MATRIZES INVERTÍVEIS - LEANDRO MACHADO

Prévia do material em texto

D I S C I P L I N A / T U R M A : M A 0 0 5 - 0 3
T U T O R : L E A N D R O M A C H A D O 
Matrizes Invertíveis
Identidade à Direita
 Amxn . Inxn = Amxn
 Exemplo:
Identidade à Esquerda
 Imxm · Amxn = Amxn
 Exemplo:
 Notem que, para a mesma matriz A temos:
IEsquerda ≠ IDireita
Questão
 Quando teremos IEsquerda = Idireita?
 Resposta: quando m=n, ou seja:
Matrizes Quadradas
Inversa de Matrizes Quadradas
 A–1 tal que A· A–1 = A–1 ·A = I
 Algoritmo para encontrar a inversa (se houver):
1. Monte a matriz estendida [A|I]
2. Escalone até obter a identidade do lado esquerdo.
3. A inversa aparecerá no lado direito.
Inversa de Matrizes Quadradas
 Exemplo: A =
 Logo, A–1 =
 Obs: Se não for possível encontrar a identidade do
lado esquerdo então a matriz não admite inversa.
Matriz Simétrica e Matriz Ortogonal
 Simétrica:
At = A
Exemplo: 
 Ortogonal:
A · At = I (A transposta é igual a inversa)
Exemplo: (Prove como exercício)
Propriedades: (A· B) –1 = B–1 ·A–1 
X = A· B ⇒ X · B–1 = (A· B ) · B–1
X · B–1 = A· (B · B–1) ⇒ X · B–1 = A· I = A
X · B–1 = A ⇒ (X · B–1 )· A–1 = A· A–1
(X · B–1 )· A–1 = A· A–1 ⇒ X · (B–1 · A–1)= A· A–1 
X · (B–1 · A–1)= I
 Logo, B–1 · A–1 é a inversa de X, ou seja,
B–1 ·A–1 = (A· B) –1 como queríamos demonstrar.
 Obs: Utilizamos o fato de que o produto de matrizes 
é associativo. Prove como exercício.
Propriedades: (A· B)t = Bt ·At
 A e B matrizes quadradas com n linhas e n colunas.
(coluna q)
(linha p)
Propriedades: (A· B)t = Bt ·At
 xpq ⇒ (p-ésima linha de A) . (q-ésima coluna de B):
 xpq = ap1 b1q + ap2 b2q + ... + apq bqp +...+ apn bnq
 Na matriz (A· B)t temos: 
xpq ⇒ yqp
 yqp = xpq = ap1 b1q + ap2 b2q + ... + apq bqp +...+ apn bnq
Propriedades: (A· B)t = Bt ·At
 yqp = b1q ap1 + b2q ap2 + ... + bqp apq +...+ bnq apn
(note que a multiplicação de reais é comutativa)
 yqp ⇒ (q-ésima coluna de B)
T . (p-ésima linha de A)T
 Generalizando: (A· B)t = Bt ·At, cqd.
Propriedades: [(A)–1]–1 =A
Z = A–1 ⇒ Z ∙ A = A–1 ∙ A = I
 Logo, A é a inversa de Z, ou seja, A = [(A)–1]–1 , como 
queríamos demonstrar.
Propriedades: (αA)–1 = 1/α · A
–1 
 Prove como exercício.
Exercícios
 Através do processo de escalonamento, encontre as 
matrizes inversas de: