Lista 8 de CDI I_2sem2014

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Lista 8 – Cálculo Diferencial e Integral I – 2014/2º sem. – Profª. Danielle Gomes da Veiga. É vedada a reprodução total ou parcial deste documento 
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Lista 8 de “Cálculo Diferencial e Integral I” – 2º semestre de 2014 
 
Assunto: Derivada de algumas Funções Elementares e Regras de Derivação 
 
Usando a definição de derivada é possível determinar a derivada das funções a seguir. 
 
• Derivada da Função constante 
Se cxf =)( , onde c é um número real qualquer fixado, então 
 		
݂(ݔ) = ܿ ⇒ ݂′(ݔ) = 0	
	 
 
Também podemos escrever 
0)( =
dx
xdf ou 0)( =
dx
cd ou 0)'( =c 
 
• Derivada da Função do 1º grau 
Se baxxf +=)( , então	
		
݂(ݔ) = ܽݔ + ܾ ⇒ ݂′(ݔ) = ܽ	
	 
 
Também podemos escrever 
a
dx
xdf
=
)( ou a
dx
baxd
=
+ )( ou abax =+ )'( 
 
• Derivada da Função nxxf =)( 
Se nxxf =)( , com n ∈? , então 
		
݂(ݔ) = ݔ௡ ⇒ ݂′(ݔ) = ݊	ݔ௡ିଵ	
	 
 
Também podemos escrever 
1)( −
=
nnx
dx
xdf ou 1)( −= n
n
nx
dx
xd ou 1)'( −= nn nxx 
 
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Exercícios: 
1) Utilizando as fórmulas anteriores, determine )(' xf nos casos a seguir. 
(a) 2)( =xf (b) 0)( =xf (c) 4)( −=xf (d) 
7
10)( =xf 
(e) xxf =)( (f) 23)( += xxf (g) 15)( +−= xxf (h) xxf 7)( = 
(i) 2)( xxf = (j) 107)( xxf = (l) 6)( xxf = (m) 3)( xxf = 
 
2) Utilizando as fórmulas anteriores, determine a equação da reta tangente ao gráfico de 50)( xxf = 
no ponto ))1(,1( fP = . 
 
Regras de Derivação 
 
• Regra da derivada de constante vezes função: ( ) )()( xcfxcf = 
Se f é uma função derivável no ponto x e c é um número real fixado (ou seja, c é uma constante), 
então	
		
(݂ܿ)′(ݔ) = ݂ܿ′(ݔ)
	 
• Regra da derivada da soma e da diferença 
Se f e g são duas funções deriváveis no ponto x, então 
		
(݂ + ݃)′(ݔ) = ݂′(ݔ) + ݃′(ݔ)																e																	(݂ − ݃)′(ݔ) = ݂′(ݔ) − ݃′(ݔ)	
	 
 
Essa regra vale para qualquer número de funções (desde que sejam deriváveis em x). Por exemplo, 
		
(݂ + ݃ + ℎ)′(ݔ) = ݂′(ݔ) + ݃′(ݔ) 	+ ℎ′(ݔ)	
	 . 
 
 
Exercícios: 
3) Determine: 
(a) ')32( +x (b) ')43( 2 +− xx (c) '
4
55 43 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
− xx (d) ')2( 3 
(e) '24
4
3 74 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+− xx (f) ')105243( 367 +−+− xxxx (g) ')15( 2x− 
(h) '
2
1
3
1
4
1
5
1 2345 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++++ xxxxx 
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• Regra da derivada do produto 
Se f e g são duas funções deriváveis no ponto x, então 
		
(݂. ݃)′(ݔ) = ݂′(ݔ). ݃′(ݔ)
	 
 
Exercícios: 
4) Determine )(' xh nos casos a seguir: 
(a) )2)(2()( +−= xxxh (b) )73)(12()( 2 +−= xxxh 
(c) )4)(26()( 23 ++= xxxxh (d) )1)(82()( 410 −−+= xxxxh 
(e) )1)(5()( 2345 +++++−= xxxxxxxh (f) 327 )5()( xxxxh += 
(g) )92()17)(23()( 2 −++−+= xxxxxh (h) )27())(23()( 2425 xxxxxxxh −+++= 
 
• Regra da derivada do quociente 
Se f e g são duas funções deriváveis no ponto x e 0)( ≠xg , então 
		
൬݂݃൰ ′(ݔ) =
݂′(ݔ). ݃(ݔ) − ݂(ݔ). ݃′(ݔ)
݃ଶ(ݔ)	
 
 
Exercícios: 
5) Determine a derivada das funções a seguir. 
(a) 
2
2)(
−
+
=
x
xxf (b) 2
1)(
x
xf = (c) 7
3)(
x
xf −= (d) 
12
3)( 2 +
=
x
xxf 
(e) 
5
1)( 2 +
=
x
xf (f) 
x
xxf 14)( += (g) 3
74 232)(
x
xxxxf −+= 
(h) x
xx
xf 421)( 3 ++= 
 
• Derivada da Função n xxf =)( 
 
111 1)(')(
−
=⇒== nnn x
n
xfxxxf 
 
Lembre que: 
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Exercícios: 
6) Determine a derivada das funções a seguir. 
(a) 3)( xxf = (b) 4)( xxf = (c) 7)( xxf = (d) 5)( xxf = 
 
• Derivada da Função Exponencial e da Função Logarítmica 
Uma função exponencial é toda função do tipo xaxf =)( , com IRa ∈ , 0>a e 1≠a . Temos que: 
 		
݂(ݔ) = ܽ௫ ⇒ ݂′(ݔ) = ܽ௫ ln ܽ		
			 
 
Para a função exponencial com base e (ver Obs.2), xexf =)( , temos que 
݂(ݔ) = ݁௫ ⇒ ݂′(ݔ) = ݁௫ ln ݁ = ݁௫, pois	 ln ݁ =1 
Portanto, 
			
݂(ݔ) = ݁௫ ⇒ ݂′(ݔ) = ݁௫
			 
Obs.: 
1) Observe que a função derivada de xexf =)( é ela mesma. 
 
2) O número e é um número irracional (lembrando: um número é irracional quando não pode ser 
escrito em forma de fração). O valor aproximado de e é 
 
71828,2≈e 
 
Uma função logarítmica de base a, onde IRa ∈ , 0>a e 1≠a , é toda função do tipo 
݂(ݔ) = log௔ ݔ, com IRx ∈ e 0>x . Temos que: 
 		
݂(ݔ) = log௔ ݔ ⇒ ݂′(ݔ) =
1
ݔ ln ܽ					
 
 
 
• nn aa =
1
, com IRa ∈ , 0>a , e ,....}5,4,3,2{∈n 
• n mn
m
aa = , com IRa ∈ , 0>a , ,....}3,12,0,1,2,3{..., −−−∈m e ,....}5,4,3,2{∈n 
• n
n
a
a 1=− , com IRa ∈ , 0≠a e ,...}3,2,1{∈n 
• 
nn
a
b
b
a ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − , com IRba ∈, , 0≠a , 0≠b e ,...}3,2,1{∈n 
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Para a função logarítmica com base e, xxxf e lnlog)( == , temos que 
݂(ݔ) = ln ݔ ⇒ ݂′(ݔ) = 1ݔ ln ݁ =
1
ݔ 
Portanto, 
		
݂(ݔ) = ln ݔ ⇒ ݂′(ݔ) = 1ݔ					
 
 
Exercícios: 
7) Determine a derivada das funções a seguir. 
(a) xxf 5)( = (b) xexf =)((c) 
x
xf ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
3
2)( (d) xxf 3log)( = 
(e) xxf ln)( = (f) 23)( xexf x += (g) 34ln)( xexxf x ++= 
(h) ( ) lnxf x e x= (i) 
ln( ) x
xf x
e
= (j) 
5( )
3
x
xf x = 
 
• Derivadas das Funções Trigonométricas 
Nas funções trigonométricas, a variável x é um número real e representa o ângulo de medida x 
radianos. 
Função seno: ( ) sen '( ) cosf x x f x x= ⇒ = Função cosseno: ( ) cos '( ) senf x x f x x= ⇒ = − 
 
Demais funções trigonométricas: 
Função Tangente: sentg =
cos
xx
x
 Função Cotangente: coscotg =
sen
xx
x
 
Função Secante: 1sec =
cos
x
x
 Função Cossecante: 1cossec =
sen
x
x
 
Relação Trigonométrica Fundamental: 2 2sen cos 1x x+ = 
 
Exercícios: 
8) Determine a função derivada das funções tangente, cotangente, secante e cossecante. 
 
9) Determine a derivada das funções a seguir. 
(a) xxxf sen3)( −= (b) xxxf sen)( = (c) xxxf cossen)( += 
(d) xxxf tg2cos)( += (e) xxxf tgsec4)( += (f) xexf x sen)( = 
(g) xxxf cotgseccos)( = (h) 2
sen)(
x
xxf = 
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Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas 
 
Função arco seno: xx sen arcou sen-1 
 
2
1-
1
1)('sen)(
x
xfxxf
−
=⇒= 
Função arco secante: xx sec arcou sec 1− 
 
1
1)('sec)(
2
1
−
=⇒= −
xx
xfxxf 
Função arco cosseno: xx cos arcou cos-1 
 
2
1
1
1)('cos)(
x
xfxxf
−
−
=⇒= − 
Função arco cossecante: xx seccos arcou seccos 1− 
 
1
1)('seccos)(
2
1
−
−
=⇒= −
xx
xfxxf 
Função arco tangente: xx tgarcou tg-1 
 
2
1-
1
1)('tg)(
x
xfxxf
+
=⇒= 
Função arco cotangente: x-1cotg ou x-1cotg arc 
 
2
1-
1
1)('cotg)(
x
xfxxf
+
−
=⇒= 
 
Exercícios: 
10) Determine a derivada das funções a seguir. 
(a) xxxf -12 sen)( += (b) xxxf -1cotg)( ⋅= (c) xxxf += −1cos2)( 
(d) xexxf 3cosssec)( -1 += (e) xxxf -1tgsen)( += (f) xxxf -1secln)( ⋅= 
(g) 
x
xxf 1
2
tg
)(
−
= (h) 
12
sen)(
-1
+
=
x
xxf 
 
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Respostas: 
 
1) (a) 0)(' =xf (b) 0)(' =xf (c) 0)(' =xf (d) 0)(' =xf (e) 1)(' =xf 
(f) 3)(' =xf (g) 5)(' −=xf (h) 7)(' =xf (i) xxf 2)(' = (j) 106107)(' xxf = 
(l) 56)(' xxf = (m) 23)(' xxf = 2) 4950 −= xy 
 
3) (a) 2 (b) 16 −x (c) 32 515 xx − (d) 0 (e) 43 3 −x (f) 562421 256 −+− xxx
(g) x30− (h) 1234 ++++ xxxx 
 
4) (a) xxh 2)(' = (b) 14618)(' 2 +−= xxxh (c) 87830)(' 24 ++= xxxh 
(d) 88101011)( 34910 −−+−= xxxxxh (e) 481216206)(' 2345 −−−−−= xxxxxxh 
(f) 49 2510)(' xxxh += (g) 11606)(' 2 −−= xxxh (h) xxxxh 4960)(' 25 ++= 
5) (a) ( )22
4)('
−
−
=
x
xf (b) 3
2)('
x
xf −= (c) 8
21)('
x
xf = (d) ( )22
2
12
36)('
+
+−
=
x
xxf 
(e) ( )22 5
2)('
+
−
=
x
xxf (f) 2
1)('
x
xf −= (g) 33 83
4)(' x
x
xf −+−= (h) 461)(' 42 +−
−
=
xx
xf 
6) (a) 
3 23
1)('
x
xf = (b) 
4 34
1)('
x
xf = (c) 
7 67
1)('
x
xf = (d) 
5 45
1)('
x
xf = 
7) (a) 5ln5)(' xxf = (b) xexf =)(' (c) 
3
2ln
3
2)('
x
xf ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= (d) 
3ln
1)('
x
xf = 
(e) 
x
xf 1)(' = (f) xexf x 6)(' += (g) 2341)(' xe
x
xf x ++= 
(h) 1'( ) lnxf x e x
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠ (i) 
1 ln'( ) x
x xf x
xe
−
= (j) 5 5'( ) ln
3 3
xf x e ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
8) ( ) 2tg ' secx x= ( ) 2cotg ' cossecx x= − ( )sec ' sec tgx x x= ⋅ ( )cossec ' cossec cotgx x x= − ⋅ 
9) (a) xxf cos31)(' −= (b) xxxxf cossen)(' += 
(c) xxxf sencos)(' −= (d) xxxf 2sec2sen)(' +−= 
(e) ( )xxxxf sec4tgsec)(' += (f) ( )xxexf x cossen)(' += 
(g) ( )xxxxf 22 seccoscotgseccos)(' +−= (h) 32sen-cos)(' x xxxxf = 
10) (a) 
21
12)('
x
xxf
−
+= (b) 2
1-
1
cotg)('
x
xxxf
+
−= (c) 
xx
xf
2
1
1
2)('
2
+
−
−
= 
(d) xe
xx
xf 3
1
1)('
2
+
−
−
= (e) 21
1cos)('
x
xxf
+
+= (f) 
1
lnsec)('
2
-1
−
+=
xx
x
x
xxf 
(g) ( )( ) ( )21-2
2-12
tg1
tg12)('
xx
xxxxxf
+
−+
= (h) ( )22
-12
121
sen1212)('
+−
−−+
=
xx
xxxxf
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Formulário Derivação 
Sejam a, b e c constantes e f e g funções deriváveis. Temos que: 
Função constante, do 1º grau, potência e raiz n-ésima: 
( ) 0'=c ( ) abax =+ ' ( ) 1' , 0n nx n x n−= ≠ ( ) 1 1 11' 'n n nx x xn
−
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Regras de derivação: 
( ) )(')(' xcfxcf = ( ) )(')(')(' xgxfxgf +=+ ( ) )(')(')(' xgxfxgf −=− 
( ) )(')()()(')(' xgxfxgxfxfg += 
)(
)(')()()(')(' 2 xg
xgxfxgxfx
g
f −
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
Funções Exponencial e Logarítmica: 
( ) ' lnx xa a a= ( ) 'x xe e= ( ) 1log ' lna x x a= ( ) xx 1'ln = 
Funções Trigonométricas: 
( ) xx cos'sen = ( ) xx sen'cos −= 
Funções Trigonométricas Inversas: 
( )
2
1-
1
1'sen
x
x
−
= ( )
2
1
1
1'cos
x
x
−
−
=
− ( ) 21- 1 1'tg xx += 
( )
1
1'sec
2
1
−
=
−
xx
x ( )1
2
1cosec '
1
x
x x
−
−
=
−
 ( ) 21- 1 1'cotg xx +−=