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Centro Universita´rio UNA
Geometria Anal´ıtica - Produto Escalar
1. Dados os vetores ~u = (2,−3,−1) e v = (1,−1, 4), calcule:
(a) 2~u · (−~v)
(b) (~u+ 3~v) · (~v − 2~u)
(c) (~u+ ~v) · (~u− ~v)
(d) (~u+ ~v) · (~v − ~u)
2. Sejam os vetores ~u = (2, a,−1), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (2a − 1,−2, 4). Determine a de modo
que ~u · ~v = (~u+ ~v) · (~v + ~w)
3. Dados os pontosA(4, 0,−1), B(2,−2, 1) e C(1, 3, 2) e os vetores ~u = (2, 1, 1) e ~v = (−1,−2, 3),
obtenha o vetor ~x tal que:
(a) 3~x+ 2~v = ~x+ (
−→
AB · ~u)~v
(b) (
−−→
BC · ~v)~x = (~u · ~v)~v − 3~x
4. Determine o vetor ~v paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~v · ~u = −42.
5. Dados os vetores ~u = (1, 2,−3), ~v = (2, 0,−1) e ~w = (3, 1, 0), determine o vetor ~x tal que
~x · ~u = −16, ~x · ~v = 0 e ~x · ~w = 3.
6. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcule:
(a) (~u− 3~v) · ~u
(b) (2~v − ~u) · (2~v)
(c) (~u+ ~v) · (~v − 4~u)
(d) (3~u+ 4~v) · (−2~u− 5~v)
7. Os pontos A, B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero cujo lado mede 20 cm. Calcule−→
AB · −→AC e −→AB · −→CA
8. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 2~j − 4~k e ~b = 2~i + (1 − 2α)~j + 3~k sejam
ortogonais?
9. Dados os vetores ~a = (2, 1, α), ~b = (α+2,−5, 2) e ~c = (2α, 8, α), determine o valor de α para
que o vetor ~a+~b seja ortogonal ao vetor ~c− ~a.
10. Dados os pontos A(−1, 0, 5), B(2,−1, 4) e C(1, 1, 1), determine x tal que −→AC e −−→BP sejam
ortogonais, sendo P (x, 0, x− 3).
1
11. Determine o vetor ~u tal que |~u| = 2, o aˆngulo entre ~u e ~v = (1,−1, 0) e´ 45o e ~u e´ ortogonal a
~w = (1, 1, 0).
12. Seja o vetor ~v = (2,−1, 1). Obtenha:
(a) um vetor ortogonal a ~v.
(b) um vetor unita´rio ortogonal a ~v.
(c) um vetor de mo´dulo 4 ortogonal a ~v.
13. Determine os aˆngulos enter os vetores:
(a) ~u = (2,−1,−1) e ~v = (−1,−1, 2)
(b) ~u = (1,−2,−1) e ~v = (−1, 1, 0)
14. Calcule n para que seja de 30o o aˆngulo entre os vetores ~v = (−3, 1, n) e ~k.
15. Determine o valor de k para que os vetores ~u = (−2, 3) e ~v = (k,−4) sejam:
(a) paralelos.
(b) ortogonais.
16. Obter os dois vetores unita´rios ortogonais a cada um dos vetores:
(a) 4~i+ 3~j
(b) (−2, 3)
17. Determine o valor de a para que seja 45o o aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (1, a).
Respostas
1) a) −2 b) 21 c) −4 d) 4 2) a = 5
8
3) a) (3, 6,−9) b) (−1
3
,−2
3
, 1) 4)
(−6, 3,−9) 5) ~x = (2,−3, 4) 6) a) 7 b) 38 c) -4 d) -181 7) 200 e -200
8) -5 9) 3 ou -6 10) x = 25
2
11) (1,−1,√2) ou (1,−1,−√2) 12) a) Dentre os
infinitos poss´ıveis: (1,1,-1) b) Um deles: ( 1√
3
, 1√
3
,− 1√
3
) c) Um deles: ( 4√
3
, 4√
3
,− 4√
3
)
13) a) 120o b) 150o 14)
√
30 15) a) 8
3
b) -6 16) a) (3
5
,−4
5
) e (−3
5
, 4
5
) b)
( 3√
13
, 2√
13
) e (− 3√
13
,− 2√
13
) 17) 3 ou −1
3
2