Apostila 19 - Prismas

Matemáti ca PRISMAS 2 SUMÁRIO Introdução ........................................................................................................................................ 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 3 Conceitos .......................................................................................................................................... 3 Defin ição ................................................................................................ .......................................... 3 Composição ..................................................................................................................................... 4 Tipos de Prismas ............................................................................................................................. 4 Equações .......................................................................................................................................... 5 Exercícios ................................................................................................................................ ......... 7 Gaba rito ............................................................................................................................................ 7 Resumo ................................................................................................ ............................................. 8 3 Introduçã o Nesta aula abordarem os a ciência dos prismas , e suas sub divisões, além de citar Histórico, e explicar métodos de estudo, defini ções de composições geométrica s e equacionam entos. Objetivos \u2022 Identificar sua composição geométrica \u2022 Classificar suas diferenças \u2022 Identificar sua s bases \u2022 Aprender a fazer análises matemáticas Concei tos Neste material, ve remos os conceitos de e importância da geometria dos p rismas e suas aplicações. Saberemos diferenciar suas cara cterísticas e an alisaremos matema ticamente suas possíveis aplicações. Também daremos ênfase ao seu contexto histór ico junto com a matemática até os dias de hoje. Definiçã o Prisma é um sólido geométrico def inido no e spaço tridimensional. Para su a definição, são necessários um plano \u03b1, um polígono pa ralelo ao pl ano e uma reta concorren te a el e. É um sólido geométrico q ue f az parte dos estudos d e geometria espacial, caracterizado po r se r um poliedro convexo c om duas bases (polígon os iguai s) co ngruentes e paralelas, além das face s p lanas laterais (paralelogramos). Na ilustração a baixo temos mais detalhes: 4 Composi ção Os elementos que compõem o p risma são: bas e, altura, a restas, vért ices e face s laterais. As ar estas das b ases do prisma são os la dos das b ases do polígono, enquanto que as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases. Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância en tre os planos das bases. Tip os de Prism as De acordo com o form ato das bases, os prismas são classificados em: \u2022 Pri sma Triangular: base f orma da por triângulo. \u2022 Pri sma Quadrangular: base formada por quadrado. \u2022 Pri sma Pentagonal: base formada por pentágono. \u2022 Pri sma Hexagonal: base formada por hexágono. \u2022 Pri sma Heptagonal: base formada por heptágono. \u2022 Pri sma Octogonal: base f ormada por octógono Ilustração: FIQ U E A T EN T O ! Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os pris mas retos são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ân gulo d e 90º, os oblíquos possuem outros ângulos , mas a mesma est rutura. São mais \u201cenv ergados\u201d . Na figur a abaixo temos os dois formatos, reto e oblíquo, respectivam ente: Para calcular a área da base (A b ) de um p risma d eve-se levar em conta o formato que ap resen ta. O nome do prisma é dado de acordo com o f ormato de sua base. 5 O prisma regular é reto, possui as formas ge ométricas da sua base inferior e superior r egulares. SAI B A M AI S ! Alguns exemplos de forma geométricas regul ares são: quadrado, p entágono, triân gulo equilátero entre outros. Equações \u2022 Área Lateral Para calcular a á rea lateral do pri sma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congr uentes, a fórmula d a área lateral é: \ue723 \uebc5 = \ue090\ue003\ue1e4\ue003\ue083 Onde: n: n úmero de lados a: face lateral \u2022 Área total do Prisma Para calcular a á rea total de um prisma, basta somar a á rea de suas b ases e a área lateral. Nã o há uma fórmula g eral para essa soma. O número de faces de um prisma é vari ável e não existem fórmulas para ár eas de polígonos que possuem mais de q uatro lados. A e xpressão para simboliza r esse cálculo e escreverem os as fórmulas específicas para os casos de prismas tr iangulares cujas bases são paralelogram os. Para um polígono s er considera do regular, todos os seus lados e ângulos devem p ossuir a mesma medida. 6 A fórmula é composta por : \ue735 \uebcd =S \uebc5 +2 S \uebbb Onde: S L : Soma das áreas das faces laterais S B : soma das áreas das bases \u2022 Volume do Prisma O volum e do prisma será o produto da área de sua base pela altura, ou seja : V = A \uebbb \ue1e4 h Onde: A B : ár ea da base h: altur a \u2022 Área Prisma Triang ular Para o prisma triangular, a fórmula da área é: \ue004\ue003\ued4c\ue003\ue084\ue003\ue1e4 \ue003 \uf23a\ue744 \ueb35 \ued45\ue003\ue375\ue08a\uf23b Onde: b = medida da base do triângu lo e aresta do prisma q ue também pertence a uma de suas faces laterais. h 1 = altura do triângulo. h = altura do pri sma. \u2022 Área Prisma com Base Paralel ogramo A área do prisma com base para lelogramo é dada pela fórmula: \ue004\ue003\ued4c\ue003\uf23a\ue374\ue003\ue1e4\ue003\ue084\ue003\ue1e4\ue003\ue08a \ueb35 \uf23b \ued45\ue003\uf23a\ue376\ue003\ue1e4\ue003\ue084\ue003\ue1e4\ue003\ue08a\uf23b Ou: \ue004\ue003\ued4c\ue003\ue374\ue003\ue1e4\ue003\ue084\ue003\uf23a\ue744 \ueb35 \ued45\ue003\ue374\ue08a\uf23b Onde: b é a largura da base do prisma e é a mesma medida para a largura da face lateral; h 1 é o comprimento da base do prisma; h é o comprim ento da face lateral . 7 \u2022 Paralelepípedo Retângulo No caso d e um paralelepípedo retângu lo, em q ue a área, o volume e a diagonal são a, b e c respectivam ente: \ue016\ue003\ued4c\ue003\ue374\ue003\ue1e4\ue003\uf23a\ue083\ue084\ue003\ued45\ue003\ue083 \ue085\ue003\ued45\ue003 \ue084\ue085 \uf23b A fórmula do volu me será: \ue019\ue003\ued4c\ue003\ue083\ue003\ue1e4 \ue003\ue084\ue003\ue1e4\ue003\ue085 A fórmula da diagonal : 22 D = a + b + c Exercíci os 1. Como se calcula o volum e de um prism a? 2. Um prisma de base qu adrangular possui volu me igual a 19 2 cm³. De termine su a altura sabendo que ela corresponde ao tr iplo da medida da aresta da base. 3. Qua l a área de um cubo cuj a d iagonal mede 5\u221a3 cm? Gabari to 1. Mu ltiplicando a área de sua base pela sua altura. 2. \ue738 \ue003 \ued4c \ue003\ue754 \ue003 \ue1e4\ue003 \ue754\ue003 \ue1e4\ue003 \ue375\ue754 \ue375\ue754 ³ \ue003 \ued4c \ue003 \ue373\ue37b\ue374 \ue754 ³ \ue003 \ued4c \ue003 \ue373\ue37b\ue374 \ue375 \ue754 ³ \ue003 \ued4c \ue003 \ue378\ue376 \ue754 \ue003 \ued4c \ue003\ue376 Portan to a altura do prisma é dada por: \ue375\ue003 \ue1e4\ue003 \ue376\ue003 \ued4c \ue003 \ue373\ue374 \ue003\ue73f\ue749 3. A diagonal de um cubo pode se r calculada atra vés da seguinte expressão matemá tica: 3 da = 5 3 3 5 a a = = 8 Portan to, cada face d o cubo possui 5cm, então s ua área possui 25cm²: Como possui 6 faces laterais: Área Total: \ue378\ue754 \ue374\ue377 A área total será de 150cm². Resumo Definição O prisma é um sólido geométrico for mado por segmentos de reta p aralelos cujas extremidades são políg onos também paralelos. O prisma é formado por: \u2022 Base \u2022 Faces laterais \u2022 Arestas \u2022 Vértices \u2022 Diagona is \u2022 Secções Transver sais Propriedades \u2022 Prisma Tri angular: \ue004\ue003\ued4c\ue003\ue084\ue003\ue1e4 \ue003 \uf23a\ue744 \ueb35 \ued45\ue003\ue375\ue08a\uf23b \u2022 Para lelogramo: \ue004\ue003\ued4c\ue003\ue374\ue003\ue1e4\ue003\ue084\ue003\uf23a\ue744 \ueb35 \ued45\ue003\ue374\ue08a\uf23b \u2022 Para lelep ípedo Retângulo: 22 D = a + b + c

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