Apostila de Transformacao de Coordenadas do IBP

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Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 1
 
 
 
 
Escola Superior de Tecnologia e 
Gestão de Beja 
 
Transformação de Coordenadas 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cartografia Matemática 
Docente: Luís Machado 
Discentes: João Soares nº 3687 
 Luís Faria nº 4037 
Curso: Engenharia Topográfica 
Ano: 2º 
Ano Lectivo: 2005/2006 
Data de Entrega: 16/12/2005 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 2
Índice 
 
 
Índice .................................................................................................................................2 
Introdução ..........................................................................................................................3 
Palavras-chave ...................................................................................................................4 
O Modelo de Bursa – Wolfe ..............................................................................................7 
O Modelo de Molodensky ...............................................................................................10 
Transformação de Coordenadas ......................................................................................12 
A Transformação de coordenadas Naturais em Geodésicas ....................................... 12 
Transformação entre Coordenadas Geodésicas e Tridimensionais ............................ 14 
Transformação de Coordenadas Cartográficas ........................................................... 16 
Coordenadas Tridimensionais: ................................................................................... 17 
Coordenadas Geodésicas Elipsoidais: ........................................................................ 18 
Síntese das Transformações e conversões entre sistemas de coordenadas ................. 20 
Conclusão ........................................................................................................................22 
Referências Bibliográficas ...............................................................................................23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 3
Introdução 
 
 No âmbito da disciplina de Cartografia Matemática, elaborou-se um trabalho 
que tem como título “Transformação de Coordenadas”. Este trabalho tem o intuito 
de informar ou mostrar algumas das transformações de coordenadas existentes na 
Geodesia. Há várias transformações de coordenas, mas só algumas vão ser 
referidas neste trabalho. Algumas das transformações de coordenadas que se iram 
verificar neste trabalho são: 
 Transformação de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais (x, y, z) 
 Transformação de Coordenadas Geodésicas (φ, λ, h) 
 Transformação de Coordenadas Cartográficas 
 
 Posteriormente a todas estas transformações definimos dois métodos que 
se revelam muito importantes sendo até mesmo inseparáveis na elaboração de 
transformação de coordenadas, esses métodos são: 
 Método de Bursa-Wolfe 
 Método de Molodensky 
 
 Estes métodos vão ser importantes para a elaboração do trabalho, uma vez 
que vão ser referidos ao longo de quase todo o trabalho. 
 Optamos também por inserir algumas definições que achamos que seriam 
relevantes para a riqueza do trabalho, definições essas que passam por uma 
pequena explicação de algumas palavras-chave para um entendimento melhor e 
mais definido do trabalho. 
 
 
 
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 4
Palavras-chave 
 
Cartografia matemática 
 Ramo da Cartografia que trata dos aspectos matemáticos ligados à 
concepção e construção das cartas, designadamente as projecções cartográficas. 
Embora as primeiras projecções cartográficas conhecidas remontem à antiguidade 
clássica, a sua abordagem mais formal só foi iniciada após o desenvolvimento do 
cálculo matemático, que se verificou no final do séc. XVII, sobretudo por Lambert e 
Lagrange. Nó séc. XIX, foram muito importantes os contributos de Gauss e de 
Tissot. O termo tradicional português actualmente em desuso, é geografia 
matemática. 
 
Coordenadas cartográficas 
 Coordenadas rectangulares definidas sobre uma quadrícula cartográfica, 
designadamente a distância à distância à meridiana e a distância à perpendicular. 
 
Coordenadas geodésicas 
 Sistema de coordenadas, rectangulares ou geográficas, definido numa 
determinada superfície de referência geodésica. 
 
Coordenadas geodésicas elipsoidais 
 Coordenadas geodésicas definidas num elipsóide de referência, 
designadamente a latitude, a longitude e a altitude geodésicas. 
 
 
Coordenadas rectangulares 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 5
 Sistema de coordenadas, no plano (ou no espaço tridimensional), que utiliza 
duas (ou três) medidas de distância a dois (ou três) eixos perpendiculares entre si 
para referenciar as posições. No caso dos sistemas de coordenadas planas, os 
eixos são geralmente designados por eixo das abcissas e eixo das ordenadas. 
 
Datum 
 Em geodesia, o conjunto dos parâmetros que constituem a referência de um 
sistema de coordenadas geográficas ou altimétricas. 
 
 
Datum Geodésico 
 Conjunto dos parâmetros que constituem a referência de um determinado 
sistema de coordenadas geográficas, e que inclui a especificação do elipsóide de 
referência, bem como a sua posição e orientação relativamente ao globo terrestre. 
 
Elipsóide de referência 
 Elipsóide utilizado como superfície de referência geodésica. Trata-se, 
geralmente, de um elipsóide de revolução podendo, em circunstâncias especiais, 
ser um elipsóide triaxial. Vários elipsóides de revolução têm sido utilizados, a partir 
do início do século XIX, desde o elipsóide de Everest (1830) até ao recente 
WGS84. 
 A maior parte da cartografia mundial ainda assenta no elipsóide 
internacional de Hayford, aprovado em 1924. A emergência e disseminação do 
GPS trouxe, por outro lado, uma importância acrescida ao WGS84. 
 
Geodesia 
 Ciência que se ocupa do estudo da forma e dimensões da Terra. 
Tradicionalmente, a Geodesia subdividia-se em dois ramos: a Geodesia superior, 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 6
que estudava o campo gravítico da Terra e estabelecia a rede geodésica de 
primeira ordem; e a Geodesia Inferior, que adensava a rede geodésica de primeira 
ordem e tratava da Cartografia. Nos nossos dias, a Cartografia e a Topografia 
autonomizaram-se, pelo que o campo de actuação da Geodesia se limita aquilo 
que era a Geodesia Superior.Latitude 
 Coordenada geográfica definida na esfera, no elipsóide de referência ou na 
superfície terrestre, que é o ângulo entre o plano do equador e a normal á 
superfície de referência. 
 
Longitude 
 Coordenada geográfica definida na esfera, no elipsóide de referência ou na 
superfície da Terra, que é o ângulo diedro entre o plano do meridiano do lugar e 
plano de um meridiano tomado como referência, o meridiano Greenwich. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 7
O Modelo de Bursa – Wolfe 
 
 As coordenadas geodésicas rectangulares (x, y, z) de um ponto, relativas a 
um determinado datum geodésico, podem ser relacionadas com as coordenadas 
geodésicas rectangulares (u, v, w) do mesmo ponto, relativas a um segundo datum 
geodésico, por intermédio de uma transformação de semelhança elementar, 
conhecida por transformação de Bursa-Wolfe. 
 
 A transformação de Bursa-Wolfe consiste numa rotação (R) seguida por 
uma mudança de escala   e por uma translação   expressa pela formula de 
Bursa-Wolfe: 
 
 
 





























z
y
x
k
k
w
v
u
RXU
1
1
1



 +











z
y
x
 
 
 
onde  ,  e k são ângulos muito pequenos, que (em radianos) exprimem três 
rotações sucessivas em torno dos eixos dos xx, dos yy e dos zz, respectivamente, 
 é um factor de escala, próximo da unidade e ( zyx  ,, ) são as componentes 
de um vector translação. 
 
 Os parâmetros de rotação, escala e translação da transformação de Bursa-
Wolfe podem ser estimados a partir de um conjunto de pontos do terreno cujas 
coordenadas geodésicas rectangulares, relativas aos dois data, sejam previamente 
conhecidas. A fórmula de Bursa-Wolfe permite formar um sistema de equações 
não linear, para cuja resolução, em ordem aos parâmetros desconhecidos, pode 
ser utilizado o método descrito seguidamente. 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 8
Considerando a fórmula de Bursa-Wolfe, tendo em atenção que: 
 
 
,1  d 









100
010
001
R dRk
k













0
0
0



 
 
Resulta a relação aproximada: 
 
  dRdXU  
 
Desde que se ignore a parcela matricial de segunda ordem   dRd . 
 
 Considerando três pontos, cujas coordenadas geodésicas rectangulares 
relativas aos dois data geodésicos são conhecidas, a relação anterior permite 
constituir um sistema de equações lineares que pode ser expresso matricialmente 
na forma: 
 
 

























1000333
0103033
0013303
1000222
0102022
0012202
1000111
0101011
0011101
xyz
xzy
yzx
xyz
xzy
yzx
xyz
xzy
yzx



















z
y
x
d



=

























33
33
33
22
22
22
11
11
11
zw
yv
xu
wz
yv
xu
zw
yv
xu
   
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 9
 A informação proporcionada por dois pontos com coordenadas conhecidas 
nos dois data não é suficiente para determinar os sete parâmetros da 
transformação. 
 A informação proporcionada por três pontos não colineares já se torna, no 
entanto, redundante. A utilização de três (ou mais) pontos conhecidos nos dois 
sistemas, torna possível constituir um sistema redundante com nove (ou mais) 
equações lineares a sete incógnitas, em geral inconsistente, que pode ser tratado 
pelo método dos mínimos quadrados. Simbolizando por  a matriz do sistema, 
por  o vector das incógnitas e por  o vector dos termos independentes, o 
método dos mínimos quadrados preconiza a resolução, em ordem a  , da 
equação vectorial consistente: 
 
   TT AAA  
 
 Na prática, por razões de natureza numérica, os pontos com coordenadas 
conhecidas nos dois data devem enquadrar os pontos a transformar no seu 
interior. Se se pretender determinar parâmetros válidos, por exemplo, para todo o 
território de Portugal continental, deverá ser utilizado um conjunto de pontos 
conhecidos com uma distribuição semelhante à da rede geodésica de primeira 
ordem. Os sistemas de equações resultantes de conjuntos de pontos muito 
próximos são sistemas instáveis cuja resolução dá origem a valores afectados por 
erros significativos. 
 
 
Quadro 1 – Parâmetros da transformação de Bursa-Wolfe 
 
SGL     x y z 
Dt73 1.0000024 0.0 0.0 3.1 -238.36 86.87 26.88 
DtLx 0.9999933 2.2 15.2 13.9 -160.65 55.56 18.04 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 10
 A transformação das coordenadas geodésicas rectangulares relativas aos 
data geodésicos locais Hayford-Melriça e Hayford-Lisboa, para o datum geodésico 
global WGS84, pode ser baseada nos parâmetros de escala   , rotação (   ,, 
em dmgon e translação (  zyx  ,, em metros que se encontram no Quadro 1. 
 
 
O Modelo de Molodensky 
 
 O modelo de Molodensky é o modelo mais utilizado na transformação de 
coordenadas geodésicas relativas a diferentes data geodésicos. Os receptores 
GPS possuem software para a conversão entre os data nacionais e o WGS84, em 
geral, baseado no modelo de Molodensky. 
 
 As coordenadas geodésicas elipsoidais de um ponto  h,, , relativas a um 
determinado datum geodésico, podem ser relacionados com as coordenadas 
geodésicas elipsoidais do ponto: 
 
  hh  ,,  
 
Relativas a um segundo datum geodésico, pela transformação de Molodensky. A 
transformação de Molodensky é apresentada (Stansel, 1978) em duas versões: a 
versão standard e a versão abreviada, onde são feitas algumas simplificações. Em 
particular, na versão abreviada, a altitude é ignorada nas correcções à latitude e à 
longitude. 
 As fórmulas da transformação abreviada de Molodensky, que fornecem os 
acréscimos em latitude, longitude e altitude geodésicas às coordenadas do ponto 
relativas ao primeiro datum, são: 
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 11
   
MR
SenfaafzCosSenySenCosxSen  2 
 

  

CosR
yCosxSen
N
 
 
 
  aSenfaafzSenSenyCosCosxCosh   2 
 
 
onde a e f são as diferenças entre o semieixo maior e o achatamento dos dois 
elipsóides de referência e x , etc., são as componentes do vector diferença entre 
os centros dos dois elipsóides de referência. Esta transformação ignora os 
parâmetros de rotação dos eixos que são considerados no modelo de Bursa-Wolfe. 
Deve notar-se que os acréscimos da latitudee da longitude são independentes das 
altitudes, embora o acréscimo da altitude depende da latitude e da longitude do 
ponto, o que permite transformar as latitudes e as longitudes independentemente 
da altitude elipsoidal que na prática é muitas vezes desconhecida. 
No Quadro 12, H e B simbolizam os elipsóides de Hayford e Bessel, são 
apresentados os parâmetros de Molodensky, para a transformação de 
coordenadas geodésicas relativas a diversos data geodésicos com interesse em 
Portugal. 
 
Quadro 2 – Parâmetros da Transformação de Molodensky 
 
Transformação  mx  my  mz  ma  510f 
BLx → HLx + 812.95 - 130.21 + 460.02 + 991 + 2.4230042 
BLx → ED50 + 594.56 - 081.29 + 684.24 + 738 + 2.4230042 
BLx → WGS72 + 504.07 - 202.89 + 558.45 + 738 + 1.0000613 
BLx → Dt73 + 731.07 - 300.40 + 527.58 + 991 + 2.4230042 
HLx → ED50 - 218.39 + 048.92 + 224.22 0 0 
HLx →WGS72 - 308.88 - 072.68 + 098.43 - 253 - 1.4223913 
HLx → Dt73 - 081.88 - 170.19 + 067.56 0 0 
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Cartografia Matemática 12
 
HLx → WGS84 - 302.98 - 061.84 + 105.05 - 251 - 1.4192700 
Dt73 → WGS72 - 227.00 + 097.51 + 030.87 - 253 - 1.4223913 
Dt73 →WGS84 - 223.01 + 110.13 + 036.59 - 251 - 1.4192700 
ED50 → WGS72 - 090.49 - 121.60 - 125.79 - 253 - 1.4223913 
ED50 → WGS84 - 085.63 - 109.59 - 118.64 - 251 - 1.4192700 
 
 
Transformação de Coordenadas 
 
A Transformação de coordenadas Naturais em Geodésicas 
 
 A transformação entre coordenadas naturais e as coordenadas geodésicas 
elipsoidais associadas a um dado datum geodésico, exige o conhecimento, em 
cada ponto, das componentes meridiana e perpendicular do desvio angular da 
normal ao elipsóide relativo ao versor da direcção da vertical ( n ) e da ondulação 
do geóide, definidas do seguinte modo: 
 
 - desvio da vertical segundo o meridiano, é o ângulo formado pela 
projecção de n no plano que contem o meridiano geodésico em P, e pela normal 
ao elipsóide; 
 
 - desvio da vertical segundo a secção normal principal, é o ângulo 
formado pela projecção de n no plano da secção normal principal em P com a 
normal ao elipsóide; 
 
 - ondulação do geóide, é o comprimento do segmento da linha de fio 
de prumo que passa em P, entre o geóide e o elipsóide (positivo para o exterior e 
negativo para o interior do elipsóide). 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 13
 
 Uma vez conhecidas as componentes do desvio da vertical e a ondulação 
do geóide em P, a transformação das coordenadas naturais em coordenadas 
geodésicas elipsoidais é muito simples: 
 
 ,  , Sec h 
 
Exemplo: Os valores dos desvios da vertical nos vértices da rede geodésica de 
Portugal continental, relativamente ao elipsóide de Hayford posicionado em 
Potsdam, no Datum Europeu (ED50), podem atingir cerca de 15". No vértice 
geodésico de Melriça, cujas coordenadas naturais são: 
 
  39° 41' 37.33"  8° 07’ 53.43"  600.51m 
 
os desvios da vertical e a ondulação do geóide relativos ao ED50: 
 
  -7.39"  -6.83" 0 -30.11m 
 
permitem calcular as suas coordenadas geodésicas elipsoidais ED50: 
 
  39° 41' 29.94"  8° 07' 44.55"  570.40m 
 
 
Os azimutais astronómicos e geodésicos definidos por dois pontos P e Q, estão 
relacionados pela equação de Laplace, cuja versão simplificada, para pontos a 
altitudes semelhantes, é: 
 
    anSen   
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 14
Exemplo: No vértice geodésico Melriça, os azimutes astronómicos podem ser 
convertidos em azimutes geodésicos mediante uma correcção: 
 
 
   TanA - 5.67" 
 
 
 
Transformação entre Coordenadas Geodésicas e Tridimensionais 
 
 A posição de um ponto P do terreno, de coordenadas cartesianas (X,Y,Z), 
relativas a um datum geodésico, pode ser expressa em coordenadas 
geodésicas  h,, , relativas a mesmo datum geodésico, através das seguintes 
expressões: 
 
 coscos)( hRX N  
 senhRY N cos 
   senheRZ N  21 
 
onde RN representa o raio de curvatura de secção normal à latitude  , também 
designado por Grande Normal, cujo valor é dado por: 
 
221 sene
aRN 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 15
 
Fig. 1 – Relação entre as coordenadas tridimensionais e geográficas 
 
 Para a transformação inversa, ou seja, o cálculo das coordenadas geográfi-
cas, conhecidas tridimensionais, podem utilizar-se as seguintes expressões: 
 
2/13222
32'
)cos(
tan 

aeYX
bseneZ

 
 
X
Ytan 
 
NR
YXh  cos
2
2
 
 
onde a, b, e, e’ são respectivamente os semieixos maior e menor e a primeira e 
segunda excentricidades do elipsóide de referência e onde: 
 
22
tan
YXb
aZ

 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 16
 Usualmente, esta transformação é feita por um processo iterativo, mas 
pode também ser usado um processo directo, através da resolução de uma 
equação de quarto grau (Vanicek & Krakiwsky, 1982). Este último método 
encontra-se programado e em aplicação no IPCC (Salomé Romão, 1987). 
 
 
Transformação de Coordenadas Cartográficas 
 
 Para a compilação geométrica entre conjuntos de dados geográficos 
definidos em coordenadas cartográficas, é necessária a transformação das 
coordenadas dos objectos de um ou de ambos os conjuntos para um sistema de 
referência comum. A compilação é relativamente simples quando a regra de 
transformação entre referenciais é conhecida, podendo ser mais complexa quando 
não existe uma regra conhecida. 
 No caso de a conversão entre referenciais ser conhecida podem utilizar-se 
as funções inversas das projecções cartográficas para obter coordenadas 
geodésicas e posteriormente, caso seja necessário, coordenadas cartesianas 
tridimensionais. Sobre estes dois últimos tipos de coordenadas podem aplicar-se 
transformações de datum e em seguida fazer o caminho inverso até obter 
coordenadas cartográficas. 
 A determinação de regras de transformação, com expressão polinomial, 
pode ser feita mediante a selecção de um conjunto de pontos de controlo 
identificáveis em ambas as cartas. 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 17
Coordenadas Tridimensionais: 
 
 A cada elipsóide pode ser associado o referencial cartesiano tridimensional 
cuja origem coincide com o centro do elipsóide, cujo eixo dos zz contém o seu eixo 
menor (eixo polar), cujo eixo dos xx passa pela intersecção do meridiano de 
Greenwich com o Equador e cujo eixo dos yy, também sobre o Equador, forma 
com os anteriores um diedro directo.As coordenadas cartesianas tridimensionais 
associadas ao referencial anterior designam-se por coordenadas geodésicas 
rectangulares. 
São as coordenadas vulgarmente conhecidas como X, Y e Z. A sua 
designação provem do facto de elas estarem correlacionadas com as três 
dimensões. 
As coordenadas tridimensionais são utilizadas, nomeadamente, na 
conversão entre diferentes data geodésicos, locais ou globais, e em 
posicionamento por métodos espaciais, no caso dos elipsóides posicionados por 
data globais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2 – Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 18
Coordenadas Geodésicas Elipsoidais: 
 
A equação do elipsóide de rotação em coordenadas cartesianas é 
 
x y
a
z
b
2 2
2
2
2 1
   
se o centro do elipsóide coincidir com a origem das coordenadas. 
Em ordem a referenciar a posição de um ponto na superfície do elipsoide, é 
costume fazê-lo através de coordenadas curvilíneas. 
As mais usadas são a latitude  e a longitude , a que chamaremos 
coordenadas geodésicas (ver figura seguinte). 
 
 
  é o angulo entre a normal á superfície e o plano do equador (ver próxima 
figura). 
 
Transformação de Coordenadas Junho de 2006 
 
Cartografia Matemática 19
 
A linha curvilínea  = constante é designada por paralelo. 
A curva  = constante é designada por meridiano. 
A longitude  refere-se a um meridiano zero que pode ser escolhido 
arbitrariamente. 
 O meridiano de Greenwich é normalmente escolhido como meridiano zero e 
também contem o eixo dos X. 
 Para o elipsóide de rotação, os meridianos são elipses e os paralelos são 
círculos. 
 O angulo  é o azimute da linha de superfície P1P2. 
 O azimute é contado positivamente a partir do meridiano que passa por P1 
e P2 e no sentido dos ponteiros do relógio. 
 
Dado um elipsóide de referência, posicionado relativamente à Terra, os pontos P 
da superfície terrestres podem ser feitos corresponder às suas projecções P' no 
elipsóide por intermédio da normal em P' ao elipsóide. 
 Para cada ponto P da superfície terrestre é, nestas condições, possível 
definir, relativamente a um dado elipsóide de referência, um meridiano e um 
paralelo geodésico. 
 O meridiano geodésico de P é a secção elíptica causada no elipsóide pelo 
plano definido pelo eixo menor do elipsóide e pela normal ao elipsóide P'. 
 O paralelo geodésico de P é a secção circular causada no elipsóide pelo 
plano paralelo ao Equador elipsoidal em P'. 
 
As coordenadas geodésicas elipsoidais do ponto P são: 
 
Latitude geodésica () – ângulo medido a partir do plano equatorial até à 
direcção da perpendicular ao elipsóide no ponto P, sendo positivo na direcção 
norte; 
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Longitude geodésica () – ângulo medido a partir do plano do meridiano de 
referencia (Greenwich) até ao plano do ponto P, sendo positivo na direcção leste; 
 
Altitude elipsoidal (h) – distância do ponto P a partir do elipsóide geodésico 
medida ao longo da perpendicular ao elipsóide nesse ponto, com valor positivo 
para os pontos exteriores ao elipsóide. 
 
 
Síntese das Transformações e conversões entre sistemas de 
coordenadas 
 
 
 
 
Cartesianas 
3D 
 
Cartesianas 
3D 
(x,y,z) 
 
 
Geodésicas 
 
 
Geodésicas 
(φ,λ,h) 
Bursa-Wolf 
Molodensky 
 
 
Cartográficas 
 
 
Cartográficas Polinomial 
Projecção 
Cartográfica 
Datum 1 Datum 2 
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 A conversação entre diferentes tipos de coordenadas num mesmo datum é 
exacta, ou seja, a passagem de coordenadas cartesianas tridimensionais para 
coordenadas geodésicas e daí para coordenadas cartográficas não é efectuada 
por qualquer incerteza. Já a transformação de coordenadas entre data diferentes é 
necessariamente afectada pela incerteza associada às coordenadas dos pontos 
referenciados em ambos os sistemas e à sua utilização para a sua estimativa dos 
parâmetros de transformação. 
 A transformação entre coordenadas cartográficas com funções polinomiais 
é a que pior se ajusta ao objectivo, atendendo a que polinómios não traduzem a 
complexidade geométrica de uma mudança de datum e uma projecção 
cartográfica. A transformação entre coordenadas cartesianas tridimensionais é 
aproximadamente linear, pelo que é adequadamente modelada pela transformação 
de Bursa-Wolf. Assim, de forma aparentemente paradoxal, o processo mais exacto 
para realizar uma transformação entre sistemas de coordenadas cartográficos é 
proceder à conversão para coordenadas geodésicas e daí para cartesianas 
tridimensionais, forma sobre a qual se procede à mudança de datum, descendo 
depois até coordenadas cartográficas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão 
 
 Sendo a Geodesia uma disciplina que se encarrega do estudo da forma e 
dimensão da Terra, digamos que também com o apoio da Cartografia Matmática a 
elaboração deste trabalho tornou-se muito importante uma vez que permitiu obter 
uma maior noção do seu termo científico e do seu papel desempenhado nos dias 
de hoje. Para o estudo da forma e dimensão da Terra, bem como do seu campo 
gravitacional, possuímos métodos e instrumentos para a observação e medição 
com elevada precisão das coordenadas de pontos sobre a superfície terrestre. 
 Ao longo deste trabalho aplicamos as ferramentas básicas que a Geodesia 
e Cartografia Matemática possui para transformar coordenadas geodésicas em 
coordenadas cartesianas tridimensionais e vice-versa. Para além destas, foi 
também possível transformar coordenadas geodésicas para coordenadas 
cartográficas e vice-versa, sendo por fim a transformação de coordenadas naturais 
para coordenadas geodésicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
 - João Casaca, João Matos, Miguel Baio, 2000, Topografia Geral, 3ª Edição, 
Lidel, Lisboa, Portugal. 
 
- João Matos, 2001, Fundamentos de Informação Geográfica, 3ª Edição, 
Lidel, Lisboa, Portugal. 
 
 - Instituto Geográfico do Exército, 2000, Noções Gerais de Geodesia, 
Lisboa, Portugal. 
 
 - Joaquim Alves Gaspar, 2004, Dicionário de Ciências Cartográficas, Lidel, 
Lisboa, Portugal. 
 
 - Apontamentos Teóricos da cadeira de Geodesia I.