Processamento de Imagens - Filtros

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Antonio G. Thomé
thome@nce.ufrj.br
Sala – AEP/1033
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Universidade Federal do Rio de JaneiroUniversidade Federal do Rio de Janeiro
--
IM/DCC & NCEIM/DCC & NCE
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Tratamento da ImagemTratamento da Imagem -- FiltrosFiltros
2
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens Sumário
z Conceito de Filtragem
z Filtros Digitais
z Domínio da Filtragem
9 Filtragem no Domínio da Freqüência
9 Filtragem no Domínio Espacial
z Tipos de Filtros
9 Filtros Lineares
ƒ Filtros Passa-baixas
ƒ Filtros Passa-altas
ƒ Filtros Passa-banda
9 Filtros Não Lineares
ƒ No domínio da freqüência
– Filtragem Homomórfica
ƒ No domínio do espaço
– Filtro de Mediana
– Filtro de Ordem
– Filtro de Moda
– Filtros Detectores de Borda
z Conceito de Filtragem
z Filtros Digitais
z Domínio da Filtragem
9 Filtragem no Domínio da Freqüência
9 Filtragem no Domínio Espacial
z Tipos de Filtros
9 Filtros Lineares
ƒ Filtros Passa-baixas
ƒ Filtros Passa-altas
ƒ Filtros Passa-banda
9 Filtros Não Lineares
ƒ No domínio da freqüência
– Filtragem Homomórfica
ƒ No domínio do espaço
– Filtro de Mediana
– Filtro de Ordem
– Filtro de Moda
– Filtros Detectores de Borda
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Digital
z Consiste na aplicação de técnicas de transformação 
(operadores – máscaras) com o objetivo de corrigir, suavizar
ou realçar determinadas características de uma imagem 
dentro de uma aplicação específica.
9 correção - é a remoção de características indesejáveis, e
9 melhoria/realce - é a acentuação de características. 
z A filtragem é realizada pixel a pixel, onde o novo nível de 
cinza de um ponto P qualquer depende do seu nível de cinza 
original e do de outros pontos considerados como vizinhança 
de P.
9 Em geral, os pontos mais próximos de P contribuem mais 
para o novo valor do nível de cinza do que os pontos mais 
afastados
4
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Domínio da Filtragem
• Domínio Espacial
São procedimentos que operam diretamente sobre os 
pixels da imagem na sua forma original.
• Domínio da Freqüência
São procedimentos que operam sobre a Transformada 
de Fourier da imagem original.
5
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Tipos de Filtros
z Filtros lineares
ƒ Suavizam, realçam detalhes da imagem e minimizam 
efeitos de ruído, sem alterar o nível médio de cinza da 
imagem. 
• Filtros não-lineares
ƒ Aplicam transformações sem o compromisso de 
manterem o nível médio de cinza da imagem original. 
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares
• no domínio do espaço:
convoluçãog(x,y)f(x,y) h(x,y)
g(x,y)= h(x,y) * f(x,y)
• no domínio da freqüência:
produtoG(u,v)H(u,v)F(u,v)
G(u,v)= H(u,v) . F(u,v)
(*) h(x,y) ou H(u,v) são os operadores ou máscaras
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares no Domínio da Freqüência
a) Filtro Passa-baixas – Filtro Ideal
Deixa passar apenas as componentes de mais baixa 
freqüência (atenuam o contraste).
v
u
H(u,v)
H(u,v)
D(u,v)D0


>
≤=
0
0
),(0
),(1
),(
DvuDse
DvuDse
vuH )(),( 22 vuvuD +=
freqüência de 
corte
8
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares no Domínio da Freqüência
b) Filtro Passa-baixas – Filtro de Butterworth
nDvuD
vuH 2
0]/),([1
1),( +=
u v
H(u,v)
Filtro de Butterworth para n=1
As componentes de freqüência são 
quase exponencialmente reduzidas a 
medida que a distância D(u,v) fica 
maior que a freqüência de corte.
9
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares no Domínio da Freqüência
c) Filtro Passa-Altas – Filtro Ideal
1
D0 D(u,v)
H(u,v)H(u,v)
u
v


>
≤=
0
0
),(1
),(0
),(
DvuDse
DvuDse
vuH
10
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares no Domínio da Freqüência
d) Filtro Passa-Altas – Filtro de Butterworth
nvuDD
vuH 2
0 )],(/[1
1),( +=
u v
H(u,v)
As componentes de freqüência são 
quase exponencialmente reduzidas a 
medida que a distância D(u,v) fica 
menor que a freqüência de corte.
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares no Domínio da Freqüência
Exemplo: Filtro Passa-Altas
Freqüência de corte – D0 = 20
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Lineares no Domínio da Freqüência
Exemplo: Filtro Passa-Baixas
Espectro de Fourier
Imagem de 512x512 pixels Raios iguais a 8, 18, 43, 78 e 152 -
90, 93, 95, 99 e 99,5% da potência 
da imagem
13
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens Original
Passa-baixas – D0 = 8 Passa-baixas – D0 = 152
Passa-baixas – D0 = 18 Passa-baixas – D0 = 78Passa-baixas – D0 = 43
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência
Filtragem Homomórfica
Trata-se de uma abordagem que busca operar sobre as 
componentes de iluminação e reflectância separadamente.
),().,(),( yxryxiyxf =
)},({)},({)},({ yxryxiyxf ℑℑ≠ℑ
)),(ln()),(ln(
)),(ln(),(
yxryxi
yxfyxz
+=
=
))},({ln())},({ln()},({ yxryxiyxz ℑ+ℑ=ℑ
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência
Filtragem Homomórfica ...
),(),(),( vuRvuIvuZ +=
),(),(),(),(
),(),(),(
vuRvuHvuIvuH
vuZvuHvuS
+=
=
)},(),({)},(),({
)},({),(
11
1
vuTvuHvuIvuH
vuSyxs
−−
−
ℑ+ℑ=
ℑ=
),(),(
)],('exp[)].,('exp[
)],(exp[),(
00 yxryxi
yxryxi
yxsyxg
=
=
=
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência
Filtragem Homomórfica ...
f(x,y) ln() FFT exp()H(u,v) (FFT)-1
g(x,y)
• A componente de iluminação de uma imagem é geralmente caracterizada por 
variações espaciais lentas;
• A reflectância tende a variar abruptamente, particularmente na junção de 
objetos diferentes.
O filtro homomórfico oferece uma forma de operar sobre esses componentes 
separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas 
freqüências e os da reflectância às altas freqüências
O filtro homomórfico oferece uma forma de operar sobre esses componentes 
separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas 
freqüências e os da reflectância às altas freqüências
17
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Homomórfica
Exemplo:
Freqüência de corte – D0 = 20
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Homomórfica
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Linear no Domínio do Espaço
z Os métodos de filtragem espacial operam diretamente sobre a 
matriz de pixels (imagem digitalizada); 
z normalmente utilizam operações de convolução entre a 
imagem original e uma máscara especialmente construída;
z As máscaras são chamadas de filtros espaciais.
Como no domínio da freqüência as máscaras podem implementar filtros:
• Passa-Baixas – para suavizar a imagem;
• Passa-Altas – para realçar bordas;
• Passa-Banda – para remover freqüências baixas e altas.
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Linear no Domínio do Espaço
Filtros no Domínio da Freqüência
1 1 1
Passa-Altas Passa-BandaPassa-Baixas
0
Filtros no Domínio Espacial
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
O Processo de Filtragem Espacial
¾ Consiste na aplicação sucessiva de máscara que desliza sobre toda a 
imagem original;
¾ Ao ser aplicada com centro numa posição (i,j), sendo i o número de uma 
dada linha e j o número de uma dada coluna da imagem, consiste na 
substituiçãodo valor do pixel na posição (i,j) por um novo valor o qual 
depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da máscara.
¾ À cada posição da máscara está associado um valor numérico, chamado 
de peso ou coeficiente. 
¾ Em cada posição (i,j), os pesos do filtro são multiplicados pelos NCs dos 
pixels correspondentes e somados, resultando em um novo valor de NC, 
que substitui o antigo NC do pixel central.
22
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
O Processo de Filtragem Espacial
w25w24w23w22w21
w20w19w18w17w16
w15w14w13w12w11
w10w9w8w7w6
w5w4w3w2w1
Máscara 5x5
R
∑
=
+−=
n
i
iniwzR
1
1
23
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
O Processo de Filtragem Espacial
¾ Na operação de filtragem deve-se calcular os pontos pertencentes à 
borda da imagem de modo diferente dos demais, já que estes não 
dispõem de todos os vizinhos.
¾ Por questões de simetria usam-se, na definição das máscaras dos 
filtros, janelas N x N, onde N é um número ímpar. 
¾ Por questões de eficiência computacional, preferem-se valores 
pequenos para N (no máximo 7).
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
O Processo de Filtragem Espacial
R ∑
=
+−=
n
i
iniwzR
1
1
w25w24w23w22w21
w20w19w18w17w16
w15w14w13w12w11
w10w9w8w7w6
w5w4w3w2w1
Máscara 5x5
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtro Passa-baixas
z Atenua (ou elimina) as altas freqüências que estão 
relacionadas com a informação de detalhes da imagem.
z O efeito visual de um filtro passa-baixas é o de suavização 
(smoothing) da imagem uma vez que as altas freqüências, 
que correspondem às transições abruptas, são atenuadas. 
z A suavização tende também, pelas mesmas razões, a 
minimizar o efeito do ruído em imagens. 
z A filtragem passa-baixas tem, por outro lado, o efeito 
indesejado de diminuir a resolução da imagem, provocando 
assim, um leve borramento. Ou seja, diminui a nitidez e a 
definição da imagem.
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplo Filtro Passa-baixa – Filtro de Média
z Filtros de média 3x3, 5x5 e 7x7
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1/9 * 1/25 * 1/49 *
z Substitui o valor do pixel original pela média aritmética do pixel dos seus 
vizinhos;
z Quanto maior a máscara, maior o efeito de borramento.
z Pesos positivos
z Soma dos pesos igual a 1 – não altera a média
27
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Resultado da Aplicação do Filtro de Média 
3x3
z Os ruídos foram reduzidos, porém a imagem filtrada apresenta-se 
borrada
28
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplo Filtro Passa-baixas –
Filtro de Média Ponderada
z São usados quando os pesos são definidos em função de sua 
distância do peso central.
z Filtros de Média Ponderada de dimensão 3x3 são:
1/16 *
1 2 1
2 4 2
1 2 1
1 1 1
1 2 1
1 1 1
1/10 *
29
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Resultado da Aplicação do Filtro de Média Ponderada 3x3
1 1 1
1 2 1
1 1 1
1 2 1
2 4 2
1 2 1
Original
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtro Passa-altas
z Atenuam ou eliminam as baixas freqüências, realçando as 
altas freqüências e são normalmente usados para realçar os 
detalhes na imagem (agudização – sharpening).
z Para filtros passa-altas, o efeito obtido é, em geral, o de 
tornar mais nítidas as transições entre regiões diferentes, 
conhecidas como bordas, realçando o contraste.
z O efeito indesejado destes filtros é o de enfatizar o ruído 
presente na imagem.
31
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtro Passa-altas Básico
z O formato da resposta de um filtro passa-altas deve ser tal 
que a máscara correspondente apresente coeficientes 
positivos nas proximidades de seu centro e negativos longe 
deles. 
9 Exemplo - máscara 5x5, reforça o contraste que porventura exista 
entre os pixels centrais e os da periferia.
-1-1-1-1-1
-1111-1
-1181-1
-1111-1
-1-1-1-1-1
∑
=
+−=
n
i
iniwzR
1
1
• se homogênea tende a zero
32
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplos de Filtros Passa-altas
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
-1 -1 -1
-1 8 -1
-1 -1 -1
1 -2 1
-2 4 -2
1 -2 1
z Pesos positivos, negativos e nulos
z Observe que a soma algébrica da máscara é zero, o que 
significa que quando aplicada a regiões homogêneas de uma 
imagem, o resultado será zero ou um valor muito baixo.
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Resultado da Aplicação do Filtro Passa-altas 3x3
-1 -1 -1
-1 8 -1
-1 -1 -1
z A máscara foi aplicada a imagem 
original (esquerda) resultando a 
imagem da direita
34
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Passa-altas Direcionais
¾ Os filtros passa-alta direcionais (realce de bordas) realçam a 
cena, segundo direções preferenciais de interesse, definidas 
pelas máscaras. 
¾ A seguir estão algumas máscaras utilizadas para realçar 
bordas em vários sentidos. 
¾ O nome dado às máscaras indica a direção ortogonal 
preferencial em que será realçado o limite de borda. Assim, a 
máscara norte realça limites horizontais
35
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplos de Filtros Passa-altas Direcionais
1 1 1
1 -1 1
-1 -1 -1
-1 1 1
-1 -1 1
-1 1 1
-1 -1 -1
1 -1 1
1 1 1
1 1 -1
1 -1 -1
1 1 -1
Norte Leste Sul Oeste
1 1 1
-1 -1 1
-1 -1 1
-1 -1 1
-1 -1 1
1 1 1
1 -1 -1
1 -1 -1
1 1 1
1 1 1
1 -1 -1
1 -1 -1
Nordeste Sudeste Sudoeste Noroeste
36
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplos de Filtros Passa-altas
z Linhas, em imagens, podem ser detectadas através das 
máscaras:
-0.5 1 -0.5
-0.5 1 -0.5
-0.5 1 -0.5
-0.5 -0.5 -0.5
1 1 1
-0.5 -0.5 -0.5
Horizontais Verticais
-1 -1 2
-1 2 -1
2 -1 -1
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
+45o
Diagonal
-45o
37
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtro Passa-banda (ou Passa-faixa)
z Seleciona um intervalo de freqüências do sinal (banda de 
freqüência) para ser realçado, removendo, ou atenuando 
componentes fora da faixa selecionada
z São de pouca utilidade prática, a menos de algumas tarefas 
específicas em restauração de imagens
1
f
Resposta em 
freqüência
Filtro correspondente 
no domínio espacial
0 t
38
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtragem Não-Linear no Domínio Espacial
z Um exemplo típico de filtro passa-baixas não-linear é o filtro da 
mediana, que suaviza a imagem sem contudo diminuir sua resolução.
z No filtro da mediana, os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma 
janela na imagem, são ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o 
valor mediano desta ordenação. 
z É possível, também, em vez de tomar a mediana da vizinhança, escolher 
o valor máximo ou o valor de ordem qualquer. 
z Esta categoria de filtros é conhecida por filtros de ordem.
z Uma alternativa que produz resultados interessantes é tomar o valor mais 
freqüente de uma vizinhança - a "moda", que elimina ruídos pontuais 
sem alterar muito as informações da imagem.
39
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplos de Filtro Não-Linear (Passa-baixas)
z Filtro de Mediana
9 Suaviza a imagem sem diminuir sua resolução (borrar);
9 Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são 
ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta 
ordenação.
z Filtro de Ordem
9 Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem,são 
ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor máximo ou o valor 
de uma ordem qualquer desta ordenação.
z Filtro de Moda
9 Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são 
ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mais freqüente da 
vizinhança
9 Elimina ruídos pontuais, sem alterar muito as informações da imagem.
40
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplos de Filtros Não-Lineares
• Imagem original • Imagem com ruído aditivo
• Filtro de média • Filtro de mediana
41
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtros Não Lineares – Detectores de Bordas
z Detecção de Bordas
9 Detectam características como bordas, linhas, curvas e manchas
9 O problema da detecção de bordas é indicar uma mudança súbita do
nível de cinza entre duas regiões relativamente homogêneas
9 A maioria dos operadores de detecção de bordas baseia-se numa 
filtragem passa-altas seguida de um processo de limiarização:
ƒ Se a saída do filtro ultrapassar o limiar, uma borda local é 
detectada, caso contrário a borda não é detectada
9 Para se obter uma detecção de bordas independente da direção, pode-
se efetuar uma filtragem espacial em duas direções ortogonais, 
vertical (y) e horizontal (x). Estes dois resultados constituirão as 
componentes de um vetor gradiente:
9 Operadores mais comuns:
ƒ Roberts
ƒ Sobel



∇
∇=∇
y
x
42
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Roberts
z É o mais antigo e mais simples algoritmo de detecção de 
bordas.
z Roberts introduziu a seguinte operação cruzada (módulo do 
gradiente):
z Que deve ser comparado a um limiar.
z Devido ao custo computacional, as operações de elevar ao 
quadrado e raiz quadrada são, muitas vezes substituídas pelo 
valor absoluto das diferenças cruzadas
)1,(),1()1,1(),(),( +−++++−= yxfyxfyxfyxfyxg
[ ] [ ] 2/122 )1,(),1()1,1(),(),(  +−++++−= yxfyxfyxfyxfyxg
43
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Roberts
z Este operador pode ser representado por duas componentes
z Como resultado de sua aplicação, obtém-se uma imagem com 
altos valores de nível de cinza, em regiões de contrastes bem 
definidos e valores baixos em regiões de pouco contraste, 
sendo 0 para regiões de nível de cinza constante. 
z Uma desvantagem deste operador é a sua assimetria
9 Dependendo da direção, certas bordas são mais realçadas que outras, 
mesmo tendo magnitude igual.
0-1
10
-10
01
Componente horizontal Componente horizontal
44
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Efeito da Aplicação do Operador Roberts
45
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Sobel
z Mais sofisticado que o operador Roberts.
z É dado pela seguinte expressão:
9 Onde X e Y são as saídas dos filtros dados pelas seguintes máscaras
9 A máscara X detecta as variações no sentido horizontal e a máscara 
Y, no sentido vertical.
z O operador gradiente de Sobel tem a propriedade de realçar 
linhas verticais e horizontais mais escuras que o fundo, sem 
realçar pontos isolados
22),( YXyxg +=
-1-2-1
000
121
10-1
20-2
10-1
YX
46
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Sobel (continuação)
z A detecção de bordas é obtida pela limiarização da 
magnitude do gradiente
9 Diferentes valores de limiar resultam em diferentes mapas de bordas.
9 Se o limiar é muito baixo, muitos pontos são marcados como pontos 
de borda, resultando em bordas grossas ou muitos pontos de bordas 
isolados
9 Se o limiar é alto, os segmentos aparecerão finos e quebrados (sem 
continuidade da borda)
47
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Efeito da Aplicação do Operador Sobel
48
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Prewitt
z Semelhante ao operador Sobel
z Encontra as bordas utilizando uma aproximação da derivada.
z Retorna as bordas onde o gradiente da imagem é máximo.
z É dado pela seguinte expressão:
9 Onde X e Y são as saídas dos filtros dados pelas seguintes máscaras
111
000
-1-1-1
-101
-101
-101
22),( YXyxg +=
X Y
49
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Efeito da Aplicação do Operador Prewitt
50
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Prewitt x Sobel
• Imagem Original • Sobel
• Prewitt
51
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Filtro Laplaciano
É um operador escalar baseado na derivada de 2a ordem.
),(),(),( 2
2
2
2
2 yxf
y
yxf
x
yxf ∂
∂+∂
∂=∇
LaplacianoContraste na borda Gradiente
)(2
2
xf
x∂
∂
)(xf
x∂
∂
)(xf
52
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Laplaciano
z O Laplaciano de uma função bidimensional f(x,y) é uam 
derivada de segunda ordem definida por
z A implementação desta equação na forma digital para o caso
de uma região 3x3 pode ser:
z A exigência para a definição do laplaciano digital é que o 
coeficiente associado com o pixel central seja positivo e que 
os pixels externos sejam negativos
z Como o laplaciano é uma derivada, a soma dos coeficientes
tem que ser nula (toda a vez que o ponto em questão e seus 
vizinhos tiverem o mesmo valor, a resposta será nula)
2
2
2
2
2
y
f
x
ff ∂
∂+∂
∂=∇
)(4 86425
2 zzzzzf +++−=∇
53
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Máscara Espacial do Operador Laplaciano
z A máscara espacial que pode ser usada na implementação da 
equação seria:
0-10
-14-1
0-10
O Laplaciano é um operador linear, invariante à 
translação e sua função de transferência é zero na origem 
do espaço de freqüência.
54
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Efeito da Aplicação do 
Operador Laplaciano da Gaussiana
55
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Canny
z Encontra as bordas procurando por um máximo local do 
gradiente da imagem
z O gradiente é calculado a partir da derivada de um filtro 
gaussiano
z O método usa dois limiares para detectar bordas fortes e 
fracas e inclui as bordas fracas na saída somente quando elas 
estiverem conectadas a bordas fortes
z Este método é menos sensível a ruídos dos que os demais e 
mais provável de detectar bordas fracas
56
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Efeito da Aplicação do Operador Canny
57
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Sobel
Canny
Original
Roberts
Prewitt
Laplaciano
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	Exemplos de Filtros Passa-altas
	Filtro Passa-banda (ou Passa-faixa)
	Filtragem Não-Linear no Domínio Espacial
	Exemplos de Filtro Não-Linear (Passa-baixas)
	Filtros Não Lineares – Detectores de Bordas
	Operador Roberts
	Operador Roberts
	Efeito da Aplicação do Operador Roberts
	Operador Sobel
	Operador Sobel (continuação)
	Efeito da Aplicação do Operador Sobel
	Operador Prewitt
	Efeito da Aplicação do Operador Prewitt
	Operador Laplaciano
	Máscara Espacial do Operador Laplaciano
	Efeito da Aplicação do Operador Laplaciano da Gaussiana
	Operador Canny
	Efeito da Aplicação do Operador Canny