Minimos quadrados

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Regressão	
  Linear	
  –	
  Equações	
  dos	
  Mínimos	
  
Quadrados	
  
Ao	
   se	
   obter	
   uma	
   successão	
   de	
   pontos	
   experimentais	
   que,	
  
representados	
   em	
   um	
   gráfico,	
   apresentam	
   comportamento	
  
linear,	
   diferentes	
   experimentadores	
   poderão	
   traçar	
   diferentes	
  
retas,	
   encontrando	
   diferentes	
   valores	
   para	
   os	
   coef.	
   Linear	
   e	
  
angular.	
  
Qual	
  será	
  a	
  melhor	
  reta	
  ??	
  
Método	
  dos	
  mínimos	
  Quadrados	
  
O	
  Princípio	
  da	
  minimização	
  da	
  soma	
  dos	
  quadrados	
  dos	
  
desvios	
  foi	
  proposto	
  por	
  Gauss	
  (1777-­‐1855),	
  em	
  1794.	
  
Lagrange,	
  também	
  trabalhou,	
  simultaneamente,	
  com	
  tal	
  
assunto.	
  
O	
  Ajuste	
  de	
  uma	
  linha	
  reta:	
  	
  
Este	
  método	
  se	
  baseia	
  em	
  achar	
  os	
  valores	
  de	
  “a”	
  	
  e	
  “b”	
  	
  que	
  
minimizam	
  a	
  função:	
  
e	
  que	
  representa	
  a	
  soma	
  dos	
  desvios	
  quadráXcos	
  	
  da	
  relação	
  linear.	
  
Para	
  o	
  caso	
  de	
  uma	
  função	
  linear:	
   y	
  =	
  a	
  x	
  +	
  b	
  
a	
  =	
  
b	
  =	
  
A	
  incerteza	
  nos	
  parâmetros:	
  
Variância	
  dos	
  	
  yi:	
  	
  
Dados	
  experimentais	
  (experiência	
  Movimento	
  
Uniforme):	
  
Posição	
  [mm]	
   Tempo[s]	
  
200	
   0,7	
  
300	
   1,04	
  
400	
   1,92	
  
500	
   2,34	
  
600	
   2,88	
  
700	
   3,33	
  
800	
   4,08	
  
Posi	
   ti	
   ti2	
   Posi	
  .	
  ti	
  
	
  
Posi	
  –	
  V.ti-­‐S0	
   (Posi	
  –	
  V.ti-­‐S0)2	
   (	
  ti	
  -­‐	
  <	
  t	
  >	
  )	
   (	
  ti	
  -­‐	
  <	
  t	
  >	
  )2	
  
	
  
200	
   0,7	
   0,49	
   140	
   -­‐11,843	
   140,256649	
   -­‐1,627142857	
   2,647593877	
  
300	
   1,04	
   1,0816	
   312	
   27,9464	
   781,001273	
   -­‐1,287142857	
   1,656736734	
  
400	
   1,92	
   3,6864	
   768	
   -­‐27,8928	
   778,0082918	
   -­‐0,407142857	
   0,165765306	
  
500	
   2,34	
   5,4756	
   1170	
   -­‐2,2706	
   5,15562436	
   0,012857143	
   0,000165306	
  
600	
   2,88	
   8,2944	
   1728	
   2,1008	
   4,41336064	
   0,552857143	
   0,305651021	
  
700	
   3,33	
   11,0889	
   2331	
   22,4103	
   502,2215461	
   1,002857143	
   1,005722449	
  
800	
   4,08	
   16,6464	
   3264	
   -­‐10,4072	
   108,3098118	
   1,752857143	
   3,072508164	
  
3500	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  16,29	
  	
  	
  	
  46,7633	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  9713	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  2319,36656	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  8,85414286	
  	
  
mm/s	
  
mm	
  
Logo,	
  a	
  equação	
  da	
  melhor	
  reta:	
  
	
  
	
  
Posição	
  =	
  177,09	
  *	
  Tempo	
  	
  +	
  	
  87,88