INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E MÉTODOS ESTOCÁTICOS - VINICIUS ARMENTANO

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Aula 3
Introduc¸a˜o a` Probabilidade e
aos Processos Estoca´sticos
Vinı´cius A. Armentano1 Paulo A. Valente Ferreira2
1Departmento de Engenharia de Sistemas
2Departamento de Telema´tica
Faculdade de Engenharia Ele´trica e Computac¸a˜o
Universidade Estadual de Campinas
Vinı´cius,Valente Introduc¸a˜o a` Probabilidade e aos Processos Estoca´sticos
Aula 3
Conteu´do
1 Probabilidade Condicional
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
2 Independeˆncia
Independeˆncia Condicional
Vinı´cius,Valente Introduc¸a˜o a` Probabilidade e aos Processos Estoca´sticos
Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Regra da Multiplicac¸a˜o
Assuma que todos os eventos condicionantes teˆm
probabilidades positivas. Dado que
P(∩ni=1Ai) = P(A1)
P(A1 ∩ A2)
P(A1)
·
·
P(A1 ∩ A2 ∩ A3)
P(A1 ∩ A2)
· · ·
P(∩ni=1Ai)
P(∩n−1i=1 Ai)
,
obte´m-se
P(∩ni=1Ai) = P(A1)P(A2 | A1) ·
· P(A3 | A1 ∩ A2) · · ·P(An | ∩n−1i=1 Ai).
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Visualizac¸a˜o
PSfrag replacements
A1 A2 A3 An−1 An
P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1 ∩ A2) P(An | ∩n−1i=1 Ai)
A1 ∩ A2 ∩ A3 A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2).
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo
Treˆs cartas sa˜o retiradas sem reposic¸a˜o de um baralho (52
cartas). Qual a probabilidade de nenhuma ser um ouro?
Qualquer carta tem a mesma probabilidade de ser retirada.
Seja Ai = {a i-e´sima carta na˜o e´ ouro}, i = 1, 2, 3. Deseja-se
obter P(A1 ∩ A2 ∩ A3). As probabilidades condicionais sa˜o
P(A1) =
39
52 , P(A2 | A1) =
38
51 , P(A3 | A1 ∩ A2) =
37
50 .
Logo,
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) =
39
52 ·
38
51 ·
37
50 ≈ 0.41.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo
Uma classe consiste de 4 alunos de po´s-graduac¸a˜o e 12
alunos de graduac¸a˜o. A classe e´ dividida aleatoriamente
em 4 grupos de 4 alunos.
Aleatoriamente significa: dada a alocac¸a˜o de alguns
alunos a certas vagas, os alunos restantes teˆm a mesma
chance de serem alocados a`s vagas restantes.
Qual a probabilidade de cada grupo inclua um aluno de
graduac¸a˜o? Defina aluno de graduac¸a˜o 1, 2, 3 e 4 e
A1 = {alunos 1 e 2 em grupos diferentes},
A2 = {alunos 1, 2 e 3 em grupos diferentes},
A3 = {alunos 1, 2, 3 e 4 em grupos diferentes}.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo (Continuac¸a˜o)
Deseja-se obter
P(A3) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2).
Existem 12 vagas em grupos diferentes dos do aluno 1 e 15
vagas no total, excluindo o aluno 1. Logo,
P(A1) = 12/15.
Existem 8 vagas em grupos diferentes dos dos alunos 1 e 2, e
14 vagas no total, excluindo os alunos 1 e 2. Logo,
P(A2 | A1) = 8/14.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo (Continuac¸a˜o)
Existem 4 vagas em grupos diferentes dos dos alunos 1, 2 e 3,
e 13 vagas no total, excluindo os alunos 1, 2 e 3. Logo,
P(A3 | A1 ∩ A2) =
4
13 .
A probabilidade desejada e´
P(A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2)
=
12
15 ·
8
14 ·
4
13 ≈ 0.14.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Sejam A1, A2, . . . , An eventos disjuntos que formam uma
partic¸a˜o do espac¸o amostral Ω.
Teorema da Probabilidade Total (TPT)
Assuma que P(Ai) > 0 para i = 1, 2, . . . , n. Enta˜o
P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + · · · + P(An ∩ B)
= P(A1)P(B | A1) + · · · + P(An)P(B | An).
A probabilidade que B ocorra e´ uma me´dia ponderada da
sua probabilidade condicional sob cada cena´rio (evento).
A ponderac¸a˜o de cada cena´rio e´ a sua probabilidade
incondicional.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Visualizac¸a˜o
PSfrag replacements
A1A1
A2
A2 A3
A3
B
B
B
B
Bc
Bc
Bc
An
A1 ∩ B
A2 ∩ B
A3 ∩ B
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo
Voceˆ entra num torneio de xadrez no qual sua probabilidade de
vencer e´ de
0.3 contra metade dos jogadores - tipo 1.
0.4 contra um quarto dos jogadores - tipo 2.
0.5 contra um quarto dos jogadores - tipo 3.
Voceˆ joga com um jogador escolhido ao acaso. Qual e´ a sua
probabilidade de vencer? Defina
Ai = {jogar com jogador do tipo i}, i = 1, 2, 3.
Neste caso, P(A1) = 0.5, P(A2) = 0.25 e P(A3) = 0.25.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo
Seja B o evento em que voceˆ vence um jogador escolhido ao
acaso. As probabilidades condicionais foram dadas:
P(B | A1) = 0.3, P(B | A2) = 0.4, P(B | A3) = 0.5.
A probabilidade de que voceˆ venc¸a e´
P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2)P(B | A2) + P(A3)P(B | A3)
= 0.5 · 0.3 + 0.25 · 0.4 + 0.25 · 0.5 = 0.38.
O TPT e´ u´til para calcular a probabilidade de eventos B
para os quais as probabilidades P(B | Ai) sa˜o conhecidas.
A escolha da partic¸a˜o A1, A2, . . . , An e´ crucial.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Sejam A1, A2, . . . , An eventos disjuntos que formam uma
partic¸a˜o do espac¸o amostral. Assuma P(Ai) > 0 para todo i .
Regra de Bayes
Para todo evento B tal que P(B) > 0,
P(Ai | B) =
P(Ai)P(B | Ai)
P(B)
=
P(Ai)P(B | Ai)
P(A1)P(B | A1) + · · · + P(An)P(B | An)
.
A regra de Bayes relaciona probabilidades condicionais
P(A | B) com probabilidades na forma reversa, P(B | A).
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Infereˆncia
A regra de Bayes e´ usada frequ¨entemente para se fazer uma
infereˆncia.
Assuma que existam va´rias causas que podem resultar
num certo efeito.
Exemplo: surge um ponto na tela do radar (efeito). O
ponto e´ causado por uma aeronave ou por outra coisa.
Observa-se o efeito, evento B. Deseja-se determinar a
causa, um dos eventos A1, A2, . . . , An.
P(B | Ai) e´ a probabilidade de se observar o efeito B
quando a causa Ai esta´ presente.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo (Detecc¸a˜o por Radar)
Considere os eventos A = {uma aeronave esta´ presente} e
B = {o radar registra a presenc¸a}. As probabilidades sa˜o
P(A) = 0.05, P(B | A) = 0.99 e P(B | Ac) = 0.1.
Defina A1 = A, A2 = Ac . A probabilidade da aeronave estar
presente dado que o radar fez um registro e´
P(A | B) = P(A)P(B | A)P(B)
=
P(A)P(B | A)
P(A)P(B | A) + P(Ac)P(B | Ac)
=
0.05 · 0.99
0.05 · 0.99 + 0.95 · 0.1 ≈ 0.34.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo (Problema do Falso-Positivo)
Um teste para uma certa doenc¸a rara e´ positivo com
probabilidade 0.95 se a pessoa tem a doenc¸a.
O mesmo teste e´ negativo com probabilidade 0.95 se a
pessoa na˜o tem a doenc¸a.
Uma pessoa selecionada de uma certa populac¸a˜o tem
probabilidade 0.001 de ter a doenc¸a.
Dado que o teste da pessoa e´ positivo, qual a
probabilidade da pessoa ter a doenc¸a?
Seja A o evento ”pessoa tem a doenc¸a” e B o evento ”o teste e´
positivo”. Deseja-se determinar P(A | B).
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia
Regra da Multiplicac¸a˜o
Teorema da Probabilidade Total
Regra de Bayes
Probabilidade Condicional
Exemplo (Continuac¸a˜o)
Pela Regra de Bayes
P(A | B) = P(A)P(B | A)P(B)
=
P(A)P(B | A)
P(A)P(B | A) + P(Ac)P(B | Ac)
=
0.001 · 0.95
0.001 · 0.95 + 0.999 · 0.05 ≈ 0.02.
Embora o teste seja relativamente preciso, e´ pouco
prova´vel que uma uma pessoa cujo teste seja positivo
tenha a doenc¸a.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Um importante caso particular da probabilidade condicional
surge quando a ocorreˆncia de B na˜o altera a probabilidade
do evento A ocorrer.
Independeˆncia
Diz-se que os eventos A e B sa˜o independentes se
P(A | B) = P(A).
Pela definic¸a˜o de probabilidade condicional, A e B sa˜o
independentes se P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Por simetria, se A e´ independente de B, enta˜o B e´
independente de A.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Dois eventos sa˜o independentes se forem disjuntos? Se
P(A) > 0, P(B) > 0 e P(A ∩ B) = 0, os eventos na˜o sa˜o
independentes!
Exemplo
Experimento envolvendo dois lanc¸amentos sucessivos de um
dado tetrae´drico. Dezesseis resultados igualmente prova´veis.
a) Os eventos Ai = {1o. lanc¸amento e´ i} e
Bj = {2o. lanc¸amento e´ j} sa˜o independentes?
P(Ai ∩ Bj) = 1/16, P(Ai) = 4/16, P(Bj) = 4/16.
Como P(Ai ∩ Bj) = P(Ai)P(Bj), independentes.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Exemplo (Continuac¸a˜o)
b) Os eventos A = {1o. lanc¸amento e´ 1} e
B = {a soma dos lanc¸amentos e´ 5} sa˜o
independentes? Sim, pois
P(A ∩ B) = 1/16, P(A) = 4/16, P(B) = 4/16.
c) Os eventos A = {ma´ximo dos lanc¸amentos e´ 2}
e B = {mı´nimo dos lanc¸amentos e´ 2} sa˜o
independentes? Na˜o, pois
P(A ∩ B) = 1/16, P(A) = 3/16, P(B) = 5/16.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Dado um evento C, os eventos A e B sa˜o condicionalmente
independentes se
P(A ∩ B | C) = P(A | C)P(B | C).
Pela definic¸a˜o de probabilidade condicional e regra da
multiplicac¸a˜o,
P(A ∩ B | C) = P(A ∩ B ∩ C)P(C)
=
P(C)P(B | C)P(A | B ∩ C)
P(C)
= P(B | C)P(A | B ∩ C).
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Comparando as experesso˜es
P(A ∩ B | C) = P(A | C)P(B | C) e
P(A ∩ B | C) = P(B | C)P(A | B ∩ C)
obte´m-se (P(B | C) 6= 0)
P(A | B ∩ C) = P(A | C).
Dado que C ocorreu, a informac¸a˜o de que B tambe´m
ocorreu na˜o altera a probabilidade de A.
A independeˆncia de dois eventos com respeito a`
probabilidade incondicional na˜o implica em independeˆncia
condicional ou vice-versa.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Exemplo
Dois lanc¸amentos independentes de uma moeda. Existem
quatro resultados igualmente prova´veis. Defina
H1 = {1o. lanc¸amento e´ cara},
H2 = {2o. lanc¸amento e´ coroa},
D = {os lanc¸amentos teˆm resultados diferentes}.
Os eventos H1 e H2 sa˜o independentes. Pore´m
P(H1 | D) = 1/2, P(H2 | D) = 1/2, P(H1 ∩ H2 | D) = 0.
e H1 e H2 sa˜o condicionalmente dependentes.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Exemplo
Duas moedas, uma azul, outra vermelha. Escolhe-se uma
ao acaso (probabilidade 1/2) e faz-se dois lanc¸amentos
independentes.
As moedas sa˜o polarizadas: com a azul, a probabilidade
de cara e´ 0.99; com a vermelha, 0.01.
Seja B o evento em a moeda azul e´ selecionada. Seja Hi
o evento em que o i-e´simo lanc¸amento resulta em cara.
Escolhida a moeda, os eventos H1 e H2 sa˜o condicionalmente
independentes. Assim
P(H1 ∩ H2 | B) = P(H1 | B)P(H2 | B) = 0.992 ≈ 0.98.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Exemplo (Continuac¸a˜o)
Entretanto, os eventos H1 e H2 na˜o sa˜o independentes. Se o
1o. lanc¸amento e´ cara, suspeita-se que a moeda seja azul.
Matematicamente, pelo TPT,
P(H1) = P(B)P(H1 | B) + P(Bc)P(H1 | Bc)
= 0.5 · 0.99 + 0.5 · 0.01 = 0.5.
Do mesmo modo, P(H2) = 0.5. Ale´m disso,
P(H1 ∩ H2) = P(B)P(H1 ∩ H2 | B) + P(Bc)P(H1 ∩ H2) | Bc)
= 0.5 · 0.992 + 0.5 · 0.012 ≈ 0.5,
e os eventos H1 e H2 sa˜o dependentes.
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Probabilidade Condicional
Independeˆncia Independeˆncia Condicional
Independeˆncia
Se A e B sa˜o eventos independentes, o mesmo ocorre
com os eventos A e Bc .
Independeˆncia de uma Colec¸a˜o de Eventos
Diz-se que os eventos A1, A2, . . . , An sa˜o independentes se
P
(
n⋂
i∈S
Ai
)
=
n∏
i=1
P(Ai)
para todo subconjunto S de {1, 2, . . . , n}.
Exemplo
Se n = 3, enta˜o a igualdade acima deve ser verificada para
S = {1, 2}, S = {1, 3}, S = {2, 3} e S = {1, 2, 3}.
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