Apostilas de Introdução ao Desenho

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Perspectiva Cavaleira e Isom�trica.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DA DISCIPLINA 
INTRODUÇÃO AO DESENHO 
 
 
Autoras: 
Profª Andiara Lopes 
Prof ª Mariana Gusmão 
 
Exercícios: 
Prof. Cesário Júnior 
 
 
 
Setembro de 2014 
Apresentação 
 
Caro(a) Aluno(a), 
 
 Esta é uma apostila desenvolvida especialmente para os alunos da disciplina Introdução ao 
Desenho, ministrada no Ciclo Básico do Curso de Engenharias da Universidade Federal de 
Pernambuco. 
 Essa apostila aborda três tipos de projeções bastante utilizadas em desenho técnico: 
Cavaleira, Desenho Isométrico e Sistema Mongeano. Além disso, aborda temas como Vistas 
Auxiliares, Verdadeira Grandeza e o estudo da Seção Plana nos sólidos básicos. 
 A apostila está dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo é introdutório e aborda 
algumas noções básicas sobre desenho, representação, projeção e perspectiva, bem como 
materiais de desenho e sua utilização. O segundo capítulo trata da Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira. O terceiro capítulo aborda o Desenho Isométrico, que é uma simplificação da 
Perspectiva Cilíndrica Isométrica. O quarto capítulo tem como tema o Sistema Mongeano de 
Representação. Finalmente, o quinto e sexto capítulos tratam dos estudos de Verdadeira 
Grandeza e Seção Plana, respectivamente. 
 
INDÍCE 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
 
 
1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 4 
1.2. Instrumentos de Desenho 4 
1.3. Elementos Básicos do Desenho 6 
1.4. O Desenho como Linguagem 7 
1.5. Ortoedro de Referência 9 
1.6. Sistema de Projeção 10 
1.7. Tipos de Projeção 12 
1.7.1. Projeção Cônica 13 
1.7.2. Projeção Cilíndrica 14 
1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 16 
 
CAPÍTULO 2 – Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 
 
2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 18 
2.2. Eixos Coordenados 18 
2.3. O Eixo y 20 
2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 21 
2.4.1. A Direção da Cavaleira – ângulo α 21 
2.4.2. Fator de Deformação (K) 22 
2.5. Rotação da Peça 23 
2.5.1. Diferença entre Rotação e Variação do 
Quadrante de Projeção do Eixo y 
24 
2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 25 
2.6. Cilindros e Cones 25 
2.6.1. Cilindros 27 
2.6.2. Cones 28 
2.6.3. O Desenho da Elipse 28 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
 
 
3.1. Caracterização da Axonometria 33 
3.2. Caracterização do Desenho Isométrico 34 
3.3. Desenho Isométrico na Prática 35 
3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de 
Referência 
36 
3.4. 1. A Visualização de Todas as Faces 36 
3.4.2. Rotação da Peça 37 
3.5. Cilindros e Cones 38 
3.5.1. O Desenho de Elipse e da Oval 39 
 
EXERCÍCIOS 45 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
4 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
 
1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 
 
O conteúdo dessa disciplina é importante para os estudantes de engenharia porque a prática 
profissional inclui a resolução de problemas que envolvem a visualização e representação de objetos 
e construções em diversas escalas nos projetos de engenharia. 
O principal objetivo da disciplina Introdução ao Desenho é desenvolver as habilidades de 
visualização espacial, expressão e interpretação gráficas. Isso quer dizer que ao final do semestre, se 
espera que os alunos possam visualizar sólidos geométricos, se expressar graficamente e representar 
objetos em cavaleira, desenho isométrico e no sistema mongeano. 
Para tanto, a metodologia utilizada na disciplina inclui aulas expositivas e resolução de 
exercícios em sala. No entanto, para atingir um nível satisfatório na disciplina é necessário que o 
aluno reserve tempo extra-aula para complementar com resolução de exercícios. 
A disciplina será divida em três unidades: I) cavaleira e desenho isométrico; II) sistema 
mongeano e; III) verdadeira grandeza e seção plana. Ao final de cada unidade será realizada uma 
prova. O assunto é cumulativo. O calendário do curso é fixo, portanto as datas das provas são 
definidas no início do semestre. As informações e materiais trocados entre professor e aluno deverão 
ser feitas em sala de aula e através de e-mail. 
 
1.2. Instrumentos de Desenho 
 
É muito importante que os alunos das disciplinas de desenho tenham total domínio do uso dos 
instrumentos básicos de desenho. 
 
1. Lapiseira: recomenda-se o uso de lapiseira com grafite do tipo HB com espessura de 0,5 mm, 
para evitar perda de tempo e imprecisão. 
2. Borracha: recomenda-se o uso de borracha branca macia, se possível borracha específica para 
desenho técnico. 
3. Régua: recomenda-se o uso de régua transparente de plástico ou acrílico, com 15 ou 20 cm. 
4. Compasso de Metal: recomenda-se o uso de compasso de metal. O compasso é um 
instrumento utilizado para desenhar arcos e circunferências, mas ele também pode ser usado 
para transportar medidas e ângulos. 
5. Par de Esquadros: recomenda-se o uso de um par de esquadros que não tenham marcação de 
escala. No par, um deve ter dois ângulos de 45ᵒ e o outro um ângulo de 60ᵒ e um de 30ᵒ. Veja 
as figuras 1.1 e 1.2. O tamanho dos esquadros é medido pelo lado maior, a hipotenusa do 
triângulo formado pelo esquadro de 45ᵒ e o lado de tamanho médio, cateto maior, do 
esquadro de 60ᵒ. 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
5 
 
 
Fig. 1.1 
 
 
Fig. 1.2 
 
Os esquadros são vendidos em pares por duas razões: primeiro porque um serve de 
apoio para o outro no traçado de linhas paralelas e perpendiculares e segundo, porque 
quando usados em conjunto com a régua T ou a régua paralela, seus ângulos permitem a 
formação de diversos outros ângulos. Ver figura 1.3. 
 
Fig. 1.3 
 
6. Papel: recomenda-se o uso de papel branco com formato A4. A quantidade a ser utilizada é 
de aproximadamente meia resma. O formato básico de papel designado de A0 (A zero) 
considera um retângulo de 841 mm (altura “a”) por 1.189 mm (largura “l”) correspondente a 
1 m² de área. Deste formato derivam-se os demais formatos na relação l = a√ 2 , conforme 
figura 1.4. 
 
Fig. 1.4 
http://blog.creativecopias.com.br/simplificando-o-tamanho-e-formato-dos-papeis/ 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
6 
 
 
1.3. Elementos Básicos do Desenho 
 
O desenho possui quatro elementos básicos por meio dos quais podemos expressar ideias. 
São eles: o ponto, a linha, a superfície e o volume. Esses elementos são conceitos ou ideias, portanto 
são abstratos. Quando desenhamos um ponto, uma linha, uma superfície ou um volume esses 
conceitos deixam de ser conceitos e passam a ser formas ou representações. 
 
1. O Ponto: É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele indica uma posição, 
não possui formato ou dimensão, não ocupa um lugar no espaço. É também o lugar do 
cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. É 
representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino (A, B, D, K). Observe as figuras 1.5, 
1.6 e 1.7. 
 
 
Fig. 1.5 
 
Fig. 1.6 
 
Fig. 1.7 
 
2. A linha: À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma linha. Assim, a linha é o 
enfileiramento de pontos unidos. Possui apenas uma dimensão (comprimento); mas possui 
posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, 
conforme veremos. É representada por uma letra minúscula do alfabeto latino (a, b, c, r, p, q, 
v, x). A linha define os limites de uma superfície
e podem ser classificadas de acordo com o 
Formato e de acordo com o Traço. 
 
Nessa disciplina utilizaremos, com relação ao formato, linhas retilíneas e linhas curvas. 
Com relação ao tipo de traço, utilizaremos três tipos de linhas, conforme o quadro abaixo. 
 
TIPO DE LINHA DESENHO FUNÇÃO 
Linha fina contínua Representar linhas auxiliares de 
construção ou arestas não visíveis 
no desenho da cavaleira e do 
desenho isométrico 
Linha grossa contínua Representar arestas visíveis 
 
Linha grossa tracejada Representar arestas não visíveis no 
sistema mongeano 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
7 
 
3. A superfície: Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção 
intrínseca, se torna uma superfície. Assim, a superfície é o enfileiramento de linhas unidas. As 
superfícies possuem apenas duas dimensões, profundidade e largura. A superfície define os 
limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, 
conforme veremos. É representada por uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ, λ, π, φ). 
 
4. O Volume: A trajetória de uma superfície em uma direção, que não seja a sua direção 
intrínseca, se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três 
dimensões: largura, altura e profundidade. No espaço o volume é limitado por planos. Ver 
figura 1.8. 
 
Fig. 1.8 
 
1.4. O Desenho como Linguagem 
 
De maneira geral, o desenho é uma forma de linguagem. Em outras palavras, pode-se dizer que 
um dos interlocutores usa-o para representar uma ideia e, assim, transmiti-la para o outro. No campo 
das engenharias, ele adquire um caráter específico, uma vez que precisa representar a forma, 
dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada projeto. Para os desenhos 
dessa natureza dá-se o nome de Desenho Técnico. 
Nas engenharias, como em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de se criar 
formas, desde um parafuso até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de 
criação, sendo seu produto um projeto. Esse último consiste na representação daquilo que está no 
plano das ideias, para que essas sejam compreendidas e executadas pelos outros profissionais 
envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer 
maneira, deve obedecer a alguns padrões e procedimentos que visem sua universalização. Dessa 
maneira, o desenho técnico cumpre sua função, que é a de estabelecer a comunicação entre as 
partes envolvidas no processo de criação e execução de objetos. 
Em um desenho artístico a representação é uma escolha do artista, este não tem compromisso 
com o que é real, sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no 
contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e 
quanto mais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho 
artístico, o desenho técnico é comprometido com a representação da realidade. Essa sua 
característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no processo de produção de um 
objeto através da linguagem universal. Observe as figuras abaixo e reflita um pouco sobre as 
diferenças entre o desenho artístico, à esquerda, e o desenho técnico, à direita. 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
8 
 
 
 
Kandinsky, Arch and Point, 1923 
http://www.invisiblebooks.com/Kandinsky.htm 
Fig. 1.9 
 
 
http://aordemsinequanonoide.blogspot.com.br/2010/12/desenho-
tecnico-mecanico.html 
Fig. 1.10 
 
Para representar um objeto é importante perceber que todos os objetos que estão a nossa 
volta possuem três dimensões: largura, altura e profundidade. Quando vamos fazer a representação 
desse objeto, as dimensões precisam ser desenhadas em uma superfície com apenas duas 
dimensões, como é o caso do papel ou da superfície da tela do computador. Como fazer essa 
representação é exatamente o objetivo dessa disciplina. 
É importante salientar, mais uma vez, que a representação para o desenho técnico, não pode 
ser feita de maneira aleatória, ela deve obedecer a normas específicas para garantir a universalidade 
da linguagem. Tanto quem desenha como quem lê o desenho precisa falar a mesma língua, ou seja, 
dominem a representação na qual o desenho foi feito. Visando padronizar as possíveis 
representações de um objeto foram criados sistemas de representação. 
Os sistemas de representação são como linguagens a qual os profissionais da área dominam. 
Quem desenha e que lê o desenho sabem em qual sistema de representação o objeto foi desenhado, 
sabe retirar/interpretar do próprio desenho as informações necessárias para a sua construção. As 
representações dentro dos Sistemas de Representação são chamadas de perspectivas. 
O principal objetivo perspectivas é representar em uma superfície bidimensional as três 
dimensões de um objeto. Existem duas etapas nessa representação. A primeira diz respeito ao 
processo cognitivo de transpor a imagem do objeto real para a representação do mesmo no papel. A 
outra etapa é, exatamente, percorrer o caminho inverso, o qual consiste em perceber a 
tridimensionalidade do objeto quando ele está representado em duas dimensões, ou seja, no papel. 
Ambos os processos requerem o domínio das regras que diferenciam asperspectivas. 
A palavra perspectiva possui origem grega e deriva da palavra Perspicere, que significa “ver 
através de”. A maneira mais simples de definir perspectiva é: Perspectiva é a representação de um 
objeto ou paisagem – que possui três dimensões – em desenho, ou pintura, ou outra forma de 
representação gráfica, em duas dimensões. Ou ainda, a representação de três dimensões em duas 
dimensões. 
 
PERSPECTIVA = 3D 2D 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
9 
 
Abaixo estão diferentes representações de um mesmo objeto utilizadas no desenho técnico, 
figuras 1.11, 1.12, 1.13 e 1.14. 
 
 
 
 
 
Axonometria Cônica 
Fig. 1.11 
 
Isometria 
Fig. 1.12 
 
Cavaleira 
Fig. 1.13 
 
Mongeano 
Fig. 1.14 
 
 
Essas representações se diferenciam em função de dois aspectos: 
1°) Posicionamento do ORTOEDRO DE REFERÊNCIA, que imaginariamente envolve o objeto, 
em relação ao plano de projeção e; 
2°) Tipo de projeção. 
A seguir será explicado o significado de cada um desses termos. 
 
1.5. Ortoedro de Referência 
 
A utilização do ortoedro de referência é uma técnica muito útil quando se trabalha com 
representações em geral. Ela consiste em imaginarmos o objeto que queremos desenhar dentro de 
uma caixa, mas não de uma caixa qualquer. Essa caixa também pode ser chamada de ortoedro 
auxiliar, ortoedro envolvente, ou ainda, de paralelepípedo de referência. Ver figura 1.15. 
O ortoedro de referência possui características que facilitam a visualização espacial do objeto, 
são elas: 
1. Todas as suas arestas são paralelas a algum dos três eixos coordenados x, y e z, largura, 
profundidade e altura, respectivamente; 
2. Possui faces retangulares; 
3. As faces formam ângulos retos umas com as outras; 
4. As faces opostas são iguais entre si. 
 
 
Fig. 1.15 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
10 
 
A técnica do ortoedro de referência é um artifício que utilizamos para desenhar objetos 
quaisquer. É muito importante que ortoedro envolva o objeto completamente
e, além disso, que 
fique bem “colada” ao objeto, de modo que possibilite a coincidência de faces e arestas do objeto 
com faces do ortoedro. Dessa maneira, o ortoedro de referência seria a MENOR CAIXA POSSÍVEL 
capaz de conter o objeto que queremos desenhar. 
Muitas vantagens podem ser vistas quando usamos o ortoedro de referência: 
1. O ortoedro é um objeto simples de ser desenhado; 
2. O uso do ortoedro faz com que possamos controlar quais faces queremos mostrar, porque 
primeiro decidimos como fica o desenho do ortoedro e só então colocamos o objeto 
dentro dele; 
3. Como o ortoedro possui todas as suas arestas paralelas a um dos três eixos coordenados, 
é fácil fazer uma correlação entre as medidas do objeto e as medidas do ortoedro; 
4. Qualquer objeto pode ser colocado, ou imaginado, dentro de um ortoedro, especialmente 
os objetos com faces curvas ou muito detalhadas. Quando mais detalhado é o objeto mais 
precisamos do ortoedro de referência. A figura 1.16 mostra um objeto qualquer e a figura 
1.17 mostra o mesmo objeto inserido no Ortoedro. 
 
 
Fig. 1.16 
 
 
Fig. 1.17 
 
1.6. Sistema de Projeção 
 
As representações têm em seu arcabouço sistemas de projeção. Para entender como funciona 
um sistema de projeção o exemplo mais comumente utilizado é o da sombra. Ver figura 1.18. 
 
 
http://well31.comunidades.net/index.php?pagina=1305455344 
Fig. 1.18 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
11 
 
Na figura 1.18, da fonte de luz (F) saem os raios luminosos que iluminam o objeto e a parede 
atrás do objeto. A sombra acontece porque os raios que iluminam o objeto não chegam até a parede, 
deixando a projeção da imagem do objeto na superfície bidimensional da parede. 
Um sistema de projeção funciona de forma semelhante. Para representar um objeto 
primeiramente é necessário projetá-lo. O processo de projeção funciona como uma cena, para 
compreendê-la precisamos conhecer alguns elementos básicos que a compõe. São eles: 
a. Observador: centro de projeção; 
b. Objeto: o objeto é o que queremos representar; 
c. Projetantes: raios visuais que partem dos olhos do observador; 
d. Plano de Projeção: é o plano onde será desenhada a projeção. 
 
A cena funciona da seguinte maneira: o observador observa o objeto. Para perceber o objeto, 
dos olhos do observador partem raios visuais, ou projetantes, que conectam os olhos do observador 
aos limites do objeto, projetando o objeto no plano de projeção. Os pontos, onde as projetantes 
“passam” ou “tocam” no plano de projeção definem o desenho da projeção do objeto, que consiste 
em uma imagem bidimensional proporcional ao objeto tridimensional. 
Na figura 1.19 abaixo o centro de projeção está representado pela lanterna, os raios de luz 
que saem da lanterna (projetantes) incidem sobre o objeto projetando-o no plano do quadro (plano 
de projeção). 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.19 
 
Na situação anterior o exemplo foi dado a partir de um objeto real, porém, podemos imaginar 
uma situação na qual o objeto é virtual, ou seja, existente apenas como uma ideia. Sendo assim, é 
necessário um grau de abstração relativamente maior para imaginar toda essa cena primeiramente 
em nossa mente, para, só então, representar no papel a projeção final do processo. 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
12 
 
 
1.7. Tipos de Projeção 
 
Existem dois tipos de projeção bastante conhecidos e utilizados, a PROJEÇÃO CÔNICA e a 
PROJEÇÃO CILÍNDRICA. Cada tipo possui uma subdivisão. Nessa disciplina serão abordadas as 
projeções Cilíndricas: cavaleira, isometria e sistema mongeano. Observe abaixo um quadro síntese 
que mostra o mesmo objeto sendo representado em cada um dos tipos de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE 
PROJEÇÃO 
1 FUGA 
PROJEÇÃO 
CÔNICA 
2 FUGAS 
3 FUGAS 
PROJEÇÃO 
CILÍNDRICA 
SISTEMA 
MONGEANO
O 
AXONOMETRIA 
CAVALEIRA 
DIMETRIA 
TRIMETRIA 
ISOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
13 
 
1.7.1. Projeção Cônica 
Na projeção Cônica o centro de projeção é chamado de PRÓPRIO, isso porque ele está a uma 
distância finita do objeto. Esse sistema é bem semelhante ao exemplo dado anteriormente, que 
comparou o centro de projeção com uma lanterna. No exemplo da figura 1.20 é fácil perceber que as 
projetantes que partem dos olhos do observador formam um feixe cônico. Por essa razão o sistema é 
chamado de Cônico. Esse feixe projeta o objeto, a esfera, no plano de projeção, ficando a imagem 
projetada em forma de circunferência. 
Na figura 1.21 temos um exemplo da uma projeção cônica de um objeto bidimensional, o 
triângulo ABC, o qual projetado segundo um centro de projeção O, forma a imagem A’B’C’. 
 
 
Projeção cônica 
Fig. 1.20 
 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção cônica 
Fig. 1.21 
 
Nesse curso nós não estudaremos esse tipo de projeção. Mas é importante sabermos que a 
projeção cônica imita a visão humana. Por isso, seu desenho é mais facilmente percebido, mesmo 
por pessoas que não conhecem o desenho. 
Nas figuras 1.22 e 1.23 temos a mesma cena vista de ângulos diferentes. A cena mostra uma 
projeção cônica com o plano de projeção localizado entre o observador e o objeto. Ao observarmos 
as duas imagens, podemos perceber claramente a relação entre observador, projetantes, objeto e 
sua imagem. 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
14 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.22 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.23 
 
 
1.7.2. Projeção Cilíndrica 
Na projeção Cilíndrica o observador está uma distância infinita do objeto. Nesse caso o centro 
de projeção é IMPRÓPRIO, ver figura 1.24. 
As projetantes ao invés de serem concorrentes (num ponto que é o centro de projeção), como 
ocorre no sistema cônico de projeção, elas são paralelas. Isto é, as projetantes partem do centro de 
projeção num feixe em forma de cilindro, é por essa razão que esse sistema de projeção é chamado 
de cilíndrico. Um exemplo que ilustra bem a mecânica desse sistema de projeção é o dos raios 
luminosos que partem do sol. O sol está a uma distância tão grande da terra que ao chegar à sua 
superfície os raios luminosos estão quase paralelos entre si e aí projetam a sobra dos objetos sobre a 
superfície terrestre de forma cilíndrica. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
15 
 
 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-
conicas.html 
Fig. 1.24 
 
No sistema cilíndrico de projeção podemos ter as projeções cilíndricas oblíquas (figura 1.25) e 
as projeções cilíndricas ortogonais (figura 1.26). O que diferencia uma da outra é exatamente o 
ângulo de incidência das retas projetantes no plano de projeção. Nas projeções cilíndricas oblíquas o 
ângulo é diferente de 90° e nas projeções cilíndricas ortogonais esse ângulo é igual a 90°. Reparem a 
diferença: 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção Cilíndrica Oblíqua 
Fig. 1.25 
 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção Cilíndrica Ortogonal
Fig. 1.26 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
16 
 
 
1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 
 
Uma coisa muito importante e motivadora para aprender um novo assunto é saber sobre a 
aplicabilidade do que se está aprendendo. Uma pergunta sempre válida diante de um novo 
conhecimento é “Que usos esse assunto possui?”. No caso dessa disciplina a pergunta seria? Que 
usos a representação de objetos tridimensionais em duas dimensões pode ter para um futuro 
engenheiro? 
A primeira aplicação seria a representação de objetos que muitas vezes estão apenas no plano 
das ideias. Quando é necessário comunicar uma ideia para outros, apenas palavras não explicam 
tudo, especialmente quando as ideias tratam de formas. 
 As Perspectivas Cilíndricas são indispensáveis para todas as áreas do conhecimento que 
trabalham ou estudam a FORMA: Arquitetura, Engenharia, Arte, Design, Expressão Gráfica, entre 
outras. Tal tipo de representação é a base do desenho técnico. 
Outra aplicação das Perspectivas Cilíndricas está presente em manuais de equipamentos 
sejam de móveis, de máquinas e até de brinquedos. Esses se utilizam das perspectivas cilíndricas tipo 
cavaleira ou axonometria (usualmente o desenho isométrico) para representar peças e 
equipamentos. Veja a figura 1.27 de um manual virtual para montagem de um brinquedo. Observe 
que desde as peças do menu até a representação da peça a ser montada estão em desenho 
isométrico. 
 
 
http://www.baixaki.com.br/download/lego-digital-designer.htm 
Fig. 1.27 
 
Uma terceira forma de aplicação das perspectivas está nos ambientes virtuais de jogos e 
manuais. Nesse ambiente a visão isométrica é um recurso amplamente utilizado, como mostra a 
figura 1.28. 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
17 
 
 
http://www.tecmundo.com.br/1085-o-que-e-visao-isometrica-.htm 
Fig. 1.28 
 
 
Na área das Engenharias a aplicabilidade das perspectivas em geral é quase uma 
obrigatoriedade, porque não há como falar de objetos, sejam reais ou virtuais, sem lançar mão do 
uso de algum tipo de representação da forma (ver figura 1.29). As perspectivas nesse caso são o 
recursos que estabelecem a comunicação na área. Nesse caso é possível utilizar tanto as perspectivas 
feitas à mão livre, quanto as feitas com esquadros e compasso, até mesmo as feitas com o auxílio de 
softwares especializados. Independentemente de como as perspectivas são elaboradas, para 
desenhá-las são necessários conhecimentos específicos sobre o assunto. 
 
 
HTTP://WWW.NAVAL.COM.BR/BLOG/2012/03/09/AVISOS-HIDROCEANOGRAFICOS-FLUVIAIS-AVHOFLU-RIO-SOLIMOES-E-RIO-
NEGRO/ 
 Fig. 1.29 
 
Muitos acreditam que com o amplo uso do computador não será mais necessário aprender 
certos conceitos, essas pessoas esquecem que o computador não realiza procedimentos sozinho. 
Para que o desenho seja feito com softwares é preciso efetuar comandos, caso contrário, mesmo 
com os mais avançados softwares disponíveis no mercado, o desenho pode findar incorreto ou 
incompleto. 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
18 
 
CAPÍTULO 2 – PERSPECTIVA CILÍNDRICA CAVALEIRA 
2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 Conforme visto no capítulo anterior, as representações de objetos em perspectiva se 
diferenciam em função de dois aspectos: 
1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 
2. Tipo de projeção. 
No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, a posição característica ortoedro de referência é 
tal que sua face frontal do SEMPRE ficará paralela ao plano de projeção, como aparece na figura 2.1. 
Já o tipo de projeção utilizado é a projeção CILÍNDRICA OBLÍQUA, ou seja, as retas projetantes 
são paralelas entre si, porque o observador está no infinito, e essas encontram o plano de projeção 
de forma oblíqua, fazendo um ângulo diferente de 90ᵒ, observar figura 2.1. 
 
Fig. 2.1 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
Fig. 2.2 
 
A análise da figura 2.2, que traz a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do objeto 
da figura 2.1, mostra que o ângulo reto da face frontal do ortoedro de referência é mantido em sua 
verdadeira grandeza, ou seja, a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira mantém a ortogonalidade existente, 
bem como mantém a verdadeira grandeza das medidas lineares na face frontal da peça. Além disso, 
as arestas referentes às profundidades são paralelas entre si, bem como as alturas. 
2.2. Eixos Coordenados 
Uma maneira de visualizar os objetos tridimensionais que estão a nossa volta com mais 
facilidade é utilizar os eixos coordenados. A figura 2.3 traz um desenho esquemático com os três 
eixos coordenados. Nele está o eixo x, que é o eixo das larguras; o eixo y que é o eixo das 
profundidades, e o eixo z, que é o eixo das alturas. Quando tomamos como referência os eixos 
coordenados temos uma estrutura que dá suporte a todo o desenho. Isso porque no desenho todas 
as larguras da peça ficarão paralelas ao eixo x, todas as profundidades ficarão paralelas ao eixo y e 
todas as alturas ficarão paralelas ao eixo z. 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
19 
 
 
A figura 2.4 mostra um dado desenhado em Cavaleira e referenciado pelos eixos 
coordenados. A face que contém o número um do dado é a FACE SUPERIOR do objeto, a face que 
contém o número dois é a FACE FRONTAL e a face que contém o número três é a FACE LATERAL 
DIREITA. A face oposta à face frontal é a FACE POSTERIOR, já a face oposta à face superior é a FACE 
INFERIOR e, finalmente, a face oposta à face lateral direita é a FACE LATERAL ESQUERDA. 
 
 
ATENÇÃO! 
É muito comum confundir a denominação das faces laterais, esquerda e direita. 
A face lateral esquerda fica do lado esquerdo de quem observa. Consequentemente, a 
face lateral direita fica do lado direito. 
Lembrem-se de que desenhos são inanimados, eles não possuem consciência e 
referência próprias. O observador é quem denomina as partes, direções e demais elementos do 
desenho. Portanto, é o referencial de quem observa que é levado em consideração. 
 
 
Quando os eixos coordenados são desenhados dentro desse contexto, como na figura 2.3, é 
possível perceber alguns aspectos particulares desse tipo de perspectiva. O primeiro deles é a 
manutenção da ortogonalidade entre os eixos x e z. No espaço, todos os eixos fazem 90ᵒ entre si, no 
entanto, na representação em Cavaleira só enxergamos 90ᵒ de fato entre os eixos x e z. Essa 
característica confere à Perspectiva Cavaleira uma característica importante que é o fato dos ângulos 
e medidas contidas na face frontal e posterior do ortoedro de referência manterem suas grandezas, 
isto é, as medidas do desenho são iguais às medidas do objeto real. É por essa razão que se diz que, 
na Cavaleira, as faces paralelas ao plano de projeção estão em Verdadeira Grandeza (VG). Já as 
outras faces sofrem algum tipo de deformação, fato que será estudado com mais detalhes adiante. 
Dessa maneira, quando se desenha uma Perspectiva Cavaleira os eixos x e z SEMPRE têm 90ᵒ entre si, 
ou seja, eles ficam fixos nessa posição, já o eixo y não tem uma posição fixa. A variação e as 
implicações dela serão estudadas no próximo item. 
 
Fig. 2.3 
 
Fig. 2.4 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
20 
 
2.3. O Eixo y 
As perspectivas sempre mostram três faces. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira a 
face
frontal, que fica paralela ao plano de projeção, SEMPRE é mostrada. Esta é, em geral, a 
principal face da peça. Quem está desenhando escolhe quais outras duas faces deseja representar. 
Usualmente, são mostradas as três faces que contêm mais detalhes ou as três que melhor definem 
o objeto. Sendo assim, podemos ter as seguintes combinações: 
 Frontal, lateral direita e superior; 
 Frontal, lateral esquerda e superior; 
 Frontal, lateral direita e inferior, e; 
 Frontal, lateral esquerda e inferior. 
A representação de um ou outro conjunto de faces, acima listados, depende da direção 
escolhida para projetar o eixo coordenado y. Assim, caso a direção escolhida para o eixo y seja como 
a que está na figura 2.5, as faces mostradas são a FRONTAL, a LATERAL ESQUERDA e a SUPERIOR. Já 
se a direção de y for como na figura 2.6 as faces mostradas são FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. 
 
Fig. 2.5 
 
Fig. 2.6 
A figura 2.7 traz a síntese das quatro possíveis direções que o eixo y pode assumir e as faces 
que são mostradas em cada caso. Quando a direção escolhida para a projeção do eixo y é a que está 
no primeiro quadrante, são mostradas as faces: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e INFERIOR. No 
segundo quadrante são as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. No terceiro, as faces: 
FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR; e, finalmente, no quarto quadrante, as faces mostradas são: 
FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e SUPERIOR. 
 
Fig. 2.7 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
21 
 
2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 Para que uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira possa ser elaborada dois parâmetros precisam ser 
previamente definidos: 
1. A direção da Cavaleira (α); 
2. O fator de deformação (k). 
 
A figura 2.8 apresenta a projeção de um 
objeto em Perspectiva Cavaleira. 
Nessa representação podemos perceber que 
as arestas referentes à largura (ex.: AC) e à altura (ex.: 
AD) são paralelas ao plano de projeção e quando 
projetadas aparecem nesse plano exatamente com a 
mesma medida que possuem no real. Isso significa 
que na Perspectiva Cavaleira elas estão em VG. 
No entanto, as arestas referentes à 
profundidade (ex.: AB), que no espaço estão 
perpendiculares ao plano de projeção, quando 
projetadas, aparecem de maneira deformada. Essa 
deformação vai depender da direção tomada pelas 
retas projetantes (ex.: AA’). Tal direção pode ser 
determinada por dois ângulos (α e β) da mesma 
figura. No próximo item tais ângulos e as relações que 
eles têm com os parâmetros determinantes da 
Cavaleira serão estudados. 
 
 
 
Fig. 2.8 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
2.4.1. A Direção da Cavaleira - ângulo α 
DEFINIÇÃO: O ângulo α pode ser definido como sendo o ângulo formado pela horizontal da projeção 
(ex.: A’C’) e pela projeção da profundidade do objeto (ex.: A’B’), como podemos ver na figura 2.8. 
Não existe uma medida definida para α, ou seja, uma Perspectiva Cavaleira pode ser 
desenhada com α medindo qualquer ângulo entre 0ᵒ e 90ᵒ. No entanto, a medida de α vai influir na 
porção vista das faces. Na prática, os ângulos existentes nos esquadros (30ᵒ, 45ᵒ e 60ᵒ) acabam 
sendo, pela praticidade, os ângulos mais utilizados na elaboração de Perspectivas Cavaleira, mas 
nada impede que outras medidas sejam adotadas. Veja nas três figuras abaixo uma comparação 
mostrando o que acontece quando variamos os valores de . 
 
Fig. 2.9 
 
Fig. 2.10 
 
Fig. 2.11 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
22 
 
O que podemos concluir após a análise das figuras acima é que mesmo que estejam sendo 
mostradas as mesmas faces (FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR), quando o ângulo α varia, 
porções diferentes das faces FRONTAL E LATERAL DIREITA são mostradas. No entanto, o mesmo não 
ocorre com a face FRONTAL. Ela aparece da mesma forma nas três figuras, isso acontece porque ela 
está paralela ao plano de projeção e, consequentemente, em VG. Dessa forma, suas medidas lineares 
e angulares são resguardadas mesmo depois da sua projeção. 
Na figura 2.9, α mede 30°, e a face LATERAL DIREITA aparece com bem mais destaque do que 
a face SUPERIOR. Já na figura 2.10, onde α mede 45ᵒ, ambas as faces aparecem com o mesmo 
destaque. Finalmente, na figura 2.11, que tem α medindo 60°, vemos uma porção bem menor da 
face LATERAL DIREITA do que da face SUPERIOR. O mesmo pode ser feito com as outras combinações 
de faces. 
ATENÇÃO! 
Ao escolher a medida de α, evite os ângulos 90ᵒ e 180ᵒ, porque com esses valores só é possível 
mostrar duas das faces do ortoedro. 
 
 
 
 
 Fig. 2.12 
 Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
2.4.2. Fator de Deformação (K) 
DEFINIÇÃO: O fator de conversão K consiste na relação constante entre o comprimento real de um 
segmento (ex.: AB, da figura 2.13) e o comprimento dele depois de projetado (ex.: A’B’). 
 Essa relação também é dada pela tangente do 
ângulo β, o qual está contido no triângulo AOA’ da figura 
2.13. 
DEMONSTRAÇÃO: K = tg () 
 
tg (β) = cateto oposto = A’O = A’B’ 
 cateto adjacente AO AB 
 
Assim: K = A’B’ 
 AB 
 A’B’ = K x AB 
 
Se K = 1; A’B’ = AB 
Se K = 0,5; A’B’ = 0,5 x AB 
 
Fig. 2.13 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
23 
 
ATENÇÃO! 
O fator de deformação K atua apenas nas projeções das arestas que, no espaço, são 
ortogonais ao plano de projeção, ou seja, aquelas que são paralelas ao eixo coordenado Y. As 
projeções das arestas paralelas ao plano de projeção permanecem com o tamanho real. 
O fator de deformação (K) é utilizado nos casos em que se quer mostrar uma face em 
detalhes. Muitas vezes o desenho da Perspectiva Cavaleira, com as medidas iguais às do objeto real, 
ou seja, com K=1, ver figura 2.14, faz com que porções de uma determinada face não apareçam. Se 
uma face não estiver sendo vista completamente é possível aplicar o fator de deformação K de forma 
que essa face seja mostrada completamente, ver exemplo das figuras 2.14 e 2.15. 
 
 
 
 
 
Fig. 2.14 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
Fig. 2.15 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
ATENÇÃO! 
 A prática mostrou que se o fator de deformação (K) variar entre 0,5 e 1 a representação da 
peça bastante do aspecto real da mesma. Portanto, para que a perspectiva se assemelhe à peça real 
utilize esses valores. 
2.5. Rotação da Peça 
A rotação é uma operação gráfica utilizada 
no exercício de aprendizado da visualização 
espacial. Uma maneira de realizar essa rotação 
ainda no plano das ideias é utilizar os eixos 
coordenados como referência e imaginar o objeto 
sendo rotacionado em torno de um dos eixos, ver 
figura 2.16. 
Dessa forma, a rotação depende: 
1. do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 
2. do sentido da rotação, se horário ou anti-
horário, e; 
3. da extensão da rotação, ou seja, com 
quantos graus deverá ser feito o giro. 
 
Fig. 2.16 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
24 
 
 
As figuras 2.17 e 2.18 mostram um exemplo de rotação. Na primeira figura tem-se a peça na 
posição original, já a figura 2.18 mostra a representação da peça após uma rotação de 90ᵒ, em torno 
do eixo
z, no sentido anti-horário. 
 
2.5.1. Diferença entre ROTAÇÃO e VARIAÇÃO DO QUADRANTE DE PROJEÇÃO DO EIXO Y 
É importante não confundir a ROTAÇÃO, discutida no item 2.6, com a VARIAÇÃO DO 
QUADRANTE DE PROJEÇÃO DO EIXO Y, discutido no item 2.3. Tais procedimentos de visualização 
espacial são procedimentos distintos. O primeiro acontece mentalmente e trata apenas da rotação 
do objeto em torno de algum dos eixos coordenados. Já o segundo trata da escolha de quais faces 
são mostradas na perspectiva depois de realizada a rotação. 
A peça da figura 2.17 após rotacionada 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário, pode 
ser representada de quatro maneiras, conforme mostra a figura 2.19. 
 
 
Fig. 2.19 
 
 
Figura 2.17 
 
Figura 2.18 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
25 
 
2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 
 Existe uma diferença entre FACES e 
VISTAS. A face pertence ao objeto, enquanto que 
a vista é própria do ortoedro de referência. 
 As vistas do ortoedro de referência se 
configuram num referencial fixo de 
posicionamento. Por exemplo, na figura 2.20, a 
face que contém o número um do dado 
corresponde à vista SUPERIOR do ortoedro de 
referência. Da mesma maneira, a face do dado 
que contém o número dois corresponde à vista 
FRONTAL do ortoedro. Já a face do dado que 
contém o número três corresponde à vista 
LATERAL DIREITA do ortoedro. 
 
 
Fig. 2.20 
 
2.6. Cilindros e Cones 
 
 
Fig. 2.21 
 Cilindros e cones são sólidos geométricos 
gerados segundo algumas “leis de geração”. 
 Pode-se dizer, por exemplo, que o cilindro é 
uma superfície gerada por uma reta (geratriz) 
paralela a um eixo que se desloca em torno de 
uma circunferência (diretriz), como aparece na 
figura 2.21. 
 Outra forma de gerar uma superfície 
cilíndrica é quando uma circunferência (geratriz) se 
desloca ao longo de um eixo. Esse movimento, 
também, gera uma superfície cilíndrica. 
 Portanto, um cilindro possui geratrizes retas 
(primeiro exemplo), bem como geratrizes curvas 
(segundo exemplo). 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
26 
 
Superfícies cônicas podem ser geradas de 
forma semelhante à descrita acima. No primeiro 
caso, tem-se uma reta (geratriz) apoiada num 
eixo e que se desloca em torno de uma 
circunferência (diretriz). Outra forma de gerar 
um cone é quando uma circunferência (geratriz) 
se desloca ao longo do eixo desse cilindro, e na 
medida em que se desloca tem seu raio 
diminuído até chegar ao vértice. Ver figura 2.22. 
 
Fig. 2.22 
http://www.solucaomatematica.com.br/?p=1873 
 
Cilindros e cones de revolução são casos particulares, pois possuem uma propriedade 
específica que diz que todo plano perpendicular ao eixo desses sólidos cortará a superfície desse 
sólido segundo uma circunferência. 
Na representação de objetos em forma de cilindros de revolução em Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira são utilizados tanto segmentos curvos (circunferências e elipses) para representar as faces 
planas, bem como segmentos retos para representar a superfície curva. Tais segmentos retos são 
chamados de geratrizes de limite de visibilidade. Elas, em geral, estão paralelas a um dos eixos 
coordenados. Na figura 2.23 as geratrizes de limite de visibilidade estão paralelas ao eixo z, enquanto 
que na figura 2.24 elas estão paralelas ao eixo x, já na figura 2.25 elas estão paralelas ao eixo y. 
 
 
Fig. 2.23 
 
 
 
Fig. 2.24 
 
 
Fig. 2.25 
 
No caso da representação de objetos em forma 
de cones de revolução, são utilizados segmentos 
curvos para representar a face plana e segmentos retos 
para representar a superfície curva. Esses segmentos 
retos são as geratrizes de limite de visibilidade, que 
concorrem em um ponto chamado vértice. Tais 
elementos serão estudados mais adiante. 
 
geratrizes de limite de visibilidade 
geratriz de 
limite de 
visibilidade 
Fig. 2.26 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
27 
 
2.6.1. Cilindros 
No espaço, um objeto em forma de cilindro possui duas faces planas em forma de 
circunferência e uma superfície curva. Como foi explicitado no item anterior, tais faces planas quando 
representadas em Cavaleira podem assumir a forma de circunferência ou de elipses dependendo da 
sua posição em relação aos eixos coordenados. O desenho de circunferências e de arcos de 
circunferência compõe a representação de figuras como o cilindro de revolução em Perspectiva 
Cilíndrica Cavaleira. No entanto, é preciso salientar que as faces planas do cilindro possuem forma de 
circunferência quando estão no espaço. No entanto, quando são representadas em duas dimensões, 
elas podem permanecer com forma de circunferência ou tomar forma de elipse, dependendo da 
posição dessas faces em relação aos eixos coordenados, como mostram as figura 2.27 e 2.28. 
 
Fig. 2.27 
 
 
Fig. 2.28 
 
A figura 2.29 traz a representação de um cilindro cujas faces planas são paralelas aos eixos x e 
y. Nessa situação, as curvas assumem a forma de elipse. Situação semelhante ocorre com o cilindro 
da figura 2.30, onde as curvas aparecem como elipses. Nessa figura, as faces planas são paralelas aos 
eixos y e z. Já na figura 2.31, as faces planas aparecem como circunferências, nesse caso, elas estão 
paralelas aos eixos x e z. 
É importante destacar que as faces que aparecem como circunferências estão paralelas ao 
plano de projeção, portanto em VG. Quando estão perpendiculares a este plano, elas aparecem 
como elipse, uma vez que sofrem deformação causada pelo eixo y. 
 
Fig. 2.29 
 
 
 
Fig. 2.30 
 
 
Fig. 2.31 
 
 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
28 
 
2.6.2. Cones 
Situações semelhantes ocorrem na representação de objetos em forma de cone. As figuras 
2.32, 2.33 e 2.34, mostram que a face plana do cone pode aparecer em forma de circunferência ou 
de elipse pelas mesmas razões explicadas acima para o cilindro. 
 
Fig. 2.32 
 
Fig. 2.33 
 
Fig. 2.34 
Na figura 2.32 a face plana do cone aparece como uma circunferência porque ela está paralela 
ao plano de projeção, portanto em VG. Já os cones das figuras 2.33 e 2.34 têm suas faces planas 
representadas em forma de elipses. Essas faces estão perpendiculares ao plano de projeção, 
portanto sofrem deformação. 
 
2.6.3. O Desenho da Elipse 
Existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. A seguir serão apresentados 
sois deles para a Perspectiva Cavaleira: o procedimento dos 8 pontos, também chamado de 
procedimento das diagonais, e o procedimento dos “n” pontos. 
Procedimento dos 8 Pontos 
Para desenhar uma elipse parte-se de parâmetros que valem para uma circunferência inscrita 
em um quadrilátero, ou seja: a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em quatro 
pontos, os pontos 1, 2, 3 e 4 da figura 2.35. Esses quatro pontos são os pontos médios dos lados do 
quadrado. O ponto médio de um segmento divide este segmento em duas partes iguais, como na 
figura 2.35. As diagonais do quadrado cruzam com a circunferência inscrita em mais quatro pontos, 
que são os pontos 5, 6, 7 e 8 da figura 2.36. 
 
Fig. 2.35 
 
Fig. 2.36 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
29 
 
Colocados os parâmetros que valem para a circunferência, é possível
transpô-los para a 
representação da circunferência em perspectiva, ou seja, da elipse. 
Vamos começar pelo desenho do quadrado em perspectiva, que será um paralelogramo 
posicionado de forma perpendicular ao plano de projeção, ou seja, paralelo aos eixos x e y. No 
paralelogramo, desenham-se os mesmos parâmetros vistos acima para o quadrado, ou seja, as 
diagonais e as retas que ligam os pontos médios dos lados. Dessa maneira, encontram-se os 
primeiros quatro pontos, que são os pontos de tangência da elipse no paralelogramo: os pontos 1’, 
2’, 3’ e 4’ da figura 2.37. Esses pontos estão localizados nos pontos médios de cada lado do 
paralelogramo e correspondem aos pontos 1, 2, 3 e 4 do quadrado. 
 
Fig. 2.37 
 
Fig. 2.38 
 
Para encontrar os pontos correspondentes aos pontos 5, 6, 7 e 8 do quadrado, é necessário 
levá-los para o paralelogramo por meio de duas linha, uma paralela ao eixo z, que liga os pontos 6 e 
7, por exemplo, e outra paralela ao eixo y, que ao cruzar com as diagonais do paralelogramo, liga os 
pontos 6’ e 7’, como aparece na figura 2.38. O mesmo procedimento é feito para encontrar os pontos 
5’ e 8’, como mostra a figura 2.39. 
 
Fig. 2.39 
 
Fig. 2.40 
 
Para determinar a elipse traçamos a mão livre uma linha curva que passe pelos oito pontos 
encontrados anteriormente, ver figura 2.39. Para desenhar uma elipse na face lateral direita do 
objeto procede-se de maneira análoga, como mostra a figura 2.40. 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
30 
 
Um exercício muito interessante, que pode ser realizado tanto com o procedimento que 
acabou de ser apresentado, quanto com o procedimento que será apresentado a seguir, consiste em 
desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro de referência. 
 
DICA IMPORTANTE! 
É possível determinar os pontos correspondentes aos pontos 5’, 6’, 7’ e 8’ do exemplo 
anterior sem que seja necessário desenhar um quadrado com uma circunferência circunscrita 
previamente. 
Para isso encontra-se o segmento AB, da figura 2.41, através da fórmula: AB = r x 0,3. 
A justificativa desse procedimento se baseia no fato de que: 
AB = OB – OA = r – r cos (45o) 
AB = r (1 - cos (45o)) = r (1 - 0,707) 
AB = 0,293 x r, ou seja, AB = r x 0,3 
O ponto D do paralelogramo corresponde ao ponto C do quadrado. 
 
 
Fig. 2.41 
Fonte: DUARTE, J. 2008. 
 
Procedimento dos “n” Pontos 
Existe outro procedimento que determina pontos da elipse, auxiliando a construção dessa 
curva, o chamado procedimento dos “n” pontos. A vantagem desse procedimento é que com ele é 
possível determinar quantos pontos se desejar, ou seja, “n” pontos. Enquanto que o procedimento 
anterior determina no máximo oito pontos da elipse. Quanto mais pontos da elipse forem 
conhecidos, mais precisa será a construção da mesma, sobretudo se o desenho for feito à mão livre. 
Partimos do paralelogramo que circunscreve a elipse que se quer construir. Em seguida, 
determinam-se os quatro pontos médios das arestas do quadrilátero. A partir dos pontos médios, 
divide-se o paralelogramo em quatro quadrantes. 
 
Fig. 2.42 
 
Fig. 2.43 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
31 
 
Dividem-se os segmentos destacados na figura 2.44 em qualquer quantidade de partes iguais. 
Nesse exemplo, os segmentos foram divididos em três partes iguais. É muito importante que os dois 
segmentos que formam cada um dos quadrantes sejam divididos no mesmo número de partes. Ver 
no quadro mais adiante como se divide um segmento em partes iguais. Não importa que largura, 
altura ou profundidade, tenha o paralelogramo que envolve a elipse, devem-se dividir os dois 
segmentos que formam cada quadrante no mesmo número de partes. Depois, enumera-se os 
segmentos destacados da mesma forma como aparece na figura 2.44 e 2.45. 
 
Fig. 2.44 
 
Fig. 2.45 
 Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante (fig. 
2.46) e, depois, repeti-lo nos demais quadrantes. Liga-se o ponto A ao ponto 1 do segmento oblíquo 
e o ponto B ao ponto 1 do segmento horizontal. O cruzamento dos segmentos A1 e B1 é um dos 
pontos da elipse, o ponto C. Observe o que foi descrito na figura 2.46. Para determinar mais um 
ponto no mesmo quadrante, repita a operação anterior ligando o ponto A ao ponto 2 do segmento 
oblíquo e o ponto B ao ponto 2 do segmento horizontal, o cruzamento dos segmentos A2 e B2, 
resulta no ponto D, figura 2.47. 
 
Fig. 2.46 
 
Fig. 2.47 
Já é possível traçar a elipse nesse quadrante à mão livre. Para isso, inicia-se o traçado no 
ponto B (que é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero envolvente), e segue-se traçando o 
arco de elipse até o ponto D, em seguida, segue-se ao ponto C e finaliza-se o arco de elipse no ponto 
O (que é outro ponto de tangência da elipse no quadrilátero envolvente), ver a figura 2.49. 
 
Figura 2.49 
 
Fig. 2.50 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
32 
 
 
Para traçar a elipse nos outros quadrantes, inicia-se o traçado em um dos pontos de tangência 
da elipse e procede-se analogamente, como mostra a figura 2.49. A elipse completa fica como na 
figura 2.50. 
 
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS 
Tomamos como exemplo o segmento AB (figura 2.51), que será dividido em “n” partes iguais. 
 
Fig. 2.51 
 
Fig. 2.52 
 
O primeiro procedimento consiste na construção de uma linha auxiliar partindo de uma das 
extremidades, formando um ângulo qualquer com o segmento AB, figura 2.52. Em seguida, divide-se 
a linha auxiliar no número de partes que queremos dividir o segmento AB (nesse exemplo 
dividiremos em três partes iguais). Essa divisão pode ser feita com escala ou utilizando uma mesma 
abertura no compasso, como mostra a figura 2.52. 
Depois, liga-se a extremidade da última divisão à extremidade do segmento, nesse caso A, 
traçando assim o segmento 3ª, como mostra a figura 2.53. Para finalizar deve-se traçar segmentos 
paralelos ao segmento 3A passando pelos pontos 1 e 2. Dessa maneira, os segmentos traçados irão 
interceptar o segmento AB dividindo-o em 3 partes iguais. 
 
Fig. 2.53 
 
Fig. 2.54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
33 
 
CAPÍTULO 3 – DESENHO ISOMÉTRICO 
 
3.1. Caracterização da Axonometria 
A isometria faz parte de um sistema de representação chamado AXONOMETRIA. Conforme foi 
explicitado no capítulo 1, os sistemas de representação se diferenciam por duas características: 
1. Posição de ortoedro de referência com relação ao plano de projeção; 
2. Tipo de projeção: 
Na axonometria a projeção é CILINDRICA ORTOGONAL, ou seja, as retas projetantes são paralelas 
entre si e formam um ângulo de 90° com o plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
Fig3.2 
 
 
 
No caso da axonometria o ortoedro de referência está posicionado de tal maneira com 
relação ao plano de projeção que se as três arestas que partem de um mesmo vértice A forem 
prolongadas todas elas encontrarão o plano de projeção nos pontos E, F e G (ver figura 3.1). Ao 
serem projetadas todas as faces do objeto no plano de projeção obtém-se uma projeção como 
mostra a fgura 3.2 Diferente da cavaleira, na qual apenas uma das três arestas encontraria o plano de 
projeção caso fossem prolongadas. Como não existem faces paralelas ao plano de projeção, estão 
todas oblíquas em relação ao plano, não existe nenhuma face em VG. Ou seja, as três faces sofrem 
deformação ao serem projetadas
no plano de projeção. 
Como cada face, ao ser projetada, faz com o plano do desenho um determinado ângulo 
podem ocorrer três situações: 1) Se os três ângulos são diferentes, temos a TRIMETRIA, onde as 
faces que têm maiores ângulos têm menos destaque, ver figura 3.3; 2) Se dois dos ângulos são iguais 
e apenas um deles é diferente, temos a DIMETRIA, onde duas faces terão mais destaque do que a 
outra, ver figura 3.4; 3) Se os três ângulos são iguais, temos a ISOMETRIA, onde as três faces sofrem a 
mesma deformação. O ângulo que as faces fazem com o plano de projeção é igual a 120° (pois 360°/3 
= 120°, ver figura 3.5). 
Fig3.1 
Fonte: Duarte, J. 2008 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
34 
 
 
Fig. 3.3 
 
Fig. 3.4 
 
Fig. 3.5 
 
3.2. Caracterização do Desenho Isométrico 
Dentre as projeções axonométricas, a isometria é a mais utilizada. Principalmente a 
perspectiva isométrica na sua forma simplificada, o DESENHO ISOMÉTRICO ou ISOMETRIA 
SIMPLIFICADA, que não carece de coeficientes de redução. 
O termo isométrico significa igual medida. Nos desenhos de perspectiva isométrica, o objeto 
está oblíquo em relação ao plano de projeção, conforme mostra a figura 3.5. Essa obliquidade em 
relação ao plano de projeção faz com que a projeção das dimensões do objeto no plano de projeção 
seja reduzida igualmente em cada direção dos eixos. Dessa maneira, na isometria, todas as arestas da 
peça que possuem direção igual a uma das direções das arestas de um ortoedro envolvente (AB, AC 
ou AD) têm a mesma inclinação em relação ao plano de projeção. Portanto as projeções ortogonais 
dessas arestas têm a mesma deformação (nesse caso, uma redução): 
 
A’B’= 0,816 x AB 
A’C’= 0,816 x AC 
A’D’= 0,816 x AD 
 
Veja a demonstração na figura 3.6 
acima: Os pontos E, F e G são as 
interseções dos prolongamentos das 
arestas AB, AC e AD com o plano de 
projeção. Traçando por A e B 
perpendiculares a EG determina-se o 
segmento A’’ B’’. 
A’’B’’ = AB x cos(45o) = A’B’ x cos(30o)  
A’B’= cos(45o) / cos(30o) x AB = 0,816 x AB 
 
 
 
 
 
Sendo assim, o desenho da projeção fica como a figura 3.6 Com todas as arestas reduzidas 
com relação à peça real. Observe abaixo a diferença entre a perspectiva isométrica e o desenho 
isométrico feito para a mesma peça. O DESENHO ISOMÉTRICO, figura 3.7 é bem maior porque não há 
redução das arestas. O Desenho Isométrico é muito utilizado para o ensino de disciplinas 
introdutórias de desenho e para o desenho em softwares. 
 
 
 Fig. 3.6 
Fonte: Duarte, J. 2008 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repetindo: No Desenho Isométrico as projeções das arestas não são reduzidas (A’B’= AB, 
A’C’= AC e A’D’= AD). Os desenhos feitos com esquadros nessa disciplina serão executados 
adotando o Desenho Isométrico. 
 
3.3. Desenho Isométrico na prática 
Na prática, a construção do ortoedro envolvente em desenho isométrico começa com o 
desenho de uma linha horizontal de referência. Em seguida é escolhido um ponto nessa linha para a 
partir dele desenharmos duas linhas formando 30o com a linha horizontal (ver figura 3.9). 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9 
Para desenhar as linhas com 30° comece desenhando uma reta vertical e posicione os 
esquadros como indicado na fig. 3.10 Desloque o esquadro de 30o na direção da seta e desenhe a 
reta destacada. Em seguida posicione os esquadros como indicado na fig. 3.11 e desenhe a reta 
destacada nessa figura. 
 
 
 
Fig. 3.10 Fig. 3.11 
 
Fig. 3.7 
Fonte: Duarte, J. 2008 
Fig. 3.8 
Fonte: Duarte, J. 2008 
Isometria Exata Desenho Isométrico 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
36 
 
Determine a altura, a largura e a espessura da peça de acordo com os eixos coordenados e 
complete o ortoedro traçando as paralelas indicadas, conforme veremos no próximo item. 
 
3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência 
Da mesma forma como foi demonstrado para a perspectiva cavaleira, podemos visualizar com 
mais facilidade ao relacionar as dimensões aos eixos coordenados. Ao pensarmos que tudo a nossa 
volta possui três dimensões facilitamos a transposição do objeto real para o objeto desenhado no 
papel. Dessa maneira teremos o eixo das larguras, o eixo x; o eixo das profundidades, o eixo y e o 
eixo das alturas, o eixo z. Observe o exemplo abaixo. 
As figura 3.12 mostra como fica a posição dos eixos coordenados no desenho isométrico. Na 
literatura o eixo z sempre aparece localizado verticalmente, porém, não há um consenso com relação 
ao posicionamento dos eixos coordenados x e y. A Associação Brasileira de Normas Técnicas adota o 
eixo x posicionado à esquerda e o eixo y à direita. No entanto, muito autores da área (Duarte, M. 
1996; Duarte, J., 2008 e Bortolucci) adotam o eixo x posicionado à direita e o eixo y à esquerda. 
Nessa disciplina adotaremos esse último posicionamento, conforme mostra a figura 3.12. 
A representação padrão exibe o objeto como na figura 3.13, que mostra um dado desenhado 
em isometria e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado 
corresponde à vista superior do ortoedro de referência; a face que contém o número dois do dado 
corresponde à vista frontal do ortoedro de referência e, consequentemente, a face que contém o 
número três do dado corresponde à vista lateral direita do ortoedro de referência. Todas as peças 
desenhadas em desenho isométrico seguirão essas mesmas observações mostradas. 
 
Fig. 3.12 
3.13 
 
3.4.1. Visualização de Todas as Faces 
A exemplo da perspectiva cavaleira, no Desenho Isométrico são sempre mostradas três faces do 
ortoedro envolvente. Na figura 3.13 acima foram mostradas as faces frontal, lateral direita e 
superior. Para mostrar as outras faces do objeto mas podemos ter as seguintes combinações: 
 Frontal, lateral direita e superior; 
 Frontal, lateral esquerda e superior; 
 Frontal, lateral direita e inferior; e 
 Frontal, lateral esquerda e inferior. 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
37 
 
No entanto, Dada a peça da figura 3.14, desenhada em Desenho Isométrico, podemos 
representá-la de forma a mostrar as outras faces, conforme mostram as peças da figura 3.15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em alguns casos, quando precisamos, a face posterior pode ser mostrada. Nesses casos a face 
posterior é mostrada no lugar da frontal, conforme mostram as peças da figura 3.16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.2. Rotação da Peça 
 
Fig. 3.17 
 
No Desenho Isométrico a rotação de uma peça 
pode ocorrer da mesma maneira como vimos na 
Perspectiva Cavaleira. Porém, deve ser observada a 
posição dos eixos coordenados. Observe a figura 3.17 
ao lado e veja como fica a rotação para cada um dos 
eixos coordenados. 
Dessa forma, a rotação depende: 
1. Do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 
2. Do sentido da rotação, se horário ou anti-horário; 
3. Da extensão, em graus, da rotação. 
 
Fig. 3.14 
Fonte: Duarte, J. 2008 
 
Fig. 3.15 
 Fonte: Duarte, J. 2008 
 
Fig. 3.16 
Fonte: Duarte, J. 2008 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
38 
 
 
3.5. Cilindros e Cones 
 
As propriedades geométricas dos cilindros e cones não se alteram em funcão
do tipo de 
representação escolhida. Dessa forma, a conceituação para leis de geração e geratrizes de limite de 
visibilidade se aplicam para o desenho Isométrico, da mesma forma forma como foi visto para o 
desenho da cavaleira. 
Na representação do cilindro e do cone em Desenho Isometrico, as faces que têm forma de 
circunferência em três dimensões, quando são representadas em duas dimensões sempre irão tomar 
forma de elipse, porque no caso do desenho isométrico nenhuma das faces do ortoedro de 
referência está paralela ao plano de projeção. 
 
Fig. 3.18 
 
Fig. 3.19 
 
 
O cilindro pode assumir três posições básicas no desenho isométrico, com relação aos eixos 
coordenados. 
 
Fig. 3.20 
 
Fig. 3.21 
 
Fig. 3.22 
 
Na figura 3.20, a face plana do cilíndro, que possui forma de circunferência quando está no 
espaço, está representada paralela aos eixos y e x, tomando forma de uma elipse. Atenção ao 
ortoedro envolvente para facilitar a visualização. Na figura 3.21 quando a face plana do cilíndro fica, 
na representação, paralela aos eixos x e z toma a forma de uma elipse. Nesse caso, diferentemente 
da cavaleira, na qual a face em forma de circunferência do cilindro fica na forma de circunferência. 
Por último, na figura 3.22 a face plana do cilíndro, está representada paralela aos eixos y e z e, 
também, toma forma de elipse. 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se aplicar para o caso do cone o mesmo que foi visto acima para o cilindro, uma vez que 
as situações são semelhantes. 
Na primeira figura, 3.23, a face plana do cone está paralela aos eixos x e y. Vai acontecer o 
mesmo que aconteceu com o cilindro, ou seja, a face em forma de circunferência vai aparecer na 
perspectiva como uma elipse. 
 
Fig. 3.23 
 
Fig. 3.24 
 
Fig. 3.25 
 
No segundo caso, figura 3.24, a face plana do cone está paralela aos eixos y e z e, a exemplo 
do cilindro, também se torna uma elipse. No último caso, figura 3.25, a face curva do cone agora está 
paralela aos eixos x e z. Nesse caso o que vai acontecer é que a circunferência também tomará a 
forma de elipse. 
 
3.5.1. Desenho da Elipse e da Oval 
A exemplo da cavaleira existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. Agora 
vamos ver três deles para o desenho isométrico. Os dois primeiros tipos são bem semelhantes aos 
procedimentos que já aprendemos para a cavaleira: o traçado da elipse com 8 pontos, usando as 
diagonais e o traçado da elipse com “n” pontos, usando a divisão do quadrilátero em quadrantes. O 
terceiro procedimento não é utilizado na cavaleira apenas na isometria e no desenho isométrico, que 
é o desenho da oval, ou falsa elipse. 
 
Procedimento dos 8 pontos 
Para desenhar a elipse em Desenho Isométrico, a exemplo do que aprendemos para a 
cavaleira, serão utilizados parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um 
quadrilátero, ou seja: 
 
Em isometria e também em desenho isométrico a circunferência sempre toma forma de 
elipse, não importa a que eixos a face em forma de circunferência ou arco de circunferência 
esteja paralela. Isso ocorre porque em isometria todos ou eixos estão oblíquos com relação ao 
plano de projeção. 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
40 
 
 
Na figura 3.26: 
 1) a circunferência tangencia o quadrado na 
qual está inscrita em 4 pontos: 1, 2, 3 e 4. 
Esses 4 pontos são os pontos médios dos lados 
do quadrado. O ponto médio de um segmento 
divide este segmento em duas partes iguais; e 
2) as diagonais do quadrado cruzam com a 
circunferência inscrita em mais 4 pontos: 5, 6, 
7 e 8. 
 
 
Fig.3.26 
Esse mesmos parâmetros são transpostos para realizar o desenho da elipse em desenho 
isométrico. Primeiro partimos do desenho do quadrilátero em desenho isométrico, que será um 
paralelogramo paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo são desenhados os mesmos parâmetros do 
quadrado. Assim encontram-se os primeiros 4 pontos, que são os pontos de tangência da elipse no 
quadrilátero, pontos M1, M2, M3 e M4, como na figura 3.27. Esses pontos estão localizados nos 
pontos médios de cada lado do quadrilátero e equivalem aos pontos 1, 2, 3 e 4. 
O segundo procedimento, figura 3.28, é encontrar os equivalente dos pontos 5, 6, 7 e 8 para a 
elipse, através do traçado das diagonais. Observe que no desenho isométrico as diagonais ficam na 
vertical e na horizontal. 
 
Fig.3.27 
 
Fig.3.28 
 
Para determinar os pontos 5, 6, 7 e 8, não é necessário desenhar a circunferência, ou seja, 
para o desenho isométrico utiliza-se o parâmetro: AB = r x 0.3, da mesma forma como vimos na 
cavaleira. Mede-se o raio, multiplica-o por 0,3 e descobre-se o tamanho do segmento AB, após feito 
isso, posicioná-lo em uma das arestas do ortoedro e encontrar assim 5, 6, 7 e 8, conforme a figura 
3.29. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
41 
 
 
Fig.3.29 
 
Fig.3.30 
 
Para determinar a elipse traçamos a mão livre prestando bastante atenção para cruzar todos 
os pontos determinados, ver figura 3.30. Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os 
conhecimentos aprendidos é desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro, como mostra a figura 
3.31. 
 
Fig. 3.31 
 
Procedimento dos “n” pontos 
O outro Procedimento, demonstrado para a cavaleira no capítulo 2, também pode ser 
utilizado na isometria, é o que permite determinar inúmeros pontos da elipse. A vantagem desse 
Procedimento é pode-ses determinar inúmeros pontos. Enquanto que com o Procedimento anterior 
são determinados no máximo 8 pontos. 
 
Partimos de alguns princípios semelhantes 
ao Procedimento anterior, ver figura 3.32 : 
1. A elipse será desenhada inscrita em um 
quadrilátero; 
2. Determinam-se 4 pontos de tangência nesse 
quadrilátero, sendo as tangentes e seus pontos 
médios; 
3. o quadrilátero é dividido em 4 quadrantes. 
 
 
Fig.3.32 
 
 
AB 
AB 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
42 
 
São trabalhados quadrante por quadrante, como mostram as figuras 3.33 e 3.34 . No primeiro 
quadrante dividem-se suas laterais em um número de partes iguais. Nesse exemplo dividiu-se ambos 
os segmentos em 3 partes iguais. É muito importante que os dois segmentos que formam cada 
quadrante sejam divididos no mesmo número de partes, ou seja, se dividirmos um em duas partes, 
devemos dividir o outro também em duas partes e assim sucessivamente. 
Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante e 
depois repeti-lo nos demais quadrantes. Ligue o ponto A ao ponto 1 do segmento mais próximo e o 
ponto B ao ponto 1 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A1 e B1 será um ponto da 
elipse, o ponto C. Observe na figura. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, ligue o 
ponto A ao ponto 2 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 2 do outro segmento, o 
cruzamento dos segmentos A2 e B2 será um ponto da elipse, o ponto D. Observe na figura. Já 
podemos traçar, à mão livre, a elipse nesse quadrante. Para fazer isso inicie o traçado no ponto B 
(que é um ponto de tangencia da elipse no quadrilátero envolvente), siga traçando o arco de elipse 
até o ponto D e depois ao ponto C e finalize o arco de elipse no ponto 0 (que é um ponto de 
tangencia da elipse no quadrilátero envolvente).
Agora que você já aprendeu a desenhar para o primeiro quadrante, vamos repetir o 
procedimento para os outros três quadrantes para determinar mais pontos. 
 
 
Fig.3.33 
Fig.3.34 
 
Desenho da Oval 
No caso da isometria e do desenho isométrico, o desenho da elipse pode ser realizado 
utilizando uma curva chamada de oval regular de quatro centros. Como a oval é muito semelhante a 
elipse, ela também é conhecida como falsa elipse. 
Muitas pessoas preferem desenhar a oval a desenhar elipse, porque a oval pode ser 
desenhada totalmente com instrumentos (esquadros e compasso), eliminando assim a parte do 
traçado a mão livre que precisa ser feita quando se desenha elipse. 
Para desenhar a oval parte-se da mesma ideia inicial dos procedimentos anteriores, ou seja, a 
divisão do quadrilátero em 4 quadrantes, sendo M1, M2, M3 e M4 os pontos médios de cada lado, 
como mostra a figura 3.35. Ao final do procedimento serão desenhados com o compasso quatro 
arcos de circunferências com quatro centros diferentes, um em cada quadrante. O primeiro centro de 
arco C1 é definido no vértice de maior ângulo do quadrilátero, desse primeiro centro C1 são traçados 
dois segmentos de reta ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M1 e M2, ver figura 3.36. 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
43 
 
 
Fig. 3.35 
 
Fig.3.36 
 
É repetido o mesmo procedimento anterior para o vértice oposto nomeando-o de C2. De C2 
são traçados dois segmentos de reta ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M3 e M4, como 
mostra a figura 3.37. 
Perceba que o cruzamento de C1M1 com C2M4 gera o ponto C3, que será o centro de um dos 
arcos que compõe a oval. Da mesma forma, o cruzamento de C1M2 com C2M3 gera o ponto C4, que 
será o centro de um dos arcos que compõe a oval, ver figura 3.37. 
Agora já é possível a traçar a oval. Resumindo: 
1. C1 e C2 são centros de dois arcos maiores de mesmo raio; 
2. C3 eC4 são centros de dois arcos menores de mesmo raio; 
3. Todos os arcos começam e terminam nos pontos médios do quadrilátero. 
Iniciando o traçado: coloque a ponta seca do compasso em C1 e faça uma abertura (raio) até 
M1, trace um arco até M2. De forma semelhante, mantendo a mesma abertura (raio) centre a ponta 
seca em C2 e trace um arco de M3 até M4, conforme a figura 3.38. 
 
Fig.3.37 
Fig.3.38 
 
Para concluir a oval, centrar a ponta seca em C3 e fazer uma abertura (raio) até M1 e traçar 
um arco até M4. De forma semelhante, mantendo a mesma abertura (raio) centre a ponta seca em 
C4 e trace um arco de M3 até M2 conforme a figura 3.39. 
 
Fig.3.39 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
44 
 
Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é desenhar 
a oval em todas as faces do ortoedro, como na figura 3.40. 
 
Fig.3.40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Primeira Unidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
46 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
 
1. Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
utilizando os eixos coordenados e o 
ortoedro de referência. Para isso, rotacione 
a peça 90°, no sentido horário, em torno do 
eixo “z”, use α = 45°. 
2. Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
utilizando os eixos coordenados e o ortoedro 
de referência. Para isso rotacione a peça 90°, 
no sentido anti-horário, em torno do eixo “y”, 
passe k para 0,8, use α= 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
utilizando os eixos coordenados e o ortoedro 
de referência. Para isso, rotacione a peça 90°, 
no sentido anti-horário, em torno do eixo z, 
mostre a face superior, use α= 30°. 
4. Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
utilizando os eixos coordenados e o ortoedro 
de referência. Para isso, rotacione a peça 90°, 
no sentido horário, em torno do eixo y, 
mantenha o k, use α= 45°. 
 
 
 
 
5. Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
utilizando os eixos coordenados e o ortoedro 
de referência. Para isso, rotacione a peça 90°, 
no sentido horário, em torno do eixo x, 
mostre a face lateral esquerda use α= 45°. 
6. Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
utilizando os eixos coordenados e o ortoedro 
de referência. Para isso, rotacione a peça 90°, 
no sentido horário, em torno do eixo “y”, use 
α= 30°. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
47 
 
 
7. Redesenhe a peça dada em desenho 
isométrico, mostrando as mesmas faces. 8. 
Redesenhe a peça dada em cavaleira, 
mostrando as mesmas faces do desenho 
isométrico. Utilize k=1, α=45ᵒ. 
 
 
 
 
9. Redesenhe a peça dada em desenho 
isométrico, mostrando as mesmas faces. 10. 
Redesenhe a peça dada em cavaleira, 
rotacionada 90ᵒ horário em torno do eixo z. 
Utilize k=1, α=60ᵒ. Mostre as faces: frontal, 
lateral esquerda e superior. 
 
11. Redesenhe a peça dada em desenho 
isométrico, mostrando as mesmas faces. 12. 
Redesenhe a peça dada em desenho 
isométrico, mostrando as mesmas faces. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
48 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em isometria. 
2. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira, 
utilizando K=0,5, após rotacionada 90ᵒ, no 
sentido horário, em torno do eixo z. Observe que 
a face α ficará completamente visível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
após rotacionada 90ᵒ, sentido horário, em 
torno do eixo z. Dados: K=1 e α=45°. Observe 
que a face α ficará completamente visível. 
4. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira. Dados: 
K =0,5 e α = 60°. Observe que a aresta m ficará 
completamente visível. 
 
 
 
 
5. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça em cavaleira, utilizando 
K=0,5 e α=60°, após rotacionada 90°, no sentido 
horário, em torno do eixo z. 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
49 
 
6. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira, 
utilizando K=0,5 e α=60°, após rotacionada 
90° no sentido horário, em torno do eixo z. 
7. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira, 
utilizando K = 0,5 e α = 60°. 
 
 
 
 
8. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira, 
utilizando K=1 e α=30°, após rotacionada 90° 
em torno do eixo x. 
9. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira, 
utilizando K=0,5 e α=45°, após rotacionada 
90° em torno do eixo x. 
 
 
 
 
10. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
11. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
50 
 
12. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
13. a) Desenhe o ortoedro de referência; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico, após rotacionada 90ᵒ, no sentido 
horário em torno do eixo z. 
 
 
 
 
14. a) Desenhe o ortoedro de referência;