  g f(a)=g(f(a)) = a, implicando que para todo a ; A há imagem de algum b ; B de g e por conseguinte existe em g uma sobrejeção. Por outro lado se g é sobrejetiva, pode-se definir a função 
f : A  B  onde f(a) é qualquer b  ? B do mesmo modo que g(b) = a e consequentemente f é bem definida. Também para todo a ; A, g(f(a)) = a, nós temos go f = IA e deste modo g tem inversa à direita. 
Teorema 2 
Considere duas funções f: A  B e g: B  C 
a)  Se f e g são injetivas, então go f é uma injeção. 
b)  Se f e g são sobrejetivas, então go f é uma sobrejeção. 
c)  Se f e g são bijeções, então go f é uma bijeção. 
Demonstração: 
a)  Através do teorema 1 sabemos que quando f e g são injetivas têm inversa à esquerda. Denotamos fl e gl, respectivamente. Consequentemente: 
(flogl)o(gof) = flo(glog)of = floIBof = flo(IBof) = flofoIA 
Desta forma, gof tem inversa à esquerda (denotada flogl) e novamente pelo teorema 1, gof é uma injeção. 
b) Através do teorema 1 sabemos que quando f e g são sobrejetivas têm inversa à direita. Denotamos fr e gr, respectivamente. Consequentemente: 
(gof)o(frogr) = go(fofr)ogr = goIB ogr = (goIB)ogr = gogr = IC 
Desta forma, go f tem inversa à direita (denotada frogr) e novamente pelo teorema 1, gof é uma sobrejeção. 
c) A última assertiva é imediatamente comprovada pelas partes (a) e (b) desta seção juntamente com a definição de bijeção. 
Teorema 3 
A função f: A  B é uma bijeção se e somente se f tiver inversa à esquerda 
gl: B  A e inversa à direita gr: B  A . Quando gl = gr e f for única para as duas inversas, então f é uma função bijetiva. 
Demonstração: 
A primeira dedução é retirada do teorema 1 e da definição de bijeção. Se gr existe, então: 
gl= glo IB = glo (fogr) = (glo f) ogr = IAogr = gr 
Desta forma conclui-se que qualquer inversa à esquerda é equivalente a qualquer inversa à direita, por conseguinte a “two side” inversa g = gl = gr para uma única f. Desde glo f = go f = IA e f o gr = f o g = IB , g possui inversa à esquerda e inversa à direita, (denotada f), consequentemente g é bijetiva. 
A única “two side” inversa da bijeção f: A  B é chamada simplesmente de inversa de f e denotada f -1, desta forma conclui-se: 
f -1o f = IA 
fo f -1 = IB 
Se  f é uma bijeção de A sobre A, então 
f -1o f = fo f -1 = IA 
Exemplos: 
1) Dada  a função f(x, y) = (x+y, x-y),  para acharmos sua inversa, primeiramente, teremos que provar sua bijetividade.f é injetiva: 
f é sobrejetiva 
2)Seja f : R*   R* ,  os números  reais, definidos pela função  f(x) = x2. Assim, 
f –1(4)={2, -2}, pois 4 e’ a imagem tanto de 2 como de –2 e não existe nenhum 
outro numero real cujo quadrado seja quatro. 
  
  
	
	 
	  
Funções inversíveis à esquerda
Seja uma função f:AB, f possui uma inversa à esquerda se existir uma função g:BA tal que g ° f = IdA. 
Teorema: 
f é inversível à esquerda se e somente se f é injetiva. 
Prova: 
Como f é inversível à esquerda existe g:BA tal que g ° f = IdA. 
Então vamos provar que f é injetiva, isto é, f(x1) = f(x2)  x1 = x2. 
f(x1) = f(x2) 
g(f(x1)) = g(f(x2))  x1 = x2 
Topo 
  
  
Funções inversíveis à direita
Seja uma função h:AB, h possui uma inversa à direita se existir uma função j:BA tal que h ° j = IdB. 
Exemplo: 
h:AB, A={-1,0,1,2} 
h(x)= x², B={0,1,4} 
Teorema: 
h tem inversa à direita se e somente se h é sobrejetiva. 
Prova: 
Como h é inversível à direita existe j:BA tal que h ° j = IdB. 
Então vamos provar que h é sobrejetiva. 
(h ° j)(x) = IdB(x) = x 
Seja y  B 
Seja x = j(y) 
h(x) = h(j(y)) = y, B= Im(h) 
Logo h é sobrejetiva. 
Exemplo: 
A={-1,0,1}, B={1,2} 
f:AB 
f(x)=x²+1 
g:BA 
g(y)= 
Conclusão: 
Sendo f:AB uma função injetiva existe uma função g:BA chamada de inversa à esquerda de f tal que g ° f = IdA (g não é única). 
Sendo f:AB uma função sobrejetiva existe uma função g:BA chamada de inversa à direita de f tal que f ° g = IdB (g não é única). 
Topo 
  
  
Funções inversíveis
Dada uma função f:AB, dizemos que f é inversível se ela possui uma inversa à esquerda g:BA e ao mesmo tempo uma inversa à direita h:BA. Neste caso g é igual a h e é única. Representamos h = g = f--1. 
Podemos concluir também que f é injetiva e sobrejetiva pois possui inversa à esquerda e à direita. 
Vamos provar que 
h:BA é igual à g:BA 
Como g:BA é a inversa à esquerda temos g ° f = IdA e como h:BA é a inversa à direita temos f ° g = IdB. 
(g ° f) ° h = IdA ° h = h, 
g ° (f ° h) = g ° IdB = g, 
logo concluímos que h = g. 
Vamos provar a unicidade da inversa 
g1 e g2inversas à esquerda de f. 
hinversa à direita 
Se g1 = h e g2 = h , temos g1 = g2. Isso implica que a inversa é única. 
Definição: 
Dada uma função bijetiva f:AB chama-se função inversa de f a função f1:BA tal que (a, b) f (b, a)f-1. 
A composta de funções inversas entre si. 
Teorema. 
Seja f uma função bijetiva f:AB 
Seja f-1 é a função inversa de f. 
Então: 
f-1 ° f = IdA e f ° f-1 = IdB 
Demonstração: 
x  A; (f-1 ° f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x; 
y  B; (f ° f-1)(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y; 
Outros exemplos de funções inversíveis : 
(a) 
Considere um número real positivo b onde b > 1. A função fb dada por fb(x) = bx para x  IR tem uma inversa f--1b com domínio (0, ) chamada função logarítmica. Nós escrevemos f--1b(y) = logby. 
Pela definição de função inversa nós temos: 
logbbx = x para todo x  R 
e 
b(logby) = y 
Em particular, ex e ln x são funções inversas. 
(b) 
As funções TRANS:Mm,nMn,m e SNART:Mn,mMm,n são inversas uma da outra, pois: 
SNART(TRANS(A)) = A  A  Mm,n 
e 
TRANS(SNART(B)) = B  A  Mn,m. 
A inversa da composta. 
Teorema. 
Se as funções f e g são bijetoras 
f:AB 
g:BC 
Então: (g ° f)-1 = f-1 ° g-1 
Demonstração: 
Observemos inicialmente: se as funções f:AB e g:BC são bijetoras, então a função composta g ° f:AC é bijetiva; logo, existe a função inversa (g ° f)-1:CA. 
Queremos provar que (g ° f)-1 = f-1 ° g-1; então basta provar que: 
(f-1 ° g-1) ° (g ° f) = IdA e (g ° f) ° (f-1 ° g-1) = IdC. 
Notemos que: 
f-1 ° f = IdA, f ° f-1 = IdB, g-1 ° g = IdB e g ° g-1 = IdC. 
Então: 
(f-1 ° g-1) ° (g ° f) = [(f-1 ° g-1) ° g] ° f = [f-1 ° (g-1 ° g)] ° f = [f-1 ° Idb] ° f = f-1 ° f = IdA. 
(g ° f) ° (f-1 ° g-1) = [(g ° f) ° f-1] ° g-1 = [g ° (f ° f-1)] ° g-1 = [g ° Idb] ° g-1 = g ° g-1 = IdC. 
Restrição do domínio e do contradomínio. 
As inversas das funções são muito utilizadas portanto, algumas vezes restringimos funções que não são injetivas a pequenos domínios de modo que se tornem injetivas. Fazemos também o contradomínio ser igual a imagem da função, tornando-a sobrejetiva e portanto bijetiva desse modo é possível encontrar sua inversa. 
Exemplo: 
f(x) = sen x. 
A função a cima é injetiva se o domínio é restrito, por exemplo a [-p/2, p/2]. Com contradomínio [-1,1] a função torna-se bijetiva e portanto inversível. 
	Gráfico da função sen x
	Gráfico da função arcsen x
	
	
Propriedade de f-1 e f. 
Os gráficos cartesianos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano. 
Exemplo: 
Gráfico das funções : 
f(x) = 2x - 4 
f-1(y) = (y + 4)/ 2. 
Topo

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