Aula19

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1 
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 19 
Estimação de Parâmetros 
19. Estimação de Parâmetros . ................................................................................................ 3 
19.1 Introdução . ..................................................................................................................... 3 
19.2 Estimador e Estimativa . ............................................................................................ 4 
19.2.1 Propriedades dos Estimadores ....................................................................................... 4 
19.2.2 Critérios para Escolha dos Estimadores ....................................................................... 13 
19.3 Estimação por Ponto . ............................................................................................... 19 
19.3.1 Estimação por Ponto da Média .................................................................................... 19 
19.3.2 Estimação por Ponto da Variância ............................................................................... 19 
19.3.3 Estimação por Ponto do Desvio Padrão ....................................................................... 20 
19.3.4 Estimação por Ponto de uma Proporção Populacional ................................................ 20 
19.3.4 Estimação por Ponto com Base em Diversas Amostras .............................................. 20 
19.4 Estimação por Intervalo . ........................................................................................ 21 
19.4.1 Intervalo de Confiança para a média quando o desvio-padrão é conhecido ................ 22 
19.4.2 Intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão é desconhecido ........... 24 
19.4.3 Intervalo de confiança para a variância . ..................................................................... 25 
19.4.4 Intervalo de confiança para o desvio-padrão . ............................................................. 27 
19.4.5 Intervalo de Confiança para uma proporção populacional . ........................................ 27 
19.5 Tamanho das Amostras . ......................................................................................... 29 
19.6 Memorize para a prova ............................................................................................ 32 
19.7 Exercícios de Fixação ................................................................................................ 35 
19.7 Gabarito . ....................................................................................................................... 41 
19.8 Resolução dos Exercícios de Fixação . ................................................................ 42 
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2 
Erratas – Aula 15 
Resolução da Questão 09: 
Corrigir a última fórmula: 
Px|y (1 |1) =
Py|x (1 |1)Px (1)
Py|x (1 |1)Px (1) + Py|x (1 | 0)Px (0)
=
1×
2
3
1×
2
3
+
1
5
×
1
3
=
10
11
. 
Resolução da Questão 10: 
Corrigir a última fórmula: 
Px|y (1 |1) =
Py|x (1 |1)Px (1)
Py|x (1 |1)Px (1) + Py|x (1 | 0)Px (0)
=
5
10
×
4
10
5
10
×
4
10
+
1
10
×
6
10
=
20
26
=
10
13
. 
Resolução da Questão 14: 
“(...) Há quatro casos possíveis: 
1) escolha de uma bola branca no 1º sorteio e de uma bola preta no 2º 
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta 
(caso 1) ou 
2) caso 2: escolha de uma bola preta no 1º sorteio e de uma branca no 
2º sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 
preta (caso 2) ou 
3) escolha de uma bola branca no 1º sorteio e de uma bola preta no 2º 
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas 
(caso 3) ou 
4) escolha de uma bola preta no 1º sorteio e de uma branca no 2º 
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas 
(caso 4). 
(...)” 
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3 
19. Estimação de Parâmetros 
19.1 Introdução 
A partir desta aula, focaremos o estudo da Inferência Estatística. Vimos que o 
seu objetivo é inferir propriedades da população a partir de uma amostra. 
A Inferência Estatística pode ser dividida em duas partes: estimação de 
parâmetros e testes de hipóteses. Nesta aula abordaremos a estimação, 
mas apenas no que diz respeito à estimação dos parâmetros de uma 
distribuição populacional (você já aprendeu um pouco sobre estimação na aula 
17, quando estudamos a regressão linear). 
A teoria da Probabilidade fornece vários modelos probabilísticos (distribuições 
de probabilidades), tais como binomial, Poisson, normal, etc. Tais modelos 
representam famílias de distribuições que dependem de um ou mais 
parâmetros. Por exemplo, uma distribuição normal é caracterizada pela média 
 e desvio-padrão σ. 
Quando descrevemos uma população, fazemos isso por meio de algum modelo 
probabilístico, cujos parâmetros, portanto, devem ser estimados da melhor 
forma possível com base na amostra obtida. 
Há duas técnicas de estimação de parâmetros: por ponto e por intervalo. Na 
estimação por ponto, a estimativa do parâmetro populacional corresponde a 
um único valor estimado. Na segunda técnica, constrói-se um intervalo, o qual 
deverá, com probabilidade conhecida, conter o parâmetro. Neste texto 
admitiremos, salvo menção em contrário, que a amostragem sempre será 
aleatória. 
A próxima figura é um plot dos resíduos de uma regressão linear. Vimos na 
aula 17 que a média dos resíduos é zero (linha horizontal azul). As estimativas 
pontuais dos resíduos são os pontos circulares. Note que cada estimativa por 
ponto está situada no ponto médio de um intervalo de estimação (são as 
barras verticais), o qual contém o parâmetro com uma probabilidade 
conhecida (geralmente utiliza-se 95% na prática). Observe que a estimativa 
mais à esquerda do gráfico (a de cor vermelha) não cruza a linha azul; desta 
forma, podemos concluir que trata-se de um provável outlier. 
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4 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
re
s
íd
u
o
s
x
19.2 Estimador e Estimativa 
Apresentamos os conceitos de estimador e de estimativa na aula passada. 
Vamos relembrar estes conceitos rapidamente? 
Um estimador (ou estatística) é qualquer função das observações de 
uma amostra, que será usado no processo de estimação do parâmetro 
populacional desejado. A média amostral X , por exemplo, é um estimador da 
média µ de uma população. Um estimador é uma variável aleatória 
caracterizada por uma distribuição de probabilidades. Chamamos de 
estimativa um particular valor assumido por um estimador. 
A estimação por ponto consiste em adotar a melhor estimativa possível 
como sendo o valor do parâmetro. A qualidade da estimação irá depender 
fundamentalmente da escolha do estimador. Assim, dentre os possíveis 
estimadores que podem ser especificados para um determinado parâmetro 
populacional, devemos ter a preocupação de escolher aquele que melhor 
satisfaça as propriedades estatísticas de um bom estimador. 
19.2.1 Propriedades dos Estimadores 
Justeza ou Não Tendenciosidade 
Um estimador Θˆ é justo (ou não viesado, ou não viciado, ou não 
tendencioso)se o seu valor esperado (ou média) for igual ao valor do 
parâmetro θ que se pretende estimar, isto é, se 
(1) .)ˆ( θ=ΘE 
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5 
A Eq. (1) afirma que os valores aleatórios de um estimador justo ocorrerão em 
torno do valor do parâmetro, o que é desejável (veja a figura abaixo). 
Um estimador não viesado é aquele que, na média, acerta o valor 
correto do parâmetro populacional. 
Se o estimador for tendencioso, então a diferença 
−(2) θΘ)ˆ(E 
é o viés (tendência ou vício) do estimador Θˆ , conforme ilustrado pela 
próxima figura. Deste modo, a adoção de um estimador que não seja justo 
implica um vício de estimação. 
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6 
Exemplo (Média Amostral). Seja uma população com média µ. A média X 
da amostra aleatória ),...,,( 21 nXXX extraída dessa população é dada por 
n
XXX
X n
+++
=
...21 . 
Então, o valor esperado de X é 
=




 +++=
n
XXX
EXE n
...
)( 21 
( ) ( ) ( ) µ=×=+++=
n
n
XE
n
XE
n
XE
n
n
1
...
11
21 
Portanto, a média amostral é um estimador justo da média populacional 
(memorize para a prova!). 
Exemplo (Média Ponderada). Seja a média ponderada de uma amostra 
aleatória ),...,,( 21 nXXX definida como 
n
XwXwXw
W nn
+++
=
...2211 
em que as constantes nwww ,...,, 21 ( nwww n =+++ ...21 ), são os pesos usados na 
ponderação. Então, o valor esperado de W é 
=




 +++=
n
XwXwXw
EXE nn
...
)( 2211 
( ) ( ) ( )[ ] [ ] ....1...1 212211 µ=×=+++=+++= n
n
www
n
XEwXEwXEw
n
nnn 
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7 
Portanto, a média ponderada de uma amostra é um estimador justo da 
média populacional µµµ, apesar da ponderação. 
Exemplo. Seja um estimador M da média populacional µ dado pela equação 
.
1
1
+
=
∑
=
n
X
M
n
i
i
Espera-se que o viés de M seja negativo, uma vez que a divisão de ∑
=
n
i
iX
1
por 
n+1 tende a subestimar o valor de µ. 
Calculemos o valor esperado de M: 
=





+
+++
=
1
...
)( 21
n
XXX
EME n 
( ) ( ) ( )[ ] .
1
...
1
1
21 µ≠+
=+++
+
=
n
n
XEXEXE
n
n 
Portanto, M é um estimador viesado da média populacional µ. 
Observe que 
viés(M) = E(M) - µ, 
viés(M) = 
1n +
n
 - µ = 
1+
−
n
 ⇒ negativo, como antecipado. 
Exemplo. Seja uma população com média µ e variância σ2. Verifique que o 
estimador da variância populacional definido por 
ˆ σ 2 =
(Xi − X )
2
i=1
n
∑
n
 
é viesado. 
Nota: o entendimento da demonstração que se segue não é essencial para a 
prova. Mas é importante memorizar que o estimador da variância 
populacional considerado neste exemplo é viesado. 
Demonstração: 
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8 
Calculemos a esperança de 2σˆ : 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − X )
2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 =
1
n
E (Xi − µ + µ − X )
2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 =
1
n
E [(Xi − µ) + (µ − X )]
2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E [(Xi − µ)
2 + 2(Xi − µ)(µ − X ) + (µ − X )
2]
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 + 2
i=1
n
∑ (Xi − µ)(µ − X ) + (µ − X )2
i=1
n
∑
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 + 2
i=1
n
∑ (µ − X ) (Xi − µ) + n(µ − X )2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
como Xi = nX 
i=1
n
∑ , temos que 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 + 2
i=1
n
∑ n(µ − X )(X − µ) + n(µ − X )2
 
 
 
 
 
 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 − 2
i=1
n
∑ n(µ − X )(µ − X ) + n(µ − X )2
 
 
 
 
 
 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 − 2
i=1
n
∑ n(µ − X )2 + n(µ − X )2
 
 
 
 
 
 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 −
i=1
n
∑ n(µ − X )2
 
 
 
 
 
 
levando em conta que 22 )()( µ−=− XX , obtemos 
E( ˆ σ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2 −
i=1
n
∑ n(X − µ)2
 
 
 
 
 
 
aplicando a expectância, obtemos 
σ E( ˆ 2) =
1
n
E (Xi − µ)
2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 − nE[(X − µ)2]
 
 
 
 
 
 
. 
Como a esperança da soma é igual à soma das esperanças, tem-se que 
σ E( ˆ 2) =
1
n
E(Xi − µ)
2
i=1
n
∑ − nE[(X − µ)2]
 
 
 
 
 
 . 
Mas E(Xi − µ)
2 = var(Xi) =σ
2 e E[( X − µ)2] = var(X ) =σ2 /n. Logo, 
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9 
E( ˆ σ 2) =
1
n
σ2
i=1
n
∑ − nσ
2
n
 
 
 
 
 
 =
1
n
× (nσ2 −σ2) =
n −1
n
σ2 ≠σ2. 
Conclui-se que 2σˆ é um estimador viesado da variância populacional σ2 
(memorize para a prova!). Esse defeito do estimador pode ser corrigido se 
multiplicarmos 2σˆ pelo fator )1/( −nn , o que nos leva à definição do estimador 
S2 =
n
n −1
ˆ σ 2 =
(Xi − X )
2
i=1
n
∑
n −1
, 
o qual, não por acaso, corresponde à variância amostral definida na aula 
anterior. 
Não é difícil mostrar que S2 é um estimador justo da variância 
populacional (memorize para a prova!): 
E(S2) =
n
n −1
E ( ˆ σ 2) =
n
n −1
×
n −1
n
×σ2 =σ2. 
_______________________________________________________ 
Há estimadores que, embora viesados, tem seu viés diminuído quando o 
tamanho da amostra aumenta, ou seja, o viés vai desaparecendo à medida 
que o tamanho da amostra aumenta. Um estimador é dito assintoticamente 
não viesado se 
(3) .)ˆ(lim θ=Θ
→∞
E
n
 
Exemplo. Verifique que o estimador da média populacional µ dado por 
∑
=
−+=
n
i
iXnM
1
1)1( é assintoticamente não viesado. 
E(M) =
n
n +1
 ⇒ lim
n→∞
E(M) = µ lim
n→∞
n
n +1
 
 
 
 
 
 = µ ⇒ Logo, M é um estimador 
assintoticamente não viesado da média populacional µ. 
_______________________________________________________ 
Eficiência 
Não basta que um estimador acerte na média. Além disso, é desejável que 
tenha a menor variância possível (maior precisão possível). 
Um estimador é dito Eficiente ou Estimador Não Tendencioso de 
Variância Mínima (ENTVM), se 
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10 
• for não viesado; 
• entre os estimadores não viesados, apresentar a menor variância. 
Teorema (ENTVM). Se ),...,,( 21 nX XX for uma amostra aleatória proveniente 
de uma população normalmente distribuída com média µ e variância σ2, então 
a média amostral X será o ENTVM (ou eficiente) de µ. 
Entre dois estimadores não viesados, diz-se que é relativamente mais 
eficiente aquele que apresenta a menor variância. 
Exemplo. Considere uma amostra aleatória de 2 elementos oriunda de uma 
população com média µ e variância σ2. Determine a variância do estimador da 
média populacional dado por 
5
23 21 XXW
+
= 
e compare esse estimador com a média amostral. 
Vimos anteriormente que a média ponderada W é um estimador nãoviesado 
de µ. Neste exemplo, sua variância é dada por 
=+=




 += )23var(
25
1
5
23
var)var( 21
21 XX
X X
W 
( ) ( ) 2
2
21 52,0
25
13
]var49var[
25
1
σ
σ
==+= XX . 
Por outro lado, a variância de X é 0,5σ2 (menor que a variância da média 
ponderada). Neste caso, a média amostral é um estimador relativamente mais 
eficiente (melhor) do que W, pois possui uma variância menor. Como o 
enunciado não especificou a distribuição de probabilidades da população X, não 
se pode afirmar que X seja o estimador eficiente da média populacional µ. 
_______________________________________________________ 
Entre dois estimadores justos, vimos que é relativamente mais 
eficiente aquele que apresenta a menor variância. Mas e se quisermos 
comparar dois estimadores quaisquer? Qual será a métrica de comparação? A 
métrica mais usada é o Erro Quadrático Médio (EQM) de estimação. 
Define-se o EQM como a média da diferença quadrática (diferença ao 
quadrado) entre o estimador e o valor do parâmetro: 
(4) ].)ˆ[()ˆ( 2θ−Θ=Θ EEQM 
Desenvolvendo (4), demonstra-se que 
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11 
(5) +Θ=Θ )ˆvar()ˆ(EQM [viés )ˆ(Θ ]2. 
Ou seja, 
EQM de estimação = variância do estimador + (viés do estimador)2 
Daremos a prova de que (4) e (5) são equivalentes a seguir. O entendimento 
da demonstração não é fundamental para a prova; mas é desejável que você 
se esforce um pouco para entendê-la. Desvio a sua leitura para o texto após a 
prova, se preferir. 
Prova: 
Desenvolvendo (4), obtemos 
2222 )ˆ(2)ˆ()ˆ2ˆ()ˆ( θθθθ +Θ−Θ=+Θ−Θ=Θ EEEEQM , 
pois θ é um valor constante (E(θ) = θ). Somando e subtraindo 2ˆ )]([ ΘE , 
chegamos a: 
2222 )ˆ(2)]ˆ([)]ˆ([)ˆ()ˆ( θθ +Θ−Θ+Θ−Θ=Θ EEEEEQM 
em que )ˆvar()]ˆ([)ˆ( 22 Θ=Θ−Θ EE e 222 ])ˆ([)ˆ(2)]ˆ([ θθθ −Θ=+Θ−Θ EEE . Logo, podemos 
reescrever a expressão acima na forma 
2])ˆ([)ˆvar()ˆ( θ−Θ+Θ=Θ EEQM 
em que ])ˆ([ θ−ΘE representa o viés do estimador. Logo, 
+Θ=Θ )ˆvar()ˆ(EQM [viés )ˆ(Θ ]2. 
A Eq. (5) mostra que o EQM tem dois componentes: o estimador erra o 
valor do parâmetro em função da sua dispersão (variância) e ainda, 
quando for o caso, pelo fato de não acertar na média (ser viesado). 
Para dois estimadores quaisquer 1Θˆ e 2Θˆ , se 1Θˆ tem menor EQM do que 2Θˆ , 
então 1Θˆ é relativamente mais eficiente do que 2Θˆ . 
Observe que, para dois estimadores justos, dizer que EQM é menor equivale a 
dizer que a variância é menor (pois o viés é nulo). 
Melhor Estimador Linear Não Viesado 
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12 
Uma terceira propriedade desejável de um estimador é que ele seja o Melhor 
Estimador Linear Não Viesado (MELNV). Para tal, o estimador tem que: 
• ser não viesado; 
• ser linear; 
• entre os estimadores lineares e não viesados, apresentar a menor 
variância. 
Um estimador é linear se for obtido por meio de uma combinação linear das 
observações nXXX ,...,, 21 da amostra, ou seja, se é dado por 
(6) ,...ˆ 2211 nnXaXaXa +++=Θ 
em que os pesos ia , ni ,...,2,1= , são constantes. 
A média amostral nXXXX n /)...( 21 +++= é um estimador linear pois 
n
aaa n
1
...21 ==== . 
Consistência 
Um estimador é consistente, se, à medida que a amostra cresce, 
converge para o verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, quando o 
tamanho da amostra vai aumentando, o viés (se existir) vai diminuindo e a 
variância também. Um estimador consistente é aquele que converge para o 
valor do parâmetro quando o tamanho da amostra tende a infinito. 
Tendo em vista o que foi dito acima, temos que um estimador será consistente 
se: 
(7) θ=Θ
∞→
)ˆ(lim E
n
 
(8) 0)ˆvar(lim =Θ
∞→n
 
A média amostral é um estimador consistente da média, pois é um 
estimador justo e para o qual vale 
0) limvar(lim
2
 =






=
∞→∞→ n
X
nn
σ
. 
Como 
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13 
+Θ=Θ )ˆvar()ˆ(EQM [viés )ˆ(Θ ]2, 
um estimador consistente possui 
0)ˆ(lim =Θ
→∞
EQM
n
. 
19.2.2 Critérios para Escolha dos Estimadores 
Alguns critérios têm sido propostos com o objetivo de resolver o problema da 
escolha do estimador adequado. Dentre eles, podemos citar os métodos da 
máxima verossimilhança, dos momentos e de Bayes. Destacamos a 
importância, para a prova (e também na prática), do método da máxima 
verossimilhança, que será apresentado a seguir. 
Estimação por Máxima Verossimilhança 
Os dicionários definem o termo verossímil como aquilo que parece ser 
verdadeiro ou o que tem probabilidade de ser verdadeiro ou aquilo que se 
assemelha com a realidade. Neste sentido, qual seria a idéia fundamental da 
estimação por verossimilhança de um parâmetro populacional? A resposta 
é a seguinte: a estimação por verossimilhança fornece a estimativa que 
corresponde ao valor mais provável do parâmetro. 
Vejamos a seguir como a Estatística define o conceito de estimação por 
máxima verossimilhança. 
O método da máxima verossimilhança consiste em adotar para o 
parâmetro o valor que maximize a função de verossimilhança associada ao 
resultado obtido na amostra. Mas o que é a função de verossimilhança? 
Definição (Método da Máxima Verossimilhança). Seja uma população 
com função densidade de probabilidade caracterizada pelo parâmetro 
populacional desconhecido θ. Então a distribuição de probabilidades dessa 
população pode ser denotada por );( θxf . Sejam n observações independentes 
nXXX ,...,, 21 (ou seja, uma amostra aleatória com n elementos provenientes da 
população em questão). Então a função densidade conjunta para estas 
observações, também conhecida como função de verossimilhança da 
amostra, é dada por 
);(...);();()( 21 θθθθ nxfxfxfL ×××= . 
Note que )(θL é função somente do parâmetro desconhecido θ. A Estimativa 
de Máxima Verossimilhança (EMV) de θ é o valor θˆ que maximiza a função 
)(θL . A raiz da equação 0/)( =θθ ddL é o ponto de máximo de )(θL . Em muitos 
casos, é mais conveniente tomar a primeira derivada da função de log-
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14 
verossimilhança )(ln θL (logaritmo natural de )(θL ), a qual possui um máximo 
no mesmo ponto θˆ que maximiza )(θL . Deste modo, 
0
);(
);(
1
...
);(
);(
1);(
);(
1 2
2
1
1
=+++
θ
θ
θθ
θ
θθ
θ
θ d
xdf
xfd
xdf
xfd
xdf
xf
n
n
A solução para a equação acima (θ em termos dos xk) é a estimativa de 
máxima verossimilhança de θ. 
Nota: no caso de uma variável aleatória discreta, a função de verossimilhança 
)(θL é a probabilidade 
),...,,( 2211 nn xXxXxXP ===θ . 
Ou seja, )(θL é apenas a probabilidade de obter os valores amostrais 
nxxx ,...,, 21 . Logo, no caso discreto, a estimativa de máxima verossimilhança é 
aquela que maximiza a probabilidade de ocorrência dos valores da amostra. 
Exemplo. Um jogador de cassino trocou o seu dinheiro por dez fichas, das 
quais θ são pretas e 10 – θ são brancas. Uma amostra de quatro fichas com 
reposição é retirada do seu bolso e verifica-se que ela contém três fichas 
brancas e uma ficha preta. Estime o parâmetro θ pelo método da máxima 
verossimilhança. 
Solução: 
Devemos determinar a função de verossimilhança correspondente ao resultado 
amostral obtido, a qual será dada pela probabilidade de, em uma amostrade n 
= 4, obter-se exatamente uma ficha preta, dada em função do parâmetro 
desconhecido θ. Tal probabilidade pode ser obtida pela aplicação da 
distribuição binomial, em que a probabilidade de sucesso será 10/θ=p , n = 4 e 
x = 1. Designando por )(θL a função de verossimilhança, temos 
.5002
)10(
10
1
101
4
)1()(
331 θθθθ
θ
−
=




 −







= −






= −xnx pp
x
n
L 
A Tabela a seguir mostra que o valor de máxima verossimilhança é 3=θ . Logo, 
a estimativa de máxima verossimilhança é 3ˆ =θ . 
θθθ L(θθθ) θθθ L(θθθ) 
0 0 6 384/2.500 
1 729/2.500 7 189/2.500 
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15 
2 1.024/2.500 8 64/2.500 
3 1.029/2.500 9 9/2.500 
4 864/2.500 10 0 
5 625/2.500 
_______________________________________________________ 
O método da máxima verossimilhança pode ser usado em situações em que 
haja vários parâmetros populacionais desconhecidos kθθθ ,...,, 21 . Em tais casos, 
a função de verossimilhança é uma função dos k parâmetros desconhecidos 
kθθθ ,...,, 21 e os estimadores }ˆ{ iΘ de máxima verossimilhança são encontrados 
igualando as k derivadas parciais ikL θθθθ ∂∂ /),...,,( 21 , ki ,...,2,1= , a zero e 
resolvendo o sistema resultante de equações. 
Exemplo. Seja X uma variável aleatória normal com média µ e variância σ2 
desconhecidas. A função de verossimilhança de uma amostra aleatória 
), ,...,( 21 nXXX é 
L(µ,σ2) =
1
σ 2π
e
−
1
2
x1 −µ
σ
 
 
 
 
 
 
2
× ...×
1
σ 2π
e
−
1
2
xn −µ
σ
 
 
 
 
 
 
2
=
1
σ 2πi=1
n
∏ e
−
1
2
xi −µ
σ
 
 
 
 
 
 
2
L(µ,σ2) =
1
2πσ2( )n / 2
e
−
1
2σ2
(xi − µ )
2
i=1
n
∑
 
Tomando o logaritmo natural 
lnL(µ,σ2) = −
n
2
ln(2πσ2) −
1
2σ2
(xi − µ)
2
i=1
n
∑ 
Para encontrar o ponto de máximo dessa função, devemos obter as derivadas 
de ),(ln 2σL em relação a µ e σ2. 
Derivando em relação a µ, obtemos: 
∂lnL(µ, σ2)
∂µ
=
1
2σ2
2 (xi − µ)
i=1
n
∑ = 1
σ2
(xi − µ)
i=1
n
∑ 
e igualando esse último resultado a zero e resolvendo para µ, tem-se 
(σ2)−1 (xi − ˆ µ )
i=1
n
∑ = 0 ⇒ (xi − ˆ µ )
i=1
n
∑ = 0 ⇒ xi − n ˆ µ 
i=1
n
∑ = 0 ⇒ ˆ µ =
xi
i=1
n
∑
n
= X . 
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16 
O resultado obtido mostra que a média amostral de uma população 
normal é o estimador de máxima verossimilhança da média 
populacional µµµ. 
Derivando em relação a σ2 e já incluindo o resultado acima, obtemos: 
∂lnL(µ,σ2)
∂σ2
= −
n
2
1
ˆ σ 2
+
1
4 ˆ σ 2
(xi − ˆ µ )
2
i=1
n
∑ = 0 
0)ˆ(ˆ
1
22 =−+− ∑
=
n
i
in µxσ ⇒ ˆ σ 
2 =
(xi − ˆ µ )
2
i=1
n
∑
n
 
Portanto, o estimador de máxima verossimilhança para σσσ2 é viesado. 
Exemplo. Suponha uma população com distribuição uniforme entre 0 e θ. 
Retirou-se uma amostra aleatória de n valores dessa população com o objetivo 
de estimar-se θ. Admita que maxx seja o maior valor obtido nessa amostra. 
Calcule a EMV de θ. 
Solução 1 (“intuitiva”): 
Evidentemente que maxx≥θ . Logo, a estimativa “mais verossímil” (ou a EMV) é 
adotar maxˆ x=θ . 
Solução 2 (“detalhada”): 
Sabe-se que maxx≥θ . A função densidade de probabilidade da distribuição 
uniforme é θ/1)( =xf para θ≤≤ x0 e 0)( =xf caso contrário. 
A função de verossimilhança de uma amostra aleatória com n observações é 
L(θ) =
1
θ
i=1
n
∏ = 1
θn
, 
Cujo domínio é maxx≥θ , ou seja, o menor valor possível para o parâmetro θ é 
maxx=θ . A figura abaixo mostra que o maior valor (máximo absoluto) de )(θL 
ocorre em maxx=θ . Portanto, a EMV é maxˆ x=θ . 
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17 
Este exemplo indica que nem sempre é possível usar diretamente métodos de 
cálculo para determinar o máximo de )(θL . 
Já caiu em prova! (Analista da SUSEP/2002/ESAF) A função de 
verossimilhança para uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição 
de probabilidades dependente de um parâmetro real θ vem dada por 



<
≥+−
=
b
bnmn
l
θ
θθ
θ
0
}exp{
)( 
onde m > 0 é a média das observações amostrais e b é a menor observação 
amostral. Assinale a opção que corresponde a estimativa de máxima 
verossimilhança de θ. 
A) nm 
B) b 
C) m 
D) nb 
E) m/b 
Resolução 
A Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) do parâmetro 
populacional desconhecido θ é o valor θˆ que maximiza a função de 
verossimilhança )(θl . 
Podemos reescrever a função de verossimilhança )(θl como: 



<
≥
=
−
b
bee
l
nmn
θ
θ
θ
θ
0
.
)( 
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18 
Note que 1
1
0 <=< −
mn
mn
e
e pois m (média amostral) e n (tamanho da amostra) 
nsão grandezas positivas. Além disso, θe é uma função exponencial crescente, 
pois n >0. Portanto, o gráfico de )(θl é crescente para b≥θ , como ilustrado 
pela Fig. a seguir. 
O gráfico da função de verossimilhança não possui um máximo absoluto, pois 
∞=
→∞
)(lim θ
θ
l (a função é crescente para b≥θ ). O gabarito inicial era a alternativa 
(B) ( b=θˆ ), o que é um flagrante absurdo. A questão foi anulada. 
b
l
GABARITO: ANULADA 
Propriedades dos Estimadores de Máxima Verossimilhança 
O método da máxima verossimilhança é frequentemente o método de 
estimação preferido pelos matemáticos e engenheiros, por ser geralmente fácil 
de usar e produzir estimadores com boas propriedades estatísticas. Estas 
propriedades estão resumidas a seguir. Ressaltamos que essa lista de 
propriedades não é exaustiva. Citamos aquelas que são importantes para a 
prova. 
Propriedades: 
1. Consistência; 
2. Distribuição assintótica (*) normal. 
(*) Assintótica significa “quando n é grande”. 
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19 
A propriedade (1) pode ser interpretada como se segue. Quando uma amostra 
de tamanho n for grande e se Θˆ for um estimador de máxima verossimilhança 
do parâmetro θ, então: 
- (i) Θˆ é um estimador aproximadamente não tendencioso para θ ( θ≈Θ]ˆ[E ) e 
- (ii) a variância de Θˆ é aproximadamente tão pequena quanto a variância que 
se poderia obter com qualquer outro estimador. 
Sendo assim, (i) e (ii) estabelecem que o estimador de máxima 
verossimilhança é aproximadamente um ENTVM. Esse é um resultado 
desejável. Além disso, ele é razoavelmente fácil de se obter em muitas 
situações e possui distribuição assintótica normal. Isso explica porque o 
método de máxima verossimilhança é largamente utilizado na prática. Para 
usar a estimação de máxima verossimilhança, observe que a distribuição da 
população deve ser conhecida (ou suposta). 
19.3 Estimação por Ponto 
19.3.1 Estimação por Ponto da Média 
O melhor estimador de que dispomos para a média µ da população é a média 
da amostra X é um estimador consistente de µ. X . Vimos que 
19.3.2 Estimação por Ponto da Variância 
Quando conhecemos a média µ da população, devemos estimar sua variância 
σ2 por meio da estatística 
(9) S2 =
(Xi − µ)
2
i=1
n
∑
n
=
Xi2
i=1
n
∑
n
− µ2 
que será um estimador não viesado (pois acerta na média) e consistente 
(sua variância decresce com o aumento do tamanho da amostra). 
Quando a média µ é desconhecida, o que, em geral, ocorre na prática, a 
variância populacional σ2 é estimada por meio de 
(10) S2 =
(Xi − X )
2
i=1
n
∑
n −1
 
que é um estimador justo de σσσ2. 
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20 
Foi visto na aula passada que )1/(2)var( 42 −= nS σ . Logo, S2 é um estimador 
consistente de σσσ2, pois 
.0
1
2
lim)var(lim
4
2 =
−
=
∞→∞→ n
S
nn
σ
 
19.3.3 Estimação por Ponto do Desvio Padrão 
Embora S2, conforme definido em (10), seja um estimador justo da variância 
populacional σ2, sua raiz quadrada S não é um estimador justo do desvio 
padrão populacional σσσ. Isto pode ser demonstrado por absurdo, pois se E(S) 
= σσσ, resultaria que 
var(S) = E(S2) – [E(S)]2 = σσσ2 – σσσ2 = 0, 
o que não tem sentido. 
O viés de S como estimador de σσσ, entretanto, tende assintoticamente a 
zero. Logo, para amostras grandes, podemos, por simplificação, adotar como 
estimativa o próprio desvio padrão da amostra, calculado pela raiz quadrada 
da variância amostral. 
19.3.4 Estimação por Ponto de uma Proporção Populacional 
Se desejarmos estimar a proporção p dos elementos da população com uma 
dada característica, usaremos como estimador a proporção ou freqüência 
relativa pˆ com que essa característica foi observada na amostra. Tal 
procedimento, além de intuitivo, corresponde a adotar um estimador justo e 
consistente, pois, conforme visto na aula passada: 
p
n
np
fE
nn
f
EpE ===




= )(
1
)ˆ( 
n
pp
p
)1(
)ˆvar(
−
= ⇒ .0
)1(
lim)ˆvar(lim =
−
=
∞→∞→ n
pp
p
nn
 
19.3.4 Estimação por Ponto com Base em Diversas Amostras 
Sejam k amostras e um parâmetro populacional a ser estimado. Cada amostra 
fornecerá uma estimativa para o parâmetro que está sendo estimado e essas 
estimativas irão diferir entre si, pois correspondem a observações de variáveis 
aleatórias. Entretanto, pode-se, em geral, combinar esses resultados, obtendo-
se uma estimativa única para o parâmetro em questão. 
No caso de estimação da média µ ou de uma proporção p, pode-se combinar 
as estimativas se todas as amostras forem provenientes de uma mesma 
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21 
população ou de populações infinitas com mesma média µ e mesma proporção 
p. Ou seja, pode-se calcular a média ponderada das diversas médias e 
freqüências relativas amostrais tomando como pesos de ponderação os 
tamanhos das respectivas amostras. Isso equivale a fundir as diversas 
amostras em uma única amostra maior, usando a média X e a freqüência pˆ 
fornecidas por essa amostra. 
No caso da variância populacional σσσ2, deve-se realizar a ponderação 
usando como pesos os graus de liberdade de cada amostra. Seja n1 o 
tamanho da amostra 1, n2 o tamanho da amostra 2, ..., nk o tamanho da 
amostra k (as amostras i, i = 1,2,...,k, possuem desvio padrão Si). Então a 
estimativa combinada de σ2 será dada pela estatística 
(11) 
knnn
SnSnSn
S
k
kk
p −+++
−++−+−
=
...
)1(...)1()1(
21
22
22
2
112 , 
que possui knnn k −+++ ...21 graus de liberdade. 
Note-se que a estimativa (11) não será idêntica à que se obteria pela reunião 
dos dados em uma amostra única, embora ambos os processos sejam válidos 
nas condições acima mencionadas. 
A estimativa (11) tem a vantagem de poder ser usada se as diversas amostras 
forem provenientes de populações com médias diferentes, porém de mesma 
variância σ2. 
Se as amostras forem razoavelmente grandes, poderemos adotar pS como 
uma boa estimativa para o desvio padrão σ. 
19.4 Estimação por Intervalo 
Até aqui, aprendemos como obter “boas” estimativas (isto é, justas e 
consistentes) por ponto dos parâmetros populacionais. Contudo, se a 
determinação do parâmetro for o principal objetivo, então a estimação por 
ponto será insuficiente, uma vez que a probabilidade de a estimativa adotada 
vir a coincidir com o verdadeiro valor do parâmetro é nula ou praticamente 
nula. Assim, uma questão relevante aparece: quão próxima está a estimativa 
do verdadeiro valor de um parâmetro? Uma outra abordagem é usar um 
intervalo de confiança para expressar o grau de incerteza associado a 
uma estimativa. 
Uma estimativa do intervalo de confiança de um parâmetro desconhecido 
θ é um intervalo da forma l ≤ θ ≤ u, em que os limites inferior l e superior u 
dependem do valor numérico do estimador Θˆ para uma amostra particular. 
Como amostras distintas produzirão valores diferentes de Θˆ e, por 
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22 
conseguinte, valores diferentes para os limites l e u, esses limites são valores 
de variáveis aleatórias, como L e U, respectivamente. Somos capazes de 
determinar valores de L e U, a partir da distribuição amostral de Θˆ , de tal 
forma que a seguinte afirmação probabilística seja verdadeira: 
αθ −=≤≤ 1)( ULP , 
sendo 10 <<α . Assim, temos uma probabilidade igual a α−1 de selecionar 
uma amostra que produzirá um intervalo contendo o valor verdadeiro 
do parâmetro θθθ. 
O intervalo observado 
ul ≤≤θ
é chamado de intervalo com )%1(100 α− de confiança para o parâmetro θθθ. 
A interpretação de um intervalo de confiança é que se um número infinito de 
amostras aleatórias for coletado e um intervalo com )%1(100 α− de confiança 
para θ for calculado a partir de cada amostra, então )%1(100 α− desses 
intervalos conterão o valor verdadeiro de θ. 
Na prática, obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos uma 
estimativa do intervalo de confiança. Uma vez que esse intervalo 
conterá ou não o valor verdadeiro de θθθ, não é razoável fixar um nível 
de probabilidade para essa realização. A afirmação apropriada é: o 
intervalo observado [l, u] contém o valor verdadeiro de θθθ, com 
1 )%(100 α− de confiança. Essa afirmação tem uma interpretação de 
freqüência; ou seja, não sabemos se a afirmação é verdadeira para essa 
amostra específica, mas o método usado para obter o intervalo [l, u] resulta 
em afirmações corretas em )%1(100 α− do tempo. 
19.4.1 Intervalo de Confiança para a média quando o desvio-
padrão é conhecido 
Suponha que o estimador X tenha distribuição amostral normal (*). Conforme 
já visto neste curso, isso ocorrerá se a população for normalmente distribuída 
ou, com boa aproximação, se a amostra for suficientemente grande. 
(*) A hipótese de normalidade é comumente adotada na prática. Se não a 
adotássemos, o estudo ficaria tremendamente complicado. 
Deve-se construir um intervalo em torno de X de forma tal que esse intervalo 
contenha o valor do parâmetro com confiança 1-α. Esse intervalo é simétrico 
em probabilidade, pois a distribuição amostral é normal. 
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23 
O intervalo que pretendemos construir será da forma ε±X , em que 0= eε 
denota a semi-amplitude do intervalo de confiança, conforme representado 
pela figura a seguir (distribuição amostral de X ). Necessitamos apenas 
determinar ε de modo tal que esse intervalo tenha nível de confiança 1-α. 
Para tanto, imagine, na distribuição de X , dois pontos, ε− e ε+ , 
simétricos em relação à média µ da distribuição, de tal modo que a 
probabilidadede X situar-se entre esses dois pontos seja igual a 1-α. Logo, 
(12) .1)( αεε −=+≤≤− XP 
A desigualdade (12) implica 
X≤− ε e ε+≤X ⇒ ε+≤ X e µε ≤−X 
⇒ .1)( αεε −=+≤≤− XXP 
Portanto, ε−X e ε+X são os limites do intervalo de confiança simétrico em 
probabilidade desejado. A determinação da semi-amplitude ε do intervalo de 
confiança envolve a utilização da variável normal padronizada. Observe que 
,
/
)(
2/ασ
ε
z
n
=
−+
 
(13) ./
n
2z
σ
ε α= 
Portanto, a expressão do intervalo de confiança para a média µ da população, 
ao nível de confiança 1-α, é dada por 
(14) ./
n
z 2X
σ
α± 
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24 
Finalmente, tem-se que 
(15) .1)( 2/2/ α
σσ
αα −=+≤≤−
n
zX
n
zXP 
Exemplo. Considere uma amostra de 41 observações provenientes de uma 
população normal com variância igual a 4,0, cuja média amostral é 40. 
Construa um intervalo de 95% de confiança para a média dessa população. 
Solução: 
,9501 =−α 0,⇒ 0252/ =α . A tabela da normal indica que o valor z = 1,96 
corresponde à probabilidade (0,5 – 0,025) = 0,4750. Logo, 
,61220
41
,02
96,12/ ===
n
z
σ
ε α 
e o intervalo de confiança será 6122,040 ± , indicando que 6122,3878 40,39 ≤≤ 
com 95% de confiança. 
19.4.2 Intervalo de confiança para a média quando o desvio-
padrão é desconhecido 
Quando desconhecemos o desvio padrão populacional σ, devemos estimar seu 
valor por meio de 
S =
(Xi − X )
2
i=1
n
∑
n −1
. 
Não é correto obter o intervalo de confiança para µ, ao nível de confiança 1-α, 
substituindo-se σ por S na expressão (13). Observe que o uso de S em (13) 
aumenta a incerteza da estimativa por intervalo, diminuindo, deste modo, o 
valor do nível de confiança, que já não seria (1-α), mas sim (1-α’) < (1-α). 
Como podemos resolver este problema? 
Vimos que as distribuições t de Student e normal padrão estão relacionadas 
pela fórmula 
.2/2/,1
S
ztn
σ
αα =− 
Sendo assim, podemos reescrever (14) como 
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25 
(16) 
n
S
tX
n
S
S
zX n 2/,12/ αα
σ
−= ±± 
A Eq. (16) mostra que o uso do desvio padrão amostral S na expressão do 
intervalo de confiança da média populacional impõe o uso de 2/,1α−nt no lugar de 
2/αz . Observe que 1)/( 2/2/,1 >− α zαtn (por exemplo, 96,1,04232 %5,2%5,2,30 =>= zt ). Desta 
maneira, 2/,1α−nt funciona como um fator de correção para maior da amplitude 
do intervalo de confiança, quando usamos S em vez de σ. 
Exemplo. Considere uma amostra de 41 observações, provenientes de uma 
população normal com média e variância desconhecidas, em que 40=X e S = 
2,0. Construa um intervalo de 95% de confiança para a média dessa 
população. 
Solução: 
,02112%5,2,402/,1 ==− ttn α (vide tabela auxiliar). Logo, 
,63130
41
2
0211,22/,1 =×== −
n
S
tn αε (maior que o obtido no exemplo anterior!) 
e o intervalo de confiança será 6313,040 ± , indicando que 6313,3687 40,39 ≤≤ 
com 95% de confiança. 
19.4.3 Intervalo de confiança para a variância 
Considere, na distribuição 2−1nχ , os dois particulares valores 
2
2/,11 αχ −−n (qui-
quadrado inferior) e 2 / 2,1αχ −n (qui-quadrado superior), conforme ilustrado pela 
figura abaixo. 
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26 
Sabemos que os valores 2 2/,11 αχ −−n e 
2
/ 2,1αχ −n são tais que 
(17) .1)( 2 2/,1
2
1
2
2/,11 αχχχ αα −=≤≤ −−−− nnnP 
Na aula anterior, vimos que 
2
1
2
2
1
−−
= n
n
S χ
σ
 
o que nos permite escrever as desigualdades entre parênteses de (17) como 
2
2/,12
2
2
2/,11
)1(
αα χσ
χ −−− ≤
−
≤ nn
Sn
. 
Vamos dividir todos os membros da expressão acima por 2)1( Sn − , e, após, 
tomar os inversos. Invertendo as desigualdades, obtemos 
(18) 
2
2/,11
2
2
2
2/,1
2 )1()1(
αα χ
σ
χ −−−
−
≤≤
−
nn
SnSn
 
que é o intervalo de confiança para σσσ2, ao nível de 1 - α. 
A Eq. (18) pode ser reescrita na forma 
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27 
(19) 
2
2/,11
1
2
2
2
2/,1
1
2 )()(
αα χ
σ
χ −−
=
−
=
∑∑ −
≤≤
−
n
n
i
i
n
n
i
i XXXX
Exemplo. Uma amostra de onze elementos, extraída de uma população 
normal, forneceu variância S2 = 7,08. Determine o intervalo de 90% de 
confiança para a variância da população. 
Solução: 
Entrando na tabela da distribuição χ2 com 10 graus de liberdade, obtemos: 
94,,32 %95,10
2
2/,11 ==− χ−χ αn 
3.,182 %5,10
2
2/,1 ==− χχ αn 
Logo, 
2
2/,11
2
2
2
2/,1
2 )1()1(
αα χ
σ
χ −−−
−
≤≤
−
nn
SnSn
 ⇒ 
94,3
08,710
,318
08,710 2 ×≤≤
×
σ ⇒ 9695,8689 173, 2 ≤≤σ 
Logo, 9695,8689 173, 2 ≤≤ σ com 90% de confiança. 
19.4.4 Intervalo de confiança para o desvio-padrão 
De (18) decorre, com confiança 1-α, que 
(20) 
2
2/,11
2
2
2/,1
2 )1()1(
αα χ
σ
χ −−−
−
≤≤
−
nn
SnSn
19.4.5 Intervalo de Confiança para uma proporção populacional 
Vimos na aula passada que uma freqüência relativa amostral pˆ apresenta uma 
distribuição binomial, cuja média é o próprio parâmetro populacional p e cuja 
variância é dada por npp /)1( − . Sendo 5≥np e 5)1( ≥− pn , aprendemos que é 
possível aproximar a binomial pela normal. Como p é desconhecido, 
adotaremos como condições de aproximação 5ˆ ≥pn e 5)ˆ1( ≥− pn . 
Sendo a amostra suficientemente grande, o intervalo de confiança para p será 
da forma ε±pˆ e, por um raciocínio análogo àquele desenvolvido para a 
estimação de µ, chega-se a 
(21) 
n
pp
z
)1(
2/
−
= αε . 
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28 
A expressão (21) tem um problema: não conhecemos o valor de p. Para 
amostras suficientemente grandes, pode-se aproximar (21) por 
(22) 
n
pp
z
)ˆ1(ˆ
2/
−
= αε . 
Então o intervalo de confiança para p, ao nível de confiança α−1 , é dado por 
(23) 
n
pp
zp
)ˆ1(ˆ
ˆ
2/
−
± α . 
Exemplo. Retirou-se uma amostra de 1.000 peças de uma linha de produção 
e verificou-se que 35 eram defeituosas. Estime o intervalo de confiança ao 
nível de 95% da proporção de peças defeituosas fornecidas pela linha de 
produção. 
Solução: 
n = 1.000 
035,000 01.35 //ˆ === nfp 
96,1%5,22/ == zzα 
Logo, 
,01140
.0001
)035,0(1,0350
,961
)ˆ1(ˆ
2/ =
−
×=
−
=
n
pp
zαε
,0114035 0,0,0114035 0,0 +≤≤− p ⇒ 0464,0,02360 ≤≤ p com 95% de confiança. 
Já caiu em prova! (ICMS-RJ/2010/FGV). Para estimar a proporção p de 
pessoas acometidas por uma certa gripe numa população, uma amostra 
aleatória simples de 1600 pessoas foi observada e constatou-se que, dessas 
pessoas, 160 estavam com a gripe. 
Um intervalo aproximado de 95% de confiança para p será dado por: 
A) (0,066, 0,134). 
B) (0,085, 0,115). 
C) (0,058, 0,142). 
D) (0,091, 0,109). 
E) (0,034, 0,166). 
Resolução 
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29 
A freqüência relativa amostral pˆ apresenta uma distribuição binomial, cujamédia p e variância npp /)1( − . Sendo 5≥np e 5)1( ≥− pn , é possível aproximar a 
binomial pela normal. Como p é desconhecido, adotamos como condições de 
aproximação np'=1600 × 0,1 =160 > 5 e n(1− p') =1600 × 0,9 =1440 > 5. 
Como a amostra é suficientemente grande, o intervalo de confiança para p 
será da forma ε±pˆ , em que ε é dado por 
,0150
1600
,901,0
,961
)ˆ1(ˆ
%5,20 ≈
×
×=
−
=
n
pp
ze . 
Logo, 115,0015,0,10ˆ ≈+=+ εp e 085,015 0,0,10ˆ ≈−=− εp . 
⇒ IC = (0,085, 0,115). 
GABARITO: B 
19.5 Tamanho das Amostras 
Vimos que nz /2/ σε α= (semi-amplitude do intervalo de confiança para a 
média populacional quando o desvio padrão populacional é conhecido). Segue-
se que 
(24) 
2
2/ 




=
ε
σαzn . 
A Eq. (24) será usada para determinar o tamanho da amostra necessária 
para estimar a média populacional quando σσσ for conhecido. 
Se não conhecemos o desvio padrão da população, devemos primeiramente 
coletar uma amostra piloto de n’ elementos para, com base nela, obtermos 
uma estimativa do desvio padrão amostral S. Em seguida, empregamos a 
expressão 
(25) 
2
2/,1' 





= −
ε
t α S
n
n 
obtida por meio das substituições de 2/αz por 2/1,' α−nt e de σ por S em (24). Se 
n’ ≤ n, a amostra piloto já terá sido suficiente para a estimação. Caso 
contrário, devemos retirar, ainda, da população, os elementos necessários à 
complementação do tamanho mínimo da amostra. 
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30 
Já caiu em prova! (ICMS-RJ/2010/FGV). Suponha que os salários dos 
trabalhadores numa certa região sejam descritos por uma variável 
populacional com média desconhecida e desvio padrão igual a R$200,00. Para 
se garantir, com 95% de probabilidade, que o valor da média amostral dos 
salários não diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00, a 
amostra aleatória simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte 
tamanho: 
A) 3.568. 
B) 3.402. 
C) 2.489. 
D) 2.356. 
E) 1.537. 
Resolução 
Dados: X − =10, 1−α = 95% e σ = 200. 
X −
σ / n
= zα / 2∴
X −
σ / n
= z2,5%∴
10
200 / n
=1,96∴
10
200 / n
≈ 2∴n ≈1.600 
O valor mais próximo é o da opção E. 
Nota: não é correto dizer que o valor da média amostral dos salários não 
diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00 com 95% de 
probabilidade, dado que a amostra tenha um tamanho mínimo de 1.537 
elementos. A afirmação correta seria: o valor da média amostral dos salários 
não diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00 com 95% de 
confiança, dado que a amostra tenha um tamanho mínimo de 1.537 
elementos. Na prática, obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos 
uma estimativa do intervalo de confiança. Uma vez que esse intervalo conterá 
ou não o valor verdadeiro do parâmetro populacional µ, não é razoável fixar 
um nível de probabilidade para essa realização. A afirmação apropriada é: o 
intervalo observado [l, u] contém o valor verdadeiro do parâmetro µ, com 
1 )%(100 α− de confiança. Essa afirmação tem uma interpretação de freqüência; 
ou seja, não sabemos se a afirmação é verdadeira para essa amostra 
específica, mas o método usado para obter o intervalo [l, u] resulta em 
afirmações corretas em )%1(100 α− do tempo. 
GABARITO: E 
O tamanho da amostra necessária para estimar uma proporção 
populacional p vem da expressão (22) e é dado por 
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31 
(26) )1(
2
2/ pp
z
n −




=
ε
α . 
Não temos como calcular n por meio de (26), pois p é desconhecido. Como 
podemos resolver este problema? Se pararmos para refletir um pouco sobre o 
assunto, veremos que existem pelo menos duas saídas. A primeira é a 
seguinte: para amostras suficientemente grandes, sabemos que pp ≈ˆ , haja 
vista que pˆ é um estimador justo de p, e podemos utilizar a aproximação 
(27) )ˆ1(ˆ
2
2/ pp
z
n −




≈
ε
α . 
Também podemos obter um valor limitante superior para n a partir de (26), e 
esta seria a segunda solução para o problema da estimação do n. Note que a 
função quadrática (parábola) p(1-p) que aparece em (26) tem o seu ponto de 
máximo em p =1/2. Se substituirmos p(1-p) pelo seu valor máximo, que é 
1/4, o tamanho da amostra obtido será suficiente para a estimação, qualquer 
que seja o p. Sendo assim, obtemos 
2
2
2/
2
2/
44
1
εε
αα zzn =




≤ ou 
(28) 
2
2
2/
max
4ε
αzn = , 
em que nmax denota o valor limitante superior de n. 
Já caiu em prova! (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF). Deseja-se 
estimar a proporção p de pessoas com determinada característica em uma 
população. Um levantamento preliminar forneceu ˆ p = 2 /7. Usando essa 
estimativa, obtenha o menor tamanho de amostra aleatória simples necessária 
para estimar p com um intervalo de 95% de confiança e um erro de 
amostragem z ˆ p ˆ q /n ≤ 2% , onde ˆ p . q =1− ˆ 
A) 7840 
B) 2500 
C) 1960 
D) 9604 
E) 2401 
Resolução 
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32 
Aprendemos na exposição teórica que a semi-amplitude do intervalo de 
confiança para a proporção é dada por q npz /ˆˆ/ 2αε = . O examinador especificou 
que a relação %2/ˆˆ ≤nqpz deve ser obedecida, a fim de que p seja estimado 
com um intervalo de 95% de confiança e um erro de amostragem ε menor ou 
igual a 0,02. “Moral da história”: a banca forneceu a fórmula a ser utilizada na 
solução da questão! De vez em quando isso acontece. 
Isolemos a incógnita n na fórmula dada: 
100
2ˆˆ
2/1
≤





n
qp
z ⇒ 
2
2
2
2/1
10
2ˆˆ






 ≤











n
qp
z ⇒ 




≤





4
2
10
4ˆ ˆ
n
qp
z ⇒ 
nqpz 4ˆˆ10 24 ≤ ⇒ n
qpz
≤
4
ˆˆ10 24
⇒
4
ˆˆ10 24 qpz
n ≥ 
Então o valor limitante inferior para n, denotado por nmin, é dado por 
4
ˆˆ10 24
min
qpz
n = . 
Substituindo os valores ˆ p = 2 /7, 7/5ˆ1ˆ =−= pq e z = 1,96 (pois α=5%) na 
expressão acima, obtemos 
7
5
7
2
4
96,110 24
min ××
×
=n , 
utilizando as aproximações 1,96 ≅ 2 e 49 ≅ 50, chegamos ao valor aproximado 
.0002
5
000.10
50
52104
min ==
××
≈n . 
A opção C nos dá o valor mais próximo (1.960). Se você fizer as contas com a 
calculadora obterá o valor exato de 1.960. 
GABARITO: C 
19.6 Memorize para a prova 
- Um estimador (ou estatística) é qualquer função das observações de 
uma amostra. 
- Uma estimativa corresponde a um valor numérico assumido por um 
estimador. 
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33 
- Um estimador Θˆ é justo ou não viesado se o seu valor esperado for 
igual ao valor do parâmetro θθθ que se pretende estimar, isto é, se 
.ˆ )( θ=ΘE 
- Um estimador é consistente, se, à medida que a amostra cresce, 
converge para o verdadeiro valor do parâmetro: 
θ=Θ
∞→
)ˆ(lim E
n
 e 0)ˆvar(lim =Θ
∞→n
 
- O melhor estimador para a média µµµ da população é a média da amostra 
X , pois X é um estimador justo e consistente de µµµ. 
- Se a média µµµ da população for conhecida, devemos estimar sua variância 
σ2 por meio da estatística 
S2 =
(Xi − µ)
2
i=1
n
∑
n
=
Xi
2
i=1
n
∑
n− µ2, 
que será um estimador justo e consistente. 
- Se a média µµµ for desconhecida, a variância populacional σ2 deverá ser 
estimada por meio de 
S2 =
(Xi − X )
2
i=1
n
∑
n −1
, 
que é um estimador justo e consistente de σ2. 
- O estimador da variância populacional definido por 
ˆ σ 2 =
(Xi − X )
2
i=1
n
∑
n
 
é viesado. 
- O EQM é a média do quadrado da diferença entre o estimador e o 
valor do parâmetro: 
])ˆ[()ˆ( 2θ−Θ=Θ EEQM = +Θ)ˆvar( [viés )ˆ(Θ ]2. 
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34 
A relação acima mostra que o EQM tem dois componentes: o estimador erra o 
valor do parâmetro em função da sua dispersão (variância) e ainda, quando for 
o caso, pelo fato de não acertar na média (ser viesado). 
- Seja a amostra aleatória nXXX ,...,, 21 . Então a função densidade conjunta para 
estas observações, também conhecida como função de verossimilhança da 
amostra, é dada por 
);(...);();()( 21 θθθθ nxfxfxfL ×××= . 
- A função de verossimilhança para nXXX ,...,, 21 discretas é a probabilidade 
),...,,( 2211 nn xXxXxXP ===θ . 
- A Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) de θ é o valor θˆ que 
maximiza a função )(θL . 
- A média amostral de uma população normal é o estimador de máxima 
verossimilhança da média populacional µ. 
- A estatística S não é um estimador justo do desvio padrão 
populacional σσσ. O viés de S, entretanto, tende assintoticamente a zero. 
- A freqüência relativa pˆ é um estimador justo e consistente da 
proporção p dos elementos da população com uma dada característica. 
- Um intervalo de confiança expressa o grau de incerteza associado a uma 
estimativa. 
- O intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão 
populacional é conhecido, no nível de confiança 1-α, é dado por 
n
zX
n
zX
σσ
αα 2/2/ +≤≤− . 
Obs.: z = 1,96 para (1-α) = 0,95 = 95%. 
- - O intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão 
populacional é desconhecido, no nível de confiança 1-α, é dado por 
n
S
tX
n
S
tX nn 2/,12/,1 αα µ −− +≤≤− . 
- O intervalo de confiança para σσσ2, ao nível de 1-α, é dado por 
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35 
2
2/,11
2
2
2
2/,1
2 )1()1(
αα χ
σ
χ −−−
−
≤≤
−
nn
SnSn
, 
ou pela fórmula equivalente 
2
2/,11
1
2
2
2
2/,1
1
2 )()(
αα χ
σ
χ −−
=
−
=
∑∑ −
≤≤
−
n
n
i
i
n
n
i
i XXXX
. 
- O intervalo de confiança para p, ao nível de confiança α−1 , é dado por 
n
pp
zpp
n
pp
zp
)ˆ1(ˆ
ˆ
)ˆ1(ˆ
ˆ
2/2/
−
+≤≤
−
− αα . 
- Tamanho da amostra para estimar a média populacional µ quando σ é 
conhecido: 
2
2/ 




=
ε
σαzn . 
- Tamanho da amostra para estimar a proporção populacional p: 
2
2
2/
4ε
αzn ≈ . 
19.7 Exercícios de Fixação 
1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para examinar a opinião de uma população sobre 
uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas 
1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta. 
Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desse 
resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontos 
percentuais, para mais ou para menos. 
Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, 
para mais ou para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa 
que indique o número de pessoas que deveriam ser ouvidas. 
A) 840 
B) 2520 
C) 3360 
D) 5040 
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36 
E) 6720 
2. (ICMS-RJ/2008/FGV) Considere uma Amostra Aleatória Simples de n 
unidades extraídas de uma população na qual a característica, X, estudada tem 
distribuição Normal com média µ e variância σ2, ambas desconhecidas, mas 
finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, ∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
, e 
variância da amostra ∑
=
−=
n
i
i XX
n
S
1
22 )(
1
. Então, é correto afirmar que: 
A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da 
variância da população, respectivamente. 
B) X é não tendencioso, mas 2S é tendencioso para a estimação da média e 
da variância da população, respectivamente. 
C) X é tendencioso, mas 2S é não tendencioso para a estimação da média e 
da variância da população, respectivamente 
D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variância 
da população, respectivamente. 
E) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da 
variância da população, mas apenas X é consistente. 
3. (ICMS-RJ/2007/FGV) Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o 
percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turístico 
para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, 
selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população 
infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto 
turístico. 
Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou 
para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, 
aproximadamente: 
A) 50 pessoas 
B) 2.400 pessoas 
C) 1.200 pessoas 
D) 100 pessoas 
E) 4.800 pessoas 
4. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para que o erro padrão da 
média amostral X seja reduzido à metade, deve-se 
A) multiplicar o tamanho da amostra por 2. 
B) multiplicar o tamanho da amostra por 4. 
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37 
C) multiplicar o tamanho da amostra por 16. 
D) dividir o tamanho da amostra por 2. 
E) dividir o tamanho da amostra por 4. 
5. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Os itens 2,30; 4,11; 5,20; 6,30; 
7,20 formam uma ordenação de uma amostra aleatória de tamanho 5 da 
distribuição uniforme no intervalo [0,θ] sendo θ>0. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa de máxima verossimilhança de θ. 
A) 5,20 
B) 5,02 
C) 7,20 
D) 5,00 
E) 8,00 
6. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Tem-se duas amostras 
independentes ambas de tamanho 21 de duas populações normais com a 
mesma variância σ2 > 0. Deseja-se construir um intervalo de confiança para 
σ2, no nível de 95%, com base numa estimativa combinada das variâncias 
amostrais 4,021 =s e 6,0
2
2 =s . Se 0< a < b são duas constantes tais que P{X<a} 
= 0,025 e P{X>b} = 0,025, onde X tem distribuição qui-quadrado, assinale a 
resposta que corresponde ao intervalo procurado e ao número de graus de 
liberdade da distribuição de X. 
A) [17/b; 17/a] e 20 graus de liberdade 
B) [5/3b; 5/2a] e 40 graus de liberdade 
C) [17/b; 17/a] e 41 graus de liberdade 
D) [20/b; 20/a] e 40 graus de liberdade 
E) [5/3b; 5/2a] e 20 graus de liberdade 
7. (Analista Técnico/SUSEP/2002/ESAF) Seja X uma variável aleatória 
com valor esperado µ e desvio padrão σ>0. Pode-se afirmar que 
A) pelo menos 75% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
B) pelo menos 80% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
C) pelo menos 90% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
D) pelo menos 95% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
E) apenas com o conhecimento de µ e σ não é possível fazer afirmação sobre o 
percentual de realizações de X que cairão no intervalo [µ-2σ;µ+2σ].Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
38 
8. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Os preços de um determinado 
produto vendido no mercado têm uma distribuição normal com desvio padrão 
populacional de R$ 20,00. Por meio de pesquisa realizada com uma amostra 
aleatória de tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se, 
para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08 ; R$ 
68,92]. A mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da 
amostra anterior e utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos dois 
casos considerou-se infinito o tamanho da população. O novo intervalo de 
confiança encontrado no segundo caso foi 
A) [R$ 63,04 ; R$ 66,96] 
B) [R$ 62,06 ; R$ 67,94] 
C) [R$ 61,57 ; R$ 68,43] 
D) [R$ 61,33 ; R$ 68,67] 
E) [R$ 61,20 ; R$ 68,80] 
9. (Estat./IBGE/2010/CESGRANRIO) Sejam );(~,...,, 221 σNXXX
iid
n e 
considerados dois estimadores para σ2 
T1=
1
n −1
(Xi − X )
2
i=1
n
∑ e T 2=
1
n
(Xi − X )
2
i=1
n
∑ . 
Observe as afirmativas a seguir a respeito desses estimadores. 
I – T1 é não tendencioso. 
II – O erro médio quadrático de T1 é 4
1
2
σ
−n
, enquanto que o de T2 é 42
)1(2
σ
n
n −
. 
III – A tendência de 





−=
n
T
2
2
σ
. 
É (São) correta(s) a(s) afirmativa(s) 
A) I apenas. 
B) I e II, apenas. 
C) I e III, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
10. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Considere uma amostragem 
aleatória simples, sem reposição, de uma população de tamanho muito 
grande. Qual o tamanho aproximado de amostra que permite estimar a média 
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39 
de uma variável y, cujo desvio padrão populacional é igual a 5, com margem 
de erro 0,1, a um nível de confiança 95%? 
A) 100 
B) 400 
C) 1.000 
D) 4.000 
E) 10.000 
11. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para avaliar a taxa de 
desemprego em uma determinada localidade, selecionou-se uma amostra 
aleatória de 900 indivíduos em idade produtiva. O resultado dessa amostra 
revelou que o número de desempregados era de 36%. O intervalo de 95% de 
confiança para a proporção de desempregados, nessa localidade, é 
A) 36% ± 0,1% 
B) 36% ± 2,6% 
C) 36% ± 3,1% 
D) 36% ± 3,7% 
E) 36% ± 4,1% 
12. (Analista/Área 2/BACEN/2010/CESGRANRIO) Em um estudo sobre a 
economia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra para 
estimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de 
95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$ 
50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$ 
400,00. Sabendo-se que z ~ N[0,1] e que ∫ =
,961
0
4750,) 0( dzzf , onde f(z) é a 
função de densidade de probabilidade de z, pode-se concluir que o número de 
pessoas da amostra será 
A) 321 
B) 308 
C) 296 
D) 271 
E) 246 
(Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Instruções 
(adaptadas): Para responder às questões de números 13 e 14, considere as 
tabelas a seguir. 
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40 
Elas fornecem alguns valores da função de distribuição F(x). A tabela 1 refere-
se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de 
Student com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente: 
Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 
x F(x) x F(x) x F(x) 
1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95 
1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98 
2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99 
13. Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a 
proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de 
tamanho 400. Sabe-se, com base em experiâncias anteriores, que p deve 
estar próximo de 0,5. Usando o teorema central do limite para estimar a 
amplitude do intervalo de confiança de 90% para p, podemos afirmar que tal 
amplitude é, aproximadamente, igual a 
A) 0,041 
B) 0,045 
C) 0,058 
D) 0,070 
E) 0,082 
14. Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educação, dos 600 
municípios de uma região, tem distribuição normal com média µ, deseja-se 
estimar essa média. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente e 
com reposição, 16 municípios e se observou os porcentuais investidos por eles 
em educação. Os resultados indicaram uma média amostral de 8% e desvio 
padrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para µ, com coeficiente 
de confiança de 96%, é dado por 
A) (8 ± 1,124)% 
B) (8 ± 1,117)% 
C) (8 ± 0,877)% 
D) (8 ± 0,870)% 
E) (8 ± 0,755)% 
15. (Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma 
variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4, 
respectivamente. Seja µ a média de X. Então o limite superior de P[|X - µ| ≥ 
12 ], obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por 
A) 0,40 
B) 0,25 
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41 
C) 0,20 
D) 0,12 
E) 0,10 
(ANPEC/2009/Adaptada) Verifique se as afirmativas 16 a 20 são 
verdadeiras: 
16. Em uma pesquisa de opinião a proporção de pessoas favoráveis a uma 
determinada medida governamental é dada por ∑= nXp i /ˆ . O menor valor de 
n para o qual a desigualdade de Chebyshev resultará em uma garantia de que 
01,) 0,010|ˆ(| ≤≥− ppP é 200.000. 
17. Quando o número de graus de liberdade δ cresce, a distribuição 2δχ 
aproxima-se de uma distribuição normal com média δ e desvio padrão 2δ. 
18. Um intervalo de confiança de 99% para a média µ de uma população, 
calculado para uma amostra aleatória, como [2,75; 8,25], pode ser 
interpretado como: a probabilidade de µ estar no intervalo calculado é de 99%. 
19. Seja nXXX ,...,, 21 uma amostra aleatória simples proveniente de uma 
população com distribuição de Pareto cuja função densidade é dada por 
)1()1()( +−+= θθ xxf , ∞<< x0 , 1>θ . Então o estimador de máxima verossimilhança 
para θ é 
∑ + )1log( ix
n
. 
20. Se existe, todo estimador de máxima verossimilhança calculado para uma 
amostra aleatória possui distribuição Normal em grandes amostras. 
19.7 Gabarito 
1 – E 
2 – B 
3 - B 
4 - B 
5 – C 
6 - D 
7 - A 
8 - A 
9 – E 
10 – E 
11 – C 
12 - E 
13 - E 
14 – A 
15 – B 
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42 
16 – FALSA 
17 – FALSA 
18 – FALSA 
19 – VERDADEIRA 
20 - VERDADEIRA 
19.8 Resolução dos Exercícios de Fixação 
1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para examinar a opinião de uma população sobre 
uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas 
1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta. 
Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desse 
resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontos 
percentuais, para mais ou para menos. 
Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, 
para mais ou para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa 
que indique o número de pessoas que deveriam ser ouvidas. 
A) 840 
B) 2520 
C) 3360 
D) 5040 
E) 6720 
Resolução 
Dados: 513,0'=p , n = 1.680, 02,00 =e e 01,0'0 =e . 
Qual é o valor de n’ (novo número de pessoas que deveriam ser ouvidas) 
correspondente a 01,0'0 =e ? 
Sabemos que 
npp
ze
)'1('
2/0
−
= α . 
Conhecendo 2/αz (não foi fornecido) é possível calcular n’ por meio de 
)'1('
'
'
2
0
2/ pp
e
z
n −





= α . 
Cálculo de 2/αz : 
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43 
1680
513),0(1,5130
,020 2/
−
= αz ,6401⇒ .12/ =αz 
Cálculo de n’: 
,22) 6720,51301513(,0
,010
,64011
'
2
≈−





=n ⇒ alternativa (E) 
Nota: como a estimativa p’ = 0,513 indica que p está próxima de 50%, temos 
a alternativa de usar a fórmula aproximada 
.7256
010,2
,64011
'2
'
22
0
2/ ≈





×
=





=
e
z
n α ⇒ valor mais próximo é a alternativa (E). 
GABARITO: E 
2. (ICMS-RJ/2008/FGV) Considere uma Amostra Aleatória Simples de n 
unidades extraídas de uma população na qual a característica, X, estudada tem 
distribuição Normal com média µ e variância σ2, ambas desconhecidas, mas 
finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, ∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
, e 
variância da amostra ∑
=
−=
n
i
i XX
n
S
1
22 )(
1
. Então, é correto afirmar que: 
A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da 
variância da população, respectivamente. 
B) X é não tendencioso, mas 2S é tendencioso para a estimação da média e 
da variância da população, respectivamente. 
C) X é tendencioso, mas 2S é não tendencioso para a estimação da média e 
da variância da população, respectivamente 
D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variância 
da população, respectivamente. 
E) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da 
variância da população, mas apenas X é consistente. 
Resolução 
Antes de analisarmos as alternativas lembre que 
• X é um estimador justo (não tendencioso) e consistente da 
média populacional µ; 
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44 
• se definirmos o estimador da variância populacional σ2 por meio da 
fórmula ∑
=
−
n
i
i XX
n 1
2)(
1
, então esse estimador é tendencioso, porém 
consistente (vide resolução do exercício 7) e 
• se definirmos o estimador da variância populacional σ2 por meio da 
fórmula ∑
=
−
−
n
i
i XX
n 1
2)(
1
1
, então esse estimador é não tendencioso 
e consistente (vide resolução do exercício 7). 
Atenção: o estimador 2S do enunciado desta questão corresponde ao 
estimador viesado 2σˆ da exposição teórica. Eu usei na exposição teórica o 
símbolo 2S para denotar o estimador justo da variância populacional. Não se 
confunda! 
Análise das alternativas: 
(A) Somente X é não tendencioso ⇒ INCORRETA. 
(B) X é não tendencioso e 2S é tendencioso ⇒ CORRETA. 
(C) X é não tendencioso e 2S é tendencioso ⇒ INCORRETA. 
(D) Somente 2S é tendencioso ⇒ INCORRETA. 
(E) Somente X é não tendencioso. Além disso, 2S também é consistente ⇒ 
INCORRETA. 
GABARITO: B 
3. (ICMS-RJ/2007/FGV) Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o 
percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turístico 
para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, 
selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população 
infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto 
turístico. 
Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou 
para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, 
aproximadamente: 
A) 50 pessoas 
B) 2.400 pessoas 
C) 1.200 pessoas 
D) 100 pessoas 
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45 
E) 4.800 pessoas 
Resolução 
Como a estimativa p’ = 50%, podemos usar a fórmula aproximada 
.400401 22.
,0202
,961
2
22
0
2/ ≈=





×
=





=
e
z
n α . 
GABARITO: B 
4. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para que o erro padrão da 
média amostral X seja reduzido à metade, deve-se 
A) multiplicar o tamanho da amostra por 2. 
B) multiplicar o tamanho da amostra por 4. 
C) multiplicar o tamanho da amostra por 16. 
D) dividir o tamanho da amostra por 2. 
E) dividir o tamanho da amostra por 4. 
Resolução 
O erro padrão da média X de uma amostra de n observações proveniente de 
uma população de média µ e variância σ2 é dado por 
n
X
σ
σ =)( . 
Seja o novo erro padrão de X denotado por )(X∗σ . Então 
∗
∗ ====
nnn
X
X
σσσσ
σ
422
)(
)( ⇒ nn 4=∗ (deve-se multiplicar o tamanho da 
amostra por 4). 
GABARITO: B 
5. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Os itens 2,30; 4,11; 5,20; 6,30; 
7,20 formam uma ordenação de uma amostra aleatória de tamanho 5 da 
distribuição uniforme no intervalo [0,θ] sendo θ>0. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa de máxima verossimilhança de θ. 
A) 5,20 
B) 5,02 
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46 
C) 7,20 
D) 5,00 
E) 8,00 
Resolução 
O enunciado fornece uma amostra aleatória com cinco elementos extraídos de 
uma distribuição uniforme: 
20}7,30;6,20;5,11;4,30;2,{ 54321 ===== xxxxx . 
O valor máximo da amostra é 20,75max == xx . Logo, pelo que aprendemos na 
exposição teórica, a EMV de θ é 20,7ˆ max == xθ (alternativa C). 
Detalhamento da resolução: 
Sabemos que maxx≥θ . A função densidade de probabilidade da distribuição 
uniforme é θ/1)( =xf para θ≤≤ x0 e 0)( =xf caso contrário. 
A função de verossimilhança de uma amostra aleatória com n observações é 
n
n
i
L
θθ
θ
11
)(
1
==∏
=
, 
Cujo domínio é maxx≥θ , ou seja, o menor valor possível do parâmetro θ é 
maxx=θ . A Fig. abaixo indica que o maior valor (máximo absoluto) de )(θL 
ocorre em maxx=θ . Portanto, a EMV é 20,7ˆ max == xθ . 
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47 
Esta questão mostra que nem sempre é possível usar diretamente métodos de 
cálculo para determinar o máximo de )(θL . 
GABARITO: C 
6. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Tem-se duas amostras 
independentes ambas de tamanho 21 de duas populações normais com a 
mesma variância σ2 > 0. Deseja-se construir um intervalo de confiança para 
σ2, no nível de 95%, com base numa estimativa combinada das variâncias 
amostrais 4,021 =s e 6,0
2
2 =s . Se 0< a < b são duas constantes tais que P{X<a} 
= 0,025 e P{X>b} = 0,025, onde X tem distribuição qui-quadrado, assinale a 
resposta que corresponde ao intervalo procurado e ao número de graus de 
liberdade da distribuição de X. 
A) [17/b; 17/a] e 20 graus de liberdade 
B) [5/3b; 5/2a] e 40 graus de liberdade 
C) [17/b; 17/a] e 41 graus de liberdade 
D) [20/b; 20/a] e 40 graus de liberdade 
E) [5/3b; 5/2a] e 20 graus de liberdade 
Resolução 
Esta questão pede que o candidato determine: i) o intervalo de confiança ao 
nível de 95% da variável aleatória X que possui distribuição qui-quadrado e ii) 
o número de graus de liberdade de X. 
Do enunciado, depreende-se que X é resultante da combinação das estatísticas 
2
1S e 
2
2S . 
A estimativa combinada das variâncias amostrais 4,021 =s e 6,0
2
2 =s é dada por 
,50
40
,6020,4020
2
)1()1(
21
2
22
2
112 =
×+×
=