Exercícios de OTIMIZAÇÃO - CALCULO II

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Lista de Exerc´ıcios - Otimizac¸a˜o - Professor Roney Rachide Nunes
Otimizac¸a˜o
1. Determine o nu´mero real positivo cuja soma com o inverso de seu quadrado seja mı´nima.
2. Ache dois nu´meros positivos cuja soma e´ 16, e o produto e´ ma´ximo.
3. Determine a altura do cilindro circular reto, de volume ma´ximo, inscrito na esfera de raio r.
4. Deseja-se construir um recipiente cil´ındrico com volume 1 m3. Nas laterais e no fundo sera´ utilizado
um material que custa $5,00 o metro quadrado, enquanto o material da tampa custa $10,00 o metro
quadrado. Determine as dimenso˜es do cilindro que minimizem o custo total do material empregado.
5. Encontre o ponto P da curma y = 3x−1 que esta´ mais pro´ximo da origem.
6. Deve-se construir um reservato´rio cilindrico reto, aberto no topo, com capacidade de 24pim3 de capa-
cidade. O custo do material usado para fazer o fundo e´ treˆs vezes maior que o custo (por unidade de
a´rea) do material usado na superficie lateral. Determine as dimenso˜es do reservato´rio que minimizam
o custo.
7. Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que devera´
armazenar 1000cm3 de o´leo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produc¸a˜o do
recipiente e´ medido pela a´rea total do recipiente. Determine a altura h e o raio da base r do cilindro
(ambos medidos em cm) que minimizam o custo de produc¸a˜o.
8. Um retaˆngulo encontra-se inscrito em um semi-c´ırculo de raio r. Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo
que maximizem sua a´rea.
9. Encontre o volume do maior cone circular reto que pode ser inscrito em uma esfera de raio 3m.
10. Determine as dimenso˜esdo retaˆngulo de maior a´rea poss´ıvel que pode ser inscrito na elipse de equac¸a˜o
x2
9
+
y2
4
= 1.
11. Uma loja retangular tem 315m2 de a´rea. A frente dessa loja e´ de vidro, e as demais paredes sa˜o de
tijolo, tendo as quatro paredes a mesma altura. O metro quadrado do vidro custa o dobro do metro
quadrado de tijolo. Quais as dimenso˜es da loja que minimizara˜o o custo total do material usado nessas
quatro paredes?
12. Um arame de comprimento 20cm deve ser cortado em dois pedac¸os, um para formar um quadrado e
outro para formar um triaˆngulo equila´tero. Como devemos cortar este arame, de forma que a soma das
a´reas do quadrado e do triaˆngulo seja ma´xima e mı´nima (considere duas situac¸o˜e. Na primeira, voceˆ
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pode fazer apenas o quadrado, ou apenas o triaˆngulo, ale´m do quadrado e o triaˆngulo. Na segunda,
voceˆ deve obrigatoriamente ter um quadrado e um triaˆngulo).
13. Uma escada, apoiada no cha˜o, deve passar sobre uma cerca de 36dm de altura ate´ uma parede situada
a 6dm depois dessa cerca. Qual o comprimento da menor escada que pode ser usada?
14. Dentre todos os triaˆngulos iso´sceles de per´ımetro fixo, mostre que o de maior a´rea e´ o equila´tero.
15. Determine a dimensa˜o de um triaˆngulo de a´rea ma´xima, que pode ser inscrito em um semicirculo de
raio r.
16. Um so´lido sera´ constru´ıdo acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semi-
esfera de raio r. Deseja-se que a a´rea da superf´ıcie do so´lido seja 5pi. Determine r e h para que o
volume seja ma´ximo.
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