Transformadores

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Transformador Monofásico 
 
1. Conceito 
 
O transformador (TR) é um equipamento que recebe energia elétrica com uma tensão e 
uma corrente e fornece essa energia, a menos das perdas, em outra tensão e outra 
corrente. A freqüência elétrica se mantém inalterada. 
A estrutura do TR é constituída por chapas de aço, isoladas por uma resina, justapostas e 
pressionadas. 
Envolvendo a estrutura de aço se encontram os enrolamentos do primário e do 
secundário, conforme mostrado na fig.1. O enrolamento do primário tem n1 espiras e o do 
secundário n2 espiras. O primário é ligado à rede elétrica. 
 
2. Estudo do Transformador em vazio 
 
2.1 Funcionamento 
 
Vamos considerar o TR ligado a uma rede de freqüência f e tensão V1. Estando ligado 
surge uma corrente de excitação ie, uma força magnetomotriz fmm = N1ie a qual produz um 
fluxo mutuo φm que percorre a estrutura de aço do TR e um fluxo de dispersão φd. 
 
Seja tsenmaxm ωφ=φ onde f2pi=ω . O sentido do fluxo na estrutura de aço é dado 
pela regra da mão direita: agarrando-se o condutor com o polegar indicando o sentido da 
corrente, os demais dedos indicam o sentido do fluxo. 
O fluxo senoidal passando pelos enrolamentos induz tensões de acordo com a lei de 
Faraday. 
No estudo, letra minúscula é valor instantâneo, letra maiúscula é fasor e o módulo do 
fasor é o valor eficaz. 
No primário é induzida a tensão e1 e no secundário a tensão e2 as quais estão em fase. 
A fig. 2 apresenta os sentidos da corrente de excitação, do fluxo e das tensões induzidas. 
 
 
V 1
n 1 n 2
n1 > n2 Transformador abaixador
 
 
E 1 E 2
Ie
V 1 V 2
0 d
0m
sent ido E1 e E2 nos enro lamentos
termina is de mesma po lar idade
 
Figura 1 Figura 2 
 
 
 
De acordo com as leis de Lenz/Faraday, temos: 
 
 
dt
d
ne m11
φ
−= onde tsenmaxm ωφ=φ [1] 
 

 pi
−ωωφ=ωωφ−=
2
tsennetcosne max11max11 [2] 
 
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Pelas expressões [1] e [2] observa-se que e1 está atrasada de φm de 90º elétricos. 
Procedendo-se de igual modo chega-se a expressão de e2. 
 
 

 pi
−ωφω=
2
tsenne max22 [3] 
 
A partir da expressão [2] tem-se: max1max1max1 f2nne φpi=φω= 
 max1max1
max1
1 fn44,4fn2
2
2
eE φ=φpi== max11 fn44,4E φ= [4] 
 
Procedendo de igual modo, tem-se: max22 fn44,4E φ= [5] 
Das expressões [4] e [5] tem-se: 
2
1
2
1
n
n
E
E
= e considerando-se que as duas tensões 
estão em fase, pode-se escrever: 
2
1
2
1
n
n
E
E
= [6] 
 
 
2.2 Diagrama Fasorial do TR em Vazio: 
 
 
φ
m
I
e I
m
IpV 1= - E 1 E 2 E 1
 
A fig. 3 apresenta o diagrama fasorial 
do TR operando sem carga. 
Inicialmente marca-se o fasor V1, a 
seguir marca-se Ιe bastante atrasado 
de V1. Em seguida obtém-se as 
componentes Ιp e Ιm. Observa-se que 
Ιp é pequeno quando em comparação 
com Ιm. 
O módulo de Ιm difere muito pouco do 
módulo de Ιe. Como uma aproximação, 
admite-se que Ιp não produza fmm e 
em decorrência fluxo. 
 
Figura 3 
 
Com a aproximação, apenas Ιm é responsável pela produção da fmm que, então, valerá 
Ιmn1. Considerando-se que o valor do fluxo é igual ao valor da fmm dividido pela 
relutância, o fluxo estará em fase com a corrente Ιm. 
Ιp é chamada de Componente Watada da Corrente de Excitação pois o produto de seu 
módulo pelo módulo de V1 dá o valor da potência absorvida pelo TR em vazio ou sem 
carga, sendo portanto a potência das perdas: p1p IVW = [7] 
Considerando-se que Ιe é cerca de 1 a 3% do valor da corrente nominal do primário, as 
perdas causadas por ela nos enrolamentos é desprezível. Assim a potência Wp destina-se 
a suprir as perdas no ferro (histerese e Foucault). Para minimizar as perdas no ferro, a 
estrutura do TR é constituída de chapas de aço isoladas por uma resina. 
 
A equação fasorial de tensões do primário é dada por 1e11 ZIEV +−= [8] 
onde Z1 é a impedância do enrolamento do primário. A parcela 1eZI é muito pequena, e 
pode ser desprezada. 
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Deste modo, em vazio, pode-se escrever: 11 EV −= [9a] 
 
3. Estudo do transformador com Carga: 
 
3.1 Funcionamento: 
 
Vamos supor que seja ligada uma carga indutiva. Conforme se observa na fig. 4, surge 
uma corrente Ι2. Esta corrente passando pelos enrolamentos do secundário cria uma fmm 
Ι2n2 a qual se opõe a fmm do primário. Haverá deste modo, instantaneamente, uma 
redução no valor do fluxo mútuo do transformador. 
 
 
E 1 E 2
I1= I 1
!
 
+ I e
V 1 V 2
f m m
secundário
I2
Carga
 
 
Figura 4 
 
Como conseqüência, haverá, também, uma redução instantânea nos valores de E1 e E2 
(referência: equações [4] e [5]). 
Com a redução do valor de E1 haverá instantaneamente um acréscimo na corrente do 
primário (referência: equação [8]). Seja !1I o valor desse acréscimo. A corrente do primário 
neste transformador passou a ser !1e1 III += [9] 
A corrente !1I por sua vez, cria uma fmm adicional no primário de valor 1
!
1nI a qual 
reforça o valor do fluxo que circula no circuito magnético. Em decorrência haverá uma 
elevação nos valores de E1 e E2. 
Por outro lado, observa-se que, para transformadores ligados a uma rede, com tensão V1 
e freqüência f invariáveis, o valor de E1 varia muito pouco (1 a 2%) desde a máquina 
operando em vazio e até a máquina operando em plena carga. Isto se deve ao fato de Z1 
ser muito pequena. 
Deste modo, pode-se admitir que o valor de E1 seja constante. 
Em decorrência e de acordo com a equação [4] pode-se dizer que φmax também é 
constante. 
Sendo invariáveis o fluxo senoidal e a freqüência da rede, pode-se afirmar que as perdas 
no ferro também serão invariáveis. Em decorrência Ιp será constante. 
Sendo o fluxo senoidal de amplitude invariável, também será invariável a fmm que lhe deu 
origem, que como vimos, com a aproximação, vale 1mnI . Assim Ιm é constante. 
A corrente de excitação Ιe = Ιp + Ιm , nestas condições, será invariável. Sendo os fasores 
Ιe e E1 constantes, eles poderão ser relacionados através de uma impedância a qual será 
expressa por Ze. 
 
( ) ( )0012
e
2
e
ee1
ee
1
e
1
e jbgEXR
jXRE
jXR
E
Z
EI −−=
+
−−
=
+
−
=
−
=
 [10] 
Por outro lado, como a fmm responsável pelo fluxo mútuo Ιm n1 é constante, as fmm(s) 
que surgiram no TR ao ser carregado devem se anular, ou seja: 
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 0nInI 221
!
1 =+ [11] 
 
1
2
2
!
1
n
I
n
I
−= [11a] 
A equação de tensões do secundário do TR é: 2222 ZIEV −= [12] 
onde Z2 é a impedância do secundário. 
A equação de tensões do primário do TR é: ( ) 1!1e11 ZIIEV ++−= [13] 
 
3.2 Diagrama Fasorial do TR com Carga: 
 
A fig. 5 representa o diagrama fasorial com carga. (Obs. Fasorial fora
de escala) 
 
 
φ
m
I
e
I
m
I p -E 1
E 2 E 1
I 2
I 1
I 1
j X 2I2
R 2I2
V 2
R 1I1
j X 1I1
V 1
α
 
Figura 5 
 
 
No diagrama são marcados de início os fasores E1, E2, − E1, Ιe, Ιp, Ιm, φ. A seguir são 
marcados os fasores Ι2, V2 (obtido pela equação [12], referentes ao secundário. 
Através da equação [11] ou [11a] obtêm-se o fasor Ι′1. 
Através da equação [9], obtêm-se a corrente Ι1. 
Finalmente, pela equação [13], obtêm-se o fasor V1. 
 
3.3 Circuito Elétrico do Transformador: 
 
A partir do diagrama fasorial e considerando-se a equação [10], pode-se obter o circuito 
elétrico do TR. (veja a fig. 6). Observa-se que a partir do circuito do TR pode-se, também, 
obter todas as equações anteriormente apresentadas. 
 
 
 
 
 
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V 1
R 1 j X1
- jb0 g 0
I
e
IpIm
I !1
E 1 E 2
R 2 j X2I 1 I 2
Z CV 2
 
Figura 6 
 
 
1111 EZIV −= 2
1
2
1
n
n
E
E
= 
!
1e1 III += 2222 ZIVE += 
mpe III += 
c
2
2 Z
VI = 
( )001e jbgEI −−= 22!11 InIn −= 
 
3.4 Circuito Elétrico Simplificado do Transformador: 
A fig. 7 apresenta o circuito simplificado do TR. 
Observa-se que neste circuito não está representado o ramo da excitação. Esta 
simplificação é válida quando se estuda o comportamento do transformador à plena carga 
ou com carga elevada. 
 
 
V 1
R 1 j X1
E 1 E 2
R 2 j X2I1 I2
Z CV 2
 
Figura 7 
 
 
 
1111 EZIV −= 2222 ZIVE += 2211 InIn −= 
2
1
2
1
n
n
E
E
= 
c
2
2 Z
VI = 
 
3.5 Circuito Elétrico Equivalente do Transformador Referido ao Primário: 
 
A partir das equações deduzidas anteriormente obtém-se o circuito equivalente: 
 1111 ZIEV +−= [13] 
 
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Da equação [6] 11
2
1
21 ZI
n
nEV +−= [14] 
 
Da expressão [12] tem-se: aargc222222 ZIV mas ZIVE =+= 
 
( )aargc222 ZZIE += [15] 
 
Levando em conta a expressão [15], a expressão [14] pode ser apresentada como segue: 
( ) 11
2
1
aargc221 ZI
n
nZZIV ++−= . Considerando-se a expressão [11a) tem-se: 
 
( ) ( ) 11aargc2
2
2
1!
1111
2
1
aargc2
2
1!
11 ZIZZ
n
nIV então ZI
n
nZZ
n
nIV ++



=++= [16] 
 
 
A equação [16] e mais as equações: !1e1 III += [9] e ( )001e jbgEI −−= [10] 
 
permitem construir o circuito elétrico equivalente apresentado na fig. 8: 
 
 
 
V 1
I
e
I !1I 1
Z C
n1
n2
2Z2
n1
n2
2Z 1
 
Figura 8 
 
( ) !1e111aargc2
2
2
1!
11 III ZIZZ
n
nIV +=++



= 
 
3.6 Circuito Elétrico Equivalente Simplificado do Transformador referido ao primário 
 
 
Este circuito é obtido a partir da fig. 8, desprezando-se o circuito de excitação – ver fig. 9. 
Neste caso 1
!
1 II = 
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V 1
I 1
Z C
n1
n2
2Z2
n 1
n 2
2
Z 1
 
Figura 9 
 
Sabe-se que: 111 jXRZ += [17] 
e 222 jXRZ += [18] 
 
A impedância equivalente referida ao primário é 01Z : 
 
n
nXX j 
n
nRR Z 
n
nZZZ
0101 X
2
2
1
21
R
2
2
1
2101
2
2
1
2101
444 3444 2144 344 21








++



+=



+=
 [19] 
 
 010101 jXRZ += [20] 
 
Por outro lado: 
 



−=



−=







−=



2
1
22
2
1
aargc
1
2
2
2
2
1
aargc1
2
2
1
aargc
n
nVI
n
nZ
n
nI
n
nZI
n
nZ [21] 
 
 
V 1
I1 R 01 jX01
-V2
n1
n2
ZC
n1
n2
2
 
 
I1
R 0 1I1
j X 0 1I1
V 1
- V 2
n1
n2
 
Figura 9a Figura 9b 
 
 
Deste modo obtém-se a fig. 9a, que é uma outra forma de apresentação do circuito 
elétrico equivalente simplificado do transformador referido ao primário. 
A fig. 9b apresenta o diagrama fasorial correspondente, considerando-se o transformador 
alimentando uma carga com F.P. Indutivo. 
Observa-se que o TR é representado, na forma simplificada, por apenas uma impedância. 
 
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3.7 Circuito Elétrico Equivalente Simplificado do transformador Referido ao secundário 
A partir do circuito elétrico simplificado do TR (apresentado na fig. [7], pode-se escrever: 
1111 EIZV −= onde 
( )
( ) 222
2
1
2
21
1
2
1
2
1
222
1
2
211
1
2
21
2
1
222
2
1
21
VZI
n
nIZ
n
nV 
n
nVZI
n
nIZV
n
nII 
n
nVZI
n
nEE
−−



−=+−−=∴
−=+−=−=−
 
 
22
2
1
2
12
1
2
1 VZ
n
nZI
n
nV +



+



=−
 
2
X
2
2
1
2
1
R
2
2
1
2
12
1
2
1 VX
n
nX jR
n
nR I
n
nV
0202
+










+



++



=−
444 3444 2144 344 21
 
 
 ( ) 202022
1
2
1 VjXRI
n
nV ++=− [22] 
 
onde 020202 jXRZ += 
 
A partir desta última equação, obtém-se o circuito elétrico equivalente simplificado do 
transformador referido ao secundário, alimentando uma carga com F.P. indutivo, o qual 
está apresentado na fig. 10. 
 
 
Z C
I2 R 02 jX02
V 2-V1
n 2
n 1
 
 
I 2
R 0 2 I 2
j X0 2 I 2
V 2
- V 1
n 2
n 1
α
cos α = F.P. da carga
 
Figra 10 Figura 10a 
 
A fig. 10a apresenta o diagrama fasorial correspondente, considerando-se o 
transformador alimentando uma carga com F.P. indutivo. 
O diagrama referido ao secundário, oferece a vantagem de preservar as grandezas do 
secundário. Em outras palavras, as expressões do secundário são facilmente 
identificadas e entendidas. 
 
 
 
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3.8 Relação entre as Impedâncias Equivalentes Referidas ao Primário e Secundário: 
 
Nos itens anteriores foram deduzidas as expressões: 
 
2
2
1
2101
n
nRRR 



+= 2
2
1
2
102 R
n
nRR +



= 
2
2
1
2101
n
nXXX 



+= 2
2
1
2
102 X
n
nXX +



= 
 
 
A partir destas equações, tem-se: 
 
 02
2
2
1
02
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
01 R
n
nR
n
nR
n
nR
n
nR 



=



=



+







=
 [23] 
 
E de igual modo: 02
2
2
1
01 X
n
nX 



= [24] 
 
assim: [ ] 02
2
2
1
0202
2
2
1
01 Z
n
njXR
n
nZ 



=+



=
 [25] 
 
4. Regulação do Transformador: 
 
A regulação percentual a plena carga de um transformador de potência é a elevação da 
tensão secundária, expressa em por cento da tensão secundária nominal, quando a carga 
nominal, expressa em volt ampère, a um F.P. especificado é reduzida a zero, admitindo-
se que a tensão terminal do primário seja mantida constante. 
 
Conforme visto, a fig. 10 apresenta o circuito elétrico equivalente simplificado do TR 
referido ao secundário, alimentando uma carga indutiva. 
 
Admitindo-se que o TR esteja operando com carga nominal a corrente será N2I e a 
tensão será N2V . 
Neste caso a expressão das tensões será: ( ) N20202N2
1
2
1 VjXRI
n
nV ++=− 
Com o TR ligado a plena carga, a tensão junto a carga será N2V . No caso da carga ser 
desligada, a tensão junto a carga será de 
1
2
1
n
nV− . 
 
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Assim: 100
V
V
n
nV
%gRe
N2
N2
1
2
1 −−
= [26] 
 
 
 
5. Perdas nos Transformadores: 
5.1 Perdas no Ferro: 
 
Há 2 tipos de perdas: Histerese e Foucault (correntes parasitas). 
O ferro é o caminho por onde passa o fluxo senoidal dos transformadores monofásicos. 
Em conseqüência surgem no ferro correntes elétricas (correntes parasitas). 
Para reduzir estas correntes, a estrutura do ferro não é feita por uma peça única mas sim 
por um conjunto de lâminas de aço banhadas por uma resina que as isola. Com isto, as 
tensões induzidas em cada chapa ficam limitadas. Por outro lado a resistência oferecida à 
circulação de corrente elétrica é elevada, face a espessura fina das chapas. Com isto, as 
perdas nas chapas de aço por correntes parasitas são reduzidas. 
 
As expressões das perdas de Foucault e perdas por Histerese são: 
 VtfBKP 221F 2= [27] 
 VfBKP XHH = [28] 
 
onde: 
H1 K e K → São constantes que dependem do material. 
 B → Densidade máxima de fluxo. 
 f → freqüência 
V → Volume do ferro. 
t → Espessura da chapa. 
X → constante, valor próximo de 2. 
De acordo com as expressões, verifica-se que, aproximadamente, as perdas no ferro são 
proporcionais ao quadrado da densidade de fluxo. Deste modo, as perdas no ferro são, 
também, proporcionais ao valor do fluxo elevado ao quadrado. 2maxferro KP φ≅∴ [29] 
 
Por outro lado no estudo de transformadores foi visto que 11 EV ≅ onde 
max11 fn44,4E φ= 
Em um transformador operando em uma rede com freqüência constante, tem-se: 
 
max1 KE φ= 
max11 KEV φ=≅ 
 
 
 ou 1
!1
max VK
K
V
==φ [30] 
 
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Das expressões [29] e [30] tem-se: 21!!
2
1
2 !
ferro VKVKKP ≅= [31] 
 
Pode-se concluir que as perdas no ferro são, praticamente, proporcionais ao quadrado da 
tensão da rede. 
 
5.2 Perdas nos Enrolamentos: 
São dadas pelas expressões: 2202
2
101 IR ou IR 
 
 
 
6. Rendimento dos transformadores: 
 
É dado pela expressão: 
oenrolamentferroutil
util
PPP
P
++
=η [32] 
 
7. Ensaios de Curto Circuito e Circuito aberto: 
 
Através dos ensaios de curto circuito são obtidos os valores de 0201 Ze Z 
Através do ensaio de circuito aberto, obtém-se o valor das perdas no ferro para o 
transformador operando com a tensão 1V . 
Observação: O estudo destes ensaios será feito nas aulas de laboratório. 
 
8. Polaridade de transformadores: 
 
O conhecimento da polaridade é essencial para a ligação em paralelo de 
transformadores. Uma ligação errada poderá colocar em curto circuito os secundários dos 
transformadores paralelizados. 
A fig. [11] mostra dois transformadores iguais ligados em paralelo de forma correta. 
Observe que estão ligados em cada barra os terminais de mesma polaridade dos 
secundários dos transformadores. 
Como ilustração, é representada na fig. [11a] uma ligação errada dos secundários dos 
transformadores. Neste caso é fácil notar que os enrolamentos dos secundários estarão 
em curto circuito. 
 
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E 1
E 2
E 1
E 2
I e
 
 
Figura 11 
 
Na figura, as flechas indicam os sentidos das tensões induzidas. 
 
E 1
E 2
E 1
E 2
Ie
 
 
Figura 11a 
 
 
9. Estudo da Operação em Paralelo de Transformadores: 
 
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I2
I'2
I t
R 02 jX02
R'02 jX'02
cargan2
n1
-V1
-V1
n'2
n'1
V 2
 
 
Figura 11b 
 
 
Conforme exposto anteriormente, é essencial para o paralelismo dos transformadores que 
as ligações tenham sido feitas observando-se as polaridades. 
 
A fig. [11b] apresenta dois transformadores ligados em paralelo. Os transformadores 
estão representados pelos seus circuitos elétricos equivalentes simplificados referidos ao 
secundário. Observa-se que, no caso da carga estar desligada, haverá corrente de 
circulação dos TRs se !
1
!
2
1
1
2
1
n
nV
n
nV −≠− . Assim, para que não haja aquecimento 
desnecessário do TR, é condição essencial que: !
1
!
2
1
2
!
1
!
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
nV
n
nV =∴−=− [33] 
 
Os transformadores tem que ter a mesma relação de transformação. 
As equações de tensão dos transformadores são: 
2202
1
2
1 VIZ
n
nV +=− [34] e 2!2!02!
1
!
2
1 VIZ
n
nV +=− [34a] 
A equação das correntes é: !22t III += [35] 
 
considerando-se que: !
1
!
2
1
1
2
1
n
nV
n
nV −=− tem-se !2
!
02202 IZIZ = [35a] 
em módulo tem-se: 
02
!
02
!
2
2
Z
Z
I
I
= [36] 
 
 
multiplicando-se numerador e o denominador por 2V , tem-se: 
 
 
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02
!
02
!
22
22
Z
Z
IV
IV
=
 [37] 
 
Pelas expressões pode-se afirmar: 
• As impedâncias equivalentes referidas ao secundário são inversamente 
proporcionais às correntes do secundário. 
• As potências aparentes dos transformadores são inversamente proporcionais às 
impedâncias equivalentes referidas ao secundário. 
 
A partir da expressão [35a] e, representando as impedâncias na forma polar, tem-se: 
 
θ∠
θ∠
=
02
!!
02
!
2
2
Z
Z
I
I
 [38] 
 
 
 
 
020202 jXRZ += 
 
 
X 02
Z 02
R 02
θ
 
 
 
 θ−θ∠= !
02
!
02
!
2
2
Z
Z
I
I
 [39] 
 
Observa-se que o ângulo entre !22 I e I é θ−θ! 
 
Quanto maior for o valor de θ−θ! , menor será o valor de Ι1 (referência equação [35]) 
 
 
θ! − θ
I2
I !2
 
 
 
A associação ideal ocorre quando as duas correntes estão em fase. Neste caso ΙT será a 
soma aritmética das duas correntes. 
 
Para que isso ocorra, os ângulos das
duas impedâncias devem ser iguais, ou seja: 
0! =θ−θ . Para tanto a relação entre resistência e reatância de um transformador deve 
ser igual a do outro transformador: !
02
!
02
02
02
X
R
X
R
=
 [40] 
 
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Exercícios 
1. Considere dois transformadores a serem colocados em paralelo. Sabe-se que: 
 TR1 TR2 
 Ι2N = 150 A Ι!2N = 100 A 
 Z02 = 0,04 Ω Z!02 = 0,05 Ω 
 
 
Analise e comente as condições da associação. 
Nota: Os TRs tem a mesma relação de transformação. 
 
2. Dois transformadores são ligados em paralelo em condições ideais. Um deles tem 
Z02 = 0,03 + j0,04 e Ι2 = 200 A. O outro transformador tem Ι’2 = 400 A. Determine o 
valor de Z`02 deste segundo transformador. 
 
Nota: Os TRs tem a mesma relação de transformação 
 
3. Dois transformadores, rigorosamente iguais, com exceção da relação de 
transformação, são colocados em paralelo. Sabe-se que: 
 
 TR1 TR2 
 
V100
n
nV
1
2
1 = V95
n
nV !
1
!
2
1 = 
 
 04,0j03,0Z02 += 04,0j03,0Z!02 += 
 
Sabe-se também que eles estão operando sem carga. 
Pede-se o valor da corrente de circulação entre os transformadores. 
 
4. Qual a vantagem em se operar transformadores em paralelo? 
5. Dois transformadores são rigorosamente iguais. Sabe-se que as suas características 
são: 
 
V200
n
nV
1
2
1 = 
 
04,0j03,0Z02 += 
 
 
Na hipótese deles estarem ligados em paralelo com polaridades trocadas o que vai 
ocorrer? 
Analise qualitativa e quantitativamente. 
Sabe-se também que eles estão operando sem carga. 
 
 
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