1 webquest de matematica

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1- Um gestor de uma empresa vai vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que qualquer mochila custa R$20,00, calcule o preço pago por um livro e um conjunto de revistas.
	Produto
	Preço(R$)
	Mochila
	Livro
	Conj. de revistas
	Camisetas
	Jeans
	
	Tipo 1
	2
	2
	4
	2
	250,00
	Tipo 2
	2
	2
	3
	1
	180,00
	Tipo 3
	3
	3
	5
	3
	345,00
	Tipo4
	2
	2
	2
	1
	160,00
Repare que foram retirados R$20,00 dos resultados.
Subtraindo a 4ª equação da 2ª, temos: z =
20
Subtraindo a 2ª equação da 1ª, temos: z - t = 70. Logo t = 70 – 20 = 50
Substituindo na 1ª equação, temos:
2x + 2y = 230 – 4(20) – 2(50) = 230 – 80 – 100 = 50 (
dividindo
 por 2)
x + y = 25. Logo o custo será de R$25,00 Solução. Considerando “x”, “y”, “z” e “t” como as variáveis nas posições da tabela, temos o sistema:
2- Numa lanchonete de uma prefeitura o gasto de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta custam R$31,50. Já consumindo 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta, o custo é R$42,00. Qual será o custo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta?
Solução. Considerando “x” como sanduíche, “y” como xícara de café e “z” como pedaço de torta temos o sistema: . Repare que temos mais variáveis que equações. O sistema se possuir solução será indeterminado, isto é: mais de uma solução. Por isso encontraremos uma solução em função das variáveis x, y e z. Uma possibilidade é eliminar ”z” através da subtração da 2ª equação pela 1ª:
. Substituindo “x” nas equações, temos:
Já foi observado que o resultado será uma expressão. A primeira relação encontrada foi: x + 3y = 10,50.
Escrevendo-a como x + y + 2y = 10,50 podemos substituir o valor de “2y = z” e encontramos a final:
x + y + z = 10,50 que representa o valor procurado de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta.
3- O administrador de uma pequena fábrica de móveis está pensando em otimizar a utilização dos recursos de seu estoque. Essa fábrica produz poltronas em dois modelos, "Albany" e "Bridget", forradas em brim e lona.
Ele sabe que para forrar uma poltrona "Albany" são precisos 2 m2 de brim e 6 m2 de lona. Já para forrar uma poltrona "Bridget" são precisos 4 m2 de brim e 4 m2 de lona. No estoque, a fábrica dispõe de 160 m2 de brim e 240 m2 de lona. 
Qualquer dos modelos de poltrona é vendido por R$ 160,00. 
Com essas informações, de que modo o administrador pode sugerir à produção da fábrica para obter a máxima renda? Em outras palavras, qual é o número de poltronas de cada modelo que devem ser forradas para otimizar a renda? 
Essa é uma situação que pode ser compreendida pela programação linear, uma ferramenta que modela e resolve problemas de otimização em planejamento. Através da programação linear, conseguem-se descobrir os parâmetros que levam ao máximo ou mínimo valor de uma grandeza em uma análise de atividades, ou numa situação de mistura ou combinações, problemas de transporte, alimentação de máquinas, etc. 
Estamos procurando um número X de cadeiras "Albany" e Y de cadeiras "Bridget" que satisfaçam, simultaneamente, as seguintes restrições: 
(1)
(2)
X 0
Y 0
não se admitem número negativos de cadeiras
(na verdade, têm sentido prático apenas os números naturais).
(3)
(4)
2x + 4y 160
6x + 4y 240
a metragem de cada tecido a ser usado na forração não deve ultrapassar o existente no estoque
Renda = 160x + 160y A função da Renda dá o total obtido na venda de todas as poltronas
Essas sentenças descrevem, matematicamente, de quais fatores depende a melhor resposta para o nosso problema e o que desejamos a respeito do número de cadeiras a serem confeccionadas. 
Na verdade, a renda máxima depende de vários outros fatores; mas sem pensar em custos subjacentes à atividade de produção, tais como o consumo de energia, impostos, despesas com pessoal etc, reduzimos as variáveis a duas que consideramos mais relevantes: essa é a modelagem do problema. 
Através da modelagem, conseguimos a solução ótima da questão, que nem sempre é uma solução aplicável na realidade: a melhor solução para o modelo pode não corresponder à melhor solução do caso real, e os motivos são vários: ou a resposta obtida não é possível, ou não é aplicável à situação. 
Tomemos a função Renda: note que ela é uma função de duas variáveis, x e y. R = 160x + 160y. 
Se escrevermos a função y = f(x) tendo R como um parâmetro, então a expressão y = -x + R/160 descreve uma família de retas paralelas de inclinação m = -1. 
Lembremos que queremos o maior R possível, e que as desigualdades (1) a (4) devem ser satisfeitas. É aqui que entra a Geometria Analítica. 
(1) X 0 descreve o semiplano de abcissas não negativas
(2) Y 0 descreve o semiplano de ordenadas não negativas
(3) 2x + 4y 160 descreve o semiplano de ordenadas y -x/2 + 40
(4) 6x + 4y 240 descreve o semiplano de ordenadas y - 3x/2 + 60
Essas restrições do modelo determinam uma região poligonal à qual damos o nome de conjunto das soluções viáveis . No nosso caso, esse conjunto de pontos é a região escura V1V2V3V4, que satisfaz as condições (1) a (4). A melhor das soluções viáveis, isto é, aquela que melhor maximiza ou minimiza a função objetivo denomina-se solução ótima.
4- Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos comprados pelo comerciante.
Solução. Considerando as quantidades “x”, “y” e “z” respectivamente de patos, galinhas e marrecos montamos o sistema: . Na forma em que está apresentado, o sistema é indeterminado. Precisamos considerar:
i) O valor de “x” é inteiro. Logo, 190 - 10z deve ser múltiplo de 7 e 10. Isto é de 70. Os múltiplos de 70 possíveis são 70 para z = 12 ou 140 com z = 5.
ii) Os valores de “x”, “y” e “z” apresentam as possibilidades:
	Patos (x)
	Galinhas (y)
	Marrecos (z)
	
	
	5
	
	
	12
iii) O número de patos é maior que o número de marrecos (x > z). Logo a única possibilidade é z = 5. 
Conferindo: 
Foram comprados 20 patos pelo comerciante.
5- Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
a)Se x: de amendoim
y: de castanha de caju
z: de castanha-do-pará
x + y + z = 0,5 
x – 3y + z = 0 
5x + 20y + 16z = 5,75
b)250 gramas de amendoim, 125 gramas de castanha de caju e 125 gramas de castanha- do- Pará.
6- Em uma festa de uma comemoração de um projeto em uma secretaria pública com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a.
Vamos identificar por x o número de mulheres no início. Como o total de pessoas é n, então o número de homens pode ser identificado por n−x.
	 
	Inicialmente
	Instante I
	Instante II
	Mulheres
	x
	x−31
	x−31
	Homens
	n−x
	n−x
	(n−x)−55
	Total
	n
	n−31
	n−31−55=n−86
 
Foi definido que após a saída das 31 mulheres (Instante I) a razão era de 2 homens para cada mulher. Isso significa que:
Número de homens Número de mulheres=21
Ou seja
n−xx−31=21n−x=2⋅(x−31)
n−x=2x−62
n−x−2x=−62
−3x+n=−62
(equação [1])
 
Também foi estipulado que após a saída dos 55 homens (Instante II) a razão era de 3 mulheres para cada homem. Isso significa que:
Número de mulheres Número de homens=31
Ou seja
x−31(n−x)−55=31
x−31=3⋅((n−x)−55)
x−31=3n−3x−165
x+3x−3n=−165+31
4x−3n=−134
(equação [2])
As equações [1] e [2] devem ser satisfeitas simultaneamente, logo:
{−3x+n=−624x−3n=−134
Como apenas foi pedido o valor de n, podemos manipular as equações do sistema linear anterior de modo a eliminar x e obter outra equação em que a incógnita n seja a única variável. Isso pode ser feito multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 3 e somando ambas posteriormente. Veja:
{−3x+n=−62 (x4)4x−3n=−134 (x3)
{−12x+4n=−24812x−9n=−402
+{−12x+4n=24812x−9n=−4020x−5n=−650
Logo, −5n=−650⇔5n=650⇔n=6505=130.
7- Um teste em um concurso público é composto por 50 questões, sendo que por cada questão certa você ganha 3 pontos e por cada questão errada você perde 2 pontos. Se ao terminar essa prova você fez 75 pontos, quantas questões certas e erradas você fez?
Solução:
Seja X o nº de questões certas e Y o nº de questões erradas, então como a prova possui 50 questões,
X + Y = 50 ( I )
Como cada questão correta vale três pontos e cada questão errada vale - 2 pontos, então temos a segunda equação, 3X - 2Y = 75 ( II )
Se X + Y = 50 , então Y = 50 - X, substituindo na equação ( II ),
3X - 2.(50 - x) = 75
3X - 100 + 2X = 75
5X = 75 + 100
5X = 175
X = 175 / 5
X = 35, logo voltando à equação ( I ), encontramos Y = 15.
Portanto você acertou 35 questões e errou 15.
8- Um teste em um concurso público é composto por 50 questões, sendo que por cada questão certa você ganha 3 pontos e por cada questão errada você perde 2 pontos. Se ao terminar essa prova você fez 75 pontos, quantas questões certas e erradas você fez?
Solução:
Seja X o nº de questões certas e Y o nº de questões erradas, então como a prova possui 50 questões,
X + Y = 50 ( I )
Como cada questão correta vale três pontos e cada questão errada vale - 2 pontos, então temos a segunda equação, 3X - 2Y = 75 ( II )
Se X + Y = 50 , então Y = 50 - X, substituindo na equação ( II ),
3X - 2.(50 - x) = 75
3X - 100 + 2X = 75
5X = 75 + 100
5X = 175
X = 175 / 5
X = 35, logo voltando à equação ( I ), encontramos Y = 15.
Portanto você acertou 35 questões e errou 15.
9- Uma empresa para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o som juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos?
Solução. Formando o sistema relacionando “x” à TV, “y” à DVD e “z” ao Som utilizamos as informações dos preços e escalonamos:
L
2
 – L
3
 L
1
 – L
3 
Calcula-se “z” e substitui-se nas demais: . 
Na compra dos três produtos o cliente pagará R$1900,00.
10- Em três lojas A, B, C, de uma rede, são vendidos mensalmente, calçados do tipo C1, C2 e C3 conforme tabela:
Tabela Matriz
Se os calçados do tipo C1, C2 e C3 são vendidos respectivamente no valor de 50, 40 e 60 reais cada, então os preços das mercadorias podem ser representadas pela matriz P =
O valor recebido pelas vendas dos calçados na loja A é obtido pela multiplicação de cada elemento da 1ª linha da matriz V pelos correspondentes elementos da matriz P. Assim,
Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C.
Portanto, o valor recebido pelas vendas dos três tipos de calçados nas lojas A, B e C é representado pela matriz V.P =
3830 3560 . Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na venda mensal dos calçados do tipo C1, C2 e C3 é de R$ 10.410,0 que equivale a R$ 3.560,0 da Loja A, R$ 3.830,0 da Loja B e R$ 3.020,0 da Loja C.
Fontes:
http://www.profcardy.com/
http://matematicasemduvida.blogspot.com.br/