Matemática Discreta - Raciocínio Lógico

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MTM Discreta/16810-MTM_Discreta_-_Aula_01.pdf
19/03/2013
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Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Matemática Discreta
Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Capítulo 01
Fundamentos de Lógica Formal
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Introdução ao Estudo da Lógica Formal
• A Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das 
conclusões a que chegamos a partir das evidências que as 
sustentam.
– Teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C.
– A maior revolução sofrida foi em meados do século XIX, quando foi 
concebida como uma álgebra.
– Atingiu elevado grau de formalização no século XX.
“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais 
atingimos a verdade [...] É a ciência das leis do pensamento.”
(FONTES, 2008)
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Proposições
• As proposições constituem o alicerce das estruturas 
fundamentais da Lógica.
• Exemplos
– Todo número divisível por 2 é par.
– Que horas são?
– Vá dormir.
– Dez menos três.
– Como você está bonita hoje!
Uma proposição, ou sentença, é qualquer oração que pode ser 
avaliada como verdadeira ou falsa.
É uma proposição.
Não são proposições.
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Proposições
a: Todo número divisível por 2 é par.
b: São Luís é a capital do Maranhão.
p: Barack Obama é o presidente do Brasil.
Normalmente, indicamos uma 
proposição por uma letra 
latina minúscula.
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Valor Lógico de uma Proposição
• O valor lógico de uma proposição está associado 
ao resultado de sua avaliação como verdadeira
ou falsa.
– O valor lógico verdade (V) está associado às 
proposições verdadeiras.
– O valor lógico falsidade (F) está associado às 
proposições falsas.
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Valor Lógico das Proposições
• Exemplo
– p: O Maranhão está localizado na região Nordeste.
• O valor lógico desta proposição é a verdade.
• Indica-se por: V(p) = V
– q: Santos Dumont é o pai da Informática.
• O valor lógico desta proposição é a falsidade.
• Indica-se por: V(q) = F
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Valor Lógico das Proposições
• Os possíveis valores lógicos de uma proposição 
simples podem ser representados por meio de 
uma tabela ou como uma árvore de 
possibilidades.
p
V
F
p
V
F
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Valor Lógico das Proposições
• Axiomas
– Princípio da Não-Contradição
– Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição nunca será verdadeira e falsa 
simultaneamente.
Uma proposição sempre assume um dos valores 
lógicos: ou é verdadeira ou é falsa.
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Classificação das Proposições
• Proposições Simples ou Atômicas
– Não podem ser decompostas.
• a: Pelé é o Rei do futebol.
• b: Imperatriz é a capital do Maranhão.
• Proposições Compostas ou Moleculares
– Formadas por duas ou mais proposições ligadas 
por conectivos lógicos.
» P: Pelé é o Rei do futebol e Lula é o Presidente do Brasil.
» Q: São Luís é capital do Maranhão ou Teresina é a capital do 
Piauí.
As proposições 
maiúsculas
As proposições 
compostas são 
representadas por 
letras latinas 
maiúsculas
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Conectivos Lógicos
• Os mais importantes conectivos lógicos são em 
número de cinco:
– NÃO (¬¬¬¬)
– E (∧∧∧∧)
– OU (∨∨∨∨)
– SE...ENTÃO (→→→→)
– SE, E SOMENTE SE (↔↔↔↔)
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Refletindo
Como determinar o valor lógico de 
uma proposição composta?
O valor lógico de uma proposição composta é definido 
pelo valor lógico das proposições simples que a compõe e 
pelos conectivos empregados.
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Valor Lógico de Proposições Compostas
• Para facilitar o cálculo do valor lógico de uma 
proposição composta, utilizamos uma estrutura 
chamada de tabela verdade.
“Uma tabela verdade é uma tabela que descreve os 
valores lógicos de uma proposição em termos das 
possíveis combinações dos valores lógicos das 
proposições componentes e dos conectivos usados.”
Menezes (2008)
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Ilustração: Tabela Verdade
• Considerando uma proposição composta formada 
pelas proposições simples p e q. Como representar 
as possíveis valores lógicos de p e q?
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
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Ilustração: Tabela Verdade
• Os valores lógicos são dispostos na tabela verdade de 
acordo com a seguinte árvore de possibilidades.
p
V
F
V
F
V
F
q
q
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Refletindo
De que forma os conectivos 
interferem na definição do valor 
lógico de uma proposição 
composta?
Os conectivos estão associados a operações lógicas que são 
realizadas sobre as proposições.
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Operações Lógicas
Operação Operador Símbolo
Negação NÃO ¬
Conjunção E ∧
Disjunção OU ∨
Condicional (Implicação) SE...ENTÃO →
Bicondicional (Bi-implicação) SE, E SOMENTE SE ↔
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Negação
• Pode-se utilizar o conectivo NÃO (¬) para formar 
uma nova proposição, cujo valor lógico é oposto ao 
da proposição original.
– Representação da negação na tabela verdade
p ¬¬¬¬p
1 V F
2 F V
O operador NÃO 
inverte o valor lógico 
da proposição original.
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Negação
• Exemplos
a: A capital do Maranhão é São Luís.
¬a: A capital do Maranhão não é São Luís.
¬a: É falso que a capital do Maranhão é São Luís.
b: Todos os alunos aprenderão Lógica .
¬b: Nem todos os alunos aprenderão Lógica.
¬b: Existem alunos que não aprenderão Lógica.
c: Existem alunos estudiosos.
¬c: Não existem alunos estudiosos.
¬c: Todos os alunos não são estudiosos.
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Conjunção
• Com o uso do conectivo E (∧∧∧∧) é possível ligar duas 
proposições, formando uma nova proposição chamada 
conjunção, cujo valor lógico é a verdade (V) quando 
ambas as proposições que a compõe forem verdadeiras.
– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p ∧∧∧∧ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
Uma conjunção só é 
verdade quando ambas as 
proposições que a compõe 
forem simultaneamente 
verdade.
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Conjunção
• Exemplos
a: Lula é brasileiro.
b: O Maranhão pertence ao Paraguai
a ∧∧∧∧ b: Lula é brasileiro e o Maranhão pertence ao 
Paraguai.
• A conjunção a ∧ b tem como valor lógico a falsidade.
• V(a) = V e V(b) = F, portanto 
V(a ∧ b) = V(a) ∧ V(b) = V ∧ F = F
a b a ∧∧∧∧ b
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
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Conjunção
• Exemplos
p: 5 – 3 = 2
q: 10 é um número par.
p ∧∧∧∧ q: 5 – 3 = 2 e 10 é um número par.
• A conjunção p ∧ q tem como valor lógico a verdade.
• V(p) = V e V(q) = V, portanto 
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V
= V a b a ∧∧∧∧ b
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
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Disjunção
• Com o uso do conectivo OU (∨∨∨∨) é possível ligar duas 
proposições, formando uma nova proposição chamada 
conjunção, cujo valor lógico é a falsidade (F) quando 
ambas as proposições que a compõe forem falsas.
– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p ∨∨∨∨ q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Uma disjunção só é uma 
falsidade quando ambas as 
proposições que a compõe 
forem simultaneamente 
uma falsidade.
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Disjunção
• Exemplos
a: Gonçalves Dias é um poeta maranhense.
b: A Lua é quadrada.
a ∨∨∨∨ b: Gonçalves Dias é um poeta maranhense ou a Lua é 
quadrada.
• A disjunção a ∨ b tem como valor lógico a verdade.
• V(a) = V e V(b) = F, portanto 
V(a ∨ b) = V(a) ∨ V(b) = V ∨ F = V
a b a ∨∨∨∨ b
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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Disjunção
• Exemplos
p: 5 – 3 > 2.
q: 10 é um número primo.
p ∨∨∨∨ q: 5 – 3 > 2 ou 10 é um número primo.
• A disjunção p ∨ q tem como valor lógico a falsidade.
• V(p) = F e V(q) = F, portanto 
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ F = F p q p ∨∨∨∨ q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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Condição ou Implicação
• Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova 
proposição p � q, chamada condição ou implicação, onde p é 
chamado antecedente e q consequente, e cujo valor verdade 
é a falsidade quando p for uma verdade e q uma falsidade.
– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p →→→→ q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
A proposição p � q, é uma 
verdade se p e q forem 
simultaneamente verdade ou se 
p for uma falsidade. Caso p seja 
uma verdade e q uma falsidade, 
p � q será uma falsidade.
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Condição
• Exemplos
a: O relógio marca as horas.
b: Grande parte da Amazônia Legal fica no Brasil.
a →→→→ b: Se o relógio marca as horas, então grande parte 
da Amazônia Legal fica no Brasil.
• A condição a → b tem como valor lógico a verdade.
• V(a) = V e V(b) = V, portanto 
V(a → b) = V(a) → V(b) = V → V = V
a b a →→→→ b
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
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Condição
• Exemplos
p: Machado de Assis escreveu Dom Casmurro.
q: 10 é um número primo.
p →→→→ q: Se Machado de Assis escreveu Dom Casmurro, 
então 10 é um número primo.
• A condição p → q tem como valor lógico a falsidade.
• V(p) = V e V(q) = F, portanto 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F
p q p →→→→ q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
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Condição
• Exemplos
m: O Brasil foi colonizado pelos franceses.
n: A capital do Maranhão é Teresina.
m →→→→ n: Se o Brasil foi colonizado pelos franceses, então a 
capital do Maranhão é Teresina.
• A condição m → n tem como valor lógico a verdade.
• V(m) = V e V(n) = F, portanto 
V(m → n) = V(m) → V(n) = F → F = V
p q p →→→→ q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
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Condição
O que uma condicional 
afirma é somente uma 
relação entre os valores 
lógicos do antecedente e 
do consequente.
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Bicondição ou Bi-implicação
• Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova 
proposição p ↔ q, chamada bicondição, cujo valor verdade é 
a verdade quando p e q forem simultaneamente uma verdade 
ou uma falsidade.
– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p ↔↔↔↔ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
Uma bicondição é uma 
verdade quando as 
proposições que a compõe 
possuem o mesmo valor 
lógico.
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Bicondição
• Exemplos
a: O Brasil fica na América do Sul.
b: No verão faz calor.
a ↔↔↔↔ b: O Brasil fica na América do Sul se, e somente se, 
no verão faz calor.
• A bicondição a ↔ b tem como valor lógico a verdade.
• V(a) = V e V(b) = V, portanto 
V(a ↔ b) = V(a) ↔ V(b) = V ↔ V = V
a b a ↔↔↔↔ b
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
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Bicondição
• Exemplos
m: 13 é divisível por 2.
n: 10 é um número primo.
m ↔↔↔↔ n: 13 é divisível por 2 se, e somente se, 10 é um 
número primo.
• A bicondição m ↔ n tem como valor lógico a verdade.
• V(m) = F e V(n) = F, portanto 
V(m ↔ n) = V(m) ↔ V(n) = F ↔ F = V
m n m ↔↔↔↔ n
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
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Bicondição
• Exemplos
r: Domingo é um dia útil.
t: O Sol é uma estrela.
r ↔↔↔↔ t: Domingo é um dia útil se, e somente se, o Sol é 
uma estrela.
• A bicondição r ↔ t tem como valor lógico a verdade.
• V(r) = F e V(t) = V, portanto 
V(r ↔ t) = V(r) ↔ V(t) = F ↔ V = F
r t r ↔↔↔↔ t
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
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Fórmulas Bem Formuladas
– Exemplos:
• p
• (p →→→→ q) ∧∧∧∧ c
• p ↔↔↔↔ (¬¬¬¬a ∨∨∨∨b)
• ∧∧∧∧q¬¬¬¬p
• ¬¬¬¬p∧∧∧∧∧∧∧∧(a ↔↔↔↔ p¬¬¬¬)
• Pqr∧∧∧∧s¬¬¬¬t
Uma fórmula é uma sentença lógica corretamente 
construída, sobre um alfabeto cujos símbolos são 
conectivos, parênteses, identificadores, constantes, etc
Menezes (2008)
São Fórmulas
Não São Fórmulas
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Fórmulas Bem Formuladas
• Considere a seguinte fórmula:
p ∧∧∧∧ q →→→→ r
p: Maria adoeceu.
q: João viajou.
r: Hércules não pode sair de casa.
A fórmula, como está escrita, pode representar duas expressões:
1 - “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa”
2 - “Maria adoeceu e, se João viajou, então Hércules não pode sair de casa.”
E agora, como saber qual 
das duas expressões está 
representada pela 
fórmula?
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Fórmulas Bem Formuladas
• Precedência de Operadores
1. Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os mais 
externos.
2. Negação (¬).
3. Conjunção (∧) e Disjunção (∨).
4. Condição (→).
5. Bicondição (↔).
E então, qual das duas expressões está 
representada pela fórmula p ∧∧∧∧ q →→→→ r?
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Fórmulas Bem Formuladas
• A conjunção tem precedência sobre a condição. 
Então, a expressão simbolizada pela fórmula é:
– Para representar a segunda expressão é preciso 
fazer uso de parênteses.
“Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules 
não pode sair de casa”
p ∧∧∧∧ (q →→→→ r)
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Consideremos a fórmula:
p →→→→ (q ∧∧∧∧ r)
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
1. Conte o número de proposições simples e calcule o número 
de linhas da tabela (Nº de Linhas = 2n, onde n é o número de 
proposições simples).
Para a fórmula considerada, temos:
Proposições simples: p, q, r
Número de linhas da tabela: 23 = 8 linhas
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Regras para a Construção de Tabelas
Verdade
2. Desenhe a tabela e escreva cada proposição simples sobre a 
primeira linha.
p q r
1
2
3
4
5
6
7
8
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
3. Para a iésima proposição simples (i ≤ n), atribua 
alternadamente 2n – i valores V seguidos da mesma 
quantidade de valores F.
p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
Linha 1: 23 – 1 = 4
Linha 2: 22 – 1 = 2
Linha 3: 21 – 1 = 1
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
4. Realize as operações lógicas, obedecendo a ordem de 
precedência. Para cada operação, crie uma nova coluna na 
tabela.
p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
q ∧∧∧∧ r
V
F
F
F
V
F
F
F
p →→→→ (q ∧∧∧∧ r)
V
F
F
F
V
V
V
V
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Também podemos determinar o valor lógico de uma 
fórmula a partir do valor lógico das proposições que 
a compõem.
• Exemplos
– p →→→→ (a ∧∧∧∧ b), onde V(p) = V, V(a) = F e V(b) = V.
• Substituindo os valores lógicos de cada proposição, temos:
V → (F ∧ V) = V → F = F 
– p ∧∧∧∧ (q ↔↔↔↔ r), onde V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F.
• Substituindo os valores lógicos de cada proposição, temos:
V ∧ (F ↔ F) = V ∧ V = V
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Exemplo: 
Determinar o valor lógico da proposição:
“Se o Brasil é um país em desenvolvimento e o 
Maranhão é o maior estado do Nordeste, então a 
raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100 ou o 
Maranhão não é o maior estado do Nordeste”.
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Solução
– Inicialmente, escrevemos a expressão em forma 
simbólica:
a: o Brasil é um país em desenvolvimento.
b: o Maranhão é o maior estado do Nordeste.
c: a raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100.
Com isso, temos:
(a ∧∧∧∧ b) →→→→ (c ∨∨∨∨ ¬¬¬¬b)
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Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Solução
– Em seguida, substituímos os valores lógicos de cada 
proposição simples na sentença encontrada e resolvemos 
as operações lógicas indicadas:
V(a) = V, V(b) = F e V(c) = F
(a ∧ b) → (c ∨ ¬b) = 
= (V ∧ F) → (V ∨ F) = 
= F → V =
= V
Portanto, a proposição tem a verdade (V) como valor lógico.
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Tautologias
– Podemos comprovar uma tautologia pela construção da 
tabela verdade.
– Exemplo
Provar a seguinte tautologia: p ∧∧∧∧ r ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r 
Denomina-se tautologia, ou proposição tautológica, toda 
fórmula cujo valor lógico é sempre a verdade, 
independente dos valores lógicos das proposições simples 
que a compõe.
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Tautologias
• A tabela verdade para a fórmula é a seguinte
p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
¬¬¬¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
p ∧∧∧∧ r
V
F
V
F
F
F
F
F
¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r
V
F
V
V
V
F
V
V
p ∧∧∧∧ r →→→→ ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r
V
V
V
V
V
V
V
V
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Contradições
– Constituem-se a negação de uma tautologia.
– Podem ser demonstradas por tabelas verdade.
– Exemplo
A fórmula (p → q) ∧ (p ∧ ¬q) é uma contradição
As contradições são fórmulas cujo valor lógico é sempre a 
falsidade quaisquer que sejam os valores das proposições 
simples componentes
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Contradições
• A tabela verdade para a fórmula é a seguinte:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
¬¬¬¬q
F
V
F
V
p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q
F
V
F
F
p →→→→ q
V
F
V
V
(p →→→→ q) ∧∧∧∧ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)
F
F
F
F
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Contingências
– Exemplo
A fórmula p ∧ (q → ¬p) é uma contingência.
As fórmulas que não 
constituem tautologia nem 
contradição são chamadas 
de contingências
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Contingências
• A tabela verdade para a fórmula é a seguinte:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
¬¬¬¬p
F
F
V
V
q →→→→ ¬¬¬¬ p
V
F
V
V
p ∧∧∧∧ (q →→→→ ¬¬¬¬ p)
F
F
F
F
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MTM Discreta/17078-ComplemCondicionais.pdf
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO MARANHÃO 
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
CURSO DE LICENCIATURA EM INFORMÁTICA 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO 
PROFESSOR: RAIMUNDO OSVALDO VIEIRA 
 
Complemento sobre Proposições Condicionais 
 
(Extraído de ROSEN, Keneth H. Matemática Discreta e suas Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2009) 
 
A condicional é usada como uma regra essencial no raciocínio matemático, por isso uma variedade 
de termos pode ser usada para expressar � � �. Você pode encontrar algumas das seguintes 
formas para expressar a condicional: 
 
“Se p, então q” 
“Se p, q” 
“p é suficiente para q” 
“q se p” 
“q quando ocorrer p” 
“uma condição necessária para p é q” 
“p implica q” 
“p apenas se q” 
“uma condição suficiente para q é p” 
“q sempre que p” 
“q é necessário para p” 
“q segue de p” 
“q a menos que ¬p”
 
Algumas pessoas acham confuso que “p somente se q” expresse o mesmo que “se p então 
q”. Note que “p somente se q” significa que p não pode ser verdadeira quando q não é. Ou 
seja, a proposição é falsa se p é verdadeira, mas q é falsa. Quando p é falsa, p pode ser 
verdadeira ou falsa, porque a proposição não diz nada sobre o valor verdade de q. 
 
A expressão “a menos que” é frequentemente usada para expressar condicionais. Observe 
que “q a menos que ¬p” significa que se ¬p é falsa, então q deve ser verdadeira. Ou seja, a 
proposição “q a menos que ¬p” é falsa quando p é verdadeira e q é falsa, mas é verdadeira 
em qualquer outro caso. Consequentemente, “q a menos que ¬p” e p � q têm o mesmo 
valor lógico. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Seja p a proposição em português “Helaine sabe matemática discreta” e q a proposição “Helaine é 
uma ótima tutora”. É possível expressar � � � de várias maneiras em português. 
 
“Se Helaine sabe matemática discreta, então ela é uma ótima tutora.” 
“Para ser uma boa tutora, é suficiente que Helaine saiba matemática discreta.” 
“Helaine é uma ótima tutora, a menos que não saiba matemática discreta.” 
 
 
Podemos formar muitas outras proposições a partir da condicional � � �. Em particular, existem 
três proposições condicionais relacionadas que figuram com maior frequência. A proposição 
� � � é chamada de oposta de � � �. A contrapositiva de � � � é a proposição ¬� �
¬�. A 
proposição ¬� � ¬� é chamada de inversa de � � �. Dessas três condicionais, apenas a 
contrapositiva é equivalente a � � �, pois ambas apresentam os mesmos valores lógicos. 
 
Exemplo 2 
 
Qual é a contrapositiva, a oposta e a inversa da proposição condicional “Os alunos são aprovados 
sempre que estudam todos os dias”? 
 
É possível reescrever a proposição original como 
“Se os alunos estudam todos os dias, então são aprovados.” 
Consequentemente, a contrapositiva dessa condicional é 
“Se os alunos não são aprovados, então eles não estudam todos os dias.” 
A oposta é 
“Se os alunos são aprovados, então eles estudam todos os dias.” 
A inversa é 
“Se os alunos não estudam todos os dias, então eles não são aprovados.” 
MTM Discreta/17079-MTM-Discreta-DisjExclusiva.pdf
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO MARANHÃO 
CAMPUS SÃO LUÍS – MONTE CASTELO 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE INFORMÁTICA 
BACHARELADO EM SISTEMA DE INFORMAÇÃO 
 
 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA DISCRETA 
PROFESSOR: RAIMUNDO OSVALDO VIEIRA 
 
Tópico Extra: Disjunção Exclusiva 
 
 
Considere as seguintes proposições compostas: 
 
P: Adriano é aluno de Licenciatura em Informática ou Camila é brasileira. 
Q: Marina foi aprovada ou reprovada em Matemática para Computação. 
 
Note que na primeira proposição indica que pelo menos uma das proposições “Adriano é aluno de 
Licenciatura e Informática”, “Camila é brasileira” é verdadeira, sendo possível que ambas as sejam 
verdadeiras. Na segunda proposição, percebe-se que apenas uma das proposições poderá ser 
verdadeira, pois é impossível que Marina seja aprovada e reprovada em Matemática para 
Computação. 
 
No primeiro caso, temos uma disjunção inclusiva, enquanto que no segundo temos uma disjunção 
exclusiva, também chamada de operação XOR, que é simbolizada por ⊕. Assim, a proposição p ⊕ q é 
uma disjunção exclusiva e é lida da seguinte forma: “ou p ou q”. 
A tabela verdade para a disjunção exclusiva é a seguinte: 
 
p q p ⊕ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
Para cada uma das seguintes sentenças, determine se o ou é inclusivo ou exclusivo. 
 
a) Café ou Chá vem com o jantar. 
b) Uma senha deve ter ao menos três dígitos ou oito caracteres de comprimento. 
c) O pré-requisito para o curso de Matemática Discreta é um curso em Teoria dos Números ou um 
curso em Criptografia. 
d) Você pode jogar dando um lance em dólares americanos ou euros. 
MTM Discreta/17368-Matem�tica_Discreta_-_Cap_01.pdf
M
ó
d
u
lo
 0
1
 
 
Fundamentos de 
Lógica Matemática 
 
 
Objetivos 
� Compreender a lógica em seu contexto histórico; 
� Reconhecer e trabalhar com os símbolos que são 
usados nas lógicas proposicional e de predicados; 
� Determinar o valor lógico de uma expressão na 
lógica proposicional; 
� Verificar se argumento sentencial é válido; 
� Manipular tabelas-verdade; 
� Verificar se uma sentença é tautologia, contradição 
ou contingência; 
� Utilizar a lógica de predicados para representar 
sentenças; 
� Determinar o valor lógico de alguma interpretação 
de uma expressão na lógica de predicados; 
� Utilizar o método dedutivo para demonstrar a 
validade de argumentos na lógica proposicional e 
na lógica de predicados. 
 
Conteúdo 
 
� Introdução ao Estudo da Lógica Formal 
� Lógica Proposicional 
� Lógica de Predicados 
 
P á g i n a | 2 
 
 
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no 
raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na 
verificação formal de programas e melhor os prepara para o 
entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. 
(Celina Abar, 1999) 
 
 
Por ter relação direta com a Ciência da Computação, o estudo da Lógica 
mostra-se indispensável ao estudante da área de Informática. São várias as 
possibilidades de aplicações diretas do raciocínio lógico-matemático: desde 
linguagens de programação mais simples até resolução de problemas com 
Inteligência Artificial. 
Todo o fundamento da computação tem suas raízes na matemática, uma 
vez que esta é quem possibilita à Ciência a formalização de vocabulários e notações 
com alto poder de definição. Também é graças à matemática que podemos fazer 
abstrações e raciocínios precisos e rigorosos. Tudo isto só é possível devido ao uso 
da lógica para entendimento do raciocínio matemático, sendo utilizados princípios 
que possibilitam a distinção entre raciocínios válidos e outros não válidos. 
Neste capitulo serão apresentados os conceitos básicos da lógica 
matemática, cujo domínio é essencial para estudos futuros sobre linguagens de 
programação, teoria da computação, sistemas digitais e inteligência artificial. 
 
 
1.1. Caracterização e Histórico da Lógica 
 
 
Há na literatura inúmeras definições para a Lógica, dentre as quais 
destacamos: 
 
 
“a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do 
pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.” 
(WIKIPEDIA, 2009) 
Capítulo 1 
Introdução ao Estudo da Lógica Formal 
 
 
 
 
Percebemos pelas definições apresentadas que a Lógica 
estudo das leis gerais do pensamento e as diferentes maneiras de aplicar 
corretamente essas leis na investigação da verdade. Em outras palavras, po
dizer que a Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das conclusões a 
que chegamos a partir das evidências que as sustentam. De maneira mais geral, é 
possível dizer que a Lógica é “o estudo do raciocínio” (D’OTAVIANO; FEITOSA, 
2003). 
A Lógica teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C., como uma 
ciência dedicada ao estudo dos atos do pensamento a partir de sua estrutura ou 
forma lógica, sem levar em consideração qualquer conteúdo material (FONTES, 
2008). Em termos mais simples, diz
formas de raciocínio através das quais seria possível a obtenção de novos 
conhecimentos a partir de conhecimentos já existentes e que fossem considerados 
verdadeiros. É o chamado método dedutivo ou, simplesmente, d
As principais contribuições de Aristóteles para a lógica estão em sua obra 
Organon, na qual são destacados os pontos centrais da lógica aristotélica: a lei da 
não contradição, o princípio do terceiro excluído e a 
trata dos enunciados categóricos. Esses princípios são considerados válidos até os 
dias atuais e constituem as bases da chamada lógica formal.
 
 
As principais críticas à Lógica Aristotélica surgiram por volta do século XVI, 
oriundas de filósofos como Francis Bacon (1561 
“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais atingimos a 
verdade [...] É a ciência das leis do pensamento.”
pelas definições apresentadas que a Lógica 
estudo das leis gerais do pensamento e as diferentes maneiras de aplicar 
corretamente essas leis na investigação da verdade. Em outras palavras, po
dizer que a Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das conclusões a 
que chegamos a partir das evidências que as sustentam. De maneira mais geral, é 
possível dizer que a Lógica é “o estudo do raciocínio” (D’OTAVIANO; FEITOSA, 
ógica teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C., como uma 
ciência dedicada ao estudo dos atos do pensamento a partir de sua estrutura ou 
forma lógica, sem levar em consideração qualquer conteúdo material (FONTES, 
2008). Em termos mais simples, dizemos que Aristóteles preocupava
formas de raciocínio através das quais seria possível a obtenção de novos 
conhecimentos a partir de conhecimentos já existentes e que fossem considerados 
verdadeiros. É o chamado método dedutivo ou, simplesmente, dedução.
As principais contribuições de Aristóteles para a lógica estão em sua obra 
, na qual são destacados os pontos centrais da lógica aristotélica: a lei da 
não contradição, o princípio do terceiro excluído e a teoria dos silogismos
trata dos enunciados categóricos. Esses princípios são considerados válidos até os 
dias atuais e constituem as bases da chamada lógica formal. 
As principais críticas à Lógica Aristotélica surgiram por volta do século XVI, 
oriundas de filósofos como Francis Bacon (1561 – 1626) e René Descartes (1596 
Para saber mais acesse
ftp://ftp.cle.unicamp.br/pub/arquivos/educacional/ArtGT.pdf
“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais atingimos a 
verdade [...] É a ciência das leis do pensamento.” 
P á g i n a | 3 
 
pelas definições apresentadas que a Lógica preocupa-se com o 
estudo das leis gerais do pensamento e as diferentes maneiras de aplicar 
corretamente essas leis na investigação da verdade. Em outras palavras, podemos 
dizer que a Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das conclusões a 
que chegamos a partir das evidências que as sustentam. De maneira mais geral, é 
possível dizer que a Lógica é “o estudo do raciocínio” (D’OTAVIANO; FEITOSA, 
ógica teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C., como uma 
ciência dedicada ao estudo dos atos do pensamento a partir de sua estrutura ou 
forma lógica, sem levar em consideração qualquer conteúdo material (FONTES, 
emos que Aristóteles preocupava-se com as 
formas de raciocínio através das quais seria possível a obtenção de novos 
conhecimentos a partir de conhecimentos já existentes e que fossem considerados 
edução. 
As principais contribuições de Aristóteles para a lógica estão em sua obra 
, na qual são destacados os pontos centrais da lógica aristotélica: a lei da 
teoria dos silogismos, que 
trata dos enunciados categóricos. Esses princípios são considerados válidos até os 
 
As principais críticas à Lógica Aristotélica surgiram por volta do século XVI, 
1626) e René Descartes (1596 – 
Para saber mais acesse 
ftp://ftp.cle.unicamp.br/pub/arquivos/educacional/ArtGT.pdf 
“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais atingimos a 
(FONTES, 2008) 
 
1650). Bacon lançou as bases para a formalização do método
na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, 
mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de 
todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal
um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas 
pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio.
A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, 
quando estudiosos como Boole 
converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles 
formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o 
surgimento da lógica matemática ou simbólica. A partir de então
a ser visto como cálculo matemático.
Ao longo do século XX
Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de 
combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES, 
2008). 
 
 
 
1.2. Conceito de Proposição
 
 
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas 
da lógica formal é o de proposição, também chamada de 
 
Para saber mais sobre a história da lógica acess
1650). Bacon lançou as bases para a formalização do método indutivo, que consiste 
na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, 
mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de 
todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal
um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas 
pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio.
A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, 
quando estudiosos como Boole e Bertrand Russel conceberam uma maneira de 
converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles 
formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o 
surgimento da lógica matemática ou simbólica. A partir de então,
a ser visto como cálculo matemático. 
Ao longo do século XX, a lógica atingiu elevado grau de formalização. 
Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de 
combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES, 
Conceito de Proposição 
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas 
da lógica formal é o de proposição, também chamada de sentença
Acesse o PORTAL DE LÓGICA da Wikipedia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Portal:Lógica
Para saber mais sobre a história da lógica acess
http://afilosofia.no.sapo.pt/Hist.htm
P á g i n a | 4 
indutivo, que consiste 
na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, 
mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de 
todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal passa por 
um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas 
pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio. 
A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, 
e Bertrand Russel conceberam uma maneira de 
converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles 
formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o 
, o raciocínio passou 
a lógica atingiu elevado grau de formalização. 
Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de 
combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES, 
 
 
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas 
sentença. 
Acesse o PORTAL DE LÓGICA da Wikipedia 
.wikipedia.org/wiki/Portal:Lógica 
Para saber mais sobre a história da lógica acesse 
http://afilosofia.no.sapo.pt/Hist.htm 
P á g i n a | 5 
 
 
 
As proposições constituem o alicerce das estruturas fundamentais da Lógica 
Matemática, que, por sua vez, é fundamentada em dois princípios básicos (ou 
axiomas) (ALENCAR FILHO, 2002): 
 
1º) PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO: uma proposição nunca será 
verdadeira e falsa simultaneamente. 
2º) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição sempre 
assume um dos valores lógicos: ou é verdadeira ou é falsa. 
 
Além desses princípios básicos, podemos afirmar que toda proposição, por 
ser uma oração, possui sujeito e predicado, além de sempre ser uma oração 
declarativa (IEZZI; MURAKAMI, 1993). 
 
 
 
Exemplo 1.1 – Proposições 
Considere as seguintes orações: 
a) Cinco é menor que oito. 
b) Como é o seu nome? 
c) Ai, que susto! 
d) Sete menos três. 
e) Vá dormir. 
A frase (a) é uma proposição, pois é possível definir que ela é verdadeira. As frases 
(b) e (c) não podem ser avaliadas como verdadeira ou falsa, portanto não são 
proposições. Note que a frase (b) é uma pergunta e a frase (c) é uma exclamação. 
Quanto à frase (d), nota-se que ela não possui predicado, por isso ela também não 
constitui uma proposição. A frase (e) também não assume nenhum valor lógico e, 
portanto, não é uma proposição. 
 
Uma proposição ou sentença é qualquer oração que pode ser avaliada 
como verdadeira ou falsa. 
P á g i n a | 6 
 
 
 
1.3. Valores Lógicos das Proposições 
 
 
O valor lógico de uma proposição está diretamente associado ao resultado 
de sua avaliação como verdadeira ou falsa. Neste caso, dizemos
que o valor lógico 
verdade (V) está associado às proposições verdadeiras, assim como o valor 
falsidade (F) está vinculado às proposições falsas. 
 
 
 
 
Exemplo 1.2 – Valores Lógicos das Proposições 
Considere as seguintes proposições: 
a: O Brasil é dividido em cinco regiões. 
b: Santos Dumont é o pai da Informática. 
O valor lógico da proposição (a) é a verdade (V) e o valor lógico da proposição (b) é a 
falsidade (F). 
As representações simbólicas destes valores são respectivamente: V(a) = V e V(b) = F. 
Lembre-se: 
 
Pelos princípios da não contradição e do terceiro 
excluído, toda proposição possui UM, e apenas 
UM, dos valores lógicos (V ou F). 
Auto Avaliação 1.1 
 
Analise as orações seguintes e diga quais delas são proposições. 
1. Que horas são? 
2. Cristóvão Colombo descobriu o Brasil. 
3. A raiz quadrada de 25 é 5. 
4. Realize suas tarefas com atenção. 
5. Não se desespere, este exercício é muito fácil! 
P á g i n a | 7 
 
 
 
 
1.4. Classificação das Proposições 
 
As proposições do Exemplo 1.2 são ditas proposições simples ou 
atômicas, uma vez que não é possível decompô-las em proposições mais simples. 
Existem, ainda, proposições mais complexas, chamadas de proposições 
compostas ou moleculares, formadas por duas ou mais proposições simples 
ligadas por meio de conectivos lógicos. 
 
 
 
Exemplo 1.3 – Proposições Compostas 
Nas proposições seguintes, os conectivos estão destacados. 
a) Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. 
b) Windows não é um software livre. 
c) Vou à praia ou ao cinema. 
d) Se eu estudar, então serei aprovado em Matemática para Computação. 
e) Serei aprovado em Matemática para Computação se, e somente se, eu 
estudar. 
São cinco os conectivos lógicos: 
E – OU – NÃO – SE ... ENTÃO – SE, E SOMENTE SE 
Auto Avaliação 1.2 
 
Determine o valor lógico de cada uma das proposições seguintes. 
 
1. A cor do cavalo branco de Napoleão é branca. 
2. Imperatriz é a Capital do Maranhão. 
3. A raiz quadrada de 16 é menor que a metade de 10. 
4. O Brasil é uma República Presidencialista. 
5. A metade de 5 menos 2 é um número inteiro positivo. 
 
 
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas 
minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, 
podemos representar a proposição 
Maradona é argentino pela letra 
brasileiro e Maradona é argentino
seguinte maneira: A: Pelé é brasileiro e Maradona é argentino
Antes de passar para o próx
 
1.5. Valor Lógico de Proposições Compostas
 
Sabemos, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p 
ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples 
podem ser representados
possibilidades, conforme ilustração a seguir.
 
 
O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos 
valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando
consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza
estrutura conhecida como 
 
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas 
minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, 
representar a proposição Pelé é brasileiro pela letra 
pela letra b, por exemplo. A proposição composta 
Maradona é argentino, pode ser representada pela letra 
Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. 
Antes de passar para o próximo tópico, tente responder a pergunta abaixo.
Valor Lógico de Proposições Compostas 
, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p 
ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples 
podem ser representados por meio de uma tabela ou como uma árvore de 
possibilidades, conforme ilustração a seguir. 
p 
V 
F 
O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos 
valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando
consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza
estrutura conhecida como tabela-verdade. 
Pare e Reflita 
 
Como determinar o valor lógico de uma 
proposição composta? 
P á g i n a | 8 
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas 
minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, 
pela letra a e a proposição 
, por exemplo. A proposição composta Pelé é 
, pode ser representada pela letra A e escrita da 
imo tópico, tente responder a pergunta abaixo. 
 
, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p 
ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples 
por meio de uma tabela ou como uma árvore de 
O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos 
valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando-se em 
consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza-se uma 
Como determinar o valor lógico de uma 
P á g i n a | 9 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.4 – Tabela Verdade 
Considerando-se uma proposição composta formada pelas proposições simples a e b, 
os possíveis valores lógicos de a e b são representados numa tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
Observe que a tabela mostra todas as combinações possíveis de valores lógicos para 
a e b: VV, VF, FV e FF. Note, ainda, que os valores estão dispostos na tabela de 
acordo com a seguinte árvore de possibilidades: 
 
 
 
Para cada possibilidade de valor da proposição a, devem ser associadas todas as 
possibilidades para a proposição b. 
“Uma tabela-verdade é uma tabela que descreve os valores lógicos de 
uma proposição em termos das possíveis combinações dos valores 
lógicos das proposições componentes e dos conectivos usados.” 
Menezes (2008) 
 a b 
1 V V 
2 V F 
3 F V 
4 F F 
 
a 
b 
b 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
P á g i n a | 10 
 
 
 
Agora que você já sabe como representar numa tabela-verdade as possíveis 
combinações de valores lógicos para um conjunto de proposições simples, podemos 
prosseguir e analisar de que forma os conectivos interferem na definição do valor 
lógico de uma proposição composta. 
Os conectivos estão associados a operações lógicas, as quais são 
realizadas sobre as proposições e obedecem a algumas regras. Na Tabela 1, são 
mostradas as operações lógicas, com seus respectivos operadores (conectivos) e 
símbolos. 
 
Tabela 1.1: Operações e Operadores Lógicos 
Operação Operador Símbolo 
Negação NÃO ¬ 
Conjunção E ∧ 
Disjunção OU ∨ 
Condicional SE ... ENTÃO → 
Bicondicional SE, E SOMENTE SE ↔ 
 
O detalhamento de cada uma dessas operações é dado a seguir e o seu 
entendimento é essencial para o estudo e compreensão da Lógica Matemática. 
Auto Avaliação 1.3 
 
Considere as seguintes proposições simples: 
 
p: A raiz quadrada de 9 é igual 3. 
q: 5 menos 2 é igual a 3. 
r: O dobro de 1,5 é igual a 3. 
 
Deseja-se formar uma proposição composta S utilizando-se as proposições p, q e r. 
Monte uma árvore de possibilidades e escreva a tabela-verdade com todas as 
combinações possíveis de valores lógicos para p, q e r. 
P á g i n a | 11 
 
1.6. Operações Lógicas 
 
1.6.1. Negação 
 
Podemos utilizar o conectivo NÃO (¬) para formar uma nova proposição, 
cujo valor lógico é oposto ao da proposição original. Se tivermos uma proposição p, 
sua negação será ¬p. Caso o valor lógico
de p seja V, o valor de ¬p será F, e vice 
versa. 
A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte: 
 
p ¬p 
V F 
F V 
 
 
 
Exemplo 1.5 – Negação 
Sejam as proposições: 
a: A capital do Maranhão é São Luís. 
b: Todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica. 
c: Existem alunos estudiosos. 
A negação da proposição (a) é definida com o uso do advérbio NÃO. Desta forma: 
¬a: A capital do Maranhão não é São Luís. É possível, ainda, escrever a negação de 
(a) da seguinte forma: É falso que a capital do Maranhão é São Luís. As demais 
proposições deste exemplo exigem um pouco mais de atenção. A negação de b (¬b) 
seria: Nem todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica ou 
Existem alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica, ou, 
ainda, Há alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica. Quanto 
a proposição (c), sua negação (¬c) pode ser escrita da seguinte forma: Não existem 
alunos estudiosos ou Todos os alunos não são estudiosos. 
O operador NÃO inverte o valor lógico da 
proposição original. 
P á g i n a | 12 
 
1.6.2. Conjunção 
 
Com o uso do conectivo E (∧) é possível ligar duas proposições, formando 
uma nova proposição chamada conjunção, cujo valor lógico é a verdade (V) quando 
ambas as proposições que a compõem forem verdadeiras. Deste modo, p ∧ q (lê-se 
“p e q”) é a conjunção das proposições p e q e tem como valor lógico a verdade 
quando os valores de p e de q forem simultaneamente a verdade. 
A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte: 
 
p q p ∧∧∧∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Para melhor entendimento, acompanhe a seguinte situação: 
 
A empresa fictícia SoftHard abriu uma vaga para programador de sistemas, 
com a exigência de que os candidatos soubessem programar em C e em Java. 
 
Desta situação podem ser extraídas duas proposições: 
 
p: O candidato sabe programar em C. 
q: O candidato sabe programar em Java. 
 
Suponha que quatro candidatos se apresentaram para a seleção: João, que 
programa em C e em Java; Marcos, que programa em C, mas não programa em 
Java; Ari, que não programa em C, mas programa em Java e Simone, que não 
programa nem em C nem em Java. 
Você certamente já sabe quem será classificado, pois a exigência da 
empresa é bem clara. Note que tal exigência é representada por uma conjunção: o 
candidato deve programar em C E em Java. Portanto, com o uso da tabela-verdade 
P á g i n a | 13 
 
da conjunção é possível determinar, com exatidão, quem será contratado pela 
empresa. Assim, temos: 
 
 p Q p ∧ q 
João V V V 
Marcos V F F 
Ari F V F 
Simone F F F 
 
 
João, que sabe programar em C (p = V) e sabe programar em Java (q = V), 
poderá ser contratado, pois atende simultaneamente às duas exigências (p ∧ q = V). 
Marcos, que sabe programar em C (p = V) e não sabe programar em Java (q = F), 
não pode ficar com a vaga, pois só atende a uma das exigências (p ∧ q = F). Da 
mesma forma, Ari não será contratado, pois não sabe programar em C (p = F), 
mesmo sabendo programar em Java (q = V). Simone também não poderá ser 
contratada, pois não programa nem em C (p = F) nem em Java (q = F). 
 
 
Uma conjunção só é verdade quando ambas 
as proposições que a compõe forem 
simultaneamente verdade. 
P á g i n a | 14 
 
 
 
 
Nem sempre uma conjunção é expressa em português com o uso da 
conjunção “e”. Por isso, ao analisar uma proposição, devemos nos preocupar em 
verificar se o seu contexto estabelece a ideia da conjunção. Por exemplo, na 
proposição “Raimundo gosta de iogurte mas detesta leite” temos a presença da 
conjunção “mas”, que, neste caso, estabelece uma conjunção. Note que esta 
proposição diz exatamente que Raimundo gosta de iogurte e que Raimundo 
detesta leite. 
 
 
 
1.6.3. Disjunção 
 
 
Quando usamos o conectivo OU (∨) é possível ligar duas proposições para 
formar uma terceira proposição denominada disjunção, cujo valor lógico é a 
Exemplo 1.6 – Conjunção 
Sejam as proposições: 
a: Lula é brasileiro. 
b: O Maranhão pertence ao Paraguai. 
a ∧ b: Lula é brasileiro e o Maranhão pertence ao Paraguai. 
 
c: 5 – 3 = 2 
d: 10 é um número par. 
c ∧ d: 5 – 3 = 2 e 10 é um número par. 
A conjunção a ∧ b tem como valor lógico a falsidade. Observe: 
 V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∧ b) = V(a) ∧ V(b) = V ∧ F = F 
A conjunção c ∧ d tem como valor lógico a verdade. Observe: 
 V(c) = V e V(d) = V, portanto V(c ∧d) = V(c) ∧ V(d) = V ∧ V = V 
P á g i n a | 15 
 
falsidade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente 
falsas. Assim, p ∨∨∨∨ q (lê-se “p ou q”) é disjunção das proposições p e q e tem como 
valor lógico a falsidade se p e q assim o forem simultaneamente. 
A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte: 
 
p q p ∨∨∨∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Considere que a empresa SoftHard modificou a exigência para a contratação 
do programador de sistemas. Agora, os candidatos devem programar em C ou 
programar em Java. 
Neste caso, a definição de quem será contratado é baseada na operação 
lógica disjunção, cujos operandos são: 
 
p: O candidato sabe programar em C 
q: O candidato sabe programar em Java 
 
A tabela-verdade para este caso é a seguinte: 
 
 p q p ∨∨∨∨ q 
João V V V 
Marcos V F V 
Ari F V V 
Simone F F F 
 
Neste caso, João poderá ser contratado (p ∨∨∨∨ q = V), pois sabe programar 
em C (p = V) e também em Java (q = V). Marcos, que programa em C (p = V), 
apesar de não programar em Java (q = F), poderá ser contratado (p v q = V), pois é 
bastante programar em pelo menos uma das duas linguagens, conforme a exigência 
da empresa. Do mesmo modo, Ari, que não programa em C (p = F), mas programa 
P á g i n a | 16 
 
em Java (q = V) também poderá ser contratado (p ∨∨∨∨ q = V). Apenas Simone não 
seria contratada (p ∨∨∨∨ q = F), pois não programa nem em C (p = F) nem em Java (q = 
F). 
Este tipo de disjunção é conhecido como disjunção inclusiva, pois 
considera a situação em que ambas as proposições são verdadeiras. Perceba que 
João poderia ter sido contratado, visto que sabe programar em Java e em C. 
Existem situações que desconsideram a possibilidade de ambas as 
proposições serem verdadeiras, como por exemplo: Ou fará frio ou fará calor. Note 
que neste caso, exclui-se a possibilidade de que faça frio e calor simultaneamente. A 
este de proposição chamamos disjunção exclusiva, que é apresenta com mais 
detalhes no tópico extra do final do capítulo. 
 
 
 
 
Exemplo 1.7 – Disjunção 
Sejam as proposições: 
a: Gonçalves Dias é um poeta maranhense. 
b: A lua é quadrada. 
a ∨ b: Gonçalves Dias é um poeta maranhense ou a lua é quadrada. 
 
c: 5 – 3 > 2 
d: 10 é um número primo. 
c ∨ d: 5 – 3 > 2 ou 10 é um número primo. 
A disjunção a ∨ b tem como valor lógico a verdade. Observe: 
 V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∨ b) = V(a) ∨ V(b) = V ∨ F = V 
A disjunção c ∨ d tem como valor lógico a falsidade. Observe: 
 V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ∨ d) = V(c) ∨ V(d) = F ∨ F = F 
Uma disjunção só é uma falsidade quando 
ambas as proposições que a compõe forem 
simultaneamente uma falsidade. 
P á g i n a | 17 
 
1.6.4. Condição 
 
 
Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição 
p → q (lê-se “se p então q” ou “p implica q”), chamada condição ou implicação, 
onde p é chamado
antecedente e q consequente, e cujo valor verdade é a falsidade 
quando p for uma verdade e q uma falsidade. 
Existem outras maneiras de expressar p → q em linguagem natural, como: 
“p é condição suficiente para q”, “p somente se q”, “q é condição necessária para p” 
ou “p é consequência de q”. Por exemplo, a proposição “Uma alimentação 
equilibrada é uma condição necessária para uma vida saudável” pode ser reescrita 
da seguinte maneira “Uma vida saudável é consequência de uma alimentação 
equilibrada” ou ainda, “Se tens uma vida saudável, então tens uma alimentação 
equilibrada”. Note que o antecedente é “uma vida saudável” e o consequente é “uma 
alimentação equilibrada”. 
 
A tabela-verdade da condição é a seguinte: 
 
p q p →→→→ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Para o entendimento desta operação, considere que um amigo de faculdade 
fez a seguinte afirmação: “Se eu passar em todas as disciplinas que estou cursando 
este semestre, vou para Barreirinhas curtir as férias.” 
Desta afirmação, podem ser retiradas duas proposições: 
 
p: Se eu passar em todas as disciplinas que estou cursando este semestre. 
q: Vou para Barreirinhas curtir as férias. 
 
Caso seu amigo realmente seja aprovado em todas as disciplinas do 
semestre (p = V) e viaje para Barreirinhas (q = V), a afirmação foi uma verdade (p � 
P á g i n a | 18 
 
q = V). Se ele, entretanto, for aprovado em todas as disciplinas (p = V) e não viajar 
(q = F), a afirmação consistiu numa falsidade (p � q = F). Agora, supondo que ele 
tenha ficado reprovado (p = F), independente de ele ter ido (q = V) ou não (q = F) a 
Barreirinhas, não podemos dizer que a afirmação é falsa, pois ele nada afirmou 
quanto a ficar reprovado. Em qualquer destes casos a afirmação é tida como 
verdade (p → q = V). 
 
 
A proposição p → q, é uma verdade se p e q 
forem simultaneamente verdade ou se p for 
uma falsidade. Caso p seja uma verdade e q 
uma falsidade, p → q será uma falsidade. 
P á g i n a | 19 
 
 
 
 
Observe no Exemplo 1.8 que nem sempre o consequente se deduz ou é 
consequência do antecedente. Note que o fato de grande parte da Amazônia Legal 
estar no Brasil não se deduz do simples fato de o relógio marcar as horas. Da 
mesma forma, não se poderia afirmar que 10 é um número primo em consequência 
de Machado de Assis ter escrito Dom Casmurro. A única relação existente entre o 
antecedente e o consequente é relativa aos seus valores lógicos. 
 
Exemplo 1.8 – Condição 
Sejam as proposições: 
a: O relógio marca as horas. 
b: Grande parte da Amazônia Legal fica no Brasil. 
a → b: Se o relógio marca as horas, então grande parte da Amazônia Legal fica 
no Brasil. 
 
c: Machado de Assis escreveu Dom Casmurro. 
d: 10 é um número primo. 
c → d: Se Machado de Assis escreveu Dom Casmurro, então 10 é um número 
primo. 
 
e: O Brasil foi colonizado pelos franceses. 
f: A capital do Maranhão é Teresina. 
e → f: Se o Brasil foi colonizado pelos franceses, então a capital do Maranhão é 
Teresina. 
A implicação a → b tem como valor lógico a verdade. Observe: 
 V(a) = V e V(b) = V, portanto V(a → b) = V(a) → V(b) = V → V = V 
A implicação c → d tem como valor lógico a falsidade. Observe: 
 V(c) = V e V(d) = F, portanto V(c → d) = V(c) → V(d) = V → F = F 
A implicação e → f tem como valor lógico a verdade. Observe: 
 V(e) = F e V(f) = F, portanto V(e → f) = V(e) → V(f) = F → F = V 
P á g i n a | 20 
 
 
 
1.6.5. Bicondição 
 
 
Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição 
p ↔ q (lê-se “p se, e somente se, q”), chamada bicondição, cujo valor verdade é a 
verdade quando p e q forem simultaneamente uma verdade ou uma falsidade. 
Perceba que a bicondição é uma implicação válida “nos dois sentidos”, ou 
seja, são duas condições simultâneas. No sentido da ida, p é o antecedente e q é o 
consequente e no sentido da volta, q é o antecedente e p o consequente 
(MENEZES, 2008). 
A tabela-verdade da bicondição é seguinte: 
 
p q p ↔↔↔↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Antes de prosseguir, tente responder a pergunta abaixo: 
 
 
 
Pare e Reflita 
 
Como se chegou a esta tabela-verdade para 
 p ↔ q? 
O que uma condicional afirma é somente uma 
relação entre os valores lógicos do antecedente e 
do consequente. 
(ALENCAR FILHO, 2002) 
P á g i n a | 21 
 
A tabela-verdade da bicondição foi construída levando-se em consideração 
que ela é, na verdade, uma conjunção de duas implicações: (p → q) ∧ (q → p). 
Podemos, portanto, construir uma tabela-verdade para a conjunção das duas 
implicações, como segue: 
 
p q p →→→→ q q →→→→ p (p →→→→ q) ∧ (q →→→→ p) 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
 
Uma bicondição é verdadeira quando as 
proposições que a compõe possuem o 
mesmo valor lógico. 
P á g i n a | 22 
 
 
 
Assim como na implicação, a bi-implicação afirma somente uma relação 
entre os valores lógicos do antecedente e do consequente. 
 
 
Auto Avaliação 1.4 
 
Determine o valor lógico das proposições a seguir: 
 
(a) A metade de dois é um e cinco é um número primo. 
(b) Gonçalves Dias é francês ou os macacos são répteis pré-históricos. 
(c) Se o relógio marca as horas, então sen30° = 1. 
(d) São Luís é uma ilha se, e somente se, os papagaios podem voar. 
Exemplo 1.9 – Bicondição 
Sejam as proposições: 
a: O Brasil fica na América do Sul. 
b: No verão faz calor. 
a ↔ b: O Brasil fica na América do Sul se, e somente se, no verão faz calor. 
 
c: 13 é divisível por 2. 
d: 10 é um número primo. 
c ↔ d: 13 é divisível por 2 se, e somente se, 10 é um número primo. 
 
e: Domingo é um dia útil. 
f: O Sol é uma estrela. 
e ↔ f: Domingo é um dia útil se, e somente se, o Sol é uma estrela. 
A bi-implicação a ↔ b tem como valor lógico a verdade. Observe: 
 V(a) = V e V(b) = V, portanto V(a ↔ b) = V(a) ↔ V(b) = V ↔ V = V 
A implicação c ↔ d tem como valor lógico a verdade. Observe: 
 V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ↔ d) = V(c) ↔ V(d) = F ↔ F = V 
A implicação e ↔ f tem como valor lógico a falsidade. Observe: 
 V(e) = F e V(f) = V, portanto V(e ↔ f) = V(e) ↔ V(f) = F ↔ V = F 
P á g i n a | 23 
 
 
1.7. Fórmulas Bem Formuladas e Tabelas-verdade 
 
 
É possível encadearmos diversas proposições, simples e compostas, por 
meio dos conectivos lógicos e com o uso de parênteses ou colchetes. Desse 
encadeamento surgem novas proposições, como, por exemplo: 
 
(p → q) ∧ (q → p) 
 
Este encadeamento ou arranjo de proposições, conectivos e parênteses (ou 
colchetes) não pode ser feito de qualquer jeito. Como em qualquer linguagem, é 
preciso seguir regras de sintaxe para que se escrevam proposições válidas. 
Proposições válidas são chamadas de Fórmulas Bem Formuladas ou 
simplesmente fórmulas. 
Menezes (2008) define fórmula como “uma sentença lógica corretamente 
construída, sobre um alfabeto cujos símbolos são conectivos, parênteses, 
identificadores, constantes, etc.” Desta definição, infere-se que é fórmula: 
 
a) uma proposição simples (também chamada de fórmula atômica); 
b) uma proposição composta; 
c) um encadeamento de proposições simples e/ou compostas, por meio de 
conectivos e parênteses. 
 
 
P á g i n a | 24 
 
 
 
 
Em muitos casos, a escrita simbólica de fórmulas mais complexas pode 
apresentar alguns problemas. Considere o seguinte exemplo: 
 
p ∧ q → r, onde
p: Maria adoeceu. 
q: João viajou. 
r: Hércules não pode sair de casa. 
 
A fórmula acima, da forma como está escrita, pode indicar duas expressões 
diferentes: “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa” 
ou “Maria adoeceu e, se João viajou, então Hércules não pode sair de casa.” 
E agora, como saber qual das duas expressões está representada pela 
fórmula? Para solucionar problemas deste tipo, os conectivos obedecem a uma 
ordem de precedência, que é a seguinte: 
 
1. Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os mais externos; 
2. Negação (¬); 
3. Conjunção (∧∧∧∧) e disjunção (∨∨∨∨); 
Exemplo 1.10 – Fórmulas 
São fórmulas (escritas de maneira simbólica): 
a) p 
b) p ∧ q 
c) ¬(p ∧ q) ↔ (w ∧ t) 
d) p � (~a ∧ b) 
Não são fórmulas: 
a) ∧ p ¬q 
b) ¬p ∧ ∧ (a ↔ p¬) 
c) p q r ∧ s ¬t 
P á g i n a | 25 
 
4. Condição (→); 
5. Bicondição (↔). 
 
Com base no exposto, pode-se afirmar que na fórmula p ∧ q → r a 
conjunção tem precedência sobre a condição. Então, a expressão simbolizada pela 
fórmula é “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa”. 
Para representar a segunda expressão, é preciso fazer uso de parênteses: p ∧ (q → 
r). 
 
 
 
Para determinar o valor lógico de uma fórmula é comum recorrer-se a 
construção de uma tabela-verdade, a qual mostrará todos os casos em que a 
fórmula será verdadeira (V) ou falsa (F). 
A seguir é apresentado um conjunto de passos que auxiliam na construção 
de tabelas-verdade. 
 
Pare e Reflita 
 
Como se constrói uma tabela-verdade de uma 
fórmula? 
P á g i n a | 26 
 
 
 
Considere a seguinte fórmula: p → (q ∧ r). 
Aplicando a regra 1, notamos que existem três proposições simples na 
fórmula dada, o que implica dizer que a tabela-verdade terá 23 = 8 linhas. 
Assim, temos (regra 2): 
 
p q r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela regra 3, temos que p é a primeira proposição simples, assim, devemos 
preencher a coluna correspondente com 23 –1 = 22 = 4 valores V seguidos da mesma 
quantidade de valores F. 
 
Regra prática 
 
1. Conte o número de proposições simples e calcule o número de 
linhas da tabela, sabendo que uma fórmula composta de n 
proposições simples gera uma tabela com 2n linhas; 
2. Desenhe a tabela e escreva cada proposição simples sobre a 
primeira linha; 
3. Para a iésima proposição simples (i ≤ n), atribua alternadamente 
2n – i valores V seguidos da mesma quantidade de valores F. 
4. Em seguida, realize as operações lógicas, obedecendo à ordem 
de precedência. Para cada operação, crie uma nova coluna na 
tabela. 
 
P á g i n a | 27 
 
 
p q r 
V 
V 
V 
V 
F 
F 
F 
F 
 
Para a segunda e a terceira proposições temos, respectivamente: 
23–2 = 21 = 2 valores V, seguidos da mesma quantidade de valores F, 
alternadamente e 
23–3 = 20 = 1 valor V e também 1 valor F, alternadamente. 
 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
A regra 4 indica a resolução de cada uma das operações lógicas, seguindo 
uma ordem de precedência. Assim, iniciamos por resolver a conjunção entre 
parênteses. 
 
p q r q ∧ r 
V V V V 
V V F F 
V F V F 
P á g i n a | 28 
 
V F F F 
F V V V 
F V F F 
F F V F 
F F F F 
 
Por fim, resolvemos a condição. Ficando com a seguinte estrutura: 
 
p q r q ∧ r p →→→→ (q ∧ r) 
V V V V V 
V V F F F 
V F V F F 
V F F F F 
F V V V V 
F V F F V 
F F V F V 
F F F F V 
 
A última coluna corresponde à combinação dos possíveis valores lógicos da 
fórmula p →→→→ (q ∧ r). 
 
 
 
É possível, ainda, determinarmos o valor lógico de uma fórmula, conhecendo 
o valor lógico de cada uma das proposições que a compõem. 
Exercício Resolvido 
 
Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula: (p ∨∨∨∨ q) → (p ∧ q) 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
p q p ∨∨∨∨ q p ∧ q (p ∨∨∨∨ q) →→→→ (q ∧ r) 
V V V V V 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F V 
 
P á g i n a | 29 
 
 
 
 
Exemplo 1.11 – Valor Lógico de uma Fórmula 
Determinar o valor lógico de cada uma das fórmulas a seguir: 
a) p → (a ∨ b), onde V(p) = V, V(a) = F e V(b) = V. 
b) p ∧ (q ↔ r), onde V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F. 
Para determinar qual será o valor lógico de cada uma das fórmulas apresentadas, 
devemos substituir os valores lógicos das proposições simples que a compõem e 
realizar as operações lógicas indicadas. Assim, para fórmula mostrada na letra (a), 
temos: 
V → (F ∨ V) = V � V = V 
Portanto, o valor lógico da fórmula p → (a ∨ b) é a verdade (V). 
Para a fórmula apresentada na letra (b), temos: 
V ∧ (F ↔F) = V ∧ V = V 
Portanto, o valor lógico da fórmula p ∧ (q ↔ r) também é a verdade (V). 
P á g i n a | 30 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Sabendo que V(p) = V e V(r) = F, determine o valor lógico da proposição A(p, r) 
(¬p → r) ∧ (p ∨ ¬r) ↔ (p ∧ r) 
 
SOLUÇÃO: 
Substituindo os respectivos valores lógicos na expressão, temos: 
V(A) = (F → F) ∧ (V ∨ V) ↔ (V ∧ F) 
Resolvendo cada operação lógica entre parênteses, vem: 
V(A) = V ∧ V ↔ F 
Resolvendo a conjunção, temos: 
V(A) = V ↔ F 
Por fim, resolvendo a bicondição, temos: 
V(A) = F 
 
Portanto, o valor lógico da proposição A(p, r) é a falsidade (F) 
 
2. Determine o valor lógico da proposição “Se o Brasil é um país em desenvolvimento e o 
Maranhão é o maior estado do Nordeste, então a raiz quadrada de 25 é igual ao 
dobro de 100 ou o Maranhão não é o maior estado do Nordeste”. 
 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente devemos escrever a proposição em forma simbólica. 
a: o Brasil é um país em desenvolvimento. 
b: o Maranhão é o maior estado do Nordeste. 
c: a raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100 
(a ∧ b) → (c ∨ ¬b) 
Agora, substituímos os valores lógicos de cada proposição simples na sentença 
encontrada. Assim, 
(V ∧ F) → (F ∨ V) 
Resolvendo as operações lógicas entre parênteses, encontramos 
F → V 
Por fim, resolvemos a implicação, tendo como resultado a verdade. 
 
Portanto, a proposição tem a verdade (V) como valor lógico. 
P á g i n a | 31 
 
 
 
 
1.8. Tautologias, Contradições e Contingências 
 
 
 
Como consequência imediata desta definição, podemos afirmar que as 
fórmulas p ∨∨∨∨ ¬p, p → p e p ↔ p são tautologias, já que seus valores lógicos são 
sempre a verdade (V). 
Comprovamos que determinada fórmula é uma tautologia, através da 
construção de sua tabela-verdade. 
 
 
Denomina-se tautologia, ou proposição tautológica, toda fórmula 
cujo valor lógico é sempre a verdade, independente dos valores 
lógicos das proposições simples que a compõe. 
Auto Avaliação 1.5 
 
Escreva a proposição a seguir em linguagem simbólica e em seguida determine seu valor 
lógico. 
 
“A Terra é o planeta vermelho e a metade de 15 é maior que 4 se, e somente se, 
Tiradentes morreu atropelado ou a metade de 15 é menor que 4.” 
P á g i n a | 32 
 
 
 
O caso oposto ao de uma tautologia, chamado contradição, consiste em 
fórmulas que são sempre falsas para quaisquer valores das proposições simples 
componentes. Uma definição formal de contradição é dada por Alencar Filho (2002): 
 
 
 
É imediata a conclusão de que uma contradição corresponde à negação de 
uma tautologia,
pois se uma tautologia é sempre verdadeira (V), então sua negação 
será sempre falsa (F). 
 
 
Pare e Reflita 
Você pode demonstrar que as fórmulas p ∧ ¬p e 
p ↔ ¬p são contradições? 
Contradição é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico 
é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das 
proposições simples componentes p, q, r, ... 
Exemplo 1.12 – Tautologia 
A fórmula p ∧ r → ¬q ∨ r é uma tautologia. 
Tal fato constata-se na tabela-verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q r ¬¬¬¬q p ∧∧∧∧ r ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r p ∧ r →→→→ ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r 
V V V F V V V 
V V F F F F V 
V F V V V V V 
V F F V F V V 
F V V F F V V 
F V F F F F V 
F F V V F V V 
F F F V F V V 
 
P á g i n a | 33 
 
Assim como as tautologias, uma contradição pode ser demonstrada por 
meio de uma tabela-verdade. 
 
 
 
 
As fórmulas que não se constituem nem 
tautologias nem contradições são chamadas de 
contingências. 
Exemplo 1.13 – Contradição 
A fórmula (p → q) ∧ (p ∧ ¬q) é uma contradição. 
Tal fato constata-se na tabela-verdade. 
 
 
 
 
 
p q ¬¬¬¬q p ∧ ¬¬¬¬q p →→→→ q (p →→→→ q) ∧ (p ∧ ¬¬¬¬q) 
V V F F V F 
V F V V F F 
F V F F V F 
F F V F V F 
 
 
 
 
 
 
Para saber mais sobre lógica proposicional acesse
Exemplo 1.14 – Contingência 
A fórmula p ∧ (q → ¬p) é uma contingência.
Tal fato constatamos na tabela-verdade.
 
 
 
 
 
Podemos afirmar que a fórmula dada é insatisfatível, ou inconsistente, quando 
e q forem ambas verdadeiras e que é satisfatível, ou consistente, para as demais 
combinações de valores lógicos para p 
p q ¬¬¬¬p q →→→→ ¬¬¬¬p 
V V F F 
V F F V 
F V V V 
F F V V 
 
Para saber mais sobre lógica proposicional acesse
http://www.pucsp.br/~logica/
http://wwmat.mat.fc.ul.pt/~jnsilva/logica97/logica97.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica_proposicional
p) é uma contingência. 
verdade. 
Podemos afirmar que a fórmula dada é insatisfatível, ou inconsistente, quando p 
forem ambas verdadeiras e que é satisfatível, ou consistente, para as demais 
 e q. 
p ∧ (q →→→→ ¬¬¬¬p) 
F 
V 
V 
V 
P á g i n a | 34 
 
 
Para saber mais sobre lógica proposicional acesse 
http://www.pucsp.br/~logica/ 
http://wwmat.mat.fc.ul.pt/~jnsilva/logica97/logica97.html 
gica_proposicional 
P á g i n a | 35 
 
 
 
Tópico Extra: Disjunção Exclusiva 
 
Considere as seguintes proposições compostas: 
 
P: Adriano é aluno de Licenciatura em Informática ou Camila é brasileira. 
Q: Marina foi aprovada ou reprovada em Matemática para Computação. 
 
Note que na primeira proposição indica que pelo menos uma das proposições “Adriano é aluno de 
Licenciatura e Informática”, “Camila é brasileira” é verdadeira, sendo possível que ambas as sejam 
verdadeiras. Na segunda proposição, percebemos que apenas uma das proposições poderá ser 
verdadeira, pois é impossível que Marina seja aprovada e reprovada em Matemática para 
Computação. 
No primeiro caso, temos uma disjunção inclusiva, enquanto que no segundo temos uma disjunção 
exclusiva, também chamada de operação XOR, que é simbolizada por ⊕. Assim, a proposição p ⊕ 
q é uma disjunção exclusiva e é lida da seguinte forma: “ou p ou q”. 
A tabela-verdade para a disjunção exclusiva é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
TAREFA
TAREFATAREFA
TAREFAS
SS
S 
 
 
 
 
 
1.
1.1.
1. Traduza
TraduzaTraduza
Traduza 
 
 as seguintes proposições para a linguagem simbólica.
as seguintes proposições para a linguagem simbólica.as seguintes proposições para a linguagem simbólica.
as seguintes proposições para a linguagem simbólica. 
 
 
a) Está nevando ou está chovendo, mas não está nevando se estiver chovendo. 
b) Se for aprovado em Matemática para Computação, ou viajarei para o sul do Brasil ou irei todos 
os finais se semana para uma casa de praia. 
 
2.
2.2.
2. Mostre que p 
Mostre que p Mostre que p 
Mostre que p � 
 
 q 
q q 
q � 
 
 ¬(p 
(p (p 
(p �q) é uma tautologia.
q) é uma tautologia.q) é uma tautologia.
q) é uma tautologia. 
 
 
 
p q p ⊕ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
P á g i n a | 36 
 
Leitura Complementar 
 
Lógica nas Linguagens de Programação 
(extraído de: MENEZES, Paulo Blauth. Matemática Discreta para Computação e Informática. Porto Alegre: Bookman, 2008) 
 
Em geral, as linguagens de programação possuem o tipo de dado lógico ou 
boolenano pré-definido. No caso da linguagem Pascal, o tipo de dado é denominado 
boolean, e os correspondentes valores lógicos V e F são denotados por true e 
false, respectivamente. 
A declaração (definição) das variáveis p, q e r deste tipo é como segue: 
 
p, q, r: boolean 
 
A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programação) possui 
os seguintes conectivos lógicos: 
not (negação) 
and (conjunção) 
or (disjunção) 
<= (condição) 
= (bicondição) 
Suponha que é desejado desenvolver um programa em Pascal capaz de calcular e 
informar o valor lógico da fórmula � � �� � �	 para quaisquer valores de de p, q e r 
fornecidos. Assim, o programa necessita ler os valores de p, q e r, calcular o valor 
lógico da fórmula para os valores lidos e imprimir o resultado. 
Um programa para o problema é apresentado a seguir: 
 
 
 
 
 
program valor_logico (input, output); 
var p, q, r: boolean; 
begin 
 read (p, q, r); 
 if p or (q and r) then 
 write(‘verdadeiro’); 
 else 
 write(‘falso’); 
end. 
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A primeira linha define o nome do programae informa que os procedimentos pré-
definidos input e output serão usados para entradas (leituras) e saída (impressões), 
respectivamente. 
A segunda linha define as variáveis p, q e r as quais são do tipo boolean. 
Entre as palavras begin e end são especificados os comandos (definem as ações). 
O comando de leitura read lê os valores lógicos de p, q e r a serem considerados. 
O comando if-then-else tem a seguinte semântica: se a expressão lógica após 
a palavra if for verdadeira, então o comando após a palavra then é executado, 
senão, o comando após a palavra else é executado. 
Portanto, se os valores de p, q e r lidos, se o valor-verdade de � � �� � �	 for 
verdadeiro, o texto verdadeiro é impresso; senão, o texto falso é impresso. 
 
 
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RESUMO 
 
• Uma proposição é qualquer sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira 
ou falsa. 
• Toda proposição possui um, e apenas, um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso. 
• Uma proposição pode ser simples ou composta. 
• Uma proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples, ligadas por 
conectivos lógicos. 
• São cinco os principais conectivos lógicos: NÃO, E, OU, SE... ENTÃO, SE E SOMENTE SE. 
• Para cada conectivo lógico, uma operação lógica é definida. 
• O valor lógico de uma proposição composta é definido pelo valor lógico das proposições 
simples que a compõe e pelos conectivos empregados. 
• Para definição do valor lógico de uma proposição composta são utilizadas estruturas 
conhecidas como tabelas verdade. 
• A operação de negação consiste na inversão do valor