Lista 2 - Cálculo III

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2a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Calcule a integral e esboce o domínio de integração D.
(a)
∫ 2
0
∫ 1
0
(1 + 2x+ 2y)dy dx
(b)
∫ 4
0
∫ √y
y/2
x2y2dx dy
(c)
∫ 1
0
∫ 0
y−1
ex+ydx dy +
∫ 1
0
∫ 1−y
0
ex+ydx dy
2. Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais con-
veniente.
(a)
∫∫
D
y
x2 + y2
dA, onde D é o triângulo limitado por y = x, y = 2x e x = 2
(b)
∫∫
D
−2y ln(x) dA, onde D é a região limitada por y = 4− x2 e y = 4− x
(c)
∫∫
D
x dA, onde D é a região circular no primeiro quadrante limitado por y =
√
25− x2, 3x− 4y = 0 e y = 0.
3. Use integral dupla para calcular o volume dos seguintes sólidos limitado pelos gráficos
das equações:
(a) z = xy, z = 0, y = x, x = 1, no primeiro octante
(b) x2 + y2 + z2 = r2
(c) x2 + z2 = 1, y2 + z2 = 1, no primeiro octante
(d) z =
1
1 + y2
, x = 0, x = 2, y ≥ 0
4. Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração)
(a)
∫ 1
0
∫ 1/2
y/2
e−x
2
dx dy
(b)
∫ ln 10
0
∫ 10
ex
1
ln y
dy dx
(c)
∫ 1
0
∫ arccos y
0
sen(x)
√
1 + sen2(x) dx dy
(d)
∫ 2
0
∫ 2
x2/2
√
y cos(y) dy dx
5. Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pela superfície x2 + y2 + z2 = 8 e
inferiormente por z2 = 3x2 + 3y2, z ≥ 0.
6. Calcule o volume do sólido limitado inferiormente por z = x2+y2 e superiormente por
z = 5− x2 − y2.
7. Determine o volume do sólido limitado pela superfície x2 + y2 − z2 = 1 e os planos
z = 0 e z =
√
3.
8. Calcule
∫∫
|x|+|y|≤1
(|x|+ |y|) dxdy.
9. Calcule a integral
∫∫
D
[[x+ y]] dxdy, onde D = [0, 2]× [0, 2].
10. Seja D o paralelogramo limitado pelas retas y = 3x − 4, y = 3x, y = 1
2
x e y =
1
2
(x+ 4). Seja A = [0, 1]× [0, 1], defina uma transformação T tal que T (D) = D′.
11. Defina uma transformação T tal que T (D′) = D, onde D′ = [0, 1]× [0, 1] ⊂ planouv
e D ⊂ planoxy é o círculo unitário com centro em (5, 3).
12. Considere a transformação definida por x = u2 − v2 e y = 2uv.
1. Calcule
∂(x, y)
∂(u, v)
2. Seja D′ ⊂ planouv retângulo de vértices (1, 1), (2, 1), (2, 3) e (1, 3). Represente
graficamente a imagem F (D′) no plano xy
13. Calcule
∫ 1
0
∫ x
0
√
x2 + y2 dx dy usando
1. coordenadas polares
2. A transformação x = u, y = uv
14. Considere a transformação T (u, v) = (eu cos v, eu sen v) e seja o conjunto D′ =
{(u, v) / 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ pi/2}
2
1. Calcule a área da imagem D = T (D′)
2. Calcule
∫∫
D
√
x2 + y2 dA
15. Calcule
∫∫
D
cos((2x− y)2 + 2(x+ y)2) dA, onde D é a região limitada pelos eixos
coordenados e 2x2 + y2 = 4, no primeiro quadrante.
16. Calcule
∫∫
D
(x2+y2)2 dA, onde D é a região limitada por x2+y2 = 2x, x2+y2 = 4x,
x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 6y.
3