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Março/2014
Sumário:
Sumário................................................................................................................3
Introdução......... ..................................................................................................4
Conceitos Fundamentais.............................................................................5, 6 e 7
Etapa 01 - ..................................................................................................8, 9 e 10
Etapa 02 -..........................................................................................11, 12, 13 e14
Etapa 03 -...............................................................................................14, 15 e 16
Etapa 04 -...................................................................................16, 17, 18, 19 e 20
Conclusão...........................................................................................................21
Referencia bibliografica......................................................................................22
Introdução
Ao iniciar os estudos da disciplina Matemática Financeira, algumas perguntas inevitavelmente passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? Qual a sua utilidade prática? Ela fará alguma diferença em minha vida? Bem, o campo de aplicação dessa disciplina é bastante amplo, pois suas técnicas são necessárias em operações de financiamento de quaisquer naturezas: crédito a pessoas físicas e empresas, financiamentos habitacionais, crédito direto ao consumidor e outras. Também são necessárias em operações de investimentos mobiliários nos mercados de capitais. Em ambas as situações, é o uso dessas técnicas que permite conhecer o custo e o retorno dessas operações, permitindo tomadas de decisão mais racionais; são elas também que permitem determinar o valor das prestações devidas pelas transações efetuadas em parcelas. No mundo dos negócios, seu conhecimento é absolutamente imprescindível, uma vez que os custos dos financiamentos dados e recebidos são peças centrais do sucesso empresarial. 
Conceitos Fundamentais 
A Matemática Financeira é um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. Para iniciar o seu estudo, é necessário que se estabeleça uma linguagem própria para designar os diversos elementos que serão estudados e que esses elementos sejam contextualizados com precisão. Os elementos básicos do estudo da disciplina serão inicialmente vistos através de uma situação prática para, na sequencia, defini-los. 
Capitalização Simples 
No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. 
Juros Simples 
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. 
Capitalização Composta 
No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização.
Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. 
Juros Compostos 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
É importante ressaltar que a diferença entre os dois regimes de juros decorre do tratamento dado aos juros intermediários. No regime de capitalização simples, os juros intermediários são apenas créditos devidos ao interessado, que não interferem na base de cálculo dos juros de períodos futuros. No regime de capitalização composta os juros intermediários são agregados ao principal para o cálculo dos juros de períodos futuros, determinando mudanças na base de cálculo. 
HP 12C
A HP 12C é uma poderosa ferramenta programável utilizada na realização de cálculos financeiros, a disposição de todos os interessados em agregar valores aos seus conhecimentos visando enfrentar a competitividade interna ou externa a que estão sujeitos no dia-a-dia. A Matemática Financeira tem suas aplicações dentro das empresas, em diversas áreas e devido à velocidade com que a informação está atingindo a todas as pessoas, torna-se uma ferramenta indispensável a todos aqueles que convivem nas empresas, bem como a todos que necessitam entender o cotidiano nos setores comerciais. HP 12C mostra de uma maneira clara e simples, 
como tirar o melhor proveito dessa poderosa ferramenta, como entender os conceitos básicos da matemática financeira na resolução de problemas do cotidiano que o requeiram. 
Ler e calcular os desafios propostos: 
Etapa 1
Caso A 
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Vislumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta a mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pagos no ato da contratação do serviço e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses do valorcedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês. Segundo as informações apresentadas, tem-se: 
I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$19.968,17. 
Cálculo HP12C
R$3.075,00 enter (12 parcelas de R$256,25 do vestido)
R$2.646,50 + (25% Entrada Buffet)
R$10.000,00 + (Emprestado dos amigos)
R$6.893,17 + (Empréstimo + Juros Bancários)
Total = R$22.614,67
Resposta: O valor pago por Marcelo e Ana para realização do casamento foi de R$22.614,67, a afirmação esta errada.
II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês. 
Fv=10.000
n=10
Pv=9.939,50
I=2,3342
HP 12C
10.000,00 CHS e em seguida FV 
7.939,50 PV 
10 n e em seguida i 
2,3342% 
M=vp*(1+0,023342)^10
10.000=vp*(1,023342)^10
10.000=vp*1,25953
Vp=10.000(1, 025953)
Vp=7939,47 
Fv = 10.000n = 10Pv = 7.939,50i = 2,3342% ao mês
Resposta: A taxa de empréstimo concedido foi de 2,3342, a afirmação esta correta.
III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, foi de R$ 358,91. 
Juros em 10 dias (Fv-PV=juros) 7.068,12-6.893,17 = 174,90
J=6.893,17*(1+0,0781*0,33)
J=6.893,17*1,0258
J=177,60
Resposta: Os juros referentes aos 10 dias são de R$177,60 a afirmação esta errada.
Caso B 
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização. 
J=6.893,17*(1+0,0781)^0,33
J=6.893,17*(1,0781)^0,33
J=6.893,17.*1,0251
J=7.066,37
R$7.066,17-R$6.893,17
R$173,20
HP12 C
Resolução Caso B (utilizando a Calculadora Hp12c): 
6.893,17 PV 
0.33 n 
7,81 i em seguida FV 
7.066,37 
Resposta: Os valores de juros seriam de R$173,20 pagariam menos juros, a afirmação esta errada.
Respostas:
Desafio Caso A: 
Associar o número 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada.
Desafio do Caso B:
Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.
Etapa 2
Caso A
Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus títulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00, no cartão de crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, última peça (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu “cinema em casa”. 
De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as seguintes informações: 
I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00. 
12x400,00= 4.800,00
TV-4.800 -10% = R$4.320,00 a vista
R$4.320 – R$4.800 = R$480,00
Resposta: O DVD custou R$480,00, a afirmação esta errada.
II – A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês. 
PV=R$4.200,00
n=12
FV=R$4.320,00
I= ?
350,00 CHS PMT
4.320,00FV
12n
I
I= 0.5107
Resposta: A taxa média da poupança é de 0,5107, a afirmação esta correta.
Caso B 
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês. 
A respeito deste empréstimo, tem-se: 
I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99. 
30.000 CHS PV
12n
2,8I
PMT
PMT = 2,977,99 
Resposta: A afirmação esta correta.
II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88. 
G Beg (7)
30.000 PV
12n
2.8I
PMT = 2.896,88
Resposta: Afirmação esta correta.
III – Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.
30.000CHS PV
16n
2.8I
FV=46.607,12/12 = R$3.883,92
Resposta: Afirmação esta errada.
Respostas:
Desafio Caso A: 
Associar o número 1, se as afirmações I e II estiverem respectivamente: errada e certa.
Desafio do Caso B:
Associar o número 9, se a afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, certa e errada.
Etapa 3
Caso A 
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias. 
A respeito desta aplicação tem-se: 
I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%. 
Aplicação = 4280,87 
Rendimento = 2200,89 
Tempo = 1389 dias
6481,76 = 4280,87 . (1+ i ) ^ 1389
(1,51)^1389 = 1+ i
1.0002987 – 1= i
0,0002987 = i
i = 0,02987%
HP12c:
1389 n
6481,76 FV
i 0,02987%
II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%. 
6481,76 = 4280,87 (1+i) 30
(1,51)^30 = 1+i
1,01383 – 1 = i
I = 1,3831%
III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%.
Pv = 4.280,87
Fv = 6.481,76
N = 1389
dI = 0,02987%
Resolução na HP12c:
4280,47 CHS PV
0 PMT
1389 n
6481,76 FV
i 0,02987%
Caso B 
Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de –43,0937%.
Taxa nominal = 25,78% = (1+In)
taxa de juros real = ? = (1+ Ir)
taxa inflação = 121,03% = (1+Ij)
fórmula => (1+In) = (1+ir).(1+Ij) 
(1+25,78/100) = (1+Ir).(1+121,03/100)
(1+0,2578) = (1+Ir).(1+1,2103)
(1+Ir) = 1,2578 / 2,2103
(1+Ir) = 0,569063023
Ir = 0,569063023 - 1
Ir= - 0,430936977 logo Ir= - 0,430936977 .100 = - 43,0937%.
Ou
1.000,00 x 1,2578 =1.257,80
1.000,00 x 2,2103 = 2.210,30
1.257,80 = 0,56906
2.210,30
Respostas:
Desafio Caso A: 
Associar o número 3, se as afirmações I,II e II estiverem respectivamente: certa, errada e certa.
Desafio do Caso B:
Associar o número 6, se a afirmação estiver errada.
Etapa 4
Conceitos de Amortização de Empréstimos 
Amortização é um processo financeiro pelo qual uma obrigação é sanada progressivamente por meio de pagamentos periódicos, de tal forma que, ao término do prazo estipulado, o débito seja liquidado.
Amortização também pode ser entendida como, um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação correspondeà soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
Os principais sistemas de amortização são: 
- Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final; 
- Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados; 
- Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período; 
- Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização da dívida é constante e igual em cada período; 
- Sistema Price ou Francês (PRICE): as prestações são iguais; 
- Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price; 
- Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação. 
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor. 
Segue abaixo um breve comentário sobre o Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Francês (PRICE). 
SAC - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
Pode ser definido como um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressões aritméticas, em que o valor da prestação é composto de uma parcela de juros uniformemente decrescente e a outra é de amortização que permanece constante. O sistema bancário utiliza esse sistema geralmente, para empréstimos de longo prazo.
PRICE - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 
Também conhecido como Sistema de Prestações Constantes ou Tabela Price, recebeu esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria de juro composto às amortizações de empréstimo. O nome de Sistema de Amortização Francês dá-se pelo fato de que foi utilizado pela primeira vez na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se pelo pagamento do empréstimo com prestações iguais, periódicas e sucessivas. É utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. As prestações pagas são compostas por uma parcela de juros e outra de amortização. Como as prestações são constantes à medida que a dívida diminui os juros também diminuem e, consequentemente as quotas de amortização aumentam.
Caso A 
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 5.000,00. 
Amortização de Empréstimo – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Valor financiado = R$30.000
Taxa = 2.8 a.m.
Período = 12 meses
Cálculo do juros:
J1 30.000,00 x 0,0280 = R$ 840,00
J2 27.500,00 x 0,0280 = R$ 770,00
J3 25.000,00 x 0,0280 = R$ 700,00
J4 22.500,00 x 0,0280 = R$ 630,00
J5 20.000,00 x 0,0280 = R$ 560,00
J6 17.500,00 x 0,0280 = R$ 490,00
J7 15.000,00 x 0,0280 = R$ 420,00
J8 12.500,00 x 0,0280 = R$ 350,00
J9 10.000,00 x 0,0280 = R$ 280,00
J10 7.500,00 x 0,0280 = R$ 210,00
J11 5.000,00 x 0,0280 = R$ 140,00
J12 2.500,00 x 0,0280 = R$ 70,00
Cálculo da prestação:
PMT1 2.500,00 + 840,00 = R$ 3.340,00
PMT2 2500,00 + 770,00 = R$ 3.270,00
PMT3 2500,00 + 700,00 = R$ 3.200,00
PMT4 2500,00 + 630,00 = R$ 3.130,00
PMT5 2500,00 + 560,00 = R$ 3.060,00
PMT6 2500,00 + 490,00 = R$ 2.990,00
PMT7 2500,00 + 420,00 = R$ 2.920,00
PMT8 2500,00 + 350,00 = R$ 2.850,00
PMT9 2500,00 + 280,00 = R$ 2.780,00
PMT10 2500,00 + 210,00 = R$ 2.710,00
PMT11 2500,00 + 140,00 = R$ 2.640,00
PMT12 2500,00 + 70,00 = R$ 2.570,00
Parc Juros Saldo Atualizado Amortização Prestação Saldo Devedor
0 0,00 30.000,00 
1 840,00 28.340,00 2.500,00 3.340,00 27.500,00 
2 770,00 25.770,00 2.500,00 3.270,00 22.500,00 
3 700,00 23.200,00 2.500,00 3.200,00 20.000,00 
4 630,00 20.630,00 2.500,00 3.130,00 17.500,00 
5 560,00 18.060,00 2.500,00 3.060,00 15.000,00 
6 490,00 15.490,00 2.500,00 2.990,00 12.500,00 
7 420,00 12.920,00 2.500,00 2.920,00 10.000,00 
8 350,00 10.350,00 2.500,00 2.850,00 7.500,00 
9 280,00 7.780,00 2.500,00 2.780,00 5.000,00 
10 210,00 5.210,00 2.500,00 2.710,00 2.500,00 
11 140,00 2.640,00 2.500,00 2.640,00 0,00 
12 70,00 70,00 2.500,00 2.570,00 
Total 5.460,00 5.460,00 30.000,00 35.460,00 0,00 
Caso B
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo sistema PRICE (Sistema Frances de Amortização), o valor da amortização para o 7º período seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$ 718,60. 
Valor financiado = R$30.000
Taxa = 2.8 a.m.
Período = 12 meses
Parc Juros Saldo Atualizado Amortização Prestação Saldo Devedor
0 30.000,00 
1 840,00 28.340,00 2137,99 2977,99 27862,01
2 780,14 25.770,00 2197,86 2977,99 25664,15
3 718,60 23.200,00 2259,40 2977,99 23404,74
4 655,33 20.630,00 2322,66 2977,99 21082,09
5 590,30 18.060,00 2387,70 2977,99 18694,38
6 523,44 15.490,00 2454,55 2977,99 16239,84
7 454,72 12.920,00 2523,28 2977,99 13716,55
8 384,06 10.350,00 2593,93 2977,99 11122,63
9 311,43 7.780,00 2666,56 2977,99 8456,07
10 237,77 5.210,00 2741,22 2977,99 5714,86
11 160,02 2.640,00 2817,98 2977,99 2896,87
12 81,11 70,00 2896,88 2977,99 0,00
Total 5,735,92 5.460,00 30.000,00 35.735,88 0,00 
Conclusão 
Concluímos que a matemática financeira está presente em muitas situações, principalmente no nosso dia a dia. Muitas das vezes não percebemos o quanto estamos deixando de ganhar, por não entender os fundamentos de juros simples e compostos, e suas diferenças. 
Este trabalho foi importante porque nos possibilitou um maior entendimento de ferramentas que possibilitam uma maior precisão e agilidade no dia a dia do administrador, como o EXEL, e a calculadora financeira HP 12C. Além de conhecimentos de taxas de juros, que podem ser aplicadas no nosso cotidiano em uma aplicação ou aquisição de alguns bens. 
Diante dos cálculos realizados em cada caso proposto nos desafios deste estudo, podemos responder a pergunta principal do desafio. “Qual a quantia aproximada que Marcelo e Ana deverão gastar, para que consigam criar seu filho, do nascimento até a idade em que ele terminará a faculdade”.
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Bibliografia
Livro: Matemática Aplicada
Autor: Roberto G. Ferreira
7º edição – Ed Atlas
Livro: Matemática Financeira Fácil
Autor: Antonio Arnot Crespo
11º edição – Ed Saraiva