1 Transf laplace

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Transformada de Laplace
Controle 1
Prof. Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introduc¸a˜o
O estudo de um objeto ou sistema f´ısico pode ser feito atrave´s das relac¸o˜es f´ısicas que
descrevem o comportamento deste sistema.
As relac¸o˜es que descrevem um sistema dinaˆmico resultam em equac¸o˜es diferenciais.
Para se entender como um sistema funciona, na maioria dos casos deve-se resolver as
equac¸o˜es diferenciais que o descrevem, o que normalmente na˜o e´ uma tarefa simples.
Para contornar este problema e´ poss´ıvel utilizar uma transformac¸a˜o em que func¸o˜es
diferenciais e integrais sa˜o transformadas em simples equac¸o˜es alge´bricas. Esta trans-
formac¸a˜o chama-se Transformada de Laplace.
0.2 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace transforma func¸o˜es no tempo, cuja varia´vel e´ representada
por (t), em func¸o˜es de frequeˆncia complexa, cuja varia´vel e´ representada por (s), chamada
de varia´vel complexa.
t→ s onde s = σ + jω
A definic¸a˜o da transformada de Laplace e´:
£[f(t)] = F (s) =
∫∞
0 e
−stf(t)dt
Exemplos: Calcular a transformada de Laplace para as func¸o˜es:
a) f(t) = e−at
1
F (s) =
∫∞
0 e
−stf(t)dt =
∫∞
0 e
−ste−atdt
F (s) =
∫∞
0 e
−(a+s)tdt = −1
(a+s)
e−(a+s)t|∞0
F (s) = −1
(a+s)
[e−∞ − e0] = 1
(a+s)
F (s) = 1
(a+s)
b) Func¸a˜o degrau unita´rio [ u(t) = 1 ]
F (s) =
∫∞
0 e
−stu(t)dt =
∫∞
0 e
−st1dt
F (s) = −1
s
e−st|∞0
F (s) = −1
s
[e−∞ − e0]
F (s) = 1
s
0.3 Teoremas da transformada de Laplace
1) Linearidade
Se £[f1(t)] = F1(s) e £[f2(t)] = F2(s)
Enta˜o £[af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
2) Derivada
£[df
dt
] = sF (s)− f(0+), sendo que f(0+) representa as condic¸o˜es iniciais da func¸a˜o
3) Derivada ene´sima
£[
dnf
dtn
] = snF (s)−
n−1∑
k=0
sn−k−1
dkf(t)
dtk
|t=0
£[d
nf
dtn
] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2 df(t)
dt
|t=0 − sn−3 d2f(t)dt2 |t=0 + ...
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o, supondo condic¸o˜es iniciais nulas
d3y(t)
dt3
+ 3d
2y(t)
dt2
+ 5d
y(t)
dt
+ 6y(t) = u(t)
£[d
3y(t)
dt3
] = s3Y (s)− s2y(0)− sdy(t)
dt
|t=0 − d2y(t)dt2 |t=0
£[d
3y(t)
dt3
] = s3Y (s)− s2y(0)− sy˙(0)− y¨(0)
Devido a` suposic¸a˜o de condic¸o˜es iniciais nulas: £[d
3y(t)
dt3
] = s3Y (s)
£[d
2y(t)
dt2
] = s2Y (s)− sy(0)− y˙(0
2
Resultando em: £[d
2y(t)
dt2
] = s2Y (s)
£[dy(t)
dt
] = sY (s)− y(0)
Resultando em: £[dy(t)
dt
] = sY (s)
A transformada da equac¸a˜o diferencial resulta em:
s3Y (s) + 3s2Y (s) + 5sY (s) + 6Y (s) = U(s)
Que pode ser escrita, colocando Y(s) em evideˆncia, como:
Y (s)[s3 + 3s2 + 5s+ 6] = U(s)
Y (s) = U(s)
s3+3s2+5s+6
Sendo que Y (s) e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, mas no plano complexo s.
Func¸a˜o de Transfereˆncia – chama-se func¸a˜o de transfereˆncia G(s) a relac¸a˜o da sa´ıda
pela entrada, para condic¸o˜es iniciais nulas. G(s) = Y (s)
U(s)
, sendo Y(s) a transformada de
Laplace da varia´vel de sa´ıda e U(s) a transformada de Laplace da varia´vel de entrada.
No exemplo anterior a func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
G(s) = Y (s)
U(s)
= 1
s3+3s2+5s+6
4) Transformada da Integral
£[
∫ t
0 f(τ)dτ ] =
F (s)
s
5)Teorema do valor inicial
O valor inicial da func¸a˜o f(t), isto e´, f(0), cuja transformada de Laplace e´ F (s), e´
dado por:
f(0) = lim
t→0 f(t) = lims→∞ sF (s)
6) Teorema do valor final
O valor final da func¸a˜o f(t), isto e´, f(∞), cuja transformada de Laplace e´ F(s) e´ dado
por:
f(∞) = lim
t→∞ f(t) = lims→0 sF (s)
7) Teorema da convoluc¸a˜o
A convoluc¸a˜o de duas func¸o˜es e´ dada por:
3
f1(t) ∗ f2(t) =
∫ t
0
f1(τ)f2(t− τ)dτ
A transformada de Laplace da convoluc¸a˜o e´ dada por:
£[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
Obs: para um sistema caracterizado por sua func¸a˜o peso g(t), a resposta temporal
deste sistema y(t) devido uma excitac¸a˜o u(t), e´ dada por:
y(t) = g(t) ∗ u(t) =
∫ t
0
u(τ)g(t− τ)dτ
Isto significa que trabalhando no domı´nio do tempo, so´ e´ poss´ıvel obter a resposta
de um sistema dinaˆmico calculando a integral de convoluc¸a˜o entre o sinal de entrada e a
func¸a˜o peso do sistema.
Func¸a˜o peso - a func¸a˜o que representa as propriedades f´ısicas do sistema.
Se for aplicada a transformada de Laplace, obte´m-se Y (s) = G(s)U(s) mostrando que
no plano s a resposta do sistema e´ o produto entre as transformadas do sinal de entrada e
da func¸a˜o que caracteriza o sistema, chamada func¸a˜o de transfereˆncia do sistema. Esta e´
uma grande vantagem em se trabalhar no plano s, pois analisar a resposta de um sistema
no plano s envolve apenas operac¸o˜es alge´bricas.
Exemplo: Dado o filtro passa-baixo mostrado na figura 1:
R
d d
d d
C vovi
Figura 1: Filtro passa-baixa
a) calcule a resposta para um excitac¸a˜o degrau unita´rio.
Pelas leis de Kirchhoff obte´m-se:
vi = Ri+
1
c
∫
idt
A tensa˜o de sa´ıda e´ a tensa˜o sobre o capacitor:
vo = vc =
1
c
∫
idt
Aplicando a transformada de Laplace nestas duas equac¸o˜es, obte´m-se:
VI(s) = RI(s) +
1
c
I(s)
s
vo =
1
c
I(s)
s
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por: G(s) = Vo(s)
VI(s)
Substituindo Vo e VI na equac¸a˜o de G(s), obte´m-se:
4
G(s) = 1
CRs+1
=
1
RC
s+ 1
RC
Para uma entrada degrau unita´rio u(t), a transformada de Laplace e´: U(s) = 1
s
.
Da func¸a˜o de transfereˆncia, obte´m-se a equac¸a˜o de sa´ıda no plano s:
Vo(s)
VI(s)
= 1
CRs+1
Vo(s) =
1
CRs+1
VI(s)
Vo(s) =
1
CRs+1
1
s
Que e´ a resposta na sa´ıda do filtro, no plano s.
b) Calcule o valor de vo(t) para o sistema em regime
vo(t)t→∞ = lim
s→0 sVo(s) = lims→0 s
1
s
1
(sCR + 1)
vo(∞) = 1
0.4 Transformada Inversa de Laplace (anti-
transformada)
E´ a obtenc¸a˜o da func¸a˜o no tempo, a partir da func¸a˜o no plano s.
f(t) = £−1[F (s)]
A forma mais simples de encontrar a transformada inversa e´ partindo de F (s) procu-
rar em tabelas a func¸a˜o f(t) correspondente. Se a func¸a˜o desejada na˜o estiver tabelada,
a te´cnica consiste em reescrever F (s) como uma soma de func¸o˜es mais simples, resul-
tando em uma soma de frac¸o˜es. Estas frac¸o˜es mais simples sa˜o tabeladas e a partir delas
encontra-se f(t).
0.4.1 Expansa˜o em frac¸o˜es parciais
a) Po´los reais simples
Se a func¸a˜o F (s) for composta apenas por po´los reais simples, ela pode ser escrita
como um somato´rio de frac¸o˜es parciais:
F (s) = P (s)
Q(s)
= A1
s+a1
+ A2
s+a2
+ A3
s+a3
+ ...
sendo que a1, a2, a3, ..., correspondem aos po´los da func¸a˜o F (s). Para encontrar os
coeficientes A1, A2, A3, ..., utiliza-se a seguinte regra:
O valor de Ak e´ dado por:
5
Ak = [(s+ ak)
P (s)
Q(s)
]s=−ak = [
P (s)
Q′(s) ]s=−ak
OBS: Q′(ak) =
dQ(s)
ds
|s=−ak = [ Q(s)s+ak ]s=−ak
Exemplo: Dado F (s), encontre f(t)
F (s) = 1
s(s+1)(s+2)
Escrevendo na forma de frac¸o˜es parciais:
F (s) = A1
s
+ A2
s+1
+ A3
s+2
A1 = sF (s)|s=0 = s 1s(s+1)(s+2) |s=0 = 1(s+1)(s+2) |s=0 = 12
A2 = (s+ 1)F (s)|s=−1 = (s+ 1) 1s(s+1)(s+2) |s=−1 = 1s(s+2) |s=−1 = −1
A3 = (s+ 2)F (s)|s=−2 = (s+ 2) 1s(s+1)(s+2) |s=−2 = 1s(s+1) |s=−2 = 12
F (s) = 1
2s
− 1
s+1
+ 1
2(s+2)
A transformada inversa de Laplace resulta em:
f(t) = 1
2
− e−t + 1
2
e−2t
b) Po´los reais mu´ltiplos
Dado F (s) = P (s)
Q(s)
.
Quando aparecerem po´los reais e repetidos, utiliza-se a seguinte fo´rmula para calcular
o valor dos coeficientes Ak:
Aq(r−k) = { 1k! d
k
dsk
[(s− sq)r P (s)Q(s) ]}s=sq
r – ordem do po´lo mu´ltiplo
q – nu´mero do po´lo
k – variando de 0 ate´ (r − 1)
Exemplo:
F (s) = 1
(s+2)3(s+3)
= A13
(s+2)3
+ A12
(s+2)2
+ A11
s+2
+ A2
s+3
Como a ordem do po´lo e´ 3, k = 0, k = 1 e k = 2
A13 = (s+ 2)
3F (s)|s=−2 = (s+ 2)3 1(s+2)3(s+3)|s=−2 = 1s+3 |s=−2 = 1
A12 =
d
ds
[(s+ 2)3 1
(s+2)3(s+3)
]s=−2
= d
ds
[(s+ 3)−1]s=−2 = −1(s+ 3)−2|s=−2 = −1(s+3)2 |s=−2 = −1
A11 =
1
2
d2
ds2
[(s+ 2)3 1
(s+2)3(s+3)
]s=−2 = 12
d2
ds2
[(s+ 3)−1]s=−2 = 12
2
(s+3)3
|s=−2 = 1
O u´ltimo po´lo recai no primeiro caso, po´los simples:
A2 = (s+ 3)F (s)|s=−3 = 1(s+2)3 |s=−3 = −1
F (s) pode ser escrita como:
6
F (s) = 1
(s+2)3
− 1
(s+2)2
+ 1
(s+2)
− 1
(s+3)
Calculando a anti-transformada de laplace, obtem-se func¸a˜o no tempo:
f(t) = t
2
2
e−2t − te−2t + e−2t − e−3t
c) Po´los complexos
Os po´los complexos resultam das ra´ızes de uma equac¸a˜o de segundo grau, em que
acontece a raiz quadrada de um nu´mero negativo. Assim eles aparecem em pares comple-
xos conjugados. Por exemplo, dada a equac¸a˜o: s2 + 6s+ 13. As ra´ızes sa˜o: s1 = −3 + j2
e s2 = −3− j2. Na figura 2 estes po´los sa˜o plotados no plano complexo s.
- σ
6
jω
x- - -
x- - -
Figura 2: Po´los complexos
A equac¸a˜o de segundo grau, que resulta nestes po´los complexos pode ser escrita de
forma padronizada como: s2 + 2ξωns+ ω
2
n
A func¸a˜o de transfereˆncia na forma padronizada e´ escrita como:
F (s) = ω
2
n
s2+2ξωns+ω2n
As ra´ızes do denominador sa˜o: s1,2 = −ξωn ± jωn
√
1− ξ2
Assim, separando em frac¸o˜es parciais obte´m-se:
A transformada inversa e´ dada por:
f(t) = A1e
−ξωn+jωn
√
1−ξ2 + A2e−ξωn−jωn
√
1−ξ2
Sendo que A1 e A2 sa˜o complexos conjugados.
Exemplo: calcule a anti-transformada de Laplace
F (s) = 1
s2+2ξωns+ω2n
Como os po´los sa˜o distintos, recai-se no primeiro caso.
F (s) = A1
s+ξωn−jωn
√
1−ξ2 +
A2
s+ξωn+jωn
√
1−ξ2
7
A1 =
s+ξωn−jωn
√
1−ξ2
s2+2ξωns+ω2n
|
s=−ξωn+jωn
√
1−ξ2 =
1
s+ξωn+jωn
√
1−ξ2 |s=−ξωn+jωn√1−ξ2
A1 =
1
2jωn
√
1−ξ2
A2 =
s+ξωn+jωn
√
1−ξ2
s2+2ξωns+ω2n
|
s=−ξωn−jωn
√
1−ξ2 =
1
s+ξωn−jωn
√
1−ξ2 |s=−ξωn−jωn√1−ξ2
A2 =
1
−2jωn
√
1−ξ2
F (s) = 1
2jωn
√
1−ξ2
1
s+ξωn−jωn
√
1−ξ2 −
1
2jωn
√
1−ξ2
1
s+ξωn+jωn
√
1−ξ2
f(t) = 1
2jωn
√
1−ξ2 e
(−ξωn+jωn
√
1−ξ2)t − 1
2jωn
√
1−ξ2 e
(−ξωn−jωn
√
1−ξ2)t
f(t) = e
−ξωnt
ωn
√
1−ξ2 [
ejωnt
√
1−ξ2−e−jωnt
√
1−ξ2
2j
]
f(t) = e
−ξωnt
ωn
√
1−ξ2 sin(tωn
√
1− ξ2)
Exerc´ıcio: sendo dados ξ = 0, 2 e ωn = 5rad/s obtenha graficamente a resposta f(t).
a) Fac¸a graficamente; b) Fac¸a usando o programa Matlab.
0.5 Plano complexo – mapa po´los-zeros
Dada uma func¸a˜o de transfereˆncia:
F (s) = N(s)
D(s)
= (s+a1)(s+a2)
(s+b1)(s+b2)
Os valores de s que anulam a func¸a˜o de transfereˆncia sa˜o chamados de zeros de F (s),
que sa˜o os valores s = −a1 e s = −a2.
Os valores de s que fazem a func¸a˜o de transfereˆncia tender ao infinito sa˜o denominados
de po´los de F (s), que sa˜o os valores s = −b1 e s = −b2.
Exemplo: para F (s) = (s+2)(s+3)
(s+7)(s+10)
, os zeros sa˜o s = −2 e s = −3 e os po´los sa˜o s = −7
e s = −10.
No plano complexo s = σ + jω, o po´lo e´ representado como um x e o zero como um
c´ırculo (◦), como mostrado na figura 3.
-σ
6
jω
d−2d−3x−7x−10
Figura 3: Plano s
8
0.6 Interpretac¸a˜o gra´fica dos coeficientes da ex-
pansa˜o em frac¸o˜es parciais
Ja´ foi visto que para se obter os coeficientes de uma expansa˜o em frac¸o˜es parciais de
uma func¸a˜o, como por exemplo, F (s) = (s+3)(s+2)
(s+4)(s+7)
= A1
s+4
+ A2
s+7
, calcula-se:
A1 = (s+ 4)F (s)|s=−4 = (s+3)(s+2)s+7 |s=−4
A1 =
(−4+3)(−4+2)
−4+7 =
(−1)(−2)
3
= 2
3
Isto equivale graficamente a desenhar vetores de todos os po´los e zeros para o po´los
s = −4.
-σ
6
jω
d−2d−3x−4x−7
ff −2
ff−1-3
Figura 4: Interpretac¸a˜o gra´fica para ca´lculo de A1
Para A2 obte´m-se:
A2 = (s+ 7)F (s)|s=−7 = (s+3)(s+2)s+4 |s=−7
A2 =
(−7+3)(−7+2)
−7+4 =
(−4)(−5)
−3 =
−20
3
-σ
6
jω
d−2d−3x−4x−7
ff −5
ff
−4
ff −3
Figura 5: Interpretac¸a˜o gra´fica para ca´lculo de A2
Exerc´ıcio: Para a func¸a˜o F (s) = s+3
(s+4+j5)(s+4−j5) , separe em frac¸o˜es parciais e fac¸a a
interpretac¸a˜o gra´fica dos coeficientes.
9
	Introdução
	Transformada de Laplace
	Teoremas da transformada de Laplace
	Transformada Inversa de Laplace (anti-transformada)
	Expansão em frações parciais
	Plano complexo – mapa pólos-zeros
	Interpretação gráfica dos coeficientes da expansão em frações parciais