a1-5215

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APOSTILA 
PMR 5215 – OTIMIZAÇÃO 
APLICADA AO PROJETO DE 
SISTEMAS MECÂNICOS 
 
 
Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva 
Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas 
Mecânicos 
Escola Politécnica da USP 
 
 
 
Otimização em Engenharia Mecânica Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Para entendermos a importância de se estudar otimização, vamos considerar um problema de 
engenharia estrutural em que se deseja maximizar a rigidez da asa de um avião. Suponhamos 
que os parâmetros que possam ser alterados sejam a espessura das nervuras (e1, e2), momento 
de inércia das longarinas (I), distância entre as nervuras (L1 e L2), distância entre as longarinas 
(L3 e L4), espessura da chapa em diferentes pontos (h1,h2), material da estrutura (E), totalizando 
10 parâmetros. Suponha ainda que cada parâmetro possa assumir 10 valores definidos devido a 
restrições de fabricação e que será usado um software de elementos finitos (MEF) para a 
simulação da estrutura da asa. Vejamos duas abordagens para a solução desse problema. 
 
A primeira abordagem, mais conhecida por todos, seria construir um modelo parametrizado de 
elementos finitos da asa com os parâmetros acima e rodar várias análises de MEF considerando 
as diversas combinações dos parâmetros acima. Para cada resultado de análise (obtido para uma 
combinação de parâmetros), calcula-se o valor correspondente da rigidez da asa. De posse dos 
valores de rigidez da asa para as diferentes combinações de parâmetros, podemos plotar vários 
gráficos dessa rigidez em função dos diversos parâmetros e analisando esses gráficos tomar 
uma decisão sobre a combinação ótima dos valores desses parâmetros. Essa abordagem é 
denominada abordagem de análise. No entanto, essa abordagem apresenta uma grande 
limitação. Suponha que tivéssemos apenas 3 parâmetros (dos 10 acima) para considerar no 
projeto da asa. Como cada parâmetro pode assumir 10 valores, teríamos 103 combinações 
possíveis para serem analisadas. Se cada análise de MEF demora 0,1s (supor um modelo 
simples de MEF) o tempo total para analisar essas 1000 combinações seria 100s. Agora, 
considerando os 10 parâmetros, teríamos 1010 combinações de parâmetros para serem 
analisadas, e considerando agora que cada análise de MEF demora 10s, o tempo total passa a 
ser 1011s, ou seja, 3200 anos!! Quer dizer, essa abordagem é inviável para o problema acima. 
Deve-se ainda computar os tempos de construção do modelo pelo software e a interpretação dos 
dados (cálculo da rigidez, etc.) o que aumenta ainda mais os tempos anteriores. 
 
Assim, a abordagem de análise somente faz sentido quando temos um número muito reduzido 
de casos a serem estudados. Para as dimensões do problema acima deve ser utilizado uma 
segunda abordagem, denominada de síntese ou otimização. Nessa abordagem, é realizado uma 
busca racionalizada da solução através de algoritimos numéricos de otimização, o que reduz 
drasticamente o tempo para encontrar a solução ótima. 
 
Embora a discussão do problema acima possa parecer óbvia, muitas pessoas ainda confundem o 
conceito da abordagem de análise com a otimização (ou síntese). Por exemplo, é comum se 
encontrar trabalhos em congressos em que o título se refere a otimização de uma peça mecânica 
ou um sistema (mecânico ou elétrico). Lendo o trabalho observa-se muitas vezes que o que o 
autor realmente fez foi desenvolver um algoritimo de análise sofisticado para aquele problema e 
de posse desse algoritimo propôs algumas alterações na solução inicial. Logicamente que, o fato 
de se possuir um algoritimo sofisticado de análise para algum problema (mecânico ou elétrico), 
nos permite ter um bom conhecimento do comportamento do problema, e portanto nos ajuda a 
tomar algumas decisões de como melhorar o resultado final. No entanto, a verdadeira 
otimização consistiria em se realizar uma busca sistemática da solução ótima dentro de várias 
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configurações possíveis, através de um algoritimo numérico de otimização, tornando assim o 
resultado independente do analista. Certamente esse algoritimo numérico de otimização deve 
trabalhar em conjunto com o algoritimo de análise que tem um papel fundamental nesse 
processo, pois ele vai certificar se a solução proposta pelo primeiro é realmente melhor ou não. 
No entanto, esse "mau uso" da palavra otimização não é culpa dos autores, mas sim de uma 
cultura que predominou nas décadas de 60 e 70 em que os olhos dos cientistas e engenheiros da 
área de estrutura estavam principalmente voltados para o desenvolvimento dos softwares de 
análise de CAE (“Computer Aided Engineering”), enquanto a otimização era considerada uma 
área secundária. Nessa época, a otimização tinha grande atuação em áreas como Economia e 
Engenharia de Produção (gestão da produção), quando foram desenvolvidos os vários 
algoritimos numéricos de otimização que são usados atualmente. Já na área estrutural a sua 
aplicação era restrita na indústria. Contudo, essa situação mudou muito nas décadas de 80 e 90 
(principalmente) nos Estados unidos, Japão e Europa, onde cursos sobre otimização estão 
presentes agora não somente na pós-graduação, mas principalmente na graduação (com 
abordagem mais básica) com o objetivo de iniciar a cultura de síntese ou otimização nos alunos. 
Nesses cursos, o aluno não se limita a analisar um sistema (por exemplo, estrutura) previamente 
fornecido, mas a projetá-lo de uma forma sistemática, segundo especificações de objetivo e 
limitações iniciais, utilizando conceitos de otimização. 
 
Uma das áreas da engenharia em que a otimização tem sido intensivamente estudada desde o 
século XIX e a área de otimização estrutural. O objetivo básico é reduzir o peso da estrutura 
mantendo o seu desempenho (rigidez, freqüência de ressonância, etc..). A maior parte das 
contribuições na otimização de sistemas mecânicos foram desenvolvidas na área de otimização 
estrutural. Por essa razão a maior parte dos exemplos discutidos nesse curso serão na área 
estrutural. A seguir um breve histórico sobre a otimização estrutural é apresentado. 
 
1.1 Breve Histórico da Otimização Estrutural 
 
O primeiros problemas de otimização estrutural foram resolvidos por Maxwell em 1872 e 
posteriormente por Michell em 1904. Consistiam essencialmente em inicialmente calcular o 
campo de tensão mecânicas principais, usando teoria da elasticidade, de uma força aplicada 
num ponto de um domínio infinito que está sujeito a restrições de deslocamento em outros 
pontos. Obtidas as linhas de isotensão principais, a idéia básica então, era propor nesse domínio 
uma estrutura formada por barras (treliça), em que cada barra (elemento de treliça) estivesse 
alinhada com as direções principais de tensão calculadas no domínio. Ou seja, a estrutura ótima 
(em que o material fosse melhor aproveitado) seria aquela em que os elementos estariam 
sujeitos apenas a tração e compressão e não há momentos fletores. Embora simples, esse tipo de 
critério de projeto fornece o mesmo resultado que o critério de máxima rigidez com mínimo 
volume de material e atualmente já é provado que a configuração ótima para esse critério é uma 
estrutura de treliças. Ou seja, mesmo partindo-se de um meio contínuo a estrutura com melhor 
aproveitamento de material, segundo o critério máxima rigidez e menor peso, é uma estrutura 
de barras de treliça. 
 
Assim utilizando-se do conceito de alinhar as barras com as tensões principais no domínio, 
Michell obteve resultados surpreendentes de estruturas de treliça como mostrado nas Figs.1.1.1, 
1.1.2 e 1.1.3 para domínios bi e tridimensionais. Nessas figuras apenas uma parte das linhas de 
isotensão principaisestão representadas para facilitar a visualização, no entanto o leitor deve 
imaginar que existem infinitas linhas de isotensão principais conectando a força aos suportes. 
Note que essas linhas devem ser perpendiculares no ponto de intersecção. 
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Fig.1.1.1: Exemplos de estruturas de treliça obtidas por Michell em 1904. As barras seguem as linhas 
de isotensão principais. A linha pontilhada indica compressão e a cheia tração. 
 
 
Fig.1.1.2: Exemplos de estruturas de treliça obtidas por Michell em 1904. As barras seguem as linhas 
de isotensão principais. 
 
 
Fig.1.1.2: Exemplo de estrutura de treliça num domínio tridimensional sujeita à carregamento de 
torção. A linha pontilhada indica compressão e a cheia tração. 
 
Embora surpreendentes, esses resultados ficaram esquecidos por um bom tempo por serem 
considerados na época resultados apenas acadêmicos sem aplicação prática. Esses resultados 
foram reproduzidos novamente na década de 90 em domínios de dimensões finitas com o uso 
de métodos computacionais baseados em otimização topológica. Atualmente, esses resultados 
são inclusive usados para aferir ("benchmarks") os softwares de otimização estrutural que se 
propõem a sintetizar estruturas, como é o caso da otimização topológica. 
 
Após os resultado de Michell em 1904, não houve praticamente evolução na otimização 
estrutural até a década de 60. Durante esse período eram apenas estudados problemas 
acadêmicos em estruturas simples (vigas, treliças) sem aplicação prática (mas que não seguiam 
a linha dos resultados de Michell). Na década de 60 com o surgimento dos computadores e do 
MEF, problema práticos de otimização estrutural passam a ser estudados usando otimização 
paramétrica, ou seja, alterando-se apenas as dimensões (ou as razões de dimensão da estrutura). 
Assim, por exemplo, é desenvolvido o método Simplex para a solução de problemas de 
programação linear. Na década de 70 são implementados vários algoritimos de otimização para 
problemas não-lineares de otimização bastante usados atualmente. Na verdade a formulação 
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teórica de alguns algoritimos já havia sido desenvolvida anteriormente, no entanto somente com 
o desenvolvimento das linguagens de programação, eles foram implementados. É implementado 
também o método de otimização de forma, além de métodos probabilísticos como os 
algoritimos genéticos. Na década de 80 aparecem os primeiros softwares comerciais de 
otimização estrutural e alguns softwares de elementos finitos passam a incluir módulos de 
otimização no seu pacote. É iniciado o desenvolvimento na área acadêmica do método de 
otimização topológica (MOT). Na década de 90, o MOT é implementado em softwares 
comerciais tendo grande repercussão na indústria automotiva e aeronáutica nos Estados Unidos, 
Japão, e Europa. 
 
Existem atualmente basicamente três abordagens em otimização estrutural: otimização 
paramétrica, otimização de forma e otimização topológica. Na otimização paramétrica são 
otimizadas as dimensões (ou a razão das dimensões) da estrutura, mantendo-se a sua forma pré-
definida. Na otimização de forma são alterados os contornos (internos e externos) da estrutura. 
Finalmente na otimização topológica são encontrados novos "buracos" de forma ótima no 
domínio estrutural. A redução do peso na estrutura e melhora do objetivo desejado é crescente 
na seqüência descrita dos métodos. Note que a otimização de forma apenas altera os contornos 
da estrutura não permitindo encontrar novos "buracos" nesta. 
 
Atualmente as pesquisas de otimização estrutural se concentram no desenvolvimento dos 
métodos de otimização de forma para aplicações como forjamento e estampagem, e do MOT 
para as diversas áreas da engenharia (não somente a estrutural). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
Na formulação de um problema de otimização estão presentes os seguintes conceitos: váriaveis de 
projeto, função objetivo, restrições e domínio viável e inviável que serão descritos a seguir. 
 
2.1 Variáveis de Projeto 
 
Essencialmente, as variáveis de projeto são os parâmetros do problema que podem ser alterados 
para otimizar o sistema. Por exemplo, no caso de uma estrutura podem representar uma certa 
dimensão que será alterada, área da seção de uma viga, ou o valor de uma propriedade do 
material de que é feita (por exemplo, o módulo de elasticidade). 
 
As variáveis de projeto são classificadas em variáveis contínuas e discretas. As variáveis 
contínuas podem assumir qualquer valor, já as variáveis discretas estão limitadas a valores 
isolados. Assim, por exemplo, o diâmetro de uma viga tubular seria uma variável discreta já que 
encontramos apenas alguns diâmetros de tubo disponíveis no mercado, já o seu comprimento 
pode ser uma variável contínua, uma vez que podemos cortar o tubo em qualquer comprimento. 
No entanto se temos a liberdade de fabricar o tubo com qualquer diâmetro, então o diâmetro 
passa a ser uma variável contínua. Variáveis que indicam valores de materiais também são em 
geral discretas, já que temos um número limitado de materiais disponíveis. 
 
Problemas de Otimização que envolvem variáveis discretas são resolvidos utilizando métodos 
baseados na teoria de programação inteira. São em geral algoritimos complexos e os problemas 
são de difícil solução. A princípio podemos ficar tentados a inicialmente tratar uma variável 
discreta como contínua e ao final da otimização adotar o valor isolado mais próximo da solução 
obtida. Entretanto, quando os valores da variável discreta estão muito espaçados, esse 
procedimento nem sempre funciona, pois podemos nos afastar muito da optimalidade da 
solução ou desrespeitar alguma restrição imposta no problema de otimização. Nesses casos 
deve-se utilizar os algoritimos específicos para variáveis discretas. 
 
As variáveis contínuas podem ainda serem classificadas em parâmetro distribuído e parâmetro 
discreto. 
 
A variável do tipo parâmetro distribuído é representada por uma função. Assim, podemos 
definir a função área A(x) que representa como a área da viga varia ao longo de seu 
comprimento. Nesse caso a variável seria a função em si e não somente o valor de uma 
incógnita. Ou seja, queremos saber qual é a variação de área ao longo do comprimento da viga 
para otimizá-la segundo um critério. A solução de um problema de otimização em que uma 
função é a incógnita é obtida através da teoria de cálculo variacional. Em geral, os problemas 
dessa natureza que podem ser resolvidos sem utilização de métodos numéricos se limitam a 
casos simples de estrutura, como a otimização da geometria de uma viga, por exemplo, tendo 
interesse mais acadêmico. No entanto, todas as teorias de otimização são (e devem ser) 
fundamentadas através do cálculo variacional que será discutido adiante. 
 
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Para a solução de problemas práticos em engenharia são usados métodos numéricos, que 
exigem, por exemplo, a discretização em elementos finitos de um domínio estrutural, 
inicialmente contínuo. Assim, passamos a ter, por exemplo, ao invés de uma distribuição 
contínua da área da seção da viga ao longo do comprimento, valores de áreas dos elementos 
discretos que compõe a viga, sendo que a variável área do elementoé uma variável contínua, 
pois pode assumir qualquer valor. Essa variável é denominada variável contínua do tipo 
parâmetro discreto. Nesse curso estaremos trabalhando somente com esse tipo de variável. 
 
Devido à classificação das variáveis acima, podemos classificar o sistema mecânico a ser 
otimizado em três tipos: 
• Contínuo: sistema em que a variação de seus parâmetros é representada por uma função 
contínua que é a variável de projeto. A otimização desse tipo de sistema é obtida através de 
cálculo variacional. Como exemplo são ilustradas estruturas contínuas na figura 2.1.1. 
A(x), I(x)
x x
A(x), I(x)
 
 
Fig.2.1.1: Exemplos de sistemas (estruturas) contínuos. 
 
• Discreto: sistema em que a variação de seus parâmetros é representada por uma função 
discreta que é a variável de projeto em geral. Como exemplo, no caso estrutural temos 
estruturas de treliça ou pórticos, que são constituídas de elementos discretos de treliça ou 
viga, respectivamente. As variáveis de projeto são em geral as áreas ou momento de inércia 
dos elementos, ou as coordenadas dos nós. 
 
 
Fig.2.1.2: Exemplo de sistema (estrutura) discreto. 
 
• Contínuo tratado como discreto: ocorre, por exemplo, quando discretizamos uma estrutura 
contínua em elementos finitos para poder resolvê-la utilizando métodos numéricos. Nesse 
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caso, as variáveis de projeto estão em geral associadas com os elementos (espessura, área, 
dimensões, etc.). 
A2A1 A3 A4 A5
A6
 
 
Fig.2.1.3: Exemplos de sistemas (estruturas) contínuos tratados como discretos. 
 
 
A escolha das variáveis de projeto é crítico para o sucesso da otimização. Considere o exemplo 
da Fig.2.1.4 em que a distribuição de espessura de uma placa foi otimizada. Embora a 
discretização seja suficiente para uma análise de CAE (elementos finitos) da placa com 
espessura constante, ela não é adequada para representar a solução final da otimização. Assim 
uma malha mais fina é necessária. 
 
 
Fig.2.1.4: Distribuição ótima de espessura numa placa. 
 
A Fig.2.1.5 ilustra a situação em que a escolha das variáveis de projeto influencia o resultado 
final da otimização. O resultado da Fig.2.1.5a é uma solução ótima local que não é interessante, 
e que é obtida devido à escolha das variáveis h1, h2, h3, h4 e h5. Mudando-se a definição das 
variáveis para h1, ∆h2, ∆h3, ∆h4, ∆h5, como mostrado na Fig.2.1.5b uma outra solução ótima 
local é obtida apresentando uma configuração mais interessante para ser fabricada. 
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h1 h2 h4h3 h5
h1 ∆h2 ∆h3 ∆h4 ∆h5
 
Fig.2.1.5: Problema de distribuição ótima de espessura numa viga. 
 
A Fig.2.1.6 mostra a otimização da forma de um furo numa placa para reduzir a concentração 
de tensão. Como variáveis de projeto foram utilizadas as coordenadas dos nós no contorno do 
furo. Novamente a discretização do modelo de CAE (elementos finitos) não é suficiente pra 
representar o resultado da otimização. Além disso, os elementos próximos ao contorno foram 
muito distorcidos comprometendo o resultado da análise numérica. Para evitar essa distorção 
poderiam também serem escolhidos como variáveis as coordenadas dos outros nós próximos ao 
contorno do furo. 
 
Fig.2.1.6: Otimização da forma de um furo numa placa. 
 
2.2 Função Objetivo 
 
A função objetivo (ou "objective function") deve quantificar o que queremos otimizar e será 
função das variáveis de projeto escolhidas. A função objetivo deve ser usada como uma medida 
da eficiência o projeto. A função objetivo pode ser classificada em simples ou multiobjetivo (ou 
multicritério). A função é dita simples quando temos apenas um objetivo e é denominada 
multiobjetivo quando queremos otimizar vários objetivos de uma só vez. 
 
O sucesso da otimização vai depender também da formulação da função objetivo. Assim, é 
importante se perder um tempo para encontrar uma expressão matemática (deslocamento, 
freqüência de ressonância, rigidez, etc.) adequada que quantifique corretamente a eficiência do 
a) 
b) 
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projeto. Isso muitas vezes não é fácil, por exemplo, como quantificar a dirigibilidade de um 
automóvel? A dirigibilidade em si é um conceito relativo que varia de pessoa pra pessoa (um 
piloto de fórmula um tem uma expectativa diferente de quem está aprendendo a dirigir, por 
exemplo), assim o problema de otimizar o projeto de um automóvel para melhorar a sua 
dirigibilidade torna-se complexo pela dificuldade de se quantificar a dirigibilidade. 
 
Em problemas de otimização com multiobjetivos (multicritério) a principal dificuldade é a 
definição da função multiobjetivo que será discutido adiante. A função multiobjetivo deve 
consistir numa expressão matemática que combina todos os objetivos do problema. 
 
É importante chamar atenção para algumas equivalências clássicas de função objetivo que 
podem tornar o problema matematicamente mais simples. Assim, maximizar f é a mesma coisa 
que minimizar -f ou 1/f (a menos da singularidade em f=0), ou maximizar k*f (onde k é uma 
constante) e maximizar |x| pode ser substituído por maximizar x2, o que evita singularidades na 
derivada da função objetivo. 
 
2.3 Restrições 
 
Essencialmente, as restrições são as limitações impostas para se obter a solução otimizada. São 
classificadas em 3 tipos: laterais, igualdade e inegualdade. 
 
Considerando um conjunto de variáveis de projeto { }n321 x,...,x,x,x=x , uma restrição lateral é 
do tipo: 
n1,...,i xxx
ii maximin
=≤≤ , 
uma restrição de inegualdade é uma equação do tipo: 
gj n1,...,j ,0)(g =≥x , 
e uma restrição de igualdade é do tipo: 
ek n1,...,k 0,)(h ==x . 
 
As restrições de igualdade são em geral complexas de se implementarem em alguns algoritimos 
não-lineares de otimização e podem serem transformadas em 
 0)(h e 0)(h kk ≥≤ xx . 
 
Outro ponto importante e a normalização das restrições. É muito comum termos restrições cujas 
ordens de grandeza dos valores são diferentes. Assim, enquanto o valor de uma restrição de 
tensão mecânica é da ordem de MPa, o valor de uma restrição de deslocamento é da ordem de 
centésimos de milímetro. A presença de valores tão distantes num algoritimo de otimização 
pode gerar problemas de condicionamento numérico prejudicando o resultado final da 
otimização. Assim, devemos normalizar a restrição como mostrado abaixo: 
01-)(g1
g
)(g
g)(g j
max
j
maxj
j
j
≤⇒≤⇒≤ xxx . 
Em geral, os softwares de otimização fazem internamente uma normalização automática das 
restrições, no entanto, isso deve ser verificado antes de utilizá-lo. 
 
Deve-se evitar, na medida do possível, um grande número de restrições no problema, pois isso 
encarece consideravelmente o custo computacional da otimização. 
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Além da classificação acima, as restrições ainda são classificadas como locais e globais. 
Restrições locais se referem a um ponto localizado no domínio. Como exemplo, temos as 
restrições de tensão mecânica e deslocamento num ponto. A restrição global se refere a 
estrutura como um todo. Como exemplo, temos as restrições de volume e freqüência de 
ressonância. O problema da restrição local surge quando tem que ser definida num grande 
número de pontos, como por exemplo ocorre com a tensão mecânica, o que pode aumentar 
consideravelmente o númerode restrições. Isso pode ser contornado utilizando a técnica de 
eliminação de restrições, discutida no capítulo 7. 
 
Com relação ao estado, a restrição é classificada em ativa e inativa. Uma restrição está ativa 
quando: 
0)(g j =x , 
e uma restrição está inativa quando: 
0)(g j >x . 
 
No final da otimização espera-se que todas as restrições estejam ativas, caso contrário, as que 
estão inativas não seriam, a princípio, necessárias no problema de otimização, pois não 
influenciam o problema. Por outro lado, existem restrições que se tornam ativas durante o 
processo de otimização e depois ficam inativas ao final, dessa forma é muito difícil saber de 
antemão, quais as restrições que influenciam ou não o resultado da otimização e assim, todas 
devem ser consideradas. 
 
Um conceito importante é o multiplicador de Lagrangre ( iλ ) associado a cada restrição e que 
será discutido em detalhe na seção 3.2. Essencialmente, o valor do multiplicador de Lagrange 
está relacionado com a importância da restrição. Assim, se 0=iλ a restrição i é inativa (não 
sendo necessária), e se 0≠iλ , a restrição i é ativa (sendo necessária). 
 
Finalmente, definido as variáveis de projeto, função objetivo e restrições, um problema de 
otimização é formulado como: 
 
 Minimizar f(x) 
 x 
tal que ek n1,...,k 0,)(h ==x 
 gj n1,...,j ,0)(g =≥x 
 
O fato de formular o problema como uma minimização ao invés de uma maximização, ou 
utilizar 0)(g j ≥x ao invés de 0)(g j ≤x , é apenas uma questão de notação e não altera em nada 
os conceitos que serão apresentados. Nesse curso utilizaremos a notação acima, que é a mais 
comumente utilizada nos livros de otimização. 
 
Um problema de otimização é dito linear se a função objetivo e restrições são lineares, ou seja: 
 
 
 
 
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 Minimizar ;xc...xcxc)(f nn2211 +++=x 
 x 
 tal que gnn2211k n1,..,j ,0xb...xbxb)(h ==+++=x 
enn2211j n1,...,j ,0xd...xdxd)(g =≥+++=x 
 
caso contrário, o problema de otimização é não-linear. Se o problema de otimização é linear, 
pode ser resolvido com o método denominado programação linear. 
 
Como exemplo de formulação de um problema de otimização, considere a minimização da 
massa da treliça da Fig.2.3.1 sujeita ao carregamento mostrado e com restrições de tensão 
mecânica em cada barra. As variáveis de projeto são as coordenadas das bases das barras x1, x2, 
x3 e as áreas A1, A2 e A3. 
x1
x2 x3
P
u
v
A1
A2 A3
 
Fig.2.3.1: Estrutura de treliça. 
 
Assim, o problema de otimização fica: 
Min
tal que
( )332211 LALALA29,0m ++=
0)vL,x,(Ak)uL,x,(Ak
010.000)vL,x,(Ak)uL,x,(Ak
iii22iii12
iii12iii11
=+
=−+
1,2,3i 00,1A
030.000)L,xv,(u,
0)L,xv,(u,30.000
i
iii
iii
=≥−
≥+
≥−
σ
σ
Equações de equilíbrio
Restrições de
Tensões Mecânicas
321 A,A,A
 
 
onde 100xL 2ii += e além das restrições mecânicas, são incluídas as restrições de equilíbrio para 
garantir que o equilíbrio da estrutura seja respeitado quando as variáveis de projeto são 
alteradas, e restrições de valor mínimo para as áreas. 
, x1, x2, x3 
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2.4 Domínio Viável e Inviável 
 
Definido o problema de otimização, o próximo conceito é discutir a região de localização da sua 
solução. A parte do domínio em que as restrições são respeitadas é denominada domínio viável, 
enquanto que a parte do domínio em que alguma restrição não é respeitada é denominada 
domínio inviável. A Fig 2.4.1 ilustra esse conceito para um espaço bidimensional. 
0h1 =
1cf =
0h2 =0h4 =
0h3 =
2cf =
3cf =
0h,h,h,h 4321 ≥
domínio
inviáveldomínio
viável
x2
x1
O
 
Fig.2.4.1: Regiões de domínio viável e inviável. 
 
Mediante o estudo desse gráfico bidimensional, podemos entender a influência das restrições na 
localização da solução ótima. Na Fig.2.4.2 são plotadas as curvas de nível da função f, com a 
seta indicando o sentido em que f decresce. Nota-se que devido a função restrição especificada 
surge o conceito de mínimo local e mínimo global. O mínimo local aparece numa “cavidade 
secundária”, e possue um valor de função objetivo f maior do que o mínimo global. Essa 
situação é comum em muitos problemas de otimização, fazendo com que os algoritimos 
estacionem no mínimo local. A confirmação se o mínimo encontrado é global, somente é 
possível para problemas denominados convexos, que serão discutidos na seção 4.3.2.3. Nos 
demais tipos de problema a dúvida persiste, não sendo possível ou muito difícil, em geral, 
provar matematicamente se o mínimo é local ou global. 
mínimo
local
mínimo
global
x1
x2
↓f
o
 
Fig.2.4.2: Conceito de mínimo local e global. 
 
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A Fig.2.4.3 mostra uma situação muito comum em que a solução ótima encontra-se na 
intersecção de duas restrições, indicando que estão ativas no final da otimização. As demais 
restrições estão inativas. 
x2
x1
xopt
↓f
o
 
Fig.2.4.3: Solução ótima na instersecção de duas restriçãoes ativas. 
 
A Fig. 2.4.4 ilustra a situação em que a solução ótima é obtida com todas as restrições inativas, 
ou seja, o problema é equivalente a um problema de otimização sem restrição. 
x2
x1
xopt
o
 
Fig.2.4.4: Solução ótima com todas as restrições inativas. 
 
A Fig.2.4.5 mostra a situação em que a curva de nível da função f é tangente a curva de uma 
restrição, com a solução ótima no ponto de tangência. Essa situação pode apresentar uma 
sensibilidade numérica com uma grande variação na obtenção da solução ótima devido a 
pequenos erros no cálculo da função objetivo ou restrições, e no caso mais crítico apresentar 
uma solução degenerada, ou seja, possue inúmeras soluções, o que ocorre, por exemplo, se a 
curva de nível de f for “paralela” à curva de restrição. 
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 14
xopt
x2
x1
↓f
o
 
Fig.2.4.4: Solução ótima no ponto tangente à restrição. 
 
 
2.5 Função Multiobjetivo e Conceito de Ótimo-Pareto 
 
Consideremos um problema de multicritérios em que se deseja otimizar vários objetivos de uma 
única vez. Para resolver o problema devemos definir uma única função que combina todos esses 
objetivos denominada função multiobjetivo. No entanto, a formulação dessa função não é 
óbvia. 
 
Consideremos o exemplo da treliça acima em que temos a princípio quatro objetivos: massa (m) 
e tensão mecânica em cada uma das três barras (σ1, σ2, σ3). Esse problema pode ser formulado 
de várias maneiras. A primeira delas consistiria em definir uma única função objetivo que 
combine os quatro objetivos, por exemplo da seguinte forma: 
Minimizar 3322110 ccmcF(x) σσσ +++= c , 
onde c0, c1, c2 e c3 são pesos atribuídos. O problema agora seria definir o valor dos pesos. Por 
exemplo se escolhermos um valor para c1 muito maior que os demais, o algoritimo de 
otimização irá minimizar principalmente σ1 em relação aos demais. Ou seja, qual a influência 
dos pesos no resultado final da otimização? 
 
Uma outra forma de formular o problema é selecionar um dos objetivos como função objetivo e 
transformar os demais em restrições, como por exemplo: 
 Minimizar m 
 tal que max3max22max11 ;; σσσσσσ <<< , 
ou 
Minimizar σ1 
tal que max3max22max ;; σσσσ <<< mm . 
A questãoque surge é qual dos objetivos deve ser escolhido e como isso influe no resultado 
final, ou seja, diferentes formulações do problema de otimização levam a diferentes resultados? 
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 15
Muitas vezes a escolha dependerá do algoritimo de otimização a ser utilizado. Para alguns 
algoritimos é melhor que a função objetivo seja linear e as restrições não-lineares ou vice-versa. 
 
Considere um outro exemplo em que os objetivos são massa (m) e deslocamento num ponto da 
estrutura (wmax). Podemos formular o problema definindo uma função multiobjetivo do tipo: 
Minimizar max21 wcmcf += , 
ou podemos formular dois tipos de problema: 
 
Minimizar m ou Minimizar w 
tal que maxww < tal que maxmm < 
 
Uma questão comum que surge é se ambas as formulações levam ao mesmo resultado. Nesse 
caso especial, como o problema é convexo (ver adiante), demonstra-se matematicamente que 
ambas as formulações levam a mesma solução ótima. Mas para maior parte dos problemas, 
essas não são questões com respostas óbvias. Em geral estamos diante de uma solução de 
compromisso, o que se ganha numa formulação se perde com a outra, mas podemos analisar o 
que acontece em alguns casos. 
 
Vamos analisar inicialmente a formulação de uma função multiobjetivo do tipo combinação 
linear com pesos. Sejam F1=x e F2=4-2x dois objetivos plotados na Fig.2.5.1. 
 
Fig.2.5.1: Plotagem das funções F1(x) e F2(x). 
 
Considere um problema de otimização formulado como: 
Min
x
tal que
 (x)Fw(x)FwF(x) 2211 +=
2x1 ≤≤ 
 
 
 
Se: 
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 16
1xx4F(x)1 We 3W
x4F(x)1 We 2W
2xx4F(x)1 We 1W
*
21
21
*
21
=⇒+=⇒==
∀⇒=⇒==
=⇒−=⇒==
 
 
onde x* indica a solução ótima. 
 
Assim, a solução ótima depende da escolha dos pesos W1 e W2, e a função de maior derivada 
(incluindo o fator peso) domina o resultado. O efeito é menos pronunciado com funções não-
lineares, mas também pode levar a resultados imprevisíveis. Dessa forma, deve-se ter cautela 
na utilização da formulação acima. 
 
Consideremos outro problema, como exemplo, em que se deseja minimizar a área e a tensão de 
cisalhamento na seção de viga mostrada na Fig.2.5.2 tendo-se como variáveis de projeto as 
dimensões w e h da seção. 
5h5,0
5w5,0
≤≤
≤≤
h
w 
Fig.2.5.2: Seção de viga. 
 
As duas funções objetivos são expressas por: whAf1 == e wh2
3f2 == τ . 
Nota-se de imediato que temos uma solução de compromisso, pois a minimização de uma 
função implica na maximização da outra. Vamos analisar as diferentes formulações para esse 
problema. 
 
Inicialmente calculando a solução ótima considerando cada função objetivo separadamente, 
temos: 
0,06f5hwfmin 
0,25f0,5hwfmin 
2
*
2
*
2
*
2
1
*
1
*
1
*
1
=⇒==⇒
=⇒==⇒
 
Considerando agora uma função multiobjetivo do tipo combinação linear: ,
2wh
3whF += 
temos: 
1,225f e 1,225f,2251hwFmin 21
** ==⇒=⇒ , 
 
onde a solução é dada em função do produto wh (área). Vamos definir agora uma função 
multiobjetivo que visa reduzir a distância entre a solução ótima obtida e a solução ótima 
individual de cada função (fi*). Assim, temos: 
2
22
1i
i
2
2
1i
2
i
*
i
*
i
0,06
0,06
2wh
3
0,25
0,25whd
f
f)(fF
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ −
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= ∑∑
==
x , 
pois f1*=0,25 e f2*=0,06. e minimizando F: 
0,6f e 2,5f2,5hwFmin 21
** ==⇒=⇒ . 
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 17
 
Finalmente consideremos a formulação em que f1 é objetivo e f2 é restrição: 
1fmin 
tal que 5,0f2 ≤
0,5f e 3,0f3,0hw 21
*** ==⇒= 
e vice-versa: 
2fmin 
tal que 5,0f1 ≤
3,0f e 0,5f0,5hw 2*1
** ==⇒= 
 
A plotagem de wh versus a tensão de cisalhamento, para todas as soluções é mostrada na 
Fig.2.5.3 e é denominada curva de eficiência do problema. 
T
en
sã
o 
de
ci
sa
lh
am
en
to
 
Fig.2.5.3: Curva de eficiência. 
Assim, ao mudarmos a formulação do problema caminhamos sobre essa curva, minimizando 
mais área ou a tensão de cisalhamento. Não podemos dizer que uma solução é melhor que as 
outras, todas estão corretas, apenas cabe a nós decidirmos qual delas nos atende melhor. Por 
exemplo, se tivermos uma restrição extra no valor da área, a solução w*h*=25 pode ser 
descartada, ou eventualmente deseja-se uma tensão de cisalhamento baixa. Em problemas mais 
complexos, algumas soluções da curva de eficiência, embora matematicamente corretas, não 
são interessantes do ponto de vista da engenharia pois não podem ser implementadas, sendo as 
respectivas formulações do problema de otimização descartadas. 
O conceito da curva de eficiência apresentado é denominado conceito de Ótimo-Pareto. Assim, 
quando não se consegue especificar intuitivamente a importância relativa das diferentes 
formulações de otimização se realiza estudo das diversas soluções Ótimo-Pareto. 
 
2.6 Métodos de Solução de Problemas de Otimização 
 
Entre os principais métodos para solução de problemas de otimização temos os métodos 
analíticos, métodos numéricos e métodos gráficos. 
 
Entre os métodos analíticos temos o cálculo diferencial e o cálculo variacional. Os métodos 
analíticos permitem, em geral, somente a solução de problemas simples de otimização como por 
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 18
exemplo, estruturas de geometria simples, como uma viga ou treliças. No entanto, permitem 
analisar conceitos importantes da otimização como existência e unicidade da solução ótima ou 
condições necessárias e suficientes da solução ótima, tendo por isso grande interesse 
acadêmico. Além disso permitem validar a solução de métodos numéricos que são aplicados em 
problemas genéricos. O cálculo diferencial permite trabalhar somente com funções simples e 
exige em geral, várias simplificações. No cálculo variacional a incógnita é uma função (ao 
contrário de variáveis no cálculo diferencial), ou seja, deseja-se determinar a função área A(x) 
ou momento de inércia I(x) ao longo da viga, ou a espessura h(x,y) ao longo da placa. Para isso, 
o cálculo variacional trabalha com a formulação integral do problema. 
 
Os métodos numéricos serão descritos na seção 3 em detalhe, entretanto é interessante 
classificá-los de antemão em dois tipos: específicos e gerais. Entre os métodos específicos 
podemos citar o critério de optimalidade ("optimality criteria"). Trata-se de um método 
numérico de base empírica para a solução de problemas de otimização. Em geral, uma 
formulação específica deve ser desenvolvida para cada problema, o que faz com que o critério 
de optimalidade tenha aplicação restrita a alguns problemas de otimização estrutural, uma vez 
que para cada novo tipo de problema uma nova formulação empírica deve ser desenvolvida. No 
entanto, são mais eficientes computacionalmente do que os métodos numéricos genéricos 
(descritos adiante). Como atualmente, a área de otimização tem se estendido para várias áreas 
da engenharia, além da estrutural, e com o desenvolvimento dos computadores, a aplicação 
desses métodos tem sido limitada e a tendência é que sejam abandonados no futuro com a 
utilização de métodos genéricos. 
 
Já os métodos genéricos consistem nos métodos numéricos implementados nos softwares de 
otimização em geral, e que são baseados na chamada teoria de programação matemática, sendo 
descritosem detalhe no capítulo 3. São genéricos porque podem ser aplicados a qualquer 
problema de otimização, estrutural ou não. Devido ao grande número de métodos disponíveis 
atualmente devem ser adotados critérios para a escolha do método numérico. Entre os critérios 
deve-se levar em conta: software disponível, ou seja, é preferível utilizar um software já 
disponível do que implementar um novo algoritimo; número de iterações necessárias, pois se 
um método numérico é utilizado na análise, deseja-se obter a solução da otimização em poucas 
iterações para reduzir o custo computacional; informação disponível sobre a função objetivo, 
como por exemplo suas derivadas, pois dependendo do método serão necessárias as primeiras 
ou até as segundas derivadas das funções objetivo e restrições. 
 
Os métodos gráficos consistem em se obter a solução através da construção de gráficos da 
função objetivo, restrições e domíno viável. Somente permitem a solução de problemas de 
otimização com até duas variáveis de projeto, no entanto são muito úteis na fase de 
aprendizagem, permitindo ilustrar os conceitos da otimização. 
 
Além disso, existem outros métodos de programação matemática que são aplicados em áreas 
específicas da engenharia como o método de programação dinâmica, programação geométrica, 
técnicas de controle ótimo, etc. que não serão abordados nesse curso. 
 
Finalmente, uma importante consideração para o projetista atualmente é prover uma interface 
entre um software CAE e um software de otimização. Essa interface ilustrada na Fig.2.6.1 
inclue conceitos importantes como a formulação do problema de otimização, o cálculo da 
sensibilidade e a aproximação das funções objetivo e restrições, como será visto adiante. Dentre 
esses conceitos a sensibilidade ou as derivadas das funções objetivo e restrição em relação às 
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 19
variáveis de projeto exercem um papel fundamental, devendo ser calculadas de forma eficiente 
e precisa, caso contrário levam a resultados errados na otimização. 
 
Software de 
Otimização
Sensibilidade
(gradientes)
Software de 
Análise CAE Resposta
• extremamente importante;
• obtenção deve ser eficiente e 
 precisa;
 
Fig.2.6.1: Interface entre um software CAE e de otimização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otimização em Engenharia Mecânica Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva 
 20
3. MÉTODOS ANALÍTICOS CLÁSSICOS EM 
OTIMIZAÇÃO 
 
Entre os métodos analíticos, será apresentado o cálculo diferencial e o cálculo variacional, que 
ajudam na introdução dos conceitos básicos de otimização. Inicialmente será abordado o cálculo 
diferencial. Será estudado o problema de encontrar o valor mínimo de uma função sem restrições, 
em que os conceitos aplicados para uma função de uma variável são estendidos para uma função 
multivariável. Na etapa seguinte são incluídas restrições no problema de minimização e o conceito 
de multiplicadores de Lagrange é introduzido. Finalmente, discute-se a solução de um problema do 
tipo MinMax, muito comum em otimização. 
 
3.1 Otimização Usando Cálculo Diferencial 
 
Vamos considerar inicialmente um problema de otimização sem restrição que consiste 
simplesmente em achar o valor mínimo de uma função de uma única variável. Sabemos do 
cálculo diferencial que a condição necessária para obter o valor mínimo é: 
0
dx
df = 
Entretanto, essa condição não é suficiente já que pode ocorrer tanto para um ponto de máximo 
como de mínimo. A condição suficiente é dada pela segunda derivada: 
mínimo0
dx
fd
*x
2
2
⇒> e máximo0
dx
fd
*x
2
2
⇒< 
No caso de uma função multivariável )x,...,x,x,f(x n321 a condição para x
* ser um "ponto 
estacionário", ou seja, mínimo ou máximo, é: 
0
x
f...
x
f
x
f
x
f
**** n321
=∂
∂==∂
∂=∂
∂=∂
∂
xxxx
, 
ou seja, que todas as derivadas parciais da função f em relação às variáveis de projeto, sejam 
nulas. 
 
Assim como no caso unidimensional, a condição suficiente exige um estudo das segundas 
derivadas. No entanto, como temos uma função multivariável a informação das segundas 
derivadas é combinada numa única matriz denominada matriz Hessiana da função f, 
apresentada a seguir: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
2
n
2
1n
2
2
2
2
12
2
n1
2
21
2
2
1
2
x
f........
xx
f
....
x
f
xx
f
xx
f....
xx
f
x
f
MOMM
MH 
Agora, a condição suficiente é dada por: 
• Se H* (avaliada no ponto ótimo) é positiva-definida, o ponto x* é um mínimo; 
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 21
• Se H* (avaliada no ponto ótimo) é negativa-definida, o ponto x* é um máximo; 
 
O conceito de matriz positiva-definida e negativa-definida é apresentado a seguir. 
 
Supondo a matriz H simétrica, seja HxxTQ = . H será positiva definida se x∀> ,0Q e 
0x =⇔= 0Q , e analogamente será negativa-definida se x∀< ,0Q e 0x =⇔= 0Q . Mediante 
a definição anterior, demonstra-se que que outra forma de determinar se a matriz H é positiva 
definida é verificar se det(Hi)>0 (i=1,2,...n), onde det indica determinante e as matrizes His são 
submatrizes definidas como: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
****
****
****
****
L
MOMMM
L
L
L
H
, 
ou seja, são submatrizes quadradas definidas de forma a englobar os termos da diagonal 
principal da matriz H a partir do canto superior esquerdo. Se det(H1)<0 e det(Hi) (i=2,...n), 
alternarem os sinais entre positivo e negativo, então a matriz H é negativa-definida. 
Além disso, ainda baseado nas definições anteriores, uma terceira forma, até mais prática, de se 
determinar se a matriz é positiva-definida é através dos autovalores αi da matriz H. Os 
autovalores αi e autovetores xi são calculados resolvendo-se o problema: [ ] [ ] 0det0 =−⇒=− IHxIH iii αα 
Pré-multiplicando a equação acima por xiT : 
[ ] 00 >=⇒=⇒=−
i
T
i
i
T
i
ii
T
iii
T
iii
T
i xx
HxxHxxxxxIHx ααα 
Assim, como xiTxi é sempre positivo, pela definição anterior, se a matriz H é positiva-definida 
todos os seus autovalores αi serão positivos. Analogamente, se a matriz C for negativa-definida, 
todos os seus autovalores serão negativos. 
 
Se x∀≥ ,0Q H é positiva-semidefinida e demonstra-se de forma análoga anterior que os 
autovalores 0i ≥α . Nesse caso, serão necessárias derivadas de alta ordem para estabelecer 
condições de suficiência para um mínimo ou máximo. Analogamente, se x∀≤ ,0Q ou 0i ≤α 
H é negativa-semidefinida. 
 
Se ,0<Q x∀> ,0Q ou 0i <α , 0i >α H é indefinida, e nesse caso o ponto não é de máximo 
nem de mínimo e sim um ponto "sela" (ou "saddle point") que será explicado na seção 4.3.2.4. 
 
Como exemplo, consideremos a minimização do peso (ou massa) da treliça da Fig.3.1.1 tal que 
as barras apresentem tensão mecânica máxima σ0, ou seja: 
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 22
Min Peso
 h1,h2
tal que
min
0i
AA
1,...,9i ,
≥
== σσ
 
 
Fig.3.1.1: Treliça a ser otimizada. 
 
Aparentemente o problema apresenta restrições de igualdade. As restrições de área mínima 
somente serão consideradas se forem desrespeitadas. 
 
Solução: 
 
Como a estrutura e isostática as forças nas barras de treliça independem das áreas e podem ser 
facilmente calculadas sendodadas por: 
( )
P
2h
Lhh
F ;P
2h
Lh
F 0;F ;
2
PF ;P
h
hhF
1
22
21
5
1
22
2
432
1
21
1
+−−=+==−=−= 
Para cada barra estar completamente tracionada com tensão σ0 as áreas devem valer: 
 1,...,9i ,
F
A
0
i
i == σ 
e sendo F3=0, a área A3=Amin. Como a densidade é a mesma para todas as barras, a minimização 
da massa (ou peso) é obtida minimizando-se o volume, que é dado por: 
0
5421
*
2
*
1
1
2
02
2
1
2
2
1
2
2
01
1
2
1
2
2
21
0
55442211
9
1i
ii
2
PAAAA L
3
1h e L
3
2h
0
h
2h1-P2
h
V e 0
h
L
h
h1P2
h
V
h
L
h
hhhP2L2AL2AL2ALALAV
σ
σσ
σ
====⇒==⇒
⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=∂
∂=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=∂
∂⇒
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−=+++== ∑
=
 
obtendo-se os valores ótimos das áreas. 
Vamos verificar agora, a condição de suficiência da solução através da análise da matriz 
Hessiana. A matriz Hessiana vale: ( )( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− −=⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+=
12/1
2/11
L
3P2
2/h/h2h
/h2hLh2/hP2
0
*
1
2
12
2
12
22
2
3
1
0 σσ HH 
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 23
onde H* é H avaliada no ponto ótimo. Os autovalores são iguais a: 
L
3P e 
L
3P3
0
2
0
1 σασα == 
Como ambos são positivos, H é positiva-definida, provando a condição de suficiência de 
optimalidade do resultado. 
 
3.2 Método dos Multiplicadores de Lagrange 
 
Consideremos agora um problema de minimização de uma função multivariável com restrições 
de igualdade. 
 
Para uma função com duas variáveis o resultado pode ser obtido através do método de 
eliminação de variáveis ou substituição direta, que consiste basicamente em se isolar uma das 
variáveis da equação de restrição e substituir na função objetivo, reduzindo-a a uma função de 
uma variável. Assim: 
 
Min f(x1,x2) 
tal que ]x),(xf[h)(xfMin )(xhx)x,h(x 22c2r2c121 =⇒=⇒ 
 
Para uma função com mais de três variáveis é usado o método de Multiplicadores de Lagrange. 
Considerando o problema: 
Min f(x)
tal que hj(x)=0, j=1,..,ne ne<n x=(x1,...,xn)T 
 
onde o número de restrições de igualdade (ne) deve ser menor do que o número de variáveis (n) 
para que exista solução. O valor mínimo de f ocorre quando: 
0dx
x
f...dx
x
fdx
x
fdx
x
fdf n
n
3
3
2
2
1
1 ****
=∂
∂++∂
∂+∂
∂+∂
∂=
xxxx
 
Se não houvesse a restrição de igualdade, df=0 é obtido quando todas as derivadas parciais 
forem nulas, como já comentado anteriormente. Mas, isso somente é verdade porque as 
variáveis x1,x2,…,xn são independentes uma das outras, o que não ocorre quando temos as 
equações de restrição. Com as equações de restrição as variáveis de projeto passam a depender 
uma das outras (e portanto dx1, dx2,…,dxn) e a hipótese de que as derivadas parciais de f devem 
ser nulas para obter o mínimo de f não é mais válida. 
 
Seja uma restrição 0dx
x
h...dx
x
hdx
x
hdx
x
hdh0)h( n
n
3
3
2
2
1
1 ****
=∂
∂++∂
∂+∂
∂+∂
∂=⇒=
xxxx
x 
Multiplicando dh por uma constante λ (incógnita extra) e somando a df, temos: 
0
x
h
x
f
x
h
x
f
x
h
x
f
0dx
x
h
x
f...dx
x
h
x
fdx
x
h
x
fdhdf
******
******
nn2211
n
nn
2
22
1
11
=∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂⇒
⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=+
xxxxxx
xxxxxx
λλλ
λλλλ
 
e: h(x)=0 
 
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 24
Agora temos um sistema de equações com n+1 incógnitas (incluindo λ) e n+1 equações 
(incluindo h(x)=0) que pode ser resolvido encontrando λ ,x,...,x,x,x n321 . Portanto, o problema 
de otimização com restrição foi transformado no problema de otimização sem restrições: 
Min f+λh 
A nova função f+λh é chamada de Lagrangeano (L) do problema de otimização, e a constante λ 
é denominada Multiplicador de Lagrange associado à restriçao de igualdade. Considerando ne 
restrições de igualdade teremos um multiplicador de Lagrange λj associado a cada uma delas, e 
nesse caso o Lagrangeano fica: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∂
∂=
==∂
∂
⇒+= ∑
=
e
j
j
i
n
1j
jjj
n1,..,j 0L)(h
n1,..,i 0
x
L
h)f(),L(
e
λ
λλ
x
xx 
onde, como mostrado acima, as condições de estacionaridade (derivadas nulas em relação a 
cada variável no ponto ótimo) fornecem o sistema de equações de n+ne incógnitas e n+ne 
equações a ser resolvido. Note que a derivada de L em relação ao multiplicador de Lagrange λj 
recupera a equação da restrição de igualdade correspondente. 
 
Como exemplo, consideremos novamente um problema de minimização de peso de uma treliça 
descrita na Fig.3.2.1, mas agora, sujeito a uma restrição de deslocamento máximo ∆ no nó B 
(wB). As variáveis de projeto são as áreas das barras e a formulação do problema de otimização 
fica: 
Min
 Ai
tal que
∑
=
=
n
1i
iiLA)V(A
∑
=
=∆−
n
1i
i
ii
ii 0L
EA
Ff
wB 
 
P3
P1
P2
∆
B
 
Fig.3.2.1: Treliça a ser otimizada. 
 
Solução: 
 
Abaixo o Lagrangeano é montado, as condições de estacionaridade são obtidas e o sistema 
resultante é resolvido obtendo-se o valor das áreas ótimas. O multiplicador de Lagrange da 
restrição e o volume final ótimo (relacionado com a massa) também são calculados. 
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 25
2
j
2
1
n
1j j
jj
i
ii
j
2
1
n
1j j
jj*
i
n
1i
i
2
1
i
ii2
1
i
ii
i
n
1i
i
ii
ii
i
i
2
i
ii
i
i
n
1i
i
ii
ii
n
1i
ii
L
E
Ff1*V
E
FfL
E
Ff1AL
E
Ff1
E
FfA
0L
EA
FfL
0L
EA
FfL
A
L
L
EA
FfLA),L(
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∆=⇒⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∆=⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆=⇒=⇒
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∆−=∂
∂
=−=∂
∂
⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∆−+=
∑∑∑
∑∑∑
===
=
==
λλ
λ
λ
λλA
Restrições de Inegualdade 
Vamos considerar agora m restrições de inegualdade, ou seja: m1,...,j 0,)(g j =≤x 
A solução é obtida convertendo-se inicialmente a restrição de inegualdade numa restrição de 
igualdade utilizando-se uma função auxiliar tj(x) através da expressão: 
m1,...,j ,0)(t)(g 2jj ==− xx 
Assim o novo Lagrangeano fica: 
( ) ∑
=
−+=
m
1j
2
jjjjj )t(gft,,L λλx 
onde tj(x) atuam como variáveis extras. Escrevendo as condições de estacionaridade em relação 
às variáveis jj t,,λx , temos: 
( ) 0t2
t
L ;n1,..,j 0tgL n);1,..,(i 0
x
L
jj
j
e
2
jj
ji
=−=∂
∂==−=∂
∂==∂
∂ λλ 
Da última equação temos que: 0g0 tque vezuma 0g0t jjjjjj =⇔==⇒= λλ . 
A equação 0g jj =λ é denominada "condição de complementaridade", e nos diz que: 
⎩⎨
⎧
=⇒≠
≠⇒=
ativa)ou crítica é (restrição 0g 0 se
ativa)ou crítica é não (restrição 0g0 se
ii
ii
λ
λ
 
 
 
3.3 Otimização Usando Cálculo Variacional 
 
Como já comentado há problemas em que a variável é uma função que se deseja encontrar, 
como por exemplo, a função que representa a distribuição contínua de área ao longo de uma 
viga. A solução desse tipo de problema é obtida usando cálculo variacional. Embora os 
problemas que possam ser resolvidos sejam limitados com relação à complexidade, o conceito 
de cálculo de cálculo variacional é fortemente utilizado para dar embasamento teórico a 
métodos de otimização baseados em métodos numéricos.Além disso, a teoria de cálculo 
variacional também é aplicada em outras áreas de conhecimento, como mecânica analítica, 
método dos elementos finitos, etc.. Dessa forma o objetivo desta seção é introduzir o conceito 
de cálculo variacional e como se aplica em otimização. 
 
Inicialmente vamos definir um Funcional (J) como: 
 
( )∫ ′= b
a
dx(x)yy(x),x,FJ(y(x)) onde 
dx
dy(x)(x)y =′ e y(a)=ya, y(b)=yb 
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 26
onde y(a)=ya, y(b)=yb são as chamadas condições de contorno cinemáticas do problema. Pelo 
fato de serem constantes o problema é dito de extremidades fixas. 
 
Muitas leis da Física são definidas como extremo de um funcional. Assim por exemplo, o 
equilíbrio de um sistema ocorre quando a sua energia potencial for mínima. 
 
O objetivo do cálculo variacional é encontrar uma função y(x) apropriada que extremize 
(maximize ou minimize) o funcional definido acima. Vejamos a solução desse problema. 
 
Seja a função y*(x) a função que, por exemplo, minimize o funcional J e satisfaça y*(a)=ya, 
y*(b)=yb. Podemos escrever que 
 
y(x)y(x)(x)yy(x) ** εδεη +=+= 
 
onde ε tem valor pequeno e: 0(a)y(a) == ηδ e 0(b)y(b) == ηδ para satisfazer as condições de 
contorno y(a)=ya, y(b)=yb. 
 
A idéia básica do cálculo variacional é que partindo-se de uma função y(x), altera-se a forma 
dessa função (mas mantendo as extremidades fixas) através da soma de uma função εη(x) ou 
εδy(x) até encontrar a função y*(x) que extremize o funcional. A figura 3.3.1 ilustra a 
“variação” da função y(x). A variação de y(x) pode ser obtida variando-se o escalar ε, por 
exemplo. 
 
x
y
a b
y(x)
y*(x)
o
ya
yb
 
Fig. 3.3.1: Variação da função y(x). 
 
Substituindo a função y(x) no funcional obtém-se: 
 
( )∫ ′+′+== b
a
** dxy,yx,F))J(y(x,)J( ηεεηεε 
 
Dessa forma o objetivo se traduz em encontrar o valor ótimo de ε que minimize o funcional. 
Note que o mínimo ocorre para ε=0 e a condição necessária para que o extremo de J, ou o 
mínimo de J ocorra em ε=0 é: 
 
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 27
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′
′∂
∂+∂
∂== ∫
==
=
b
a 00
*yy
dx
d
yd
y
F
d
dy
y
F
d
dJJδ
εε εεε
ε
0dxy
y
Fy
y
Fb
a 0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′′∂
∂+∂
∂∫
=ε
δδ 
 
O operador δ é denominado operador variacional, sendo várias de suas propriedades similares 
ao do operador diferencial d. Uma propriedade importante do operador variacional é que: 
 ( ) y′=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= δδδ
dx
dy
dx
yd 
 
Assim, utilizando-se da propriedade acima e integrando por partes a última equação para 
reduzir o termo δy' para δy: 
 
0y
y
Fydx
y
F
dx
d
y
FJ
b
a 0
*yy
=′∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′∂
∂−∂
∂= ∫
=
=
b
a
δδδ
ε
 
 
onde o termo em destaque é nulo pois, 0y(a)y(b) == δδ . Assim: 
 
0ydx
y
F
dx
d
y
FJ
b
a 0
*yy
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′∂
∂−∂
∂= ∫
=
= δδ
ε
 
 
Mas como δy(x) é arbitrário dentro do espaço admissível de funções, podemos afirmar que a 
integral acima será nula se e somente se: 
 
0
y
F
dx
d
y
F =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′∂
∂−∂
∂ 
 
A equação obtida é denomimada Equação de Euler-Lagrange. Em geral, as equações que 
descrevem o comportamento dinâmico de sistemas mecânicos são do tipo da equação de Euler-
Lagrange, pois são obtidas da teoria de mecânica analítica (ou vibrações) sendo derivadas da 
minimização de um funcional,em geral a energia potencial total do sistema. 
Ela nos permite obter a função y(x) que extremiza o funcional J. Assim, num problema de 
otimização em que se deseja encontrar a função y(x) que minimiza um funcional, basta 
simplesmente escrever a equação de Euler-Lagrange definida acima para encontrá-la. 
 
No caso de 0y(b)δ ≠ e 0y(a)δ ≠ , então devemos ter: 
 
0
y
F =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
′∂
∂
=ax
 e 0
y
F =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
′∂
∂
=bx
 
 
que são chamadas de “condições de contorno naturais”. Por exemplo, no caso de um estrutura 
mecânica uma condição de deslocamento nulo é uma condição de contorno cinemática, 
enquanto uma condição de força ou momento nulo seria uma condição de contorno natural. 
 
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 28
 
 
Vejamos alguns casos mais genéricos de funcionais. No caso do funcional também depender de 
derivadas de alta ordem, temos: 
( )∫ ′′′= b
a
(n) dx(x)y(x)...,y(x),yy(x),x,FJ(y(x)) 
e: 
1)(n
b
1)(n
bbb
1)(n
a
1)(n
aaa
y(b)y;...;y(b)y;y(b)y;yy(b)
y(a)y;...;y(a)y;y(a)y;yy(a)
−−
−−
=′′=′′′=′=
=′′=′′′=′=
 
 
Seguindo o mesmo procedimento descrito acima, obtém-se a equação de Euler-Lagrange 
correspondente: 
 
0
y
F
dx
d1)(...
y
F
dx
d
y
F
dx
d
y
F
(n)n
n
n
2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′′∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′∂
∂−∂
∂ 
 
No caso do funcional depender de várias funções incógnitas y(x)={y1(x),y2(x),…,yn(x)}T, 
temos: 
( )∫ ′′′= b
a
(n) dx(x)(x)...,(x),(x),x,F(x))J( yyyyy 
e: 
1)(n
b
1)(n
bbb
1)(n
a
1)(n
aaa
(b);...;(b);(b);(b)
(a);...;(a);(a);(a)
−−
−−
=′′=′′′=′=
=′′=′′′=′=
yyyyyyyy
yyyyyyyy
 
 
Seguindo o mesmo procedimento descrito acima, obtém-se a equação de Euler-Lagrange 
correspondente: 
 
( ) ( ) ( ) 0F
dx
d1)(...F
dx
dF
dx
dF (n)yn
n
n
y2
2
yy =∇−++∇+∇−∇ ′′′ 
 
onde: 
T
m21
y y
F,...,
y
F,
y
FF ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∇ 
 
Como exemplo inicial consideremos a dedução da equação de equilíbrio da viga mostrada na 
figura 3.3.2 que está sujeita a um carregamento distribuído p(x). 
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 29
p(x)
w(x)
 
Fig.3.3.2: Viga sujeita a um carregamento distribuído. 
 
Solução: 
 
Sabemos que a condição de equilíbrio da viga ocorre quando a sua energia potencial for 
mínima. O objetivo é encontrar a função deslocamento w(x) que minimize a energia potencial, 
ou seja: 
 
Min Π(x) 
 w(x) 
 
 
Trata-se portanto de um problema de cálculo variacional, onde a energia potencial é dada pelo 
seguinte funcional: 
 
∫∫ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=Π
L
0
L
0
2
2
2
p(x)w(x)dxdx
dx
wdEI(x)
2
1
Energia Elástica Trabalho Externo
Energia
Potencial 
 
onde E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia. Para encontrar a função w(x) que 
minimize, bastaria escrever a equação de Euler-Lagrange e resolvê-la. No entanto, para efeitos 
didáticos vamos repetir o procedimento de “variacionar”o funcional e igualar a zero de forma a 
obter o seu mínimo. Portanto: 
 
( ) +′′=−′′′′=Π⇒=Π ∫∫∫=
L
0
"
L
0
L
0
*ww
wdxwEIwdxpdxwwEI0 δδδδδ 
( ) 0wwEIwwEIwdxp L
0
'L
0
L
0
=′′−′′′+− ∫ δδδ 
 
onde foi utilizada a técnica de integração por partes para reduzir δw" e δw' para δw. 
Considerando as condições de contorno cinemáticas e naturais, temos: 
 
( ) 0wou 0wEI
 0wou 0wEI
 L0, xpara '⎩⎨
⎧
==′′
=′=′′= δ
δ
 
 
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 30
e sendo δw arbitrário (mas admissível), a integral restante será nula se e somente se: 
 
( ) p(x)wEI " =′′ 
 
que é a equação de equilíbrio da viga, a qual na verdade nada mais é do quea equação de Euler-
Lagrange associada ao funcional da energia potencial. De forma análoga, as equações 
diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico dos sistemas mecânicos são equações 
de Euler-Lagrange associadas a funcionais relacionados com a energia total do sistema. 
 
Restrições 
 
Para a inclusão de restrições no problema de otimização é usado o conceito (já apresentado) de 
multiplicadores de Lagrange, no caso, estendido para o cálculo variacional. 
 
O caso mais simples é uma restrição integral dada por: c=∫
b
a
g[y(x)]dx , onde c é uma constante 
e g é uma função. Se desejamos agora minimizar o funcional J associado a essa restrição de 
igualdade, podemos através do conceito de multiplicador de Lagrange, definir um novo 
funcional, denominado funcional lagrangeano, dado por 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∫b
a
c-g[y(x)]dxJL λ 
 
onde o multiplicador λ é uma constante. 
 
No caso de uma restrição ponto-a-ponto (“point-wise”), ou seja: 
 
 m1,...,i ,0
x
y
,...,
x
y
,y,...,y,x,...,xh
n
p
1
1
p1n1i ==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
 
 
basta estender o conceito do multiplicador de Lagrange localmente para cada restrição, ou seja: 
 
dv)h(v)h(
v
iii
1i
ii ∫∑ ⇒∆∞
=
xx λλ 
 
onde nesse caso o multiplicador de Lagrange passa a ser uma função de x. Portanto, sendo o 
funcional ∫=
V
fdvJ , o funcional lagrangeano será definido como: 
 
dv)h(fdv)h(JL
v 1
ii
1
ii ∫ ∑∑∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+=
==
m
i
m
i V
xx λλ 
 
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 31
Como exemplo, consideremos o problema mostrado na figura 3.3.3, cujo objetivo consiste em 
encontrar a distribuição de área ao longo da viga de forma a minimizar o seu volume, de forma 
que o deslocamento em uma dada posição ξ se mantenha igual à ∆. 
 
p(x)
w(x)
∆ξ h(x)
b(x)
 
Fig.3.3.3: Viga sujeita a um carregamento distribuído e com restrição de deslocamento em x=ζ. 
 
Solução: 
 
Trata-se de um problema de otimização com restrição. A restrição de deslocamento é uma 
restrição local, que pode ser expressa na forma integral, usando o teorema de Castigliano (veja 
em resistência dos materiais), e portanto pode ser tratada como uma restrição integral. Assim 
temos: 
 
Min
 A(x)
tal que
∫= L
0
A(x)dxV
0)(w =∆−ε
 
 
Pelo teorema de Castigliano: ∫= L
0
dx
EI(x)
M(x)m(x))(w ε , onde E é o módulo de elasticidade, I é o 
momento de inércia, M(x) é o momento fletor ao longo da vida e m(x) é o momento fletor 
devido à carga auxiliar ao longo da viga. Assim, usando a teoria apresentada acima podemos 
definir o funcional lagrangeano a ser otimizado: 
 
Min ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆+= ∫∫
L
0
L
0
-dx
EI(x)
M(x)m(x)A(x)dx)L(A, λλ 
 
No entanto, nos defrontamos com um novo problema. Embora a variável de projeto seja a 
função área A(x), o funcional também depende do momento inércia I(x). Para poder resolver o 
problema é necessário definir uma relação entre I(x) e A(x), caso contrário teremos duas 
funções a determinar, A(x) e I(x). Essa é uma limitação exigida para simplificar o problema, 
pelo fato de estarmos lidando com um método analítico. Assim, para efeito de simplificação 
podemos considerar a relação entre I(x) e A(x) é do tipo: 
 
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 32
[ ] ( )
( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==⇒=
==⇒=
===⇒=
=
3
2
33
2
22
223
n
A
b12
1hb
b12
1I3n 
A
12b
hbh
12b
hI2n
A
12
hbh
12
h
12
bhI1n
A(x)I(x) α 
 
Note que para n=1, h é mantido constante e b varia. No caso de n=2 a relação h/b é mantida 
constante e no caso n=3, b é mantido constante e h varia. Nesse exemplo vamos considerar n=1. 
Assim, variacionando-se o funcional lagrangeano (L) para obter o seu mínimo: 
 
0dx
EI(x)
M(x)m(x)Adx
(x)EA
M(x)m(x)1L
L
0
L
0
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∫ ∫δλδαλδ 
 
Sendo δA arbitrário entre as funções admissíveis. Como δA e δλ são independentes, para δL ser 
nulo é necessário que ambas as integrais associadas à δA e δλ sejam nulas. Impondo que a 
integral associada à δλ seja nula recupera-se a restrição de igualdade. Já impondo que a integral 
associada à δA seja nula obtém-se a equação: 
 
2
1
2
1
2 E
MmA(x)0
(x)EA
M(x)m(x)1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒=− αλαλ 
 
Para encontrar λ, substituimos a expressão acima na restrição de igualdade: 
 
dx
E
Mm10)(w
L
0
2
1
2
1
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∆=⇒=∆− αλε 
 
Substituindo novamente em A(x) obtemos a função ótima A*(x) e também o volume ótimo 
associado V*(x): 
 
( ) ( )
( )
2L
0
2
1
2
1L
0
2
1
*
d))m(M(
E
1*V
M(x)m(x)d))m(M(
E
1)x(A
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆=⇒
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆=
∫
∫
ηηηα
ηηηα
 
 
Consideremos agora a presença de restrições de inegualdade ponto-a-ponto, ou seja: 
 
m1,...,i ,0
x
y
,...,
x
y,y,...,y,x,...,xg
n
p
1
1
p1n1i =≥⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ 
 
Inicialmente vamos transformar a restrição de inegualdade ponto-a-ponto numa restrição de 
igualdade ponto-a-ponto usando uma função auxiliar ti: 
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 33
 
m1,...,i ,0)(t
x
y
,...,g 2i
n
p
i ==−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
xx 
 
Dessa forma, a função lagrangeana será dada por: dv)t(gf),,L(
m
1i
2
iii∫ ∑
Ω =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+= λλyx 
Impondo a condição de estacionaridade do funcional L temos: 
 
( ) ( )[ ] 0dvtt2dvydvL n
1i
iiiiyy *
=−+= ∑ ∫∫∫
= ΩΩΩ=
δλδλδδ LL 
 
Dado que δy, δλi e δti são independentes para que a expressão acima seja zero é necessário que 
cada uma das integrais associadas a esses termos sejam nulas. No caso estamos interessados 
apenas no termo δti, e portanto temos: 
 
0dvtt2 iii =− ∫
Ω
δλ 
 
Como δti é arbitrário e admissível a integral acima será nula se e somente se: 
 
0)g0(t 0g0t iiiiii =⇔==⇒= λλ 
 
que é a condição de complementaridade já definida: 
 
Como exemplo, consideremos o problema mostrado na figura 3.3.4, cujo objetivo consiste em 
encontrar a função área A(x) ao longo do elemento de treliça que minimize a massa de forma 
que a tensão mecânica ao longo da treliça não supere o valor máximo σ0. Além disso, o valor 
mínimo que a área pode assumir em qualquer ponto é A0. A treliça possui um peso W na sua 
extremidade cujo valor é inferior à A0σ0. A equação de equilíbrio do problema é dada por: 
WP(L) 0AP ==+′ ρ 
onde P é a força normal, A a área e ρ a densidade do material. 
00AW σ≤
x
L
 
Fig. 3.3.4: Elemento de treliça com peso na sua extremidade. 
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 34
 
Solução: 
 
Trata-se de um problema de otimização com restrição de igualdade ponto-a-ponto representada 
pela equação de equilíbrio e uma restrição de inegualdade ponto-a-ponto representada pela 
restrição de tensão mecânica e de área mínima ao longo da treliça. Assim o problema de 
otimização pode ser definido como: 
 
Min
A(x)
tal que
W) P(L0AP
0A-A
0P(x)A(x)
0
0
==+′
≥
≥−
ρ
σ
∫ =L
0
0VA(x)dx
 
 
A equação de equilíbrio é considerada nas restrições para garantir que seja respeitado o 
equilíbrio para uma dada função A(x). A função lagrangeana definida para esse problema e sua 
correspondente condição de estacionaridade são dadas por: 
 
++= ∫∫ L
0
01
L
0
321 P)dx-(AA(x)dx),,P(x),L(A(x), σλλλλ 
( )
()∫∫∫
∫∫∫∫
+′++′++
++=⇒+′++
L
0
3
L
0
3
L
0
2
L
0
01
L
0
L
0
3
L
0
02
dxAPA)dxP(dxA
P)dx-A(AdxLA)dxP(dxA-A
ρδλρδδλδλ
δσδλδδρλλ
 
junto com as condições de complementaridade: 
( )
( )⎩⎨
⎧
=
=−
0A-A
0PA
02
01
λ
σλ
 
δλ1 e δλ2 não foram representados pois já foi considerada a teoria para restrições de 
inegualdade deduzida acima. 
 
Integrando por partes para converter δP’ em δP e isolando os termos e δA e δP, obtém-se: 
 
(2) 0)P(L) :(pois 0(0) 0 :P
(1) 01 :A
331
3201
===′+
=+++
δλλλδ
ρλλσλδ
 
 
Aparentemente temos mais incógnitas do que equações, entretanto o que ocorre é que alguns 
desses multiplicadores serão nulos. Para identificá-los devemos estudar o problema com mais 
detalhe. 
 
Analisando o problema percebe-se que a função área deve apresentar o seu menor valor na 
extremidade inferior onde o peso suportado é menor. Assim se considerarmos a condição limite 
0AA 20 =⇒> λ ao longo da barra devido à condição de complementaridade. Portanto, 
substituindo λ1 de (2) em (1) obtém-se: 
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 35
( )
 eAA(x)A)A(x e 0AAA(x)P(x)
010(0) e 01
0
t
00
xx
00t00
1
0
x
1
x
33303
σ
ρ
σ
ρ
σ
ρ
ρσσ
λσλρλλρλσλ
−
=⇒==+′⇒=⇒
⇒≠⇒−=⇒−=⇒==+′− ee
 
 
para x<xt. 
 
Note que como λ1 não é zero a equação de complementaridade foi usada (Aσ0-P=0). Além 
disso a área apresenta um decaimento exponencial, possuindo o maior valor na extremidade 
superior. xt é o comprimento que marca o ponto em que a área atinge o seu valor mínimo A0 
(ver figura 3.3.5). Quando a área atinge seu valor mínimo permanece nesse valor até a 
extremidade inferior, assim usando a equação de equilíbrio: 
( )
0
00
t0 A
WALxAxLWP ρ
σρ −−=⇒−+= 
Note que xt pode ou não ocorrer dentro do comprimento L da treliça dependendo do valor de σ0 
e W. 
 
O resultado obtido para o problema de otimização é resumido abaixo sendo ilustrado na figura 
3.3.5. 
 
( )
t0
t
xx
0
x xpara AA(x)
x xpara eAA(x) 0
t
>=
<=
−
σ
ρ
 
 
 
A0
W
xt
 
Fig.3.3.5: Resultado da otimização da treliça. 
 
 
 
 
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 36
3.4 Problema MinMax 
 
Consideremos o problema clássico de minimizar a tensão mecânica na barra de treliça formada 
por duas barras de áreas de seção A1 e A2 e carregada com um peso W na sua extremidade, 
mostrado na Fig.3.4.1. A variável de projeto é somente a área A2. 
 
A2
A1
W
L2
L1
x1
x2
 
Fig.3.4.1: Barra de treliça com duas seções. 
 
Desejamos minimizar o valor máximo de tensão ao longo da barra de comprimento L=L1+L2, 
assim o problema pode ser formulado como: 
Min Max
 A2
(x)σ
Lx0 ≤≤
 
Os valores máximos de tensão ocorrem no ponto em que há mudança de seção e no ponto de 
fixação da barra no teto. No entanto, vejamos o que acontece com esses valores de tensão 
mecânica a medida que variamos a área A2. Para isso, as expressões matemáticas desses valores 
de tensão foram obtidas como descrito abaixo e plotadas no gráfico da Fig.3.4.2. 
ρσρρσ 2
2
21
1
22
1 xA
W e x
A
LAW +=++= 
Discontinuidade na
derivada
21,σσ
1σ
2σ
2A 
Fig.3.4.2: Variação dos valores máximos de tensão com A2. 
 
Assim nota-se que o valor máximo de tensão muda de σ2 para σ1 a medida que aumentamos a 
área A2. Isso justifica a formulação do problema como "Minimizar Max σ ao longo da barra", 
uma vez que o valor máximo da tensão muda de posição a medida que alteramos a variável de 
projeto. Essa mudança de posição do valor máximo de tensão gera uma descontinuidade na 
derivada no mínimo da função "Max σ" como mostrado na Fig.3.4.2, fazendo com que a mesma 
não possua condição de estacionaridade. Devido a essa descontinuidade na derivada, esse 
Descontinuidade 
da derivada
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 37
problema não pode ser resolvido numericamente como formulado acima utilizando a função 
"Max σ". 
 
Esse problema ocorre em qualquer outra estrutura de forma complexa, toda vez que desejamos 
minimizar (ou maximizar) o máximo (ou o mínimo) de uma quantidade de natureza local, como 
tensão mecânica e deslocamento, por exemplo. A definição de Max σ apresenta uma 
descontinuidade na sua natureza, pois o ponto de valor máximo se desloca a medida que 
alteramos a estrutura. 
 
Vejamos formulações alternativas que permitem a solução desse problema numericamente. Se 
caso o problema tenha sido formulado juntamente com uma restrição de volume de material, ou 
seja: 
Min Max
 A(x)
tal que
Lx0 ≤≤
(x)σ
0VV(x) ≤ , 
pode ser reformulado colocando a restrição de volume como função objetivo (tornando-a uma 
função de derivadas contínuas) e a tensão mecânica como restrição de inegualdade, ou seja: 
Min V(x)
 A(x)
tal que 0(x) σσ ≤ , 
onde nesse caso o valor de σ0 deve ser corretamente escolhido (através de tentativa e erro) de 
forma que V*=V0. 
 
Mas nem sempre a restrição de volume está presente, como, por exemplo, num problema de 
reduzir a concentração de tensões numa placa infinita ou de grandes dimensões (ex.: asa de uma 
avião). Nesse caso, a seguinte formulação alternativa pode ser usada: 
Min β
A(x), β
tal que Lx0 ,(x) ≤≤≤ βσ 
onde β é um limite não conhecido que tentamos manter o menor possível. Nesse caso a 
restrição de volume não é mais necessária. Essa formulação é muito utilizada na solução de 
problemas do tipo MinMax. 
 
Como exemplo de solução de um problema MinMax utilizando a formulação β apresentada 
acima consideremos o problema mostrado na figura 3.4.3 que consiste em minimizar a tensão 
mecânica máxima ao longo da barra sujeita a uma força de compressão distribuída p0, mantendo 
o seu volume igual à R. Como variáveis de projeto temos as áreas A1 e A2. 
 
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 38
A2A1
L2
L1
x
p0p0
 
Fig.3.4.3: Barra sujeita à força de compressão distribuída. 
 
 
Solução: 
 
O problema originalmente posado na forma: 
 
Min Max
 A1,A2
tal que
21 LLx0 +≤≤
(x)σ
RV(x) = 
 
consiste num problema MinMax de difícil solução. No entanto, podemos convertê-lo num 
problema equivalente usando a formulação β: 
 
Min β
A1, A2, β
tal que ( )
( ) 0EA 0pEA
RLA
EA 
)LL(0
'
2
1
ii
21
=′=+′
=
′=≤′
+
=
∑
ηη
ησβη
i
 
 
onde a variável extra β foi introduzida no problema. A condição de contorno 0EA
)LL( 21
=′ +η 
nos diz que não há força normal aplicada em x=L1+L2. 
 
Pelo fato do problema possuir uma geometria simples a solução pode ser obtida de forma 
intuitiva. Note que a deformação η máxima (e portanto tensão máxima) sempre ocorrerá em 
x=0 ou x= L1. Assim, integrando-se a equação de equilíbrio entre x e L1+L2, podemos obter a 
deformação η(x) e tensão σ(x) em x=0 e x= L1. De acordo com a formulação β, a condição de 
optimalidade é que, no caso, os valores de deformação η(x) máxima sejam iguais 
simultaneamente ao valor β, assim: 
 
Equações de 
equilíbrio 
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( ) ( ) ( )
( ) ( )
ER
LLLLpRLALA
E
LpA
E
LLpA
Lp)L(EA)(LL xem
LLp)0(EA(0)0