Atividade resolvida de análise matemática
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Atividade resolvida de análise matemática


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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Análise Matemática 
Aula: 02 \u2013 Conjuntos enumeráveis e estudo do conjunto dos números reais 
Professor (a): Alessandra Negrini Dalla Barba 
 
 
CONJUNTOS ENUMERÁVEIS, NÃO ENUMERÁVEIS E O 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
 
Para as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes informações: 
Uma função \ud835\udc53: \ud835\udc34 \u2192 \ud835\udc35 é bijetora quando for, simultaneamente, injetora e sobrejetora. 
A função \ud835\udc53 é injetora quando for possível considerar dois pontos distintos em seu 
domínio \ud835\udc34 e verificarmos que suas imagens também são distintas em \ud835\udc35. Ou de modo 
equivalente, quando dois elementos na imagem são iguais então seus 
correspondentes no domínio também devem ser iguais. 
A função \ud835\udc53 é sobrejetora quando a imagem da função coincide com seu contradomínio 
\ud835\udc35. Assim, para todo ponto \ud835\udc4f \u2208 \ud835\udc35 é possível identificar um elemento \ud835\udc4e \u2208 \ud835\udc34 tal que 
\ud835\udc4f = \ud835\udc53(\ud835\udc4e). 
Quando é possível identificar uma função bijetora \ud835\udc65:\u2115 \u2192 \ud835\udc4b então podemos concluir 
que o conjunto \ud835\udc4b é enumerável. 
 
Questão 1 
Considere o conjunto dos números naturais pares, dado por 
\ud835\udc43 = {2,4,6,\u2026 } \u2282 \u2115 
Verifique se este conjunto é enumerável. 
(Sugestão: construa uma função \ud835\udc53: \u2115 \u2192 \ud835\udc43 e verifique se a mesma é bijetora). 
Resolução: Considere a função \ud835\udc53: \u2115 \u2192 \ud835\udc43 definida por 
\ud835\udc53(\ud835\udc5b) = 2\ud835\udc5b 
com \ud835\udc5b \u2265 1. Temos que esta função é bijetora. De fato: 
a) \ud835\udc53 é injetora: considere \ud835\udc4e, \ud835\udc4f \u2208 \u2115 tal que \ud835\udc53(\ud835\udc4e) = \ud835\udc53(\ud835\udc4f), ou seja, 2\ud835\udc4e = 2\ud835\udc4f, 
consequentemente, \ud835\udc4e = \ud835\udc4f, de onde segue que \ud835\udc53 é injetora. 
b) \ud835\udc53 é sobrejetora: seja \ud835\udc58 \u2208 \ud835\udc43, então \ud835\udc58 = 2\ud835\udc5a para algum \ud835\udc5a \u2208 \u2115, pois \ud835\udc43 é formado pelos 
números pares. Assim, considerando \ud835\udc5a \u2208 \u2115 teremos que \ud835\udc53(\ud835\udc5a) = 2\ud835\udc5a = \ud835\udc58. Logo, \ud835\udc53 é 
sobrejetora. 
Portanto, podemos concluir que \ud835\udc53 é bijetora, o que comprova a enumerabilidade do 
conjunto \ud835\udc43. 
 
 
 
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Questão 2 
Considere o conjunto dos números naturais \u2115. Se considerarmos um subconjunto 
qualquer de \u2115, quais propriedades poderão ser satisfeitas por este conjunto em relação 
à quantidade de elementos (finito ou infinito) e à enumerabilidade? Justifique sua 
resposta. 
Resolução: Como o conjunto dos números naturais é infinito, então podemos ter 
subconjuntos finitos e infinitos. Com relação à enumerabilidade, qualquer subconjunto 
dos números naturais será sempre enumerável, porque \u2115 é enumerável. Portanto, para 
um subconjunto de \u2115 temos as seguintes possibilidades de classificação: 
\u2022 Subconjunto finito (e, consequentemente, enumerável) 
\u2022 Subconjunto infinito e enuméravel. 
 
Questão 3 
Seja \ud835\udc4b um conjunto enumerável. Se a função \ud835\udc53: \ud835\udc4b \u2192 \ud835\udc4c é sobrejetora então podemos 
concluir que \ud835\udc4c é enumerável. Este é um resultado que nos permite comparar diferentes 
conjuntos por meio de aplicações bijetoras. 
Suponha que os conjuntos \ud835\udc4b e \ud835\udc4c são enumeráveis. Considerando o resultado 
apresentado inicialmente, o conjunto \ud835\udc4b \u222a \ud835\udc4c pode ser classificado como enumerável? 
Justifique sua resposta. 
Resolução: Se \ud835\udc4b e \ud835\udc4c são enumeráveis, então é possível construir bijeções entre esses 
conjuntos e os números naturais, conforme a definição de enumerabilidade. Assim, 
podemos representar estes conjuntos por 
\ud835\udc4b = {\ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc653, \u2026 , \ud835\udc65\ud835\udc5b, \u2026 } 
\ud835\udc4c = {\ud835\udc661, \ud835\udc662, \ud835\udc663, \u2026 , \ud835\udc66\ud835\udc5b, \u2026 } 
Vamos definir a função 
\ud835\udc53:\u2115 \u2192 \ud835\udc4b \u222a \ud835\udc4c 
\ud835\udc5b \u21a6 {
\ud835\udc53(2\ud835\udc5b) = \ud835\udc65\ud835\udc5b
\ud835\udc53(2\ud835\udc5b \u2212 1) = \ud835\udc66\ud835\udc5b
 
Observe que \ud835\udc53 é sobrejetora. Como \u2115 é um conjunto enumerável, pelo resultado 
apresentado podemos concluir que \ud835\udc4b \u222a \ud835\udc4c é um conjunto enumerável. 
 
Questão 4 
A definição de valor absoluto possibilita a identificação de diversas propriedades 
associadas. Sabemos que a desigualdade triangular é válida em \u211d, ou seja, para 
\ud835\udc65, \ud835\udc66 \u2208 \u211d temos que |\ud835\udc65 + \ud835\udc66| \u2264 |\ud835\udc65| + |\ud835\udc66|. Com base neste resultado, e nas propriedades 
das operações definidas sobre \u211d, prove que, para quaisquer \ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67 \u2208 \u211d, a desigualdade 
|\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc67| \u2264 |\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc66| + |\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc67| é válida. 
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Resolução: Observe que, para quaisquer \ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67 \u2208 \u211d, temos 
|\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc67| = |\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc66 + \ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc67| = |(\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc66) + (\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc67)| \u2264 |\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc66| + |\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc67| 
Portanto, a desigualdade apresentada é válida em \u211d. 
 
Questão 5 
No estudo dos números reais, é importante identificar quando subconjuntos admitem 
limites inferiores e superiores, ou seja, quando estes são limitados. Para isso, podemos 
empregar o estudo dos ínfimos e supremos de conjuntos. O ínfimo é caracterizado como 
a maior das cotas inferiores do conjunto, enquanto que o supremo é a menor das cotas 
superiores. 
Considere os conjuntos \ud835\udc4b = (\u2212\u221e, \ud835\udc4f], \ud835\udc4c = [\ud835\udc4e,+\u221e) e \ud835\udc4d = [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f]. Identifique para cada 
conjunto, caso exista, o ínfimo e o supremo que os caracterizam. Os conjuntos \ud835\udc4b, \ud835\udc4c e \ud835\udc4d 
são limitados? Por quê? 
Resolução: O conjunto \ud835\udc4b = (\u2212\u221e, \ud835\udc4f] não possui ínfimo, mas seu supremo é o elemento 
sup\ud835\udc4b = \ud835\udc4f, que também corresponde ao elemento máximo do conjunto. Como \ud835\udc4b é 
limitado superiormente, mas não é limitado inferiormente, então o mesmo não pode ser 
classificado como um conjunto limitado. 
O conjunto \ud835\udc4c = [\ud835\udc4e,+\u221e) não possui supremo, mas seu ínfimo é o elemento inf \ud835\udc4c = \ud835\udc4e, 
que também corresponde ao elemento mínimo do conjunto. Como \ud835\udc4c é limitado 
inferiormente, mas não é limitado superiormente, então o mesmo não pode ser 
classificado como um conjunto limitado. 
O conjunto \ud835\udc4d = [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f] possui ínfimo inf \ud835\udc4d = \ud835\udc4e, sendo seu elemento mínimo, e supremo 
sup\ud835\udc4d = \ud835\udc4f, que também corresponde ao elemento máximo do conjunto. Como \ud835\udc4d é 
limitado inferiormente e superiormente, podemos concluir que este conjunto é limitado.