Apostila_Medidas_Erros

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Duvidoso	
  
Correto	
  
	
  
Universidade	
  São	
  Judas	
  Tadeu	
  
Faculdade	
  de	
  Tecnologia	
  e	
  Ciências	
  Exatas	
  
Laboratório	
  de	
  Física	
  e	
  Química	
  	
  
	
  
Análise	
  de	
  Medidas	
  Físicas	
  Quando	
  fazemos	
  uma	
  medida,	
  determinamos	
  um	
  número	
  para	
  caracterizar	
  uma	
  grandeza	
  física.	
  Precisamos	
  saber	
  até	
  onde	
  podemos	
  confiar	
  nesta	
  determinação.	
  Com	
  este	
  objetivo	
  iremos	
  introduzir,	
  de	
   maneira	
   sucinta	
   e	
   sem	
   a	
   preocupação	
   de	
   deduzir	
   as	
   expressões	
   matemáticas,	
   o	
   conceito	
   e	
  operações	
  de	
  números	
  significativos	
  e	
  o	
  tratamento	
  estatístico	
  de	
  dados.	
  	
  
1.	
  Algarismos	
  Significativos	
  Os	
  algarismos	
  significativos	
  de	
  uma	
  medida	
  são	
   todos	
  os	
  algarismos	
  corretos	
  mais	
  o	
  primeiro	
  estimado	
  (duvidoso).	
  Exemplo:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   Leitura:	
  L	
  =	
  7,	
  2	
  cm	
  	
   	
   (2	
  significativos)	
  	
  Observações:	
  -­‐	
  A	
  quantidade	
  de	
  algarismos	
  significativos	
  não	
  se	
  altera	
  mediante	
  uma	
  transformação	
  de	
  unidade.	
  -­‐	
  Zeros	
  a	
  esquerda	
  não	
  são	
  significativos.	
  -­‐	
  Quantidade	
  de	
  casas	
  decimais	
  não	
  significa	
  quantidade	
  de	
  algarismos	
  significativos.	
  	
  Exemplos:	
  	
  L	
  =	
  7,2	
  cm	
  	
  	
   -­‐	
  Uma	
  casa	
  decimal	
  e	
  dois	
  significativos.	
  L	
  =	
  72	
  mm	
  	
   -­‐	
  Nenhuma	
  casa	
  decimal	
  e	
  dois	
  significativos.	
  L	
  =	
  0,072	
  m	
  	
   -­‐	
  Três	
  casas	
  decimais	
  e	
  dois	
  significativos.	
  	
   É	
  frequente	
  o	
  uso	
  de	
  um	
  resultado	
  experimental	
  em	
  expressões	
  matemáticas	
  para	
  obtermos	
  uma	
  outra	
  grandeza	
   física,	
  o	
  que	
  chamamos	
  de	
  determinação	
   indireta.	
  Devemos	
  tomar	
  cuidado	
  para	
  não	
  cometermos	
   o	
   erro	
   grosseiro	
   de	
   considerarmos	
   todos	
   os	
   números	
   apresentados	
   na	
   calculadora.	
   As	
  regras	
  que	
  serão	
  apresentadas	
  no	
  item	
  1.2	
  nos	
  ajudarão	
  a	
  não	
  cometermos	
  tal	
  erro.	
  
cm	
   0	
   1	
   2	
   3	
   4	
   5	
   6	
   7	
   8	
   9	
   10	
  
i1	
  
i2	
  i3	
  i	
  
1.1 Regras	
  de	
  Arredondamento	
  
a) Se	
  o	
  primeiro	
  algarismo	
  suprimido	
  for	
  <	
  5,	
  o	
  anterior	
  não	
  muda.	
  	
  Exemplos:	
  	
  2,718281828...	
  arredondando	
  para	
  3	
  casas	
  decimais	
  temos	
  2,718.	
  4,499	
  arredondado	
  na	
  unidade	
  temos	
  4	
  1136	
  arredondando	
  na	
  centena	
  temos	
  1100	
  
b) Se	
   o	
   primeiro	
   algarismo	
   suprimido	
   for	
   >	
   ou	
   =	
   5,	
   o	
   anterior	
   é	
   acrescido	
   de	
   uma	
   unidade.	
  Exemplos:	
  4,499	
  arredondando	
  para	
  1	
  casa	
  decimal	
  temos	
  4,5	
  115,5	
  arredondando	
  para	
  a	
  unidade	
  temos	
  116	
  	
  
1.2 Operações	
  com	
  Significativos	
  
a) Adição	
  e	
  Subtração:	
  expressar	
  todas	
  as	
  parcelas	
  da	
  soma	
  e/ou	
  adição	
  na	
  mesma	
  unidade	
  de	
  medida.	
   Procurar,	
   entre	
   as	
   parcelas,	
   aquela	
   cuja	
   último	
   algarismo	
   significativo	
   ocupa	
   a	
   casa	
  decimal	
  mais	
  elevada,	
  isto	
  é,	
  mais	
  a	
  esquerda	
  possível;	
  desprezar	
  os	
  algarismos	
  à	
  direita	
  desta	
  casa	
  decimal	
  no	
  resultados	
  final,	
  de	
  acordo	
  com	
  as	
  regras	
  de	
  arredondamento.	
  Exemplos:	
  1) Calcule	
   a	
   distância	
   percorrida	
   em	
  metros,	
   por	
   uma	
   partícula	
   que	
   descreveu	
   os	
   seguintes	
  trechos:	
  d1	
  =	
  0,125	
  Km;	
  d2	
  =	
  2,5	
  m	
  e	
  d3	
  =	
  535,4	
  cm.	
  A	
  distância	
  total	
  será:	
  dT	
  =	
  125	
  +2,5	
  +	
  5,354	
  =	
  132,854	
  m	
  =	
  133	
  m	
  2) Calcule	
  a	
  intensidade	
  de	
  corrente	
  i3	
  do	
  esquema	
  abaixo,	
  sabendo-­‐se	
  que	
  i	
  =	
  200,2	
  mA,	
  i1	
  =	
  	
  523	
  mA	
  e	
  i2	
  =	
  0,1	
  A.	
  	
   	
  Pela	
  Lei	
  dos	
  Nós,	
  temos	
  que	
  :	
  i	
  +	
  i3	
  –	
  i1	
  –	
  i2	
  =	
  0,	
  portanto,	
  i3	
  =	
  i1	
  +	
  i2	
  –	
  i	
  =	
  0,523	
  +	
  0,1	
  -­‐	
  0,2002	
  =	
  0,42282	
  A	
  =	
  0,4	
  A	
  	
  	
  
b) Multiplicação	
   e	
   Divisão:	
   o	
   resultado	
   final	
   deverá	
   apresentar	
   a	
   mesma	
   quantidade	
   de	
  algarismos	
   significativos	
   (ou	
   no	
   máximo	
   1	
   elemento	
   a	
   mais)	
   do	
   fator	
   “mais	
   pobre”	
   em	
  algarismos	
  significativos.	
  Exemplos:	
  1) Calcule	
  o	
  volume,	
  em	
  cm3,	
  do	
  cilindro	
  de	
  uma	
  moto,	
  dados	
  o	
  seu	
  diâmetro	
  =	
  72,0	
  mm	
  e	
  o	
  se	
  curso	
  (altura)	
  =	
  61	
  mm.	
  
V = πD
2h
4 =
π . 7,20( )2 .6,1
4 = 248,36175 = 248cm
3 ou	
  V	
  =	
  2,5	
  x	
  102	
  cm3	
  
2) Calcule:	
  1000,58,5 = 117,70588...= 118 	
  ou	
  1,2	
  x	
  102	
  
c) Radiciação:	
   o	
   resultado	
   final	
   (raiz)	
   deverá	
   apresentar	
   no	
   máximo	
   a	
   mesma	
   quantidade	
   de	
  algarismos	
  significativos	
  do	
  radicando	
  e	
  no	
  mínimo	
  1	
  elemento	
  a	
  menos.	
  
956( )
1
2 = 30,919...= 30,9 	
  	
   	
   	
   	
   2,0( )12 = 1,4 	
  	
  
81( )
1
2 = 9 	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
   64( )13 = 4,0 	
  	
  Observações:	
  -­‐	
  Estas	
  regras	
  também	
  devem	
  ser	
  obedecidas	
  nos	
  cálculos	
  envolvidos	
  na	
  resolução	
  de	
  exercícios	
  prestando	
   atenção	
   na	
   quantidade	
   de	
   algarismos	
   significativos	
   dos	
   dados	
   fornecidos	
   nos	
  problemas.	
  -­‐	
  Para	
  um	
  série	
  de	
  operações	
  matemáticas,	
   adota-­‐se	
  o	
   seguinte:	
   o	
   resultado	
   final	
  deverá	
   ter	
   a	
  mesma	
  quantidade	
  (ou	
  no	
  máximo	
  1	
  elemento	
  a	
  mais)	
  de	
  algarismos	
  significativos	
  do	
  número	
  “mais	
  pobre”	
  em	
  algarismos	
  significativos	
  que	
  fez	
  parte	
  da	
  série	
  de	
  operações.	
  	
  
2.	
  Erros	
  	
   Toda	
  medida	
  de	
  grandeza	
   física	
  está	
  sujeita	
  a	
  erros,	
  pois	
  a	
  experiência	
  mostra	
  que	
  sendo	
  essa	
  medida	
   repetida	
   várias	
   vezes,	
   com	
   as	
   mesmas	
   precauções,	
   pelo	
   mesmo	
   observador	
   ou	
   vários	
  observadores,	
  os	
  resultados	
  encontrados	
  não	
  são	
  em	
  geral	
   idênticos.	
  Isto	
  ocorre	
  devido	
  ao	
   limiar	
  de	
  
percepção,	
   a	
   menor	
   variação	
   de	
   uma	
   grandeza	
   que	
   pode	
   ser	
   medida,	
   que	
   depende	
   dos	
   seguintes	
  fatores:	
  método,	
  instrumento	
  de	
  medida	
  e	
  operador.	
  	
  
2.1	
  Tipos	
  de	
  Erros	
  	
  
a)	
   Erro	
   Sistemático:	
   é	
   aquele	
   devido	
   à	
   equipamentos	
   incorretamente	
   ajustados	
   e/ou	
   calibrados,	
  procedimento	
   incorreto	
   pelo	
   experimentador	
   ou	
   falha	
   conceitual.	
   Este	
   tipo	
   de	
   erro	
   atua	
   demodo	
  constante,	
  sempre	
  positivo	
  ou	
  sempre	
  negativo,	
  devendo	
  ser	
  eliminado	
  ou	
  reduzido	
  ao	
  mínimo	
  pelo	
  experimentador.	
  
b)	
  Erro	
  Estatístico:	
  é	
  aquele	
  causado	
  por	
  variações	
  incontroláveis	
  e	
  aleatórias	
  dos	
  instrumentos	
  de	
  medida,	
  e	
  de	
  condições	
  externas	
  tais	
  como	
  temperatura,	
  tensão	
  da	
  rede	
  elétrica,	
  umidade	
  do	
  ar,	
  etc..	
  Este	
  tipo	
  de	
  erro	
  atua	
  de	
  modo	
  irregular,	
  ora	
  positivo,	
  ora	
  negativo.	
  	
   Quando	
   erros	
   estatísticos	
   têm	
   origem	
   em	
   uma	
   quantidade	
   grande	
   de	
   causas,	
   todas	
   elas	
  provocando	
  variações	
  de	
  intensidades	
  equivalentes	
  e	
  pequenas,	
  eles	
  	
  obedecem	
  leis	
  matemáticas	
  bem	
  definidas.	
   É	
   esta	
   propriedade	
   que	
   nos	
   permite	
   tirar	
   conclusões	
   a	
   partir	
   de	
  medidas	
   experimentais	
  sujeitas	
  a	
  erros.	
  	
  
3.	
  Análise	
  das	
  Medidas	
  
3.1	
  Série	
  de	
  Medidas	
  Para	
  uma	
  série	
  de	
  medidas	
  de	
  uma	
  grandeza	
  física,	
  definimos:	
  a)	
  Valor	
  Médio	
   G( ) 	
  :	
  é	
  a	
  média	
  aritmética	
  das	
  medidas:	
  
G = G1 +G2 + ...+Gnn =
Gi
i=1
n
∑
n 	
  onde	
  n	
   é	
  o	
  número	
   total	
  de	
  medidas.	
   Segundo	
  a	
  Estatística	
  o	
  valor	
  médio	
  é	
  a	
  melhor	
  estimativa	
  do	
  valor	
  verdadeiro	
  da	
  grandeza.	
  b)	
  Desvio	
   di( ) 	
  :	
  é	
  diferença	
  entre	
  a	
  i-­‐ésima	
  medida	
  e	
  o	
  valor	
  médio:	
  
di = Gi −G .	
  	
  c)	
  Estimativa	
  do	
  desvio	
  padrão	
  de	
  um	
  conjunto	
  de	
  medidas	
   dp( ) :	
  é	
  a	
  raiz	
  quadrada	
  da	
  razão	
  entre	
  a	
  soma	
  dos	
  quadrados	
  dos	
  desvios	
  e	
  o	
  número	
  de	
  medidas	
  realizadas	
  menos	
  uma:	
  
dp =
di( )2
i=1
n
∑
n −1 .	
  	
   Por	
  simplicidade,	
  chamaremos	
  dp	
  de	
  desvio	
  padrão	
  do	
  conjunto	
  de	
  medidas.	
  Este	
  mede	
  o	
  quanto	
  o	
  conjunto	
  de	
  medidas	
  se	
  espalha	
  (ou	
  se	
  dispersa)	
  em	
  relação	
  ao	
  valor	
  médio.	
  d)	
  Estimativa	
  do	
  desvio	
  padrão	
  do	
  valor	
  médio	
   dpm( ) :	
  
dpm =
dp
n = di( )2i=1
n
∑
n n −1( ) 	
  .	
  	
   Por	
   simplicidade,	
   chamaremos	
   dpm	
   de	
   desvio	
   padrão	
   do	
   valor	
   médio.	
   Na	
   ausência	
   de	
   erros	
  sistemáticos,	
  dpm	
  é	
  a	
  incerteza	
  final	
  na	
  grandeza	
  de	
  medida.	
  	
   Admitindo	
   distribuição	
   gaussiana	
   para	
   erros,	
   podemos	
   afirmar	
   que	
   o	
   valor	
   verdadeiro	
   da	
  grandeza	
  G	
  tem	
  a	
  probabilidade	
  de	
  68%	
  de	
  pertencer	
  ao	
  intervalo:	
  
G − dpm < G < G + dpm .	
  e)	
  Desvio	
  relativo	
  percentual	
   d%( ) :	
  é	
  o	
  desvio	
  relativo	
  expresso	
  em	
  porcentagem.	
  
d% = dr ×100% .	
  	
   Finalizando,	
   o	
   resultado	
   experimental	
   de	
   uma	
   grandeza	
   física,	
   determinada	
   por	
   uma	
   série	
   de	
  medidas,	
  deve	
  ser	
  indicado	
  da	
  seguinte	
  forma:	
  
G = G ± dpm( )u 	
  onde	
  u	
  é	
  a	
  unidade	
  de	
  medida	
  da	
  grandeza	
  física.	
  	
  
	
  Exemplo:	
  Com	
  um	
  micrômetro	
  foram	
  feitas	
  10	
  medidas	
  do	
  diâmetro	
  de	
  um	
  condutor	
  filiforme.	
  Analise	
  dos	
  dados:	
  
i	
   Diâmetro	
  (mm)	
   di	
  (mm)	
   (di)2	
  (mm2)	
  1	
   5,11	
   0,107	
   0,01145	
  2	
   5,06	
   0,057	
   0,00325	
  3	
   4,93	
   -­‐0,073	
   0,00533	
  4	
   4,99	
   -­‐0,013	
   0,00017	
  5	
   5,07	
   0,067	
   0,00449	
  6	
   4,88	
   -­‐0,123	
   0,01513	
  7	
   5,03	
   0,027	
   0,00073	
  8	
   5,00	
   -­‐0,003	
   0,000009	
  9	
   4,94	
   -­‐0,063	
   0,00397	
  10	
   5,02	
   0,017	
   0,00029	
  SOMA	
   50,03	
   -­‐-­‐-­‐	
   0,044819	
  	
  
D = 50,0310 = 5,003mm
dp =
0,044819
9 = 0,07057 = 0,07mm
dpm =
0,07057
10 = 0,02232 = 0,02mm
D = 5,00 ± 0,02( )mm
dr =
0,02
5, 00 = 0,004
d% = 0, 4%
	
  
3.2	
  Uma	
  Única	
  Medida	
  	
   A	
  indicação	
  do	
  resultado	
  experimental	
  não	
  deve	
  ser	
  alterar,	
  portanto	
  devemos	
  usar:	
  
G = ′G ± dG( )u 	
  onde	
   ′G 	
  é	
  a	
  leitura	
  obtida	
  e	
  dG	
  é	
  a	
  incerteza	
  introduzida	
  pelo	
  instrumento	
  de	
  medida.	
  Por	
  convenção,	
  para	
   instrumentos	
   analógicos,	
   adota-­‐se	
   tal	
   incerteza	
   como	
   sendo	
   a	
   metade	
   da	
   menor	
   divisão	
   do	
  instrumento	
  de	
  medida.	
  Exemplo:	
  No	
  item	
  1	
  desta	
  apostila,	
  tem-­‐se	
  a	
  leitura	
  do	
  comprimento	
  de	
  uma	
  barra	
  (L	
  =	
  7,2	
  cm)	
  com	
  uma	
  régua	
  cuja	
  menor	
  divisão	
  é	
  1	
  cm.	
  Portanto	
  deve-­‐se	
  apresentar	
  o	
  resultado	
  como:	
  
L = 7,2 ± 0,5( )cm .